精品解析：山西省平遥市古陶镇第二初级中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷

2025-2026学年九年级数学学科适应性练习 一、选择题：本题共10小题 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 2. 已知的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在内 C. 点P在上 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．根据圆心O到点P的距离与的半径的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为3，点P到圆心的距离为5， ∴点P在的外部， 故选A． 3. 已知，如图，，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 都是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据圆心角、弧、弦之间的关系，由∠AOB=∠COD，可得弦相等，弧相等以及三角形全等，以此进行分析判断即可． 【详解】解： ，． 成立，D不成立． 故选：D． 【点睛】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，注意掌握三组量中，只要有一组相等，其余的都对应相等． 4. 如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ） A. （1，1） B. （2，0） C. （0，1） D. （3，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质及直角坐标系的特点即可作图找到旋转中心. 【详解】如图，连接AD,BE,分别作其垂直平分线，其交点即为旋转中心，即为（0，1）， 故选C. 【点睛】此题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟知旋转中心的特点. 5. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质，求得的度数是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求得，再根据是旋转角即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在平面内绕点旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数为． 故选：C． 6. 如图，线段是的直径，弦，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理、邻补角的定义，理解并掌握相关性质定理是解决问题的关键； 根据垂径定理可得，进而可得，则可求. 【详解】解：∵是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B ． 7. 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ） A. ∠ACB=90° B. ∠BDC=∠BAC C. AC平分∠BAD D. ∠BCD+∠BAD=180° 【答案】C 【解析】 【分析】以点O为圆心，OA长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可． 【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知： OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上． A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意． B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意． C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意． D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键． 8. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为， 把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为， 所以平移后得到的抛物线解析式为． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 9. 正方形的边长为2，将该正方形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，连，由旋转得，，，可证明，得，在上截取，连接，可证明，则，所以，则，可求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点，连， 四边形是边长为2的正方形， ，， 由旋转得，，， ，，， 在和中， ， ， ， 在上截取，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题关键是添加辅助线构造直角三角形和等腰三角形． 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ＝AP，∠PAQ＝60°，证明△CAQ≌△EAP（SAS），由全等三角形的性质得出CQ＝EP，则当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，然后由含30°角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，在AB上取一点E，使AE＝AC＝，连接PE，过点E作EF⊥BC于F， 由旋转知，AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠EAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠EAC， ∴∠EAP＝∠CAQ， 又∵AE＝AC，AP＝AQ， ∴△CAQ≌△EAP（SAS）， ∴CQ＝EP， 要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点， ∴当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF， 在Rt△ACB中，∠B＝30°，AC＝， ∴AB＝， ∵AE＝AC＝， ∴BE＝AB−AE＝， 在Rt△BFE中，∠B＝30°， ∴EF＝BE＝， 故线段CQ长度的最小值是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键． 二、填空题：本题共6小题 11. 若点关于原点的对称点是，则的值是_________． 【答案】-6 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：因为点关于原点的对称点是， 所以 故答案： 【点睛】此题考查关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题的关键． 12. 如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长． 【详解】解：∵AB为直径， ∴， ∵， ∴． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 13. 如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．连接．根据垂径定理和勾股定理求解． 【详解】解：连接， 为的直径，弦于， ， 设的半径为，则， ，即 解得， 故答案为10 14. 如图，四边形内接于，若，则它的一个外角________． 【答案】69° 【解析】 【分析】由∠BOD＝138°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，又由圆的内接四边四边形的性质，求得∠BCD的度数，继而求得∠DCE的度数 【详解】解：∵∠BOD＝138°， ∴∠A＝∠BOD＝69°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝111°， ∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝69°． 故答案为：69°． 【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半与圆内接四边形的对角互补定理的应用． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解． 【详解】解：， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若，当时，y随x的增大而减小， 此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意， 若，当时，函数值y最小，最小值为1， ∴， 解得：或（舍去）； 综上所述，a的值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 16. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可得，， ∴，， 又∵， ∴H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴中，， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 三、解答题：本题共8小题 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 【答案】（1） 解：如图所示即为所求； （2） 解：如图所示即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，找旋转中心，坐标与图形； （1）根据旋转的性质作图即可． （2）根据中心对称的性质作图即可． （3）根据旋转变换的定义与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，点M的坐标为； 故答案为：． 18. 如图，直线和抛物线相交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）联合直线解析式和抛物线解析式，求解即可获得答案； （2）结合函数图象，由二次函数图象在直线上方部分，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意得， ， 解得，， ； 【小问2详解】 由（1）得， 结合图象可知，的解集为或． 19. 如图，在中，，点在上，且． （1）画出将绕点逆时针旋转后的三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形，用勾股定理解决问题是解本题的关键． （1）根据题意画出，使，连接，则即为所作； （2）由旋转的特征得，，，，证明得出，再由勾股定理计算即可得解: 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将绕点A逆时针旋转得到，连接，如上图所示： ∵，， ∴， ∴， 又 ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 【答案】（1）证明：∵C为的中点， ∴∠BAC＝∠CAP， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ACP＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠P+∠CAP＝90°， ∴∠ABC＝∠P， ∴AB＝AP． （2）PC＝． 【解析】 【分析】(1)利用等角对等边证明即可． (2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：略 (1) (2)解：如图，连接BD． ∵AB是直径， ∴∠ADB＝∠BDP＝90°， ∵AB＝AP＝10，DP＝2， ∴AD＝10﹣2＝8， ∴BD＝， ∴PB＝， ∵AB＝AP，AC⊥BP， ∴BC＝PC＝PB＝， ∴PC＝． 【点睛】主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 【答案】（1）正方形， 理由如下： 根据旋转： ∵四边形是正方形 ∴∠DAB=90° ∴∠FAE＝∠DAB=90° ∴ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴矩形是正方形． （2）17 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，∠DAF＝∠EAB，由正方形的判定可证四边形BE'FE是正方形； （2）连接，利用勾股定理可求，再利用勾股定理可求DH的长． 【详解】解：（1）略 （2）连接 ∵， 在中， ∵四边形是正方形 ∴ 在中，，又， ∴． 故答案是17． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 22. 如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 为等腰直角三角形，证明如下： 证明：∵平分，平分， ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵为直径， ∴． ∴是等腰直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得，即；然后再根据直径所对的圆周角为90°即可解答； （2）如图：连接，，，交于点．先说明垂直平分．进而求得BD、OD、OB的长，设，则．然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接，，，交于点． ∵， ∴． ∵， ∴垂直平分． ∵是等腰直角三角形，， ∴． ∵， ∴． 设，则． 在和中，．解得，． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 23. 如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）当平分，，，求弦的长． 【答案】（1）弦， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ； （2）2 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得，即，再根据圆内接四边形的性质即可得证； （2）连接OG，BG，OD，根据等腰直角三角形的性质可得，利用垂径定理和解直角三角形可得，在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）连接OG，BG，OD， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵AB是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、圆内接四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、解直角三角形等内容，作出辅助线是解题的关键． 24. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 【答案】（1）． （2）①或；②，． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图象及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在为抛物线上，代入为物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值，进一步求出的最大值和点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，则∶ 解得∶． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ①抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标或， ②设直线的解析式为，将代入， 得， 解得∶． 即直线的解析式为． 如图， 设点坐标为，则点坐标为，， 当时，有最大值． 此时的最大值为， 当时，， ∴点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学学科适应性练习 一、选择题：本题共10小题 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，所示四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与的位置关系是（ ） A. 点P在外 B. 点P在内 C. 点P在上 D. 无法确定 3. 已知，如图，，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 都是等边三角形 4. 如图，是由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（ ） A. （1，1） B. （2，0） C. （0，1） D. （3，1） 5. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段是的直径，弦，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ） A. ∠ACB=90° B. ∠BDC=∠BAC C. AC平分∠BAD D. ∠BCD+∠BAD=180° 8. 将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　） A. B. C. D. 9. 正方形的边长为2，将该正方形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°到线段AQ，连接CQ，则线段CQ的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 二、填空题：本题共6小题 11. 若点关于原点的对称点是，则的值是_________． 12. 如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______． 13. 如图，为的直径，弦于点E，若，，则的半径为_____． 14. 如图，四边形内接于，若，则它的一个外角________． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______． 16. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______． 三、解答题：本题共8小题 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上． （1）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，画出； （2）作出关于坐标原点成中心对称的； （3）可由绕点旋转得到，则点M的坐标为________． 18. 如图，直线和抛物线相交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）直接写出不等式的解集． 19. 如图，在中，，点在上，且． （1）画出将绕点逆时针旋转后的三角形； （2）若，求的长． 20. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为的中点，延长AD，BC交于P，连结AC． （1）求证：AB＝AP； （2）当AB＝10，DP＝2时，求线段CP的长． 21. 如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点． （1）试判定四边形的形状，并说明理由； （2）已知，求的长． 22. 如图，以为直径的经过的顶点，，分别平分和，的延长线交于点，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 23. 如图，是的直径，弦于点，是上一点，，的延长线交于点． （1）求证：． （2）当平分，，，求弦的长． 24. 如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于两点，其中点的坐标为，且点（2，5）在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点点坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求的最大值和此时点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $