专题01 有理数（期中复习讲义）七年级数学上学期新教材人教版

专题01 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的分类 考点二 数轴 考点三 相反数 考点四 绝对值 考点五 有理数的大小比较 05 重难题型突破 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 0的意义 题型四 有理数的分类 题型五 带“非”字的有理数 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的移动 题型十 数轴上的规律探究 题型十一 相反数的定义 题型十二 化简多重符号 题型十三 绝对值的几何意义 题型十四 绝对值的非负性 题型十五 数轴动点问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 有理数”在期中考试中占据约25%～35%的分值，是整张试卷“基础分”的核心来源；命题紧扣负数引入、数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较五大主干，强调从“算术数”到“符号数”的思维跨越，重点考查数形结合（数轴三要素、两点距离公式）、分类讨论（含字母绝对值化简、已知距离求双解）以及绝对值非负性；学生失分多集中在“带负号就当负数”“两个负数比较大小搞反”“绝对值字母化简不分类”“已知距离漏解”等思维惯性上。 本章集中考正负数表示相反意义的量、有理数分类（/非负整数/非正数等边界）、数轴三要素与点的平移/距离、相反数与多重符号、绝对值的代数+几何意义、两个负数比较大小；命题上明显更重数形结合（由数轴位置判断，，，正负）、分类讨论（双解、含字母绝对值化简、绝对值非负性求参）和生活/文化情境（手机账单、海拔温度、达标误差、正负术、密码锁、格子图运动），学生丢分主要在“带负号就当负数”“0归类错”“两个负数比大小搞反”“数轴距离不取绝对值/已知距离漏左右两解”“字母绝对值不先问正负”，因此复习要把“负数直觉—数轴直观—绝对值距离感—大小比较规则”串成一条线，复习时应优先攻克概念辨析与数形转化，确保基础题零失误，再适度挑战数轴动点与式子正负判断等中档综合题。 识记 ①能说出正数、负数、整数、分数、有理数的定义，会把给定的数正确归入相应的集合内，会识别边界词（非负数、非正数、非负整数、非正整数）； ②能按照数轴三要素（原点、正方向、单位长度）正确画出数轴，并在数轴上表示出各数； ③能说出相反数、绝对值、倒数的定义，以及符号表示； ④能利用数轴比较大小，能利用绝对值比较负数的大小。 理解 ①理解不是只表示“什么也没有”，它是正数与负数的分界，可以表示特定的意义； ②理解正负数本质是给现实里的“盈/亏、零上/零下、向东/向西”贴符号； ③理解相反数考的是“只有符号不同”，不是“前面带负号”，"" 可以是正、可以是负、可以是0，字母一进来就不能再看表面符号； ④绝对值要双视角：几何上是距离（所以恒非负），代数上是分段，见到含字母绝对值先判内部正负再去符号； ⑤理解两个负数比大小是思维拐点：小学“数大就大”，这里离原点越远反而越小，本质是先把负数转成正数比绝对值，再反向判断。 应用 ①能解决数轴上点的平移与距离问题； ②能结合数轴化简含绝对值的式子； ③能利用绝对值的非负性、绝对值的几何意义进行解题。 考点一 有理数的分类 ⚠️概念辨析 （1）按定义分 （2）按正负分 ⚠️避坑指南 易混点 正/误 反例/说明 带“”号的就是负数 错误 是正数，当是正数 不带“”号的数就是负数 错误 0既没有“”号，也没有“”号，但不是负数 0是正数 错误 0既不是正数，也不是负数 0是整数 正确 0是整数，也是有理数 是有理数 错误 无限不循环小数，不是有理数 3.1415926是有理数 正确 有限小数是有理数 是有理数 正确 无限循环小数是有理数 10%是分数 正确 百分数属于分数 ⚠️记忆要诀 （1）的四大作用 作用 举例与说明 表示数的性质 0是有理数、整数、自然数 表示没有 加油50L记作+50L，不加油不消耗即为0 表示某种客观状态 0℃表示冰水混合物的冰点 正负数的分界 0是正数与负数的分界点 （2）边界词辨析 词汇 包含哪些 易错 非负整数 正整数和0 漏掉0 非正整数 负整数和0 漏掉0 非负数 正数和0 不是正整数 非正数 负数和0 不是负整数 不小于0 大于等于0 漏掉0 不大于0 小于等于0 漏掉0 考点二 数轴 ⚠️概念辨析 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 三要素缺一不可：原点、正方向和单位长度 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数 ⚠️核心关系 结论 公式/说明 点在原点右侧 点在原点左侧 、两点之间的距离 点向右平移个单位 点向左平移个单位 ⚠️易混易错 易混点 正/误 反例/说明 数轴上的点都是有理数 错误 也能在数轴上表示，但不是有理数 有理数都能在数轴上表示 正确 每个有理数都有唯一一个对应点与之对应 原点左边的数都是负数 正确 原点左侧的数都小于0 距离原点3个单位的数只有3 错误 还有，原点左侧和右侧各有一个 考点三 相反数 ⚠️概念辨析 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 ⚠️记忆口诀 多重符号的化简：偶正奇负 数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负。 ⚠️易混易错 易混点 正/误 反例/说明 是负数 错误 时，是正数 相反数等于本身的数只有0 正确 只有0的相反数是其本身 一个数的相反数一定比本身小 错误 负数的相反数大于本身 考点四 绝对值 ⚠️概念辨析 （1） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，数a的绝对值记作， （2） 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 考点五 有理数的大小比较 ⚠️记忆口诀 （1） 数轴法：数轴上，右边的数比左边的数大； （2） 法则法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （3） 绝对值比较法：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； （4） 作差法：若，则；若，则；若，则； （5） 中间量法。 题型一 正负数的定义 典例1 （26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）下列各数中为负数的是（     ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：是负数，是正数，既不是正数，也不是负数. 💡破题要诀 大于0的数为正数，小于0的数为负数，既不是正数，也不是负数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）在，2，，0，0.0123中，负数有（     ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：和是负数，故有2个． 2．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）在，0，，，中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，是负数，故有2个． 3．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）在，0，3，这四个数中，正数是（     ） A． B．0 C．3 D． 【答案】C 【分析】依据正数的定义，判断四个数中大于0的数． 【详解】解：，，都是负数； 既不是正数也不是负数； ，是正数． 题型二 相反意义的量 典例1 （26-27七年级上·河南周口·阶段检测）不具有相反意义的量是（     ） A．商场运进雪碧100箱，卖出80箱 B．妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元 C．5000个产品中有20个不合格产品 D．新疆白天气温零上，晚上的气温零下 【答案】C 【详解】解：A、运进和卖出具有相反意义，不符合题意； B、收入和生活所用具有相反意义，不符合题意； C、总数5000个、不合格20个，只是同一批产品里总数和次品数量，不具有相反意义，符合题意； D、零上和零下具有相反意义，不符合题意． 💡破题要诀 ① 找基准：谁被当成“标准量/0点”（标准身高、海平面、0时、约定方向、标准质量） ② 定正方向：题干说“上升/盈利/向东/收入”哪个为正（没明说就自己约定，但必须说明） ③ 翻相反方向为负：下降/亏损/向西/支出 → 统统带负号 ④ 数值=偏离基准的量，带符号写出。 迁移应用 1．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）在《九章算术》的“正负术”中，人们已经会用相反意义的量表示盈亏．若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作（     ）元 A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作元． 2．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示是某用户微信支付情况，表示的意思是（    ） A．发出红包100元 B．收入100元 C．余额100元 D．拍到100元红包 【答案】A 【详解】解：表示的意思是发出100元红包． 3．（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）如果增产吨，记作吨，那么吨表示_____． 【答案】减产吨 【详解】解：增产吨，记作吨，那么吨表示减产吨． 题型三 0的意义 典例1 （25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 【答案】C 【分析】本题考查正负数的基本概念，的意义，根据正负数的定义，0既不是正数也不是负数. 【详解】解：∵正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数， ∴选项C正确. 故选：C． 💡破题要诀 0是整数，是自然数，是有理数，是非负数，是非整数，既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，相反数等于本身的唯一数，温度 0℃不是没有温度，是冰水混合的刻度基准，海拔 0 m不是没有高度。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）体育课上，全班男同学进行了100米测验，合格成绩为15秒，下表是某小组10名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒．这个小组男生的合格率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图表及正负数的意义，分析出成绩合格的人数，再求合格率． 【详解】解：∵“”表示成绩大于15秒，即成绩记录大于0时不合格． ∴成绩记录小于等于0时为合格．合格的成绩有，，，，，，共6人． ∴合格率为． 2．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）下列说法中正确的是（     ） A．一个正数的前面加上负号就是负数 B．不是正数的数一定是负数 C．表示没有温度 D．数7没有符号 【答案】A 【详解】解：A、∵正数大于，前面加负号后小于，即为负数，∴原说法正确； B、∵不是正数的数包括和负数，∴原说法错误； C、∵是具体的温度值，∴原说法错误； D、∵数的符号为正号（通常省略），∴原说法错误. 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法：①0既不是正数，也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤非正整数是有理数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①既不是正数，也不是负数，说法正确； ②整数包括正整数、和负整数，原说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，原说法错误； ④负整数小于，不是最小的整数，原说法错误； ⑤非正整数包括和负整数，均属于整数，是有理数，说法正确； ∴正确的有①⑤，共个． 题型四 有理数的分类 典例1 （26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）下列各数：，其中有理数有_____个． 【答案】 【分析】根据有理数的定义依次进行判断即可． 【详解】解：题中各数，有理数为，共有个． 💡破题要诀 分类先定"尺子"，再防"边界" 要诀一：两种"尺子"分开用，不混搭 要诀二：分数 = 有限小数 + 无限循环小数 要诀三：0 的归属 迁移应用 1．（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①；②；③；④；⑤0；⑥，⑦；⑧，⑨． 整数集{________…}；非负数集{________…}；负有理数集{________…}． 【答案】 ①，④，⑤ ②，④，⑤，⑨ ①，③，⑥，⑦，⑧ 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】解：整数集{①，④，⑤…}； 非负数集{②，④，⑤，⑨…}； 负有理数集{①，③，⑥，⑦，⑧…}． 2．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，，，，， 整数集合：{______________________…}； 负数集合：{______________________…}； 正分数集合：{______________________…}． 【答案】，，；，，，；，， 【分析】负数是小于0的数，正分数是大于0的分数，再结合整数的定义求解即可． 【详解】解：整数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，，…}； 正分数集合：{，，，…}． 3．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）把下列各数对应的序号填在相应的括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正有理数：（　　　　　） 非负整数：（　　　　　） 负分数：（　　　　　） 整数：（　　　　　） 【答案】正有理数：①③⑧⑨ 非负整数：①⑥ 负分数：④⑤⑦ 整数：①②⑥ 【分析】正有理数包含正分数和正整数； 非负整数包含0和正整数； 百分数、有限小数、无限循环小数都可以化为分数； 整数包括正整数，0，负整数． 【详解】略 题型五 带“非”字的有理数 典例1 （26-27七年级上·全国·单元复习）在，0，0.3，，，，中，非负有理数有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】需明确非负有理数包含0和正有理数，且是无限不循环小数，不是有理数，据此筛选计数即可． 【详解】解：非负有理数包括0和正有理数， ，，均为负有理数，不符合要求， ∵是无限不循环小数，不是有理数， ∴不是有理数，不符合要求， ，，均为非负有理数，符合要求， ∴符合条件的数共3个． 💡破题要诀 迁移应用 1．（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）在中，非负整数有__________个． 【答案】3 【详解】解：非负整数为，有3个． 2．（25-26七年级上·陕西安康·阶段检测）在，0，，6这四个有理数中，非负数有___________个． 【答案】 【分析】根据非负数的定义，逐一判断给定的四个有理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：非负数指大于或等于的数，在，，，， 这四个数中，，是负数， ，是非负数， ，是负数， ，是非负数， 因此非负数共有个． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 【答案】13 【分析】本题考查了正整数、有理数、非正数的概念辨析，解题的关键是准确把握各类数的定义并逐一筛选判断． 先明确正整数是大于0的整数，有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，非正数是小于或等于0的数；再对所给数字逐一分析归类，分别确定a、b、c的值，最后计算的结果． 【详解】解： 正整数：、、，共3个，故； 有理数：、、、、、、0，共7个（为无理数，排除），故； 非正数：、、0，共3个，故； 则． 故答案为：． 题型六 用数轴上的点表示有理数 典例1 （26-27七年级上·北京东城·阶段检测）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上墨水遮盖的位置确定数的取值范围，再判断各选项是否在该范围内． 【详解】解：由数轴可知，被墨水遮盖的数在与之间， ，，， 选项A、B、D均不符合题意； ，且， 选项C符合题意． 💡破题要诀 在数轴上找有理数对应的点的步骤 1. 判符号 → 正向右、负向左 2. 取绝对值 → 确定离原点几个单位 3. 定位置 → 整数直接落刻度；分数/小数按比例分格 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，为数轴的原点，若点A表示2，则点B表示（     ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】解：点A表示2，则点B表示. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由数轴知，点在点的左边， ∴点表示的数是． 3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，数轴上被阴影盖住的点表示的分数可能是________．（写出一个即可） 【答案】.答案不唯一，是负分数即可） 【分析】本题考查了数轴的定义，根据数轴上该点所对应的数的取值范围，写出一个符合条件的数即可．该点在原点左侧，写出一个负分数即可． 【详解】解：由数轴可知，阴影遮挡住的点表示的数小于0，要求是分数，因此负分数都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）． 题型七 利用数轴比较大小 典例1 （26-27七年级上·河北保定·阶段检测）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来： ，，，，，． 【答案】数轴如下： ， 【分析】在数轴上表示各数，再结合数轴上右边的数总是大于左边的数求解即可． 【详解】略 💡破题要诀 通用解题三步法 1. 全部画到数轴上（先标原点、单位） 2. 从左到右依次读出各点（左小右大） 3. 用"<"连接（从小到大）或用">"连接（从大到小） 迁移应用 1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）在数轴上画出表示、2、、，0这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”把这些数连接起来． 【答案】， 【详解】略 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上表示下列各数：0，1.5，，，，并将这些数用“”号连接． 【答案】如图： 【详解】略 3．（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 【答案】(1)如图，原点即为所求． (2) 【分析】（1）已知点表示的数是，说明原点在点的右侧，与点的距离为个单位长度，同时点表示的数是，说明原点在点的左侧，与点的距离为个单位长度，在两个描述重合的刻度处标出原点即可． （2）先对各数进行化简，再将所有数在数轴上表示出来，按照数轴上自左向右从小到大的顺序用“”连接即可． 【详解】（1）略 （2）解：先对各数进行化简，，，，再将所有数在数轴上对应位置标注，从小到大的顺序排序为． 题型八 数轴上两点之间的距离 典例1 （26-27七年级上·安徽·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是________； (2)若数轴上一点与点的距离为3个单位长度，求点表示的数． 【答案】(1)；4 (2)点所表示的数为1或7 【分析】（1）根据点A表示的数即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）根据两点之间的距离分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：在数轴上标出原点略： 根据数轴可知点所表示的数是4． （2）解：∵点与点的距离为3个单位长度， 则当点在点的左侧时，点表示的数为； 当点在点的右侧时，点表示的数为， ∴点所表示的数为1或7． 💡破题要诀 数轴上点、点 的距离： 本质：两点坐标之差的绝对值（与顺序无关）。 迁移应用 1．（2026·河北廊坊·二模）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 2．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______． 【答案】3 【分析】根据数轴上两点间的距离定义，即两点所表示的数之差的绝对值，据此列式计算即可． 【详解】解：由图可知，点 A 表示的数为 2，点 B表示的数为．则点A、B之间的距离是． 3．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 【答案】(1)或2025 (2)有最大值3，此时x的值为2，理由如下： 因为， 所以当时，取得最大值， 所以令，解得， 所以代数式的最大值为3，此时x的值为2； (3)小，2 【分析】（1）根据绝对值的几何意义求解； （2）根据绝对值的非负性求解； （3）根据绝对值的几何意义求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数1的对应点之间的距离为2024， ∴或2025； （2）略 （3）解：∵表示数轴上数与数1和数3的对应点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，即1和3之间的距离，即2． 题型九 数轴上点的移动 典例1 （26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 💡破题要诀 数轴上点向右移动个单位，则为；向左移动个单位，则为。 迁移应用 1．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据数轴上点A对应的数为，结合平移性质可得答案． 【详解】解：由数轴知，点A对应的数为， 由平移性质，点向右移动4个单位长度得到点B，则点表示的数是2． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 3．（20-21六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】（1）根据各点在数轴上的位置即可得出结论； （2）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”,即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴可得，点A、B、C三点表示的数分别为3； 故答案为：3 （2）∵， ∴将点B向左移动3个单位长度后，点B所表示的数是． 故答案为：； （3）将点A向右平移个单位长度，点A所表示的数是，将点A向左平移个单位长度，点A所表示的数是． 故答案为：或． 题型十 数轴上的规律探究 典例1 （26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【分析】通过列举前几次翻转后数轴上的数与顶点的对应关系，归纳出循环规律. 【详解】解：由题意得，正六边形边长为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 翻转次后，数对应的点为， 由此可知，数轴上的数每个为一个循环周期， ∵， ∴数对应的点与数对应的点相同，即为点. 💡破题要诀 解题四步： 1. 找周期：算出几次移动为一个循环； 2. 求余数：总次数 ÷ 周期，得到商和余数； 3. 判断位置： - 余数=0 → 对应周期最后一个位置 - 余数≠0 → 对应周期里第「余数」个位置； 4. 算出数轴对应的数； 本质：余数定位，不用一步步枚举全部点。 迁移应用 1．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母_______________所对应的点重合． 【答案】 【分析】计算数轴上起始点与目标点之间的距离，根据圆周长为确定循环周期，结合圆向左滚动时圆周上点的接触顺序，利用余数确定最终重合的字母． 【详解】解：数轴上与之间的距离为． 圆的周长为，且等分， 每滚动个单位长度，圆周上的点循环一次． 由于圆向左滚动，由图可知，圆周上与数轴接触的点依次为， 用总距离除以周期长度，余数为对应，余数为对应，余数为对应，余数为对应． ， 余数为，对应的点为． 故数轴上的所对应的点将与圆周上字母所对应的点重合． 2．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形的边在数轴上，点、对应的数分别为和，且边．若长方形沿数轴正方向在数轴上顺时针翻滚，每次翻滚，第1次绕着点顺时针翻滚后，点落在数轴上，对应的数为；第次绕点顺时针翻滚；继续翻滚，则翻滚次后，此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是______． 【答案】 【分析】根据题意得出长方形的长和宽，计算出周长. 发现每翻滚次为一个循环，长方形向右移动一个周长的距离. 用除以求出循环次数和余数，根据余数确定最后贴着数轴的边及右端点的位置． 【详解】解：由题意可知，，， 四边形是长方形， 长方形的周长为 ， 观察翻滚过程可知，每翻滚次，长方形回到初始直立状态，且向右移动的距离等于周长6， ， 翻滚次相当于经历了个完整的循环后，又翻滚了次， 经过个循环后，长方形向右移动的总距离为 ，此时（第次翻滚后），长方形状态与初始状态相同，边在数轴上，右端点对应的数为 ， 第次翻滚（即第次）：绕点顺时针翻滚，边落在数轴上，右端点为，对应的数为 ， 第次翻滚（即第次）：绕点顺时针翻滚，边落在数轴上，右端点为，对应的数为 ， 故此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是． 3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)B (3)①三；② 【分析】（1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2026表示的点与点B重合； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 题型十一 相反数的定义 典例1 （湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数是． 💡破题要诀 只有符号不同的两个数互为相反数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 2．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与6 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：，故选项A错误； 与，互为相反数，故选项B正确； ，故选项C错误； ，故选项D错误． 3．（湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）若，则中最小的是_______． 【答案】 【分析】先想数轴上表示出，再比较大小即可． 【详解】解：如图， 由在数轴上的位置可知，， ∴中最小的是． 题型十二 化简多重符号 典例1 （26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴ 负分数有，，，共3个. 💡破题要诀 核心口诀：负号个数，奇负偶正。 只数式子里面负号“−”的数量，正号可以直接忽略。 1. 负号有偶数个 → 结果为正； 2. 负号有奇数个 → 结果为负； 简单做题步骤 1. 去掉所有“+”； 2. 数剩下一共有多少个负号； 3. 奇负偶正，写出结果。 迁移应用 1．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简：________． 【答案】 【详解】解：． 2．（26-27七年级上·广东珠海·阶段检测）化简：________． 【答案】 【详解】解：． 3．（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）＝______． 【答案】 【详解】解：． 题型十三 绝对值的几何意义 典例1 （2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数轴得：点A表示的数为，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：点A表示的数为， ∴点到原点的距离是3． 💡破题要诀 表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 迁移应用 1．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）若，则______． 【答案】 【详解】解：， ∴． 2．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）当_________时，有最小值_________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性可知，的最小值为，据此计算的值和式子的最小值． 【详解】∵任意实数的绝对值为非负数， ∴， ∴当时，取得最小值． 解方程，得， 此时， 即式子的最小值为． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 题型十四 绝对值的非负性 典例1 （23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和偶次方的非负性，代数式求值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，和为零则每项为零，可求出m和n的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 💡破题要诀 任何数的绝对值都大于或等于0，即为非负数，即； 若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须等于0。 迁移应用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 【答案】(1)，4 (2)4.5或9 (3)每秒个单位 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）由题意得，点P表示的数为，分别表示出、的长，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （3）利用两点间的距离求出，设，动点C，D运动的速度为，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧，分析可得；要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间，分析可得，联立方程即可求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：由题意得，点P表示的数为， ∴，， ∵， ∴， 解得或， ∴t的值为4.5或9； （3）解：， C，D为数轴上两个动点（点在点的左侧），它们的运动方向相同，速度相同， 长为定值， 设，动点C，D运动的速度为， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时需要满足、分别在两侧， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为3秒， ， 如图，要使为定值，只有当时，才为定值，此时、在之间， ， 令点从出发向右运动，直到运动到时，都为定值，此时点运动的距离为的长，即， 为定值的时长为8秒， ， 即， 解得， 点的速度为每秒个单位． 【点睛】本题考查了非负数的性质、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用、线段的和与差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，运用分类讨论的思想是解题的关键． 题型十五 数轴动点问题 典例1 （24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 【答案】(1)秒 (2)表示的数为18 (3)动点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）首先求出，，然后根据点P在段和段的速度求解即可； （2）求出，然后结合点B表示的数求解即可； （3）设秒后，根据题意分三种情况讨论，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：点表示，点表示， ∴，， 在段初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的一半， ∴在段速度为个单位长度/秒， ∴从点运动至点的时间为：（秒）； （2）解：∵的初始速度为个单位长度/秒，在段速度为初始速度的两倍， ∴在段速度为个单位长度/秒， 由（1）可得：在段运动时间为：（秒）， ∴， 点表示， ∴表示的数为：； （3）解：设秒后， ①当在上时， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴（秒）； ②当在上时， ， ∴， ， ∴， ∴（秒）， ③当在上时， 此时不可能等于16，不符合题意舍去． 综上：动点运动的时间为秒或秒． 💡破题要诀 1.数轴上动点问题五要素 （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远。 2.动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 3.数轴动点题的解题步骤 （1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； （2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； （3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； （4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 迁移应用 1．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则最小为______，这样的整点有______个； (3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，两点同时出发，运动时间为秒．是否存在，使得点是点、的“7格距点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)7 (2)5；6 (3)存在， 【分析】（1）根据新定义，结合两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式和绝对值的几何意义，得到当点在线段之间（包括两个端点）时，最小，即最小为之间的距离，即可得出结果； （3）根据新定义，结合两点间的距离公式，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是3， ∴当点表示的数是时， ∴； （2）解：∵； ∴当点在线段之间（包括两个端点）时，最小，即最小为之间的距离， ∴的最小值为， 此时整点有，共6个； （3）解：存在，由题意，，点表示的数为，点表示的数为， ∴， 当点是点、的“7格距点”时，则， 解得. 2．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和4．点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动；同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)A、B两点间的距离为________________； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)若点M在A、B两点之间（不含端点），且点M到点A的距离等于点M到点B的距离的3倍，求点M表示的数． 【答案】(1) (2)4；0 (3)1 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）用含t的式子表示出运动t秒时点P和点Q表示的数，再根据二者相遇时，点P与点Q表示的数相同建立方程求解即可； （3）设点M表示的数为m，根据两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，A、B两点间的距离为； （2）解：由题意得，运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点P与点Q相遇时，点P与点Q表示的数相同，则， 解得， 此时，即相遇点表示的数是0； （3）解：设点M表示的数为m， 由题意得，， 解得， ∴点M表示的数为1． 3．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是8，O为原点． (1)A，B两点之间的距离是________；若点C在点B的左侧，且到点B的距离为2，则点C表示的数是________； (2)已知动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当运动时间为5秒时，点P表示的数是多少？点P从点A运动到点B需要多少秒？ ②若动点P出发的同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①6，6秒；②秒或秒 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式求解即可； （2）①根据数轴上两点之间距离公式求解即可；②设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点Q表示的数为，再由数轴上两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数是，点B表示的数是8， ∴A，B两点之间的距离是； ∵点C在点B的左侧，且到点B的距离为2， ∴点C表示的数是 （2）解：①当运动时间为5秒时，点P表示的数是， 点P从点A运动到点B用时：； ②设运动时间为秒，则秒后点表示的数为，点Q表示的数为 由题意得， 解得或 ∴运动秒或秒时，P，Q两点之间的距离为3个单位长度． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·陕西安康·阶段检测）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确,符合题意． 2．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、原点左边按从左往右的顺序是，故画法错误； B、单位长度不统一，故画法错误； C、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故画法正确； D、正方向方向反了，故画法错误． 3．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）下列有理数大小比较，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：，故A错误， ， 故B错误， ，故C正确， ，故D错误． 4．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）在，，0，这四个数中，属于正有理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据有理数的分类判断即可． 【详解】解：和是负有理数，是正有理数，0既不是正有理数，也不是负有理数， 故选项B符合题意． 5．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）某机构检测个排球质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列选项中，最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出、、、的绝对值， 再比较绝对值大小，找出最小的即可得解． 【详解】解：，、、， ∵， ∴最接近标准质量的是，选项符合题意． 6．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．任何一个有理数的绝对值都是正数 C．0是最小的整数 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【详解】解：A. 有理数分为、正有理数和负有理数，故该选项不正确，不符合题意； B. 任何一个有理数的绝对值都是非负数，故该选项不正确，不符合题意； C. 0是最小的非负整数，没有最小的整数，故该选项不正确，不符合题意； D. 互为相反数的两个数的绝对值相等，故该选项正确，符合题意； 7．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）离原点的距离为7的点表示的数是（     ） A．7 B． C．7或 D．不存在 【答案】C 【详解】解：离原点的距离为7的点表示的数的绝对值是，即7或． 8．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）绝对值小于4的所有整数有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：设满足条件的整数为. ∵， ∴. ∵为整数， ∴可取，共7个. 9．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）我国是最早认识和使用负数的国家．早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：在计算过程中遇到相反意义的量，以正数和负数来区分它们，足球比赛中，如果我们记进球数5个为，那么失球数3个应记为_____． 【答案】 【详解】解：如果我们记进球数5个为，那么失球数3个应记为. 10．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么水面低于标准水位可表示为______________． 【答案】 【分析】先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答即可． 【详解】解：蓄水池的标准水位记为，用正数表示水面高于标准水位的高度， 则水面低于标准水位用负数表示， 水面低于标准水位可表示为． 11．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）比较大小：________． 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，即可解答． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ，即． 12．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）的相反数为______；的绝对值为______；比较大小：______．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据相反数的定义，绝对值的意义，有理数的大小比较方法逐一解答即可． 【详解】解：的相反数为，的绝对值为， ∵，， ∴， ∴． 13．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）在下列数中，属于整数的有_________个． 【答案】5 【分析】整数分为正整数、、负整数．分数、小数不算整数．据此可得出答案． 【详解】解：整数有： ， ， ， ， 共5个． 14．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如果a是有理数，那么的最小值是______． 【答案】2026 【分析】先根据绝对值的性质可得，从而可得，即可求解 【详解】解：∵a是有理数， ∴， ∴， ∴的最小值是2026． 15．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）学校运动会上老师准备了一把数轴式测距卷尺，尺上每1格代表1厘米，整数厘米的刻度叫整点，现在在卷尺上画一条厘米的线段，这条线段最多可以盖住______个整点． 【答案】2027 【分析】设这条线段为（点A在点B的左侧，且点A为起点），分三种情况：当点A恰好在整点上，当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离不大于厘米，当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离大于厘米，讨论求解即可． 【详解】解：设这条线段为（点A在点B的左侧，且点A为起点） 当点A恰好在整点上时那么一共可以盖住个整点， 当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离不大于厘米时，那么一共可以盖住个整点， 当点A不在整点上，且与其右侧的整点距离大于厘米时，那么一共可以盖住个整点， 综上所述，这条线段最多可以盖住2027个整点． 16．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 【答案】 ② 【分析】（1）根据可知互为相反数，由此即可得； （2）先求出点与点距离个单位长度，再求出，然后利用数轴的性质求解即可得． 【详解】解：（1）， 互为相反数， 点、对应的数分别是、， 原点在第②部分， （2）点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度， 点与点距离个单位长度， 点、对应的数分别是、，且， ， 又∵点与点距离个单位长度，点对应的数是， ∴． 17．（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内：①，②，③，④0，⑤⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                } 整数集：{                } 负分数集：{                } 有理数集：{                } 【答案】正数集：{①②⑤⑦⑧}； 整数集：{④⑤⑨}； 负分数集：{③⑥}； 有理数集：{①②③④⑤⑥⑧⑨} 【分析】先化简绝对值，再根据有理数的分类即可解答． 【详解】解： 正数：①②⑤⑦⑧； 整数：④⑤⑨； 负分数：③⑥； 有理数：①②③④⑤⑥⑧⑨； 18．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）下面是一个不完整的数轴， (1)请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上； (2)将下列各数按从小到大的顺序用“<”号连接起来． ，，， 0 ，． 【答案】(1)将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上如图： (2) 【分析】（1）先规定向右为正方向，以及单位长度，再化简绝对值和多重符号，最后表示出各数即可； （2）根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】（1）解：，将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上略． （2）解：由数轴可得，． 19．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自己确定一个出场顺序，可她们两个争着先出场，最后，主持人想了一个主意，如图所示． 【答案】 【分析】先分别化简每张卡片，再在数轴上表示出来，再进行大小比较即可． 【详解】解：，，的绝对值是，，的相反数是， 在数轴上表示如图， 大小比较得． 20．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和4两点之间的距离是_________，数轴上2和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为_________，的几何意义是_________． (3)求出当时的值． (4)若，则能取到的最大值是__________． (5)求的最小值，并直接写出此时x可取哪些整数值． 【答案】(1)3；5 (2)；数轴上表示x和的两点之间的距离 (3)4或 (4) (5)最小值为7，x可取的整数值为、、、0、1、2、3、4 【分析】数轴上两点间距离公式的应用及绝对值的几何意义： （1）距离计算：直接利用公式计算数轴上两点间的距离； （2）距离计算：直接利用公式计算数轴上两点间的距离；几何意义：理解表示数轴上x与a两点间的距离； （3）方程求解：利用绝对值的定义或几何意义（距离为定值）求解x； （4）最值问题：对于，分析点x到2的距离与到的距离之差，结合数轴位置确定x的范围； （5）对于，利用“两点之间线段最短”原理，确定当x位于4和之间时和最小． 【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式，数轴上1和4两点之间的距离为；数轴上2和两点之间的距离为． （2）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为； 因为，所以的几何意义是数轴上表示x和的两点之间的距离． （3）由可知，数轴上表示x的点到的距离为7． 分两种情况讨论： 当x在的右侧时，，解得； 当x在的左侧时，，解得． 综上所述，x的值为4或． （4）表示数轴上点x到2的距离与点x到的距离之差． 因为2与之间的距离为，若，说明点x到2的距离比到的距离大3． 结合数轴可知，当点x在的左侧（包括）时，满足条件，即，所以x能取到的最大值是． （5）表示数轴上点x到的距离与点x到的距离之和． 根据“两点之间，线段最短”，当点x位于和4之间（包括端点）时，距离之和最小，最小值为与4之间的距离，即； 此时x的取值范围是，在此范围内的整数有、、、0、1、2、3、4． 21．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，解答下列问题： (1)数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为______ (2)已知，则______． (3)求的最小值． 【答案】(1) (2)5或 (3)3 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离表示方法求解； （2）根据数轴上到数2在数轴上对应的点的距离为3的点为5或求解； （3）同上根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为； （2）解：∵，表示数x在数轴上对应的点到数2在数轴上对应的点的距离， ∵数轴上到数2在数轴上对应的点的距离为3的点为5或， ∴或； （3）解：∵表示数a在数轴上对应的点到数1和数在数轴上对应的点的距离之和， ∴当时，取得最小值，最小值为到1的距离，即3． 22．（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 【答案】(1)1 (2)或 (3)点P对应，点Q对应或点P对应，点Q对应 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：①点P在点M的左边；②点P在点N的右边；进行讨论即可求解； （3）分两种情况：①点P在点Q的左边；②点P在点Q的右边；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点M对应的数是，点N在M右边4个单位， ∴， （2）， ①点P在点M的左边：， ②点P在点N的右边：． 故点P所对应的数是或． （3）解：①点P在点Q的左边： =12÷1 （秒）， 点P对应的数是，点Q对应的数是； ②点P在点Q的右边： =16÷1 （秒）； 点P对应的数是，点Q对应的数是． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·河北·期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数轴上数的位置关系，通过在数轴上找出对应的点来比较、a、、b的大小，涉及数轴和数形结合思想． 【详解】解：在数轴上表示出它们的位置如图所示： ∴从小到大排列为：． 2．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）下列说法中，错误的有（     ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④0是最小的有理数；⑤是最小的负整数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①是负分数，正确； ②是分数，不是整数，正确； ③非负有理数包含0，故③错误； ④负有理数小于0，没有最小的有理数，故④错误； ⑤是最大的负整数，没有最小的负整数，故⑤错误． 3．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ∴与原点距离最近的是． 4．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据0的相反数是0；互为相反数的两个数的和为0，对各说法进行判断作答即可． 【详解】解：若a、b互为相反数，则，正确，故①符合要求； 若，则a、b互为相反数，正确，故②符合要求； 若a、b互为相反数，当时，无意义，故③说法错误，不符合要求； 若，则，即，a、b互为相反数，正确，故④符合要求； 综上，正确的结论是①②④． 5．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，，，，，，都不为零，并且，把，，，四个数用“”号连接为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知判断，，都是负数，为正数，再根据绝对值的意义，可推出各数的大小关系． 【详解】解：由题意知：，，，， 即，，都是负数，为正数， 又， ． 6．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】只有符号相反的两个数互为相反数，据此可判断①；当为负数时，为正数，据此可判断②；不是正数的数是负数或0，不一定是整数，据此可判断③；绝对值的意义是数轴上的点到原点的距离，所以一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远，据此可判断④． 【详解】解：只有符号相反的两个数互为相反数，所以①错误； 当为负数时，就为正数，所以②错误； 不是正数的数是负数或0，不一定是整数，所以③错误； 绝对值的意义是数轴上的点到原点的距离，所以一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远，所以④正确． 综上：正确的有1个． 7．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，四个有理数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，若，则，，，中绝对值最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可以得到的关系，从而可以判定原点的位置，从而可以得到哪个数的绝对值最大，本题得以解决． 【详解】解：因为， 所以原点在线段的中点处， 通过观察数轴可知，点到原点的距离最远， 所以，，，中绝对值最大的数是． 8．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值的几何意义，将代数式转化为数轴上一个动点到两定点的距离之和求解． 【详解】解：表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，表示数轴上有理数对应的点到表示的点的距离，当对应的点在与之间（含端点）时，距离和最小，最小值为． 9．（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 【答案】D 【分析】根据数轴上的点及题意求解即可． 【详解】解：A．点M在和之间，离0大约2点多，比3离0近，说法正确； B．从点M到之间有、、0、1、2这5个整数，说法正确； C．M在与之间，说法正确； D．M到0之间只有和两个负整数，不是3个，所以D不正确． 10．（22-23七年级上·全国·期末）若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【详解】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 11．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，纵式和横式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是__________． 【答案】 【分析】根据表格所给的不同算筹符号分别对应到的数字和古人在个位数上划上斜线以表示负数，找出各数位对应的数字即可得到答案． 【详解】解：根据表格中的对应规则可知：百位数对应，十位数对应，个位数对应， 个位数上划上了斜线，说明此数是负数， 所以“”所表示的数是． 12．（26-27七年级上·天津·阶段检测）如果m是负数，且，那么______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义得到的所有可能值，再结合为负数的条件确定最终结果． 【详解】解：， ， 是负数， ． 13．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 【答案】 【分析】先计算圆的周长，再计算滚动距离，最后根据点和原点的位置和距离得出所表示的数． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆的周长为， 滚动两周的长度为， 圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，即点位于原点左侧， 因此点表示的数是． 14．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）用“”与“”表示一种法则：，，如：，则________． 【答案】 【分析】本题为新定义运算题，先根据运算法则计算两个括号内的结果，再计算外层运算得到最终结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴原式转化为， ∵， ∴． 15．（2026七年级上·全国·专题练习）的最大值是______． 【答案】3 【分析】通过分析绝对值表达式的不同情况，利用数轴上的距离关系来求解最大值． 【详解】解：设表示数的点为点A，表示数2的点为点B，表示数x的点为点P， 则，，． 当点P在点A左边时，如图， ∴ 当点P在线段上时，如图， ∴ ． ； 当点P在点B右边时，如图， ∴ ． 综上，， ∴的最大值是3． 16．（2026七年级上·全国·专题练习）若，则满足条件的整数有_____个． 【答案】8 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的几何意义可得，当时，，据此解答即可． 【详解】解：表示数的点和表示数的点之间的距离为， 且根据绝对值的几何意义可得，当时，， ∴整数的取值范围为， ∴满足条件的整数有，，，，，，，，共个． 17．（2026七年级上·全国·专题练习）当取得最小值时，x的值为_______． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得，表示数x的点与表示数的点，与表示数的点，与表示数的点的距离之和，且表示数的点在表示数的点和表示数的点之间， 根据两点之间线段最短可知， 当x的值为1时，取得最小值为． 18．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 【答案】 四个数的绝对值之和为7 【分析】先确定的值，利用相反数性质得到和的关系，再结合已知乘积等式和的绝对值推导的取值，最后计算四个数的绝对值之和． 【详解】解： 是最大的负整数， ． 和互为相反数， ． ， ． 将，代入得：， 化简得． ，且乘积， ，结合得． 将代入得，解得，即． ， ， 计算四个数的绝对值之和：． 19．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． (1)负有理数集合：{________________…}； (2)整数集合：{________________…}； (3)负分数集合：{________________…}； (4)非负有理数集合：{________________…}． 【答案】(1)，，， (2)，0， (3)，， (4)0.6，0， 【分析】（1）负有理数指的是负整数和负分数； （2）整数包括正整数、负整数和0； （3）负分数为负的分数和负的小数； （4）非负有理数指的是正有理数和0． 【详解】（1）解：，， 负有理数集合：{，，，…}； （2）解：整数集合：{，0，…}； （3）解：负分数集合：{，，…}； （4）解：非负有理数集合：{0.6，0，…}. 20．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）如图，点，在数轴上． (1)点表示___________，点表示___________． (2)已知下列各有理数：，请在数轴上标出这些数表示的点，并用“<”号把这些数连接起来． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：点表示，点表示． （2）解：，在数轴上标出这些数表示的点如图， 用“<”号把这些数连接起来如下： 21．（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 【答案】(1)3，3或； (2)当时，的值有最小值，最小值为2； (3)最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据绝对值的意义直接计算即可； （2）把理解为：在数轴上表示到和的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，则有最小值，从而得结论； （3）观察已知条件可以发现，表示到的距离，要使题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的的值，此时式子得出的值则为最小值． 【详解】（1）解：， ， 或， 或， 故答案为：，或； （2）解：理解为：在数轴上表示到与的距离之和， 当在与之间的线段上（即）时，有最小值，最小值为，此时的取值范围为：； （3）解：由已知条件可知，表示到的距离，原式代表到，2，3，，2018共2018个点的距离之和， 当时，式子取得最小值． 取， 此时， ． 即最小值为． 22．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对应的数分别是a、b、c，其中a、c满足，点B到点A的距离为20． (1)求a、b、c的值． (2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)，， (2) (3)当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等 【分析】（1）利用平方与绝对值的非负性，结合非负数的和为0的条件求得a、c，再根据点B到点A的距离及它们在数轴上的位置即可求得b； （2）设相遇时间为t秒，由相遇问题列方程求解t，进而求出相遇时点P运动的路程，结合点P运动的方向即可求点M所对应的数； （3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当、不在线段上时；当在线段上时；当、在线段上时；当在线段上、在线段上时；列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵a、c满足， ∴，， 解得，， ∵点B到点A的距离为20，由图可知，点B位于点A的右侧， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴， 设相遇时间为t秒，由题意得， 解得， ∴相遇时点P运动路程为， ∵动点P从点A出发沿着数轴的正方向运动， ∴相遇点M所对应的数是； （3）解：由（1）知，，， ∴，， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半， ∴走完用时为秒，走完用时秒； ∵动点从点出发以每秒个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的倍， ∴走完用时为秒，走完用时秒； 根据、的位置可分种情况讨论： ①当、不在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ②当在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ③当、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； ④当在线段上、在线段上时，如图所示： 则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得； 综上，当为或或或时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 有理数的分类 考点二 数轴 考点三 相反数 考点四 绝对值 考点五 有理数的大小比较 05 重难题型突破 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 0的意义 题型四 有理数的分类 题型五 带“非”字的有理数 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的移动 题型十 数轴上的规律探究 题型十一 相反数的定义 题型十二 化简多重符号 题型十三 绝对值的几何意义 题型十四 绝对值的非负性 题型十五 数轴动点问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 有理数”在期中考试中占据约25%～35%的分值，是整张试卷“基础分”的核心来源；命题紧扣负数引入、数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较五大主干，强调从“算术数”到“符号数”的思维跨越，重点考查数形结合（数轴三要素、两点距离公式）、分类讨论（含字母绝对值化简、已知距离求双解）以及绝对值非负性；学生失分多集中在“带负号就当负数”“两个负数比较大小搞反”“绝对值字母化简不分类”“已知距离漏解”等思维惯性上。 本章集中考正负数表示相反意义的量、有理数分类（/非负整数/非正数等边界）、数轴三要素与点的平移/距离、相反数与多重符号、绝对值的代数+几何意义、两个负数比较大小；命题上明显更重数形结合（由数轴位置判断，，，正负）、分类讨论（双解、含字母绝对值化简、绝对值非负性求参）和生活/文化情境（手机账单、海拔温度、达标误差、正负术、密码锁、格子图运动），学生丢分主要在“带负号就当负数”“0归类错”“两个负数比大小搞反”“数轴距离不取绝对值/已知距离漏左右两解”“字母绝对值不先问正负”，因此复习要把“负数直觉—数轴直观—绝对值距离感—大小比较规则”串成一条线，复习时应优先攻克概念辨析与数形转化，确保基础题零失误，再适度挑战数轴动点与式子正负判断等中档综合题。 识记 ①能说出正数、负数、整数、分数、有理数的定义，会把给定的数正确归入相应的集合内，会识别边界词（非负数、非正数、非负整数、非正整数）； ②能按照数轴三要素（原点、正方向、单位长度）正确画出数轴，并在数轴上表示出各数； ③能说出相反数、绝对值、倒数的定义，以及符号表示； ④能利用数轴比较大小，能利用绝对值比较负数的大小。 理解 ①理解不是只表示“什么也没有”，它是正数与负数的分界，可以表示特定的意义； ②理解正负数本质是给现实里的“盈/亏、零上/零下、向东/向西”贴符号； ③理解相反数考的是“只有符号不同”，不是“前面带负号”，"" 可以是正、可以是负、可以是0，字母一进来就不能再看表面符号； ④绝对值要双视角：几何上是距离（所以恒非负），代数上是分段，见到含字母绝对值先判内部正负再去符号； ⑤理解两个负数比大小是思维拐点：小学“数大就大”，这里离原点越远反而越小，本质是先把负数转成正数比绝对值，再反向判断。 应用 ①能解决数轴上点的平移与距离问题； ②能结合数轴化简含绝对值的式子； ③能利用绝对值的非负性、绝对值的几何意义进行解题。 考点一 有理数的分类 ⚠️概念辨析 （1）按定义分 （2）按正负分 ⚠️避坑指南 易混点 正/误 反例/说明 带“”号的就是负数 错误 是正数，当是正数 不带“”号的数就是负数 错误 0既没有“”号，也没有“”号，但不是负数 0是正数 错误 0既不是正数，也不是负数 0是整数 正确 0是整数，也是有理数 是有理数 错误 无限不循环小数，不是有理数 3.1415926是有理数 正确 有限小数是有理数 是有理数 正确 无限循环小数是有理数 10%是分数 正确 百分数属于分数 ⚠️记忆要诀 （1）的四大作用 作用 举例与说明 表示数的性质 0是有理数、整数、自然数 表示没有 加油50L记作+50L，不加油不消耗即为0 表示某种客观状态 0℃表示冰水混合物的冰点 正负数的分界 0是正数与负数的分界点 （2）边界词辨析 词汇 包含哪些 易错 非负整数 正整数和0 漏掉0 非正整数 负整数和0 漏掉0 非负数 正数和0 不是正整数 非正数 负数和0 不是负整数 不小于0 大于等于0 漏掉0 不大于0 小于等于0 漏掉0 考点二 数轴 ⚠️概念辨析 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 三要素缺一不可：原点、正方向和单位长度 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数 ⚠️核心关系 结论 公式/说明 点在原点右侧 点在原点左侧 、两点之间的距离 点向右平移个单位 点向左平移个单位 ⚠️易混易错 易混点 正/误 反例/说明 数轴上的点都是有理数 错误 也能在数轴上表示，但不是有理数 有理数都能在数轴上表示 正确 每个有理数都有唯一一个对应点与之对应 原点左边的数都是负数 正确 原点左侧的数都小于0 距离原点3个单位的数只有3 错误 还有，原点左侧和右侧各有一个 考点三 相反数 ⚠️概念辨析 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 ⚠️记忆口诀 多重符号的化简：偶正奇负 数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负。 ⚠️易混易错 易混点 正/误 反例/说明 是负数 错误 时，是正数 相反数等于本身的数只有0 正确 只有0的相反数是其本身 一个数的相反数一定比本身小 错误 负数的相反数大于本身 考点四 绝对值 ⚠️概念辨析 （1） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，数a的绝对值记作， （2） 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 考点五 有理数的大小比较 ⚠️记忆口诀 （1） 数轴法：数轴上，右边的数比左边的数大； （2） 法则法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （3） 绝对值比较法：两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； （4） 作差法：若，则；若，则；若，则； （5） 中间量法。 题型一 正负数的定义 典例1 （26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）下列各数中为负数的是（     ） A． B．0 C．3 D． 💡破题要诀 大于0的数为正数，小于0的数为负数，既不是正数，也不是负数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·广东茂名·阶段检测）在，2，，0，0.0123中，负数有（     ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）在，0，，，中，负数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）在，0，3，这四个数中，正数是（     ） A． B．0 C．3 D． 题型二 相反意义的量 典例1 （26-27七年级上·河南周口·阶段检测）不具有相反意义的量是（     ） A．商场运进雪碧100箱，卖出80箱 B．妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元 C．5000个产品中有20个不合格产品 D．新疆白天气温零上，晚上的气温零下 💡破题要诀 ① 找基准：谁被当成“标准量/0点”（标准身高、海平面、0时、约定方向、标准质量） ② 定正方向：题干说“上升/盈利/向东/收入”哪个为正（没明说就自己约定，但必须说明） ③ 翻相反方向为负：下降/亏损/向西/支出 → 统统带负号 ④ 数值=偏离基准的量，带符号写出。 迁移应用 1．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）在《九章算术》的“正负术”中，人们已经会用相反意义的量表示盈亏．若把“收入6元”记作元，那么“支出6元”记作（     ）元 A． B． C． D．6 2．（26-27六年级上·山东烟台·阶段检测）如图所示是某用户微信支付情况，表示的意思是（    ） A．发出红包100元 B．收入100元 C．余额100元 D．拍到100元红包 3．（26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）如果增产吨，记作吨，那么吨表示_____． 题型三 0的意义 典例1 （25-26六年级上·山东泰安·期末）下列说法正确的是（    ） A．0是正数 B．0是负数 C．0既不是正数也不是负数 D．0既是正数也是负数 💡破题要诀 0是整数，是自然数，是有理数，是非负数，是非整数，既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，相反数等于本身的唯一数，温度 0℃不是没有温度，是冰水混合的刻度基准，海拔 0 m不是没有高度。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）体育课上，全班男同学进行了100米测验，合格成绩为15秒，下表是某小组10名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒．这个小组男生的合格率为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·河南商丘·阶段检测）下列说法中正确的是（     ） A．一个正数的前面加上负号就是负数 B．不是正数的数一定是负数 C．表示没有温度 D．数7没有符号 3．（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法：①0既不是正数，也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤非正整数是有理数．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 题型四 有理数的分类 典例1 （26-27七年级上·河南安阳·阶段检测）下列各数：，其中有理数有_____个． 💡破题要诀 分类先定"尺子"，再防"边界" 要诀一：两种"尺子"分开用，不混搭 要诀二：分数 = 有限小数 + 无限循环小数 要诀三：0 的归属 迁移应用 1．（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ①；②；③；④；⑤0；⑥，⑦；⑧，⑨． 整数集{________…}；非负数集{________…}；负有理数集{________…}． 2．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）将下列各有理数按照分类填入下面对应的大括号内： ，，，，，，，， 整数集合：{______________________…}； 负数集合：{______________________…}； 正分数集合：{______________________…}． 3．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）把下列各数对应的序号填在相应的括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正有理数：（　　　　　） 非负整数：（　　　　　） 负分数：（　　　　　） 整数：（　　　　　） 题型五 带“非”字的有理数 典例1 （26-27七年级上·全国·单元复习）在，0，0.3，，，，中，非负有理数有（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 💡破题要诀 迁移应用 1．（26-27七年级上·广东梅州·阶段检测）在中，非负整数有__________个． 2．（25-26七年级上·陕西安康·阶段检测）在，0，，6这四个有理数中，非负数有___________个． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）下列各数中：26、，其中正整数有a个,有理数有个，非正数有个，则______． 题型六 用数轴上的点表示有理数 典例1 （26-27七年级上·北京东城·阶段检测）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 在数轴上找有理数对应的点的步骤 1. 判符号 → 正向右、负向左 2. 取绝对值 → 确定离原点几个单位 3. 定位置 → 整数直接落刻度；分数/小数按比例分格 迁移应用 1．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）如图，为数轴的原点，若点A表示2，则点B表示（     ） A．3 B． C．5 D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，数轴上两点之间的距离为，表示的数是，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）如图，数轴上被阴影盖住的点表示的分数可能是________．（写出一个即可） 题型七 利用数轴比较大小 典例1 （26-27七年级上·河北保定·阶段检测）画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来： ，，，，，． 💡破题要诀 通用解题三步法 1. 全部画到数轴上（先标原点、单位） 2. 从左到右依次读出各点（左小右大） 3. 用"<"连接（从小到大）或用">"连接（从大到小） 迁移应用 1．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）在数轴上画出表示、2、、，0这些数的点，并按从小到大的顺序，用“”把这些数连接起来． 2．（26-27七年级上·浙江杭州·阶段检测）在数轴上表示下列各数：0，1.5，，，，并将这些数用“”号连接． 3．（26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点． (2)在数轴上表示下列各数，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，． 题型八 数轴上两点之间的距离 典例1 （26-27七年级上·安徽·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是________； (2)若数轴上一点与点的距离为3个单位长度，求点表示的数． 💡破题要诀 数轴上点、点 的距离： 本质：两点坐标之差的绝对值（与顺序无关）。 迁移应用 1．（2026·河北廊坊·二模）已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 2．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在数轴上，点A表示2，点B表示，则点A、B之间的距离是______． 3．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）阅读材料： 的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说表示数轴上数与数的对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数的对应点之间的距离． 根据材料的说法，试求： (1)使成立的的值； (2)若为有理数，代数式有没有最大值？如果有，求出这个代数式的最大值及此时的值；如果没有，请说明理由； (3)若为有理数，则有最　　　　　值（填“大”或“小”），其值为　　　　　． 题型九 数轴上点的移动 典例1 （26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 💡破题要诀 数轴上点向右移动个单位，则为；向左移动个单位，则为。 迁移应用 1．（2026·山东聊城·一模）如图，在数轴上将点向右移动4个单位长度得到点，则点表示的数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21六年级上·山东泰安·期中）如图，在数轴上有三个点A、B、C，请回答下列问题． (1)A、B、C三点分别表示 、 、 ； (2)将点B向左平移3个单位长度，点B所表示的数是 ； (3)将点A平移个单位长度，点A所表示的数是 ． 题型十 数轴上的规律探究 典例1 （26-27七年级上·河南新乡·阶段检测）正六边形在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则经过连续翻转后，数轴上2026这个数所对应的点是（     ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 💡破题要诀 解题四步： 1. 找周期：算出几次移动为一个循环； 2. 求余数：总次数 ÷ 周期，得到商和余数； 3. 判断位置： - 余数=0 → 对应周期最后一个位置 - 余数≠0 → 对应周期里第「余数」个位置； 4. 算出数轴对应的数； 本质：余数定位，不用一步步枚举全部点。 迁移应用 1．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）如图所示，圆的周长为个单位长度，在圆的等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动．那么数轴上的所对应的点将与圆周上字母_______________所对应的点重合． 2．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，长方形的边在数轴上，点、对应的数分别为和，且边．若长方形沿数轴正方向在数轴上顺时针翻滚，每次翻滚，第1次绕着点顺时针翻滚后，点落在数轴上，对应的数为；第次绕点顺时针翻滚；继续翻滚，则翻滚次后，此时贴着数轴的那条边，其右端点对应的数是______． 3．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知，等边三角形（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将三角形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），点表示的数是________； (2)将三角形从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2026对应的点与点________重合； (3)将三角形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：2，，，，． ①第________次滚动后，点A离原点最远； ②当三角形结束滚动时，点表示的数是多少？ 题型十一 相反数的定义 典例1 （湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）的相反数是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 只有符号不同的两个数互为相反数。 迁移应用 1．（26-27七年级上·河南周口·阶段检测）的相反数是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与6 B．与 C．与 D．与 3．（湖南省衡阳市四校2026-2027学年七年级上学期9月阶段检测数学试题）若，则中最小的是_______． 题型十二 化简多重符号 典例1 （26-27七年级上·江苏常州·阶段检测）在下列各数中，，，，，，其中负分数的个数是（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 💡破题要诀 核心口诀：负号个数，奇负偶正。 只数式子里面负号“−”的数量，正号可以直接忽略。 1. 负号有偶数个 → 结果为正； 2. 负号有奇数个 → 结果为负； 简单做题步骤 1. 去掉所有“+”； 2. 数剩下一共有多少个负号； 3. 奇负偶正，写出结果。 迁移应用 1．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简：________． 2．（26-27七年级上·广东珠海·阶段检测）化简：________． 3．（26-27七年级上·湖南岳阳·阶段检测）＝______． 题型十三 绝对值的几何意义 典例1 （2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，点到原点的距离是（     ） A．3 B． C． D． 💡破题要诀 表示数轴上的有理数a所对应的点到原点的距离；表示数轴上的有理数x所对应的点到有理数a所对应的点的距离。‌ 迁移应用 1．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）若，则______． 2．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）当_________时，有最小值_________． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 题型十四 绝对值的非负性 典例1 （23-24七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则_______． 💡破题要诀 任何数的绝对值都大于或等于0，即为非负数，即； 若几个非负数的和为0，则每一个非负数都必须等于0。 迁移应用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 3．（25-26七年级上·江苏南通·阶段检测）如图，点A，B是数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足 (1)____，____； (2)点P从A出发以每秒2个单位向右运动，运动时间为t秒，当时，求t的值； (3)C，D为数轴上两个动点（点C在点D的左侧），它们的运动方向相同，速度相同，且，若为定值的时长为3秒，为定值的时长为8秒，求点C的速度． 题型十五 数轴动点问题 典例1 （24-25七年级上·广东揭阳·阶段检测）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1如图，将一条数轴在原点，点，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示24，点表示36，点与点在数轴上的距离为45个单位长度，并表示为． 素材2动点从点出发，以2个单位长度／秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点与点之间时速度变为初始速度的两倍．经过点后立刻恢复初始速度． 问题解决： (1)探索1：动点从点运动至点需要多少时间？ (2)探索2：动点从点出发，运动18秒至点和点之间时，求点表示的数？ (3)探索3：动点从点出发，运动至点的过程中某个时刻满足时，求动点运动的时间． 💡破题要诀 1.数轴上动点问题五要素 （1）运动起点：动点从何处开始运动的（初始位置）； （2）运动方向：向右运动，还是向左运动； （3）运动速度：动点运动速度是多少，速度是否变化； （4）运动时间：运动时间已知还是未知； （5）运动距离：动点运动了多远。 2.动点对应数的表示方法 如图1，数轴上的动点从点出发，以速度向右运动，运动时间为，则： 点表示的数 如图2，数轴上的动点从点出发，以速度向左运动，运动时间为，则： 点表示的数 3.数轴动点题的解题步骤 （1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； （2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； （3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； （4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 迁移应用 1．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）定义：若在数轴上存在一点，使得点分别到另外两点的距离之和等于，则称点为另外两点的“格距点”． 如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是3． 例如：若点表示的数是，点到点的距离与点到点的距离之和为，则称点为点、的“5格距点”． (1)若点表示的数是，则的值为______； (2)已知数轴上表示整数的点称为整点，若整点为点、的“格距点”，则最小为______，这样的整点有______个； (3)若动点从点出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右运动，两点同时出发，运动时间为秒．是否存在，使得点是点、的“7格距点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2．（26-27七年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为和4．点P从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动；同时点Q从点B出发，沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒． (1)A、B两点间的距离为________________； (2)当t为何值时，点P与点Q相遇？相遇点表示的数是多少？ (3)若点M在A、B两点之间（不含端点），且点M到点A的距离等于点M到点B的距离的3倍，求点M表示的数． 3．（26-27七年级上·河北邢台·阶段检测）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是8，O为原点． (1)A，B两点之间的距离是________；若点C在点B的左侧，且到点B的距离为2，则点C表示的数是________； (2)已知动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动． ①当运动时间为5秒时，点P表示的数是多少？点P从点A运动到点B需要多少秒？ ②若动点P出发的同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？ 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·陕西安康·阶段检测）下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）下列有理数大小比较，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）在，，0，这四个数中，属于正有理数的是（     ） A． B． C．0 D． 5．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）某机构检测个排球质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列选项中，最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）下列说法中，正确的是（     ） A．有理数分为正有理数和负有理数 B．任何一个有理数的绝对值都是正数 C．0是最小的整数 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 7．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）离原点的距离为7的点表示的数是（     ） A．7 B． C．7或 D．不存在 8．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）绝对值小于4的所有整数有（   ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 9．（26-27七年级上·安徽铜陵·阶段检测）我国是最早认识和使用负数的国家．早在公元3世纪，我国数学家刘徽就说“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思是：在计算过程中遇到相反意义的量，以正数和负数来区分它们，足球比赛中，如果我们记进球数5个为，那么失球数3个应记为_____． 10．（26-27七年级上·湖南长沙·阶段检测）某蓄水池的标准水位记为，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么水面低于标准水位可表示为______________． 11．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）比较大小：________． 12．（26-27七年级上·广东深圳·阶段检测）的相反数为______；的绝对值为______；比较大小：______．（选填“”“”或“”） 13．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）在下列数中，属于整数的有_________个． 14．（26-27七年级上·辽宁鞍山·阶段检测）如果a是有理数，那么的最小值是______． 15．（26-27七年级上·山西太原·阶段检测）学校运动会上老师准备了一把数轴式测距卷尺，尺上每1格代表1厘米，整数厘米的刻度叫整点，现在在卷尺上画一条厘米的线段，这条线段最多可以盖住______个整点． 16．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点，，把数轴分成①②③④四部分，点，，对应的数分别是，，，且． （1）原点在第________部分．（填序号） （2）若点与点距离个单位长度，点与点距离个单位长度，则的值为________． 17．（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）把下列各数的序号填入相应的大括号内：①，②，③，④0，⑤⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                 } 整数集：{                 } 负分数集：{                 } 有理数集：{                 } 18．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）下面是一个不完整的数轴， (1)请将数轴补充完整，并将下列各数表示在数轴上； (2)将下列各数按从小到大的顺序用“<”号连接起来． ，，， 0 ，． 19．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）小琼和小凤都十分喜欢唱歌，她们两个一起参加社区的文艺汇演，在汇演前，主持人让她们自己确定一个出场顺序，可她们两个争着先出场，最后，主持人想了一个主意，如图所示． 20．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上1和4两点之间的距离是_________，数轴上2和的两点之间的距离是_________． (2)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为_________，的几何意义是_________． (3)求出当时的值． (4)若，则能取到的最大值是__________． (5)求的最小值，并直接写出此时x可取哪些整数值． 21．（26-27七年级上·河南南阳·阶段检测）已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，解答下列问题： (1)数a在数轴上对应的点到数1在数轴上对应的点的距离为______ (2)已知，则______． (3)求的最小值． 22．（26-27七年级上·广西崇左·阶段检测）已知M、N在数轴上，M对应的数是，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点： (1)直接写出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，求点P所对应的数； (3)如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？ 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（26-27七年级上·河北·期中）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）下列说法中，错误的有（     ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④0是最小的有理数；⑤是最小的负整数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（26-27七年级上·安徽蚌埠·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）下列说法：①若a、b互为相反数，则；②若，则a、b互为相反数；③若a、b互为相反数，则；④若，则a、b互为相反数．其中正确的结论是（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 5．（26-27七年级上·安徽芜湖·阶段检测）若，，，，，，，都不为零，并且，把，，，四个数用“”号连接为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·山东青岛·阶段检测）下列说法：①符号相反的数互为相反数；②一定是一个负数；③不是正数的数一定是整数；④一个数的绝对值越大，数轴上表示它的点离原点越远，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．（2026七年级上·全国·专题练习）如图，四个有理数，，，在数轴上的对应点分别为，，，，若，则，，，中绝对值最大的数是（     ） A． B． C． D． 8．（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知是有理数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·浙江·开学考试）对于图上点M所表示的数，下列说法不正确的是（     ）． A．与3相比，点M表示的数离0更近 B．和点M表示的数之间有5个整数 C．点M表示的数在与之间 D．点M表示的数和0之间有3个负整数 10．（22-23七年级上·全国·期末）若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，纵式和横式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是__________． 12．（26-27七年级上·天津·阶段检测）如果m是负数，且，那么______． 13．（26-27七年级上·江苏淮安·阶段检测）直径为1个单位长度的圆，圆上的一点A由原点沿数轴向左滚动两周（不滑动）到达点，则点表示的数是_________． 14．（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）用“”与“”表示一种法则：，，如：，则________． 15．（2026七年级上·全国·专题练习）的最大值是______． 16．（2026七年级上·全国·专题练习）若，则满足条件的整数有_____个． 17．（2026七年级上·全国·专题练习）当取得最小值时，x的值为_______． 18．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）已知是最大的负整数，和互为相反数，的绝对值为，，可以推断出________，这四个数的绝对值之和等于________． 19．（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． (1)负有理数集合：{____________________________________________________________…}； (2)整数集合：{____________________________________________________________…}； (3)负分数集合：{____________________________________________________________…}； (4)非负有理数集合：{____________________________________________________________…}． 20．（26-27七年级上·山东德州·阶段检测）如图，点，在数轴上． (1)点表示___________，点表示___________． (2)已知下列各有理数：，请在数轴上标出这些数表示的点，并用“<”号把这些数连接起来． 21．（26-27七年级上·浙江宁波·阶段检测）同学们都知道，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，试探索： (1) ______；如果，则______． (2)求的最小值，并求此时的取值范围； (3)由以上探索及猜想，计算的最小值． 22．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，如图，数轴上依次有A、B、C三点，它们在数轴上对应的数分别是a、b、c，其中a、c满足，点B到点A的距离为20． (1)求a、b、c的值． (2)如图1，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点Q从点C出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，P、Q两点同时出发，在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中A、C两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P、O两点在“折线数轴”上的距离与Q、B两点在“折线数轴”的距离相等． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $