精品解析：山西忻州市原平市北方现代双语学校2026——2027学年九年级上学数学阶段性练习（一）

原平市北方现代双语阶段性练习（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效， 4、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印!如若发现，必追究法律责任! 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 4. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 6. 已知关于的一元二次方程的两个根为，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个开口向下，顶点为的二次函数________． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 13. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为______． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 15. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点，并画出这个函数的图象； （2）当时，请求出的取值范围． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 19. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 20. 项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； （2）工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 21. 某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23. 【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 （2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 （3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 原平市北方现代双语阶段性练习（一） 九年级数学（人教版） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效， 4、考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 5．本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印!如若发现，必追究法律责任! 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，逐一验证选项即可． 【详解】解：A、未说明，当时，方程不是一元二次方程，故A错误； B、方程含有，两个未知数，故B错误； C、方程中含有分式，不是整式方程，故C错误； D、方程，整理得，满足只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程，符合一元二次方程定义，故D正确． 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数图像的平移法则：左加右减、上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向下平移3个单位长度，得． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式进行解答即可． 【详解】解：由题意，可知， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 4. 已知点和都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，并利用增减性比较函数值的大小问题，能够理解在二次函数中比较函数值大小的方法并灵活运用是解决问题的关键．利用二次函数的增减性比较大小即可． 【详解】解；由题知：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， 离对称轴越远则函数值越小， 题中三个点离直线距离由远及近为， 故选：B． 5. 已知二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 1 3 … y … 3 4 3 0 … 下列说法错误的是（ ） A. 函数图象的开口向下 B. 函数图象的对称轴是直线 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数化成顶点式为， ∴函数图象的对称轴是直线，则选项B正确； 又∵， ∴，则选项C错误； ，则选项D正确． 6. 已知关于的一元二次方程的两个根为，且满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系将已知等式转化为关于的方程，求解后验证方程有实根． 【详解】解：由根与系数的关系得，． ∵， ∴， 解得． 此时，符合题意． 故． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象确定 a，b的符号，再验证一次函数图象是否一致． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故A选项不符合题意；  B、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故B选项不符合题意；  C、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，一致，故C选项符合题意；  D、由二次函数图象可知，对称轴，则，由一次函数图象可知， 即 ，矛盾，故D选项不符合题意． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等，若停车位的占地面积为，每个车位规格一致，求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移法，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定该矩形的长和宽，结合面积公式列出方程． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， ∵停车场内车道的宽度（包括出口和入口）相等， ∴入口和出口的宽度均为， 停车位拼合后的长为，宽为， ∵停车位的占地面积为， ∴． 9. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图像的性质，由开口方向确定  的符号，由对称轴确定  与  的关系，由与  轴交点确定  的符号，结合特殊点的函数值进行判断． 【详解】解：  抛物线开口向下，  ．   对称轴是直线 ，  ，即 ，  ，故 C 选项正确．  ， ．   抛物线与  轴交点在  轴上方，  ．  ，故 A 选项错误． 由图可知，当  时，， 即 ． 将  代入得 ，即 ，故 D 选项错误． 根据抛物线的对称性，当  时，，则当  时 ， 即 ，故 B 选项错误． 10. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 写出一个开口向下，顶点为的二次函数________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为顶点为，所以设，因为开口向下，所以，据此即可作答． 【详解】解：∵顶点为 ∴设二次函数的解析式 ∵开口向下， ∴ ∴ 故答案为： 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，整体代入，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程得到 的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即 ． 则 ． 故答案为 ． 13. 已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是对函数最值的讨论；由二次函数解析式可知开口向上，且当 时函数值为，根据图象及性质求解． 【详解】解：∵ 开口向上， ∴对称轴为：直线， ∵当 时，， ∴当时，， 即：是抛物线上的一对对称点， ∵当时，函数的最大值为， ∴， 即： 故答案为： ． 14. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为____________________． 【答案】且 【解析】 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴．其中，，， 代入得：， 展开得， 化简得， 解得． 综上，k的取值范围为且． 15. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）通过配方将方程化为完全平方式求解，也可使用一元二次方程求根公式计算； （2）移项后提取公因式因式分解，将方程转化为两个一元一次方程求解． 【小问1详解】 解：， 移项得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得即， 可得或， 解得，． 17. 已知二次函数． （1）直接写出抛物线的顶点，并画出这个函数的图象； （2）当时，请求出的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）把一般式转化为顶点式，可得顶点坐标，再列表、描点、连线画出函数图象即可； （）根据函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 列表如下： 画图略 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围为． 18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 19. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，满足条件的花园面积能达到平方米 （3）当时，最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【小问1详解】 解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． 【小问2详解】 解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． 【小问3详解】 解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 20. 项目式学习 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 某工厂一车间对某款车型零部件进行智能化、一体化加工，生产效率显著提升，已知6月份生产该零件100个，8月份生产144个， 素材2 该厂生产该零件的成本为30元/个；市场调研发现：当售价为40元/个时，月销售量为600个，若售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 （1）求该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率； （2）工厂为了提升利润，决定调整售价，要求月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，该零件的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元/个 【解析】 【分析】（1）根据6月产量、8月产量与月平均增长率的等量关系列一元二次方程求解； （2）根据总利润单个利润月销售量列方程，结合让消费者得到实惠的条件选取较低的售价． 【小问1详解】 解：设该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该车间6月份到8月份生产该零件数量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该零件的实际售价为t元/个， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠，即售价尽可能低， 取， 答：该零件的实际售价应定为元/个． 21. 某活动场地入口安装了一座充气拱门，拱门外边界线呈抛物线状．拱门底部宽度为10米，最高点到水平地面的距离为4米，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在拱门上悬挂一条横幅，轴，米，其中点M、N均在抛物线上，且位于对称轴两侧，求横幅（宽度忽略不计）到地面的距离． 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过，然后运用待定系数法求解即可； （2）由二次函数的性质可得对称轴为，进而求得点M的横坐标为3，然后求得点M的纵坐标即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为，且过， 设抛物线的表达式为， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线的表达式为， ∴对称轴为， ∵轴，米， ∴点M的横坐标为， ∴点M的纵坐标为米， ∴横幅（宽度忽略不计）到地面的距离米． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）答：剪去的正方形的边长为． （2）答：剪去的正方形的边长为． 【解析】 【分析】（1）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去4个小正方形后底面的长和宽，再根据底面的面积，实际问题中根的合理性检验，最后得出剪去小正方形的边长． （2）本题涉及了一元二次方程的应用以及几何图形面积的计算，根据图形剪拼的空间想象得到剪去矩形的长为，矩形的宽和减去正方形的边长相等，再结合实际问题中根的合理性检验，得到剪去正方形的边长． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的边长为，宽为． 由题意得： 解得． 因为，所以不符合题意，舍去． 所以剪去的正方形的边长为． 【小问2详解】 解：设剪去的正方形的边长为，根据题意，剪去的矩形的长为，宽为，则剪去部分的面积为： 解得或，（不符合题意，舍去）． 所以剪去的正方形的边长为． 23. 【问题情境】城市人行天桥的顶棚常采用轻盈美观的抛物线形钢结构骨架，既为行人遮风挡雨，又与城市景观融合．如图是其横截面的示意图，其中顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，以水平面为x轴，垂直于水平面的立柱为y轴建立平面直角坐标系，点B，E，D，C在顶棚抛物线形骨架上，且点B到y轴的水平距离为4米，点D离水平面的距离为3米，已知顶部骨架抛物线的最高点到的水平距离为2米，离水平面的距离为米． 请尝试解决以下问题： 【数学建模】 （1）设顶棚骨架上某处离水平面的距离为y（米），该处离支架的水平距离为x（米），求y与x之间的函数关系式： 【实践探究】 （2）在顶棚骨架上找一点Q，使得该点到水平面的距离为米，求该点到支架的水平距离； 【拓展应用】 （3）为了顶棚顶部的稳固性，需要在棚顶安装铝合金支架，支架可以看成是由线段，，组成，点F在线段上，．为不影响行人通行，将点A到水平面的距离定为2米，求支架的最大长度． 【答案】（1） （2）该点到支架的水平距离为米或米； （3）支架的最大长度为． 【解析】 【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标和点D的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）利用（1）中函数解析式直接求解； （3）根据题意得出A，B两点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，设，可得，利用配方法求的最大值； 【小问1详解】 解：由题知，，抛物线的顶点坐标为， ， 代入点可得，，解得， ． 【小问2详解】 解：令，即， 解得， 答：该点到支架的水平距离为米或米； 【小问3详解】 解：由题知，， 当时，， ， 设直线的解析式为，代入，， 可得， 解得， 直线的解析式为， ， 设， 点F在线段上，， ， ， ， ， ， 当时，有最大值1.125． 支架的最大长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $