专题01有理数期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题01有理数期中复习讲义 1.有理数相关概念：理解正数、负数的意义，会用正负数表示具有相反意义的量；掌握有理数定义，能够对有理数进行分类；认识数轴，掌握数轴三要素，会画数轴，能在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数大小。 2.相反数、绝对值、倒数：掌握相反数概念，会求一个数的相反数，理解互为相反数两数在数轴上的位置特点；理解绝对值的几何意义与代数意义，会求任意有理数的绝对值，会根据绝对值求原数；掌握倒数定义，会求非零数的倒数，明确 0 没有倒数。 3.有理数大小比较：能借助数轴比较数的大小；掌握负数比较大小的方法：两个负数，绝对值大的反而小，能直接比较多个有理数的大小。 4.有理数四则运算：熟练掌握有理数加、减、乘、除运算法则；理解加法、乘法的交换律、结合律、分配律，会运用运算律简化计算；掌握减法转化为加法、除法转化为乘法的转化思想，规范运算步骤。 5.有理数乘方：理解乘方、底数、指数、幂的含义；掌握乘方运算符号法则，能区分(-a)n与-an；会进行乘方基础计算。 6.有理数混合运算：牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左向右；有括号先算括号内，熟练完成含有乘方的综合运算。 7.科学记数法、近似数：会用科学记数法表示大数，也能把科学记数法还原成原数；理解近似数与精确度，能判断近似数精确到哪一位。 8.易错点辨析：负数的绝对值化简容易出错；区分相反数、倒数两个概念；负数参与加减乘除、乘方计算时符号容易出错；运算律使用时漏乘；科学记数法指数确定失误。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义与分类 ★ 题型五 数轴的三要素及其画法 ★ 题型六 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型七 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型八 数轴上两点之间的距离 ★★★ 题型九 数轴上点的平移 ★★★★ 题型十 数轴上找原点 ★★★ 题型十一 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十二 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十三 相反数的定义与应用 ★ 题型十四 化简多重符号 ★★ 题型十五 绝对值的几何意义 ★★ 题型十六 求一个数的绝对值 ★★★★ 题型十七 绝对值非负性 ★★★ 题型十八 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十九 有理数大小比较 ★★ 题型二十 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础核心概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点02:核心应用：用正负数表示相反意义的量 1. 判定标准 两个量必须同时满足两点，才能用正负区分： 意义相反；② 具有同类数量。 例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下，均为相反意义的量； “上升 5 米” 和 “支出 20 元” 不属于同类量，不能用正负表示。 2. 使用规则 (1)先人为规定其中一种意义的量为正，则与之相反意义的量为负； (2)规定具有灵活性，题目未固定时可自主设定，结果不唯一； (3)书写必须带单位，不能只写数字。 3.常见相反意义量分类表（考试高频素材） 正向规定 对应负向 生活实例 零上温度 零下温度 零上8C记作+8C，零下3C记作-3C 收入、盈利 支出、亏损 收入 300 元记作+300元，支出 120 元记作-120元 上升、增加 下降、减少 水位上升 0.6m 记作+0.6m，水位下降 0.4m 记作-0.4m 向东、向北 向西、向南 向东走 10km 记作+10km，向西走 5km 记作-5km 高于海平面 低于海平面 山峰海拔 + 600m，盆地海拔 - 150m 知识点03:数的分类 层级 1：本节课基础分类（按正负划分，课堂必考） 现阶段学习的数字，以 0 为界分为三类： 正数：所有大于 0 的数，包含正整数、正分数（有限小数、无限循环小数）； 0：单独一类，无正负属性； 负数：所有小于 0 的数，包含负整数、负分数（负有限小数、负无限循环小数）。 ⚠关键提醒 (1)0 不能放入正数集合、负数集合； (2)小数、分数同样分正负，不只有整数有正负； (3)π 这类无限不循环小数，本节课不参与分类。 层级 2：延伸分类 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 分类标准 细分种类 包含数字类型 按正负划分（本节课重点） 正数、0、负数 正数：正整数、正分数 负数：负整数、负分数 按整数 / 分数划分（下一节） 整数、分数 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数 层级 3：集合归类大题完整解题模板（考试标准题型） 例题：把下列各数填入对应集合： -7，+0.8，0，，-2.5，18，-，3.14 正数集合：{+0.8，，18，3.14，…} 负数集合：{-7，-2.5，-，…} 整数集合：{-7，0，18，…} 分数集合：{+0.8，1/4，-2.5，-，3.14，…} 阅卷得分要点 (1)有限小数、循环小数都属于分数，分类不能漏掉； (2)集合末尾必须写省略号 “…”，代表集合内有无数符合条件的数； (3)0 只属于整数集合，不能放进正数、负数集合； (4)同一个数字可以同时属于多个集合，例如 18，既是正数也是整数。 知识点04：数轴的定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向、单位长度称为数轴三要素，三者缺一不可。 1. 三要素详解 原点：在直线上任取一点，表示数字 0；原点是正数、负数的分界点。 正方向：一般规定直线向右为正方向，画上箭头；向左为负方向，无箭头。 单位长度：选取适当长度作为统一标准，原点左右每隔相同长度代表 1 个单位；同一数轴单位长度必须一致。 2.画数轴标准步骤 ① 画一条水平直线； ② 在直线中间标出原点，标注数字 0； ③ 向右画出箭头，规定正方向； ④ 从原点向左、右截取相等线段，依次标注整数：(..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..)。 3. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 4. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点06:利用数轴比较有理数大小（核心应用） 基本规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 大小关系推论： 正数＞0，负数＜0； 正数一定大于负数； 多个数比较：从左到右依次从小到大排列。 知识点07:相反数两层定义 1.代数定义 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。 关键词：仅符号不同，数字部分完全相同；单独一个数不能叫相反数，必须成对出现。 例：5 和 - 5 互为相反数；与-互为相反数。 2.几何定义（数轴视角） 在数轴上，分别位于原点左右两侧，且到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。 特征：两点关于原点对称；0 对应原点，没有另一侧对称点。 特殊规定 0 的相反数是 0（唯一相反数等于自身的数）。 知识点08:求任意数相反数通用方法 数字前加负号：数a的相反数记作-a。 正数：7的相反数-7 负数：-2.6的相反数-(-2.6)=2.6 字母：x相反数-x；m-n相反数-(m-n) 带括号、分数、小数整体求相反数，必须给整个式子加括号再添负号。 知识点09:多重符号化简法则（核心考点） 原理：负号表示取相反数，连续多个负号依次抵消 口诀：奇负偶正 1.数式子中负号总个数； 2.负号个数为奇数，最终结果为负； 3.负号个数为偶数，最终结果为正； 4.正号可直接全部去掉，不改变符号。 示例： -[-(+9)]：2 个负号→偶数→9 -[-(-4)]：3 个负号→奇数→-4 知识点10:相反数核心等价性质 1.若a、b互为相反数⇔ a+b=0； 2.互为相反数的两个数绝对值相等：|a|=|-a|； 3.若a0，互为相反数两数商为-1：=-1； 4.数轴上互为相反数两点到原点距离相等。 知识点11:绝对值双重定义 1.几何定义（本质） 数轴上表示数a的点与原点之间的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 关键点：距离不存在负数，因此绝对值结果一定0（非负性）。 2.代数化简定义（分段法则，去绝对值核心） 知识点12:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 题型一、正负数的定义 1．在，，，，这些数中，负数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：在，，，，中，负数有，，，，共4个． 2．如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ． 【答案】电梯下降3米 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对， ∵电梯上升5米，记作+5米， ∴-3表示电梯下降3米． 故答案为：电梯下降3米． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 3．如果，那么_________(用“”或“”填空) 【答案】< 【分析】根据a×b<0得出a、b异号，a×c>0得出a、c同号，利用a>0，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴b<0，c>0， ∴a×b×c<0． 故答案为：< 【点睛】本题主要考查的是有理数的正负号，掌握同号为正，异号为负是解题的关键． 题型二、相反意义的量 4．在标准大气压下，甲醇的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作______． 【答案】 【分析】题目规定零上温度用正数表示，零上与零下是相反意义的量，据此可推得零下温度的记法. 【详解】解：∵题目规定零上记作，零上与零下是一对相反意义的量，用正数表示零上， ∴零下记作. 5．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么支出80元可表示为____． 【答案】元 【分析】根据题意得出：收入记作为正，支出记作为负，表示出来即可． 【详解】解：如果收入100元记作+100元，那么支出80元记作-80元， 故答案为：-80元． 【点睛】本题考查了正数和负数，能用正数和负数表示题目中的数是解此题的关键． 6．下列不是具有相反意义的一对量是（    ） A．向东和向北 B．上升和下降 C．盈利100元和亏损50元 D．零上6℃和零下2℃ 【答案】A 【分析】根据相反意义的量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．向东和向北，不是具有相反意义的一组量； B．上升和下降，是具有相反意义的一组量； C．盈利100元和亏损50元，是具有相反意义的一组量； D．零上6℃和零下2℃，是具有相反意义的一组量． 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，理解具有相反意义的量的定义是解题的关键． 题型三、正负数的实际应用 7．在体育课上的1分钟跳绳比赛中，以每分钟145个为标准，小明跳了140个，记作个，若小红比小明多跳了10个，则可记作（     ）个． A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据低于标准记为负，可得高于标准即为正，先求出小红跳绳的个数，再与标准比较，即可求解． 【详解】解：∵小红比小明多跳了10个， ∴小红跳绳个数为（个）， ∵， ∴记作个． 8．一种零件的长度在图纸上是毫米，表示这种零件的标准尺寸是_______毫米，加工要求最大不超过________毫米，最小不小于_________毫米. 【答案】 10 10.03 9.98． 【分析】根据表示的意义，相加是表示的最大尺寸，相减是表示的最小尺寸． 【详解】表示这种零件的标准尺寸是10毫米，加工要求最大不超过10.03毫米，最小不小于9.98毫米. 故答案为10，10.03，9.98． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 9．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据标准质量为（270±10）g，得出小于260g以及大于280g的排球是不合格的，再进行判断即可． 【详解】解：因为排球的标准质量为（270±10）g，即260g≤排球的标准质量≤280g， 故第7个排球不符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意不是同一类别的量，不能看成是具有相反意义的量． 题型四、有理数的定义与分类 10．下列说法正确的是（     ） A．一个有理数不是整数就是分数 B．正数和负数统称有理数 C．1是最小的正数，最大的负数是 D．3.14不是分数 【答案】A 【分析】根据有理数分类以及定义逐项判断即可． 【详解】解：A．有理数分为整数和分数，故一个有理数不是整数就是分数，符合题意； B．正有理数、、负有理数统称有理数，正数和负数不含，不符合题意． C．不存在最小的正数，也不存在最大的负数，是最小的正整数，是最大的负整数，不符合题意． D．是有限小数，可化为分数，属于分数，不符合题意． 11．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 12．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛___________｝…； 正整数集合：｛___________｝…； 分数集合：｛___________｝… 【答案】 【分析】本题考查了有理数定义及其分类，掌握有理数的相关定义成为解题的关键． 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：；；． 题型五、数轴的三要素及其画法 13．规定了__________、正方向和单位长度的__________叫做数轴． 【答案】 原点 直线 【详解】解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 14．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 15．四位同学画的数轴如下，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答． 【详解】A、缺少原点，故选项错误； B、数轴的单位长度不统一，故选项错误； C、数轴没有正方向，故选项错误； D、正确． 故选D． 【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的三要素． 题型六、用数轴上的点表示有理数 16．如图，在数轴上点P的位置表示的数可能是（     ） A． B．1.6 C．2.3 D． 【答案】A 【分析】观察数轴，点 P 在 与 之间，判断四个选项里只有 满足大于 且小于，其余数不在这个区间，因此答案是． 【详解】解：点 P 在数轴上位于和 之间． 选项： 在 和 之间，符合． 选项：，不符合． 选项：，不符合． 选项：，不符合． 故选：． 17．直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 【答案】 【分析】先计算圆的周长，再计算滚动距离，最后根据点和原点的位置和距离得出所表示的数． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆的周长为， 滚动两周的长度为， 圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，即点位于原点左侧， 因此点表示的数是． 18．如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，先根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解出单位长度，再求出之间在数轴上的距离，即可求解，解题的关键是确定数轴上的单位长度． 【详解】解：∵图中，图中， ∴数轴一个单位的长度为， ∴， ∵点对应的数为， ∴点对应的数为， 故选：． 题型七、利用数轴比较有理数的大小 19．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则数m，n，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由数轴可得， ∴． 20．已知：a，b，c三个数在同一条数轴上的位置如图所示，给出以下4个式子：①；② ；③；④，其中错误的结论是_______（填序号） 【答案】②③ 【分析】根据数轴表示的数可得到a＜c＜−1，0＜b，进行分析判断． 【详解】①c在a的右边，因此c＞a，所以①正确； ②c与原点的距离更远，因此，所以②错误； ③根据题意可知，而a＜0，b＞0，因此－a＞b，故③错误； ④由②得，b＞0，c＜0，因此，故④正确； 故填：②③． 【点睛】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小，也考查了有理数的加法、绝对值的意义，比较基础． 21．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先在数轴上表示出，，,然后根据数轴上点的特点越向右越大得出答案即可． 本题考查了数轴上点表示数，倒数的意义，掌握数轴比较大小是解题关键． 【详解】如图所示，把,表示在数轴上， 根据数轴的正方向得到数轴右边的数比左边的数大， 则． 故选：． 题型八、数轴上两点之间的距离 22．数轴上表示和的点分别是和，则、两点间的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用数轴上右边的点表示的数减去左边的点表示的数即可． 【详解】解：、两点间的距离为． 23．将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 【答案】4.4 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：坐标轴上的和分别与尺子的和对应， 所以坐标轴上的单位长度是， 由题意知，， 故答案为：4.4． 24．如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，若刻度尺上“”对应数轴上的3，那么的值为__________． 【答案】13 【分析】本题考查了数轴的应用，根据数轴上两点间距离及结合刻度尺长度分析求解． 【详解】解：∵刻度尺上“”对应数轴上的3， 根据数轴可知：， ∴数轴上一个单位长度对应刻度尺上 ∴，解得． 故答案为：13． 题型九、数轴上点的平移 25．点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是___________． 【答案】3或 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B， ∴点表示的数为或； 故答案为：3或． 26．如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的代数式表示对应的点是解本题的关键． 根据题意先得到时针一个格表示数轴上个单位长度，再根据向右滚动的圈数可得到答案． 【详解】∵钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴原点重合，再将钟面紧贴数轴沿着数轴 正方向滚动，使钟面上的数字5对应的点与数轴上表示的点重合， ∴时针一个格表示数轴上个单位长度， ∵钟面上1圈对应数轴上的线段的长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），对应的线段长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 故答案为：． 27．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．由题意可知，，，，得到，从而得出，则，再结合的值固定不变，得到，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ，， ， ， ， ， 、运动过程中的值固定不变， ， ， ， 故选：C 题型十、数轴上找原点 28．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 29．如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是确定题中三个数的正负． 根据数轴上点的与原点的距离即可求解． 【详解】解：由题意可知：． 因为且， 所以，，， 即原点的位置在点A与点B之间且更靠近点B， 则原点的位置在点C与点B之间． 故选：C． 30．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，有理数的乘法与加法运算的含义，分四种情况讨论即可. 【详解】解：当原点在点时， ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去； 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当原点在点时； ∵，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间， ∴， ∴， ∴符合题意， 综上所述，此原点应是在或点． 故选：D． 题型十一、数轴上整点覆盖问题 31．如图小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数的规律可知：在和之间的整数有和，所以墨迹盖住的整数有个． 【详解】解：在和之间的整数有和， 墨迹盖住的整数有个． 32．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 【答案】15或16 【分析】分小棒端点是否与整点重合两种情况，根据长度与盖住整点个数的关系计算即可． 【详解】解：∵长度为厘米（为正整数）的小棒， 端点不与整点重合时，盖住个整点， 端点与整点重合时，盖住个整点， ∴已知小棒盖住16个整点， 第一种情况：端点不与整点重合，可得，即小棒长度为16厘米， 第二种情况：端点与整点重合，可得，解得，即小棒长度为15厘米， 因此这根小棒的长度为15厘米或16厘米． 33．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的整数个数计算方法，分别求出两处墨水覆盖范围内的整数个数，再求和即可． 【详解】解：左侧墨水淹没的范围在，之间， 则该范围的整数有个， 右侧墨水淹没的范围在，之间， 该范围的整数有个， 故被淹没的整数点有个． 题型十二、数轴上的规律探究 34．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 35．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 【答案】 【详解】解：向右移动个单位长度可表示为，向左移动个单位长度可表示为， ∴当它跳第次落下时，落点在数轴上表示的数是： ． 36．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据正六边形翻转规律，确定数轴上整数点对应的顶点呈周期性变化，周期为6，据此解答即可． 【详解】解：由题意得，点，，，，，对应的数分别为0，1，2，3，4，5， 点再次对应的数为6，点再次对应的数为7， 顶点对应的数以6为周期循环， ， 数2029对应的顶点与数2对应的顶点相同，即为点B． 题型十三、相反数的定义与应用 37．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，无意义，故③说法错误，不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 综上，正确的结论是①②④． 38．已知互为相反数，则______． 【答案】2 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0可得m+n=0，然后代入代数式进行计算即可得解. 【详解】解：∵m、n互为相反数， ∴m+n=0， ∴2m+2n=0， ∴=. 故答案是:2. 【点睛】本题考查了代数式求值，主要利用了互为相反数的定义，熟知互为相反数的两个数的和等于0是解题的关键． 39．下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有__． 【答案】②④ 【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案． 【详解】解：①a-b与-a-b=-（a+b），不是互为相反数， ②a+b与-a-b，是互为相反数， ③a+1与1-a，不是相反数， ④-a+b与a-b，是互为相反数． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键． 40．下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 【答案】B 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0进行解答即可． 【详解】解：和互为相反数，则①正确； 只有符号不同的两个数互为相反数，②错误； 0的相反数是0，所以互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数，③错误； 的相反数是，④错误； 0的相反数是0，一个数和它的相反数可能相等，⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0是解题的关键． 41．下面说法正确个数的是（　　） ①π的相反数是3.14；②互为相反数的两个数的绝对值的和为0；③﹣（﹣4）的相反数是4；④互为相反数的两个数的商一定是﹣1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数；互为相反数的两个数相加得0；除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数分析即可． 【详解】解：①π的相反数是﹣π，故原题说法错误； ②互为相反数的两个数的绝对值的和为非负数，故原题说法错误； ③﹣（﹣4）＝4的相反数是﹣4，故原题说法错误； ④互为相反数的两个数的商一定是﹣1，0除外，故原题说法错误； 正确的说法有0个， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义及性质，特别注意0的相反数是0． 题型十四、化简多重符号 42．化简的结果是（     ）． A． B．20 C． D．40 【答案】B 【分析】一个数前面添加负号，就得到这个数的相反数，负负得正． 【详解】解：． 43．下列各式的化简，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：，正确； B选项：，正确； C选项：，错误； D选项：，正确． 44．的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得． 【详解】的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键． 题型十五、绝对值的几何意义 45．下列各数在数轴上对应的点离原点最近的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的几何意义．一个数在数轴上对应点到原点的距离等于这个数的绝对值，绝对值最小的数，距离原点最近． 【详解】解：，，，， ， 的绝对值最小，对应点离原点最近， 故选：B． 46．点P、Q、M、N在数轴上的位置如图所示，则所表示的数的绝对值最大的是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，熟知数轴上的点离原点越远，其对应的数的绝对值越大是解题的关键． 根据数轴上的点离原点越远，其对应的数的绝对值越大，即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，点P离原点的距离大于1， 点Q、M、N离原点的距离均小于1， 即所表示的数的绝对值最大的是点P． 故选：A． 47．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义成为解题的关键． 根据绝对值的意义即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即m的值为或． 故选A． 题型十六、求一个数的绝对值 48．已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 49．如果m是负数，且，那么______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能值，再结合为负数的条件确定最终结果． 【详解】解：， ， 是负数， ． 50．的值是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据负数的绝对值等于它的相反数求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 51．已知，，且，则的值是（    ） A．-8 B．-2 C．-2或-8 D．2或-8 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义得到m＝±3，n＝±5，由于|m+n|＝m+n，则m+n>0，于是m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5，然后分别代入m﹣n中计算即可． 【详解】解：∵|m|＝3，|m|＝5， ∴m＝±3，n＝±5， ∵|m+n|＝m+n， ∴m+n>0， ∴m＝3，n＝5或m＝﹣3，n＝5， ∴m﹣n＝﹣2或﹣8． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a． 题型十七、绝对值非负性 52．已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 53．如果+=0，那么______，_________ 【答案】 a =2 b = -1 【分析】根据绝对值及平方的非负性即，即可求解. 【详解】根据题意，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2，. 【点睛】本题主要考查了一个数的绝对值及平方的非负性，根据非负性解题时解决此类问题的关键. 54．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 题型十八、绝对值的其他应用 55．采摘园的工人将草莓分装成四筐，每筐草莓以4千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录数据如下，则最接近标准质量的是（     ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的意义，比较绝对值即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是A选项． 56．已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将式子转化为按值大小排序排列，观察可发现，取最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案. 【详解】解： 当时，有最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小值的意思. 57．对一个正整数，若将其各数位上的数字两两作差后取绝对值，再从大到小排列，得到一个新数，则称是的“绝对数”．如，将其各个数位上的数字两两作差，再取绝对值，分别为，那么的“绝对数”就等于．则的“绝对数”为______；若一个三位正整数的“绝对数”为，则满足条件的所有中最大值为______． 【答案】 【分析】根据题意，计算出对应的“绝对数”即可． 【详解】解：∵，，， ∴的“绝对数”为； 欲使最大，则百位数最大，其次十位数，   ∵的“绝对数”为，   ∴不妨取百位数为，十位数为，个位数为，此时的“绝对数”为，是满足条件的所有中最大值． 题型十九、有理数大小比较 58．下列四个数中，最小的数是（     ） A．5 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小，即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴最小的数在和中， ∵，，且， ∴， ∴四个数中最小的数是． 59．比较有理数的大小，下列结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比较有理数的大小法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，逐项分析比较即可． 【详解】解：A ，原结果错误，不符合题意； B ，原结果错误，不符合题意； C， ，原结果错误，不符合题意； D，原结果正确，符合题意． 60．设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③的最大值是；④；⑤不存在有理数使成立． 【答案】/ 【分析】根据新定义表示大于的最小整数，逐项判断结论是否正确 . 【详解】解：∵的定义为大于的最小整数， ∴逐个判断如下： 对于∵大于的最小整数为， ∴，正确； 对于∵大于的最小整数为， ∴，错误； 对于∵是大于的最小整数， ∴，可得， 即的最大值为，不是， ∴错误； 对于根据定义可得，因此大于的最小整数一定不大于， 即恒成立，正确； 对于当时，，此时，且是有理数， ∴存在有理数使成立，错误； 综上，正确结论为. 题型二十、有理数大小比较的实际应用 61．凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列选项中凝固点最低的是（     ） A．铝 B．酒精 C．水银 D．水 【答案】B 【详解】解：， ∴凝固点最低的是酒精． 62．在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（     ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【答案】D 【分析】比较出四种晶体熔点的大小即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴熔点最高的是固态酒精． 63．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查有理数的应用，解题关键是利用分类讨论求解． 分别列出两数相加为6，8，10，12的所有可能性，设这四个数分别为，其中，分析得出较小的两数之和为6，较大的两数之和为12，可得，分类讨论即可． 【详解】解：相加得6的两个整数可能为：1，5或2，4或3，3． 相加得8的两个整数可能为：1，7或2，6或3，5或4，4． 相加得10的两个整数可能为：1，9或2，8或3，7或4，6或5，5． 相加得12的两个整数可能为：1，11或2，10或3，9或4，8或5，7或6，6． 设这四个数分别为，其中，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到， ，， （1）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （2）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； （3）当时，， 此时，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 或，符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，不符合这4个数都能取到； 或，不符合每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这4个数都能取到； 故这四个数为：或或， ∴卡片上的数最小可以是1，①正确； 卡片上的数最大是可以是8，②错误； 卡片上的数不可以是4个连续的整数，③错误； 卡片上的数有且仅有2个数相等，④正确； 故答案为：①④． 解答题 64．下面是几组关于“相反意义的量”的示例描述． Ⅰ．运进100吨． ①前进10米． Ⅱ．下降2℃． ②上升1℃． Ⅲ．后退10米． ③运出50吨． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： I—________，Ⅱ—_______，Ⅲ—________； (2)若“”表示增加20%，则“”表示________． 【答案】(1) Ⅰ—③，Ⅱ—②，Ⅲ—① (2) 减少 【分析】（1）根据相反意义的量解答； （2）若表示增加，可知表示减少解答即可． 【详解】（1）解：运进100吨和运出50吨，下降和上升，后退10米和前进10米是关于“相反意义的量”，即I，II，III； （2）解：若表示增加，则表示减少． 65．把下列各数对应序号填在相应的集合中： ；；；；；；；；；（是循环节）． 正有理数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 【答案】；；． 【分析】根据正有理数、负分数、非负整数的定义，逐一筛选给定的数即可完成分类． 【详解】解：正有理数集合{}； 负分数集合{}； 非负整数集合{}； 故答案为：；；． 66．完成以下问题 (1)化简下列各式： ①________；        ②________； ③________；        ④________； ⑤________；    ⑥________． (2)根据（1）回答：当前面有2024个负号时，化简后结果是多少？ (3)当前面有2025个负号时，化简后结果是多少？ 【答案】(1)①2；②；③；④3.5；⑤5；⑥ (2)5 (3)5 【分析】（1）根据相反数的定义求得题干中个数的值即可； （2）根据相反数的定义即可求得答案 ； （3）根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】（1）解:①原式； ②原式； ③原式； ④原式； ⑤原式； ⑥原式； （2）解：当前面有个负号时，化简后结果是； （3）解：当前面有个负号时，化简后结果是. 67．在数轴上有A、B、C、D四个点，A点表示的数为，B点表示的数为，点C、点D的位置如图所示． (1)在数轴上分别画出点A、点B． (2)点C表示的数是_________，点D表示的数是_________． (3)将A、B、C、D所表示的数按从小到大的顺序排列：_________． 【答案】(1) (2), (3) 【详解】（1）略； （2）解：点表示的数是， 点表示的数是． （3）解：从小到大的顺序为． 68．阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 【答案】(1)或2025 (2)有最大值3，此时x的值为2，理由如下： 因为， 所以当时，取得最大值， 所以令，解得， 所以代数式的最大值为3，此时x的值为2； (3)小，2 【分析】（1）根据绝对值的几何意义求解； （2）根据绝对值的非负性求解； （3）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数1的对应点之间的距离为2024， ∴或2025； （2）略 （3）解：∵表示数轴上数与数1和数3的对应点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，即1和3之间的距离，即2． 69．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 【答案】(1) (2)①；②秒，相遇点为；③或 【分析】（1）由数轴上两点之间距离的表示方法求解即可； （2）①由题意表示出点表示的数，代入计算即可；②由相向而行的行程问题公式列式求解即可得到点相遇的时间，再由相遇时间计算点（或点）运动距离即可得出相遇点表示的数；③根据题意，分两种情况，由行程问题的公式列式计算即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， ； （2）解：①设运动时间为秒， 由题意可得，点表示的数为；点表示的数为， 当时，；， 则点表示的数分别为； ②由题意可知，点相向而行，则相遇时所花时间为（秒）； 方法一：若以点来计算，相遇点在点右侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； 方法二：若以点来计算，相遇点在点左侧，相遇时点运动了个单位长度，则相遇点表示的数为； ③根据题意，两点相距个单位长度有两种情况： 相遇前，两点合走个单位长度，用时（秒）； 相遇后，两点合走个单位长度，用时（秒）； 综上所述，运动时间的值为或． 70．【问题背景】 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏． 每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果按如下方式进行移动． 若都对或都错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位； 若甲对乙错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向正半轴方向移动个单位； 若甲错乙对，则甲向负半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位． 注：每次移动均从上一次移动结束的位置开始． 前三次游戏如表： 第一次 第二次 第三次 … 甲乙都对 甲对乙错 甲错乙对 … 【问题解决】 (1)从如图所示的位置开始，分别求第一次游戏后甲、乙两人在数轴上的位置所表示的数； (2)从如图所示的位置开始，从前三次游戏看，第几次游戏后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图位置开始进行游戏，请求出共进行了多少次移动游戏，甲与乙的位置会相距个单位？ 【答案】(1)， (2)第二次游戏后甲离原点最近，离原点距离为 (3)次或次 【分析】（1）根据“甲乙都对”的移动规则，在初始位置基础上分别加减移动量，算出移动后甲乙对应的数轴数； （2）按表格顺序逐次算出每次游戏后甲的位置，计算各位置到原点的距离，对比找出最小值； （3）先求出初始距离，根据题意可知每轮距离都减少，分间距减少个和个单位两种情况计算游戏次数． 【详解】（1）解：根据题意可知，第一次甲乙都对， 则甲的位置为，乙的位置为． （2）解：据（1）可知，第一次游戏后，甲的位置为，离原点距离为， 第二次游戏，甲对乙错，甲的位置为，离原点距离为， 第三次游戏，甲错乙对，甲的位置为，离原点距离为， 可知第二次游戏后甲离原点最近，离原点距离为． （3）解：据题可知， 甲乙两人最初相距个单位，甲乙同时答对或答错，距离减少个单位，甲乙一对一错，距离同样减少个单位， 当两人相距个单位时，间距需要减少个或个单位， ，， 故共进行了次或次游戏，甲与乙的位置会相距个单位． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01有理数期中复习讲义 1.有理数相关概念：理解正数、负数的意义，会用正负数表示具有相反意义的量；掌握有理数定义，能够对有理数进行分类；认识数轴，掌握数轴三要素，会画数轴，能在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数大小。 2.相反数、绝对值、倒数：掌握相反数概念，会求一个数的相反数，理解互为相反数两数在数轴上的位置特点；理解绝对值的几何意义与代数意义，会求任意有理数的绝对值，会根据绝对值求原数；掌握倒数定义，会求非零数的倒数，明确 0 没有倒数。 3.有理数大小比较：能借助数轴比较数的大小；掌握负数比较大小的方法：两个负数，绝对值大的反而小，能直接比较多个有理数的大小。 4.有理数四则运算：熟练掌握有理数加、减、乘、除运算法则；理解加法、乘法的交换律、结合律、分配律，会运用运算律简化计算；掌握减法转化为加法、除法转化为乘法的转化思想，规范运算步骤。 5.有理数乘方：理解乘方、底数、指数、幂的含义；掌握乘方运算符号法则，能区分(-a)n与-an；会进行乘方基础计算。 6.有理数混合运算：牢记运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左向右；有括号先算括号内，熟练完成含有乘方的综合运算。 7.科学记数法、近似数：会用科学记数法表示大数，也能把科学记数法还原成原数；理解近似数与精确度，能判断近似数精确到哪一位。 8.易错点辨析：负数的绝对值化简容易出错；区分相反数、倒数两个概念；负数参与加减乘除、乘方计算时符号容易出错；运算律使用时漏乘；科学记数法指数确定失误。 题型 考察方向 难度 题型一 正负数的定义 ★ 题型二 相反意义的量 ★★ 题型三 正负数的实际应用 ★★ 题型四 有理数的定义与分类 ★ 题型五 数轴的三要素及其画法 ★ 题型六 用数轴上的点表示有理数 ★ 题型七 利用数轴比较有理数的大小 ★★ 题型八 数轴上两点之间的距离 ★★★ 题型九 数轴上点的平移 ★★★★ 题型十 数轴上找原点 ★★★ 题型十一 数轴上整点覆盖问题 ★★★ 题型十二 数轴上的规律探究 ★★★★ 题型十三 相反数的定义与应用 ★ 题型十四 化简多重符号 ★★ 题型十五 绝对值的几何意义 ★★ 题型十六 求一个数的绝对值 ★★★★ 题型十七 绝对值非负性 ★★★ 题型十八 绝对值的其他应用 ★★★ 题型十九 有理数大小比较 ★★ 题型二十 有理数大小比较的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:基础核心概念 1. 正数 定义：像3、0.5、、+7这样大于 0的数叫做正数。 书写规则：正数前面的 “+”（正号）可以省略不写，如+5可直接写作5。 读法：+5读作 “正五”，省略正号的5直接读 “五”。 2. 负数 定义：在正数前面添上符号 “-”（负号）得到的数叫做负数，如-3、-0.2。 书写规则：负数前面的 “-”绝对不能省略，省略后就变成正数。 读法：-6读作 “负六”，不能读作 “减六”。 3. 数字 0（本节重中之重，易考填空） (1)0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界； (2)0不只有 “没有” 一层含义，还可表示基准、标准： 温度0C：水结冰的标准温度，不是没有温度； 海拔0米：海平面的基准高度，不是没有高度。 4.概念区分对比表 类别 与 0 的大小关系 符号特点 举例 正数 大于 0 可带+，+可省略 2、+1.5、 0 等于 0 无正负号 0 负数 小于 0 必须带-，不可省略 -4、-0.8、- 知识点02:核心应用：用正负数表示相反意义的量 1. 判定标准 两个量必须同时满足两点，才能用正负区分： 意义相反；② 具有同类数量。 例：上升与下降、收入与支出、向东与向西、零上与零下，均为相反意义的量； “上升 5 米” 和 “支出 20 元” 不属于同类量，不能用正负表示。 2. 使用规则 (1)先人为规定其中一种意义的量为正，则与之相反意义的量为负； (2)规定具有灵活性，题目未固定时可自主设定，结果不唯一； (3)书写必须带单位，不能只写数字。 3.常见相反意义量分类表（考试高频素材） 正向规定 对应负向 生活实例 零上温度 零下温度 零上8C记作+8C，零下3C记作-3C 收入、盈利 支出、亏损 收入 300 元记作+300元，支出 120 元记作-120元 上升、增加 下降、减少 水位上升 0.6m 记作+0.6m，水位下降 0.4m 记作-0.4m 向东、向北 向西、向南 向东走 10km 记作+10km，向西走 5km 记作-5km 高于海平面 低于海平面 山峰海拔 + 600m，盆地海拔 - 150m 知识点03:数的分类 层级 1：本节课基础分类（按正负划分，课堂必考） 现阶段学习的数字，以 0 为界分为三类： 正数：所有大于 0 的数，包含正整数、正分数（有限小数、无限循环小数）； 0：单独一类，无正负属性； 负数：所有小于 0 的数，包含负整数、负分数（负有限小数、负无限循环小数）。 ⚠关键提醒 (1)0 不能放入正数集合、负数集合； (2)小数、分数同样分正负，不只有整数有正负； (3)π 这类无限不循环小数，本节课不参与分类。 层级 2：延伸分类 1. 有理数整体划分 有理数分为两大类：整数、分数 (1）整数：正整数、0、负整数； (2）分数：正分数、负分数（有限小数、无限循环小数都属于分数）。 2. 两种分类标准对比表 分类标准 细分种类 包含数字类型 按正负划分（本节课重点） 正数、0、负数 正数：正整数、正分数 负数：负整数、负分数 按整数 / 分数划分（下一节） 整数、分数 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数 层级 3：集合归类大题完整解题模板（考试标准题型） 例题：把下列各数填入对应集合： -7，+0.8，0，，-2.5，18，-，3.14 正数集合：{+0.8，，18，3.14，…} 负数集合：{-7，-2.5，-，…} 整数集合：{-7，0，18，…} 分数集合：{+0.8，1/4，-2.5，-，3.14，…} 阅卷得分要点 (1)有限小数、循环小数都属于分数，分类不能漏掉； (2)集合末尾必须写省略号 “…”，代表集合内有无数符合条件的数； (3)0 只属于整数集合，不能放进正数、负数集合； (4)同一个数字可以同时属于多个集合，例如 18，既是正数也是整数。 知识点04：数轴的定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向、单位长度称为数轴三要素，三者缺一不可。 1. 三要素详解 原点：在直线上任取一点，表示数字 0；原点是正数、负数的分界点。 正方向：一般规定直线向右为正方向，画上箭头；向左为负方向，无箭头。 单位长度：选取适当长度作为统一标准，原点左右每隔相同长度代表 1 个单位；同一数轴单位长度必须一致。 2.画数轴标准步骤 ① 画一条水平直线； ② 在直线中间标出原点，标注数字 0； ③ 向右画出箭头，规定正方向； ④ 从原点向左、右截取相等线段，依次标注整数：(..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..)。 3. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 4. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点05数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点06:利用数轴比较有理数大小（核心应用） 基本规律：数轴上右边的数总大于左边的数。 大小关系推论： 正数＞0，负数＜0； 正数一定大于负数； 多个数比较：从左到右依次从小到大排列。 知识点07:相反数两层定义 1.代数定义 只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。 关键词：仅符号不同，数字部分完全相同；单独一个数不能叫相反数，必须成对出现。 例：5 和 - 5 互为相反数；与-互为相反数。 2.几何定义（数轴视角） 在数轴上，分别位于原点左右两侧，且到原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。 特征：两点关于原点对称；0 对应原点，没有另一侧对称点。 特殊规定 0 的相反数是 0（唯一相反数等于自身的数）。 知识点08:求任意数相反数通用方法 数字前加负号：数a的相反数记作-a。 正数：7的相反数-7 负数：-2.6的相反数-(-2.6)=2.6 字母：x相反数-x；m-n相反数-(m-n) 带括号、分数、小数整体求相反数，必须给整个式子加括号再添负号。 知识点09:多重符号化简法则（核心考点） 原理：负号表示取相反数，连续多个负号依次抵消 口诀：奇负偶正 1.数式子中负号总个数； 2.负号个数为奇数，最终结果为负； 3.负号个数为偶数，最终结果为正； 4.正号可直接全部去掉，不改变符号。 示例： -[-(+9)]：2 个负号→偶数→9 -[-(-4)]：3 个负号→奇数→-4 知识点10:相反数核心等价性质 1.若a、b互为相反数⇔ a+b=0； 2.互为相反数的两个数绝对值相等：|a|=|-a|； 3.若a0，互为相反数两数商为-1：=-1； 4.数轴上互为相反数两点到原点距离相等。 知识点11:绝对值双重定义 1.几何定义（本质） 数轴上表示数a的点与原点之间的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|。 关键点：距离不存在负数，因此绝对值结果一定0（非负性）。 2.代数化简定义（分段法则，去绝对值核心） 知识点12:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 题型一、正负数的定义 1．在，，，，这些数中，负数有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ． 3．如果，那么_________(用“”或“”填空) 题型二、相反意义的量 4．在标准大气压下，甲醇的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作______． 5．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作元，那么支出80元可表示为____． 6．下列不是具有相反意义的一对量是（    ） A．向东和向北 B．上升和下降 C．盈利100元和亏损50元 D．零上6℃和零下2℃ 题型三、正负数的实际应用 7．在体育课上的1分钟跳绳比赛中，以每分钟145个为标准，小明跳了140个，记作个，若小红比小明多跳了10个，则可记作（     ）个． A． B． C．0 D． 8．一种零件的长度在图纸上是毫米，表示这种零件的标准尺寸是_______毫米，加工要求最大不超过________毫米，最小不小于_________毫米. 9．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四、有理数的定义与分类 10．下列说法正确的是（     ） A．一个有理数不是整数就是分数 B．正数和负数统称有理数 C．1是最小的正数，最大的负数是 D．3.14不是分数 11．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 12．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛___________｝…； 正整数集合：｛___________｝…； 分数集合：｛___________｝… 题型五、数轴的三要素及其画法 13．规定了__________、正方向和单位长度的__________叫做数轴． 14．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 15．四位同学画的数轴如下，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型六、用数轴上的点表示有理数 16．如图，在数轴上点P的位置表示的数可能是（     ） A． B．1.6 C．2.3 D． 17．直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 18．如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D． 题型七、利用数轴比较有理数的大小 19．有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则数m，n，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 20．已知：a，b，c三个数在同一条数轴上的位置如图所示，给出以下4个式子：①；② ；③；④，其中错误的结论是_______（填序号） 21．数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型八、数轴上两点之间的距离 22．数轴上表示和的点分别是和，则、两点间的距离是（     ） A． B． C． D． 23．将一把刻度尺按如图所示放在数轴上，刻度尺上的0和8分别对应着数轴上的和x，则x的值是________． 24．如图，将一刻度尺放在数轴上，刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和，若刻度尺上“”对应数轴上的3，那么的值为__________． 题型九、数轴上点的平移 25．点A为数轴上的一点，动点M从点A出发沿数轴正方向移动2个单位长度到达点B．若点B到原点的距离为5个单位长度，则点A表示的数是___________． 26．如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 27．如图，数轴上点对应的数为5，点对应的数为，点、分别从原点、同时出发，分别以、的速度沿数轴负方向运动（在、之间，在、之间），运动时间为，点为、之间一点，且，若、运动过程中的值固定不变，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型十、数轴上找原点 28．如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（ ） A．位于线段上，且靠近点 B．位于线段上，且靠近点 C．位于线段上，且靠近点 D．位于线段上，且靠近点 29．如图，数轴上的点A，B表示的数分别为a，b，点C与A，B两点的距离相等．若且，则原点的位置在（　　） A．点A左侧 B．点A与点C之间 C．点C与点B之间 D．点B右侧 30．如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且，数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型十一、数轴上整点覆盖问题 31．如图小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有（     ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 32．数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 33．如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 题型十二、数轴上的规律探究 34．如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 35．电子跳蚤从数轴上表示的点出发，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，第次向右跳个单位长度，第次向左跳个单位长度，，按此规律，跳完第次后，它落在数轴上表示的数是______． 36．正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2……按此规律继续翻转下去，数轴上数2029所对应的顶点是（     ） A．点A B．点B C．点C D．点D 题型十三、相反数的定义与应用 37．下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 38．已知互为相反数，则______． 39．下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有__． 40．下列说法中正确的有（　　） ①和互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④的相反数是；⑤一个数和它的相反数不可能相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个或更多 41．下面说法正确个数的是（　　） ①π的相反数是3.14；②互为相反数的两个数的绝对值的和为0；③﹣（﹣4）的相反数是4；④互为相反数的两个数的商一定是﹣1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十四、化简多重符号 42．化简的结果是（     ）． A． B．20 C． D．40 43．下列各式的化简，错误的是（     ） A． B． C． D． 44．的相反数（　　　） A． B． C． D． 题型十五、绝对值的几何意义 45．下列各数在数轴上对应的点离原点最近的数是（   ） A． B． C．1 D．2 46．点P、Q、M、N在数轴上的位置如图所示，则所表示的数的绝对值最大的是（    ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 47．若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 题型十六、求一个数的绝对值 48．已知，则的绝对值为（   ） A． B．1 C．a D． 49．如果m是负数，且，那么______． 50．的值是（   ） A．2025 B． C． D． 51．已知，，且，则的值是（    ） A．-8 B．-2 C．-2或-8 D．2或-8 题型十七、绝对值非负性 52．已知x，y为有理数，且，则的值为（ ） A． B． C． D．3 53．如果+=0，那么______，_________ 54．若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 题型十八、绝对值的其他应用 55．采摘园的工人将草莓分装成四筐，每筐草莓以4千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录数据如下，则最接近标准质量的是（     ） A． B． C．D． 56．已知 是正实数，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 57．对一个正整数，若将其各数位上的数字两两作差后取绝对值，再从大到小排列，得到一个新数，则称是的“绝对数”．如，将其各个数位上的数字两两作差，再取绝对值，分别为，那么的“绝对数”就等于．则的“绝对数”为______；若一个三位正整数的“绝对数”为，则满足条件的所有中最大值为______． 题型十九、有理数大小比较 58．下列四个数中，最小的数是（     ） A．5 B． C． D．0 59．比较有理数的大小，下列结果正确的是（     ） A． B． C． D． 60．设表示大于的最小整数，如，则下列结论中正确的是______．（写出所有正确结论的序号） ①；②；③的最大值是；④；⑤不存在有理数使成立． 题型二十、有理数大小比较的实际应用 61．凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列选项中凝固点最低的是（     ） A．铝 B．酒精 C．水银 D．水 62．在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（     ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 63．小丽在4张同样的卡片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是6，8，10，12中的一个数，并且这四个数都能取到．在下列四个结论中： ①卡片上的数最小可以是1； ②卡片上的数最大可以是10； ③卡片上的数可以是4个连续的整数； ④卡片上的数有且仅有2个数相等． 其中所有正确结论的序号是______． 解答题 64．下面是几组关于“相反意义的量”的示例描述． Ⅰ．运进100吨． ①前进10米． Ⅱ．下降2℃． ②上升1℃． Ⅲ．后退10米． ③运出50吨． (1)将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： I—________，Ⅱ—_______，Ⅲ—________； (2)若“”表示增加20%，则“”表示________． 65．把下列各数对应序号填在相应的集合中： ；；；；；；；；；（是循环节）． 正有理数集合{ }； 负分数集合{ }； 非负整数集合{ }． 66．完成以下问题 (1)化简下列各式： ①________；        ②________； ③________；        ④________； ⑤________；    ⑥________． (2)根据（1）回答：当前面有2024个负号时，化简后结果是多少？ (3)当前面有2025个负号时，化简后结果是多少？ 67．在数轴上有A、B、C、D四个点，A点表示的数为，B点表示的数为，点C、点D的位置如图所示． (1)在数轴上分别画出点A、点B． (2)点C表示的数是_________，点D表示的数是_________． (3)将A、B、C、D所表示的数按从小到大的顺序排列：_________． 68．阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 69．如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)求两点间的距离； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动．设运动时间为秒． ①当时，求点表示的数； ②求点相遇的时间及相遇点表示的数； ③当点之间的距离为个单位长度时，求运动时间的值． 70．【问题背景】 如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和的位置上，沿数轴做移动游戏． 每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果按如下方式进行移动． 若都对或都错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位； 若甲对乙错，则甲向正半轴方向移动个单位，同时乙向正半轴方向移动个单位； 若甲错乙对，则甲向负半轴方向移动个单位，同时乙向负半轴方向移动个单位． 注：每次移动均从上一次移动结束的位置开始． 前三次游戏如表： 第一次 第二次 第三次 … 甲乙都对 甲对乙错 甲错乙对 … 【问题解决】 (1)从如图所示的位置开始，分别求第一次游戏后甲、乙两人在数轴上的位置所表示的数； (2)从如图所示的位置开始，从前三次游戏看，第几次游戏后甲离原点最近，离原点距离多少？ (3)从如图位置开始进行游戏，请求出共进行了多少次移动游戏，甲与乙的位置会相距个单位？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $