第1章·有理数及大小比较·培优提高·期中复习讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册

第1章·有理数及大小比较·培优提高·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数和负数的概念，能判断一个数是正数还是负数，能用正负数表示相反意义的量 · 理解有理数的意义，能对有理数进行正确分类，掌握整数、分数、正数、负数等概念 · 掌握数轴的三要素，能将有理数用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小 · 理解绝对值和相反数的概念，会求一个数的绝对值和相反数，掌握绝对值的非负性 · 会利用数轴、绝对值和法则比较有理数的大小，解决数轴上动点与距离问题，体会数形结合思想 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；像-3，-2.7%这样在正数前面加上负号「-」的数叫做负数 0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界 正负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义 用正负数表示相反意义的量时，要先规定哪个量为正，如收入为正，则支出为负 概念辨析例题：某天某市的最高气温为+3℃，最低气温为-5℃，若+3℃表示零上3℃，则-5℃表示什么？ 答案：-5℃表示零下5℃ 解析：规定+3℃表示零上3℃，那么-5℃表示与「零上」相反的意义，即零下5℃。 ☆ 2.有理数的分类 整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数 有理数：整数和分数统称为有理数 按定义分类：有理数分为整数和分数，整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数 按性质分类：有理数分为正有理数、0、负有理数；有限小数和无限循环小数都可以化为分数 概念辨析例题：把下列各数填在相应的大括号里：-3，0，+5，-2，3.7，-10% 答案：整数：{-3，0，+5}；分数：{-2，3.7，-10%} 解析：3.7是有限小数可化为分数，-10%是百分数属于分数，-2是负分数，按定义分类逐一判断。 ☆ 3.数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可 画数轴步骤：画直线→取原点→规定正方向→选取单位长度 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，正数在原点的右边，负数在原点的左边 数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，即AB=|a-b| 概念辨析例题：在数轴上表示-3，+2，0，-，并用「<」把它们连接起来 答案：-3 < - < 0 < +2 解析：先在数轴上表示出各个数，再根据「右边的数总比左边的数大」比较大小。 ☆ 4.绝对值与相反数 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即|a|≥0 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；若a与b互为相反数，则a+b=0 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；多重符号化简：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正 概念辨析例题：求下列各数的绝对值：-3，0，+5，- 答案：|-3|=3，|0|=0，|+5|=5，|-|= 解析：负数的绝对值是它的相反数：|-3|=3，|-|=；正数的绝对值是它本身：|+5|=5；0的绝对值是0。 ☆ 5.有理数大小比较 数轴上的数从左到右越来越大，即右边的数总比左边的大 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比较步骤：先求绝对值，再比较绝对值大小，最后判断原数大小 概念辨析例题：比较-3和-5的大小 答案：-3 > -5 解析：|-3|=3，|-5|=5，因为3<5，所以-3>-5（两个负数，绝对值大的反而小）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数 大于0的数 正数前面的「+」号可以省略 负数 在正数前面加上负号「-」的数 负数前面的「-」号不能省略 0 既不是正数，也不是负数 0是正数和负数的分界 有理数 整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都可化为分数 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线 三要素缺一不可 绝对值 |a|=数轴上点a到原点的距离 绝对值非负性：|a|≥0 相反数 a的相反数是-a 互为相反数的两数和为0 大小比较 两个负数，绝对值大的反而小 先求绝对值再比较 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-12题） · 判断一个数是正数还是负数，关键看它是大于0还是小于0，0既不是正数也不是负数 · 用正负数表示相反意义的量时，要先规定哪个量为正 · 有理数分类做到不重不漏：按定义分类（整数/分数）和按性质分类（正/0/负） · 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以都是有理数 1．（20-21七年级上·江西赣州·期中）如果收入10元记作元，那么支出10元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2024·广东东莞·三模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．若气温上升记作，则气温下降记作（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 6．（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为2024年10月7日时，纽约的时间是 ______． 8．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）国际田联规定：女子铅球的标准质量是，在一次产品抽检时，第一个不合格铅球质量为，记为，第二个不合格铅球质量为，应记为__________． 9．（24-25七年级上·广东珠海·期中）把下列各数分别填在相应的集合内：，73，，，，，0． 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 10．（24-25七年级上·天津宁河·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，8.9，19，，，，0， 整数集合：{                        …} 分数集合：{                       …} 正有理数集合：{                     …} 负有理数集合：{                      …} 非负数集合：{                      …}． 11．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送1次外卖称为1单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： (1)该外卖小哥这一周送餐最多的一天是______单，最少的一天是______单． (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 【考点2】数轴与数轴上的点（第13-26题） · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 · 正数在原点的右边，负数在原点的左边，0在原点处 · 数轴上两点距离：AB=|a-b|，动点表示的数=起点+运动距离（右正左负） · 折叠数轴、圆滚动数轴问题要先确定重合点，再分析对应关系 13．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上表示，0，5，4，的点中，不在原点右边的点有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列数轴画的正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，表示数m、的点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 20．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 21．（24-25七年级上·河南周口·期中）已知整数：，，，，……，满足下列条件：，，，，……，依此类推，则在数轴上到的距离为3的数是_____． 22．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 23．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 24．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 25．（24-25七年级上·全国·课堂练习）有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点C处，蚂蚁乙从图中点B的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处． (1)在图中标出点C，D的位置． (2)点E到点C与点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来． 26．（24-25七年级下·江西宜春·期末）课本再现 七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差，变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】 （1）用“”或“”填空． ①若时，a______b； ②若时，a______b； ③若，则______； 【解决问题】 （2）如图所示，在4×4的正方形网格中，以A为圆心AB为半径画扇形，以CE为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，，比较与的大小． 【考点3】相反数与倒数（第27-29题） · 求相反数：在数前加负号即可；0的相反数是0 · 若a与b互为相反数，则a+b=0；若a与b互为倒数，则ab=1 · 多重符号化简：奇数个负号为负，偶数个负号为正 · 相反数+倒数综合题：先分别求出相反数和倒数，再代入求值 27．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 28．（21-22七年级上·广东汕头·阶段检测）绝对值和相反数都等于它本身的数是_________． 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值是________． 【考点4】绝对值（第30-41题） · 求绝对值：正数取本身，负数取相反数，0取0 · 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 · 已知|a|求a：a=±|a|，注意分类讨论；若|a|=|b|，则a=b或a=-b · 绝对值方程：|x|=a（a>0）的解为x=±a；|a-1|+(b+2)2=0型利用非负性 30．（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段检测）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 31．（24-25七年级上·河南南阳·期末）绝对值是3的负数是____________． 32．（23-24七年级上·北京房山·期末）若，则的值为__________． 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，，且，那么_____． 34．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）已知，，且，则的值是 _________________ ． 35．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：，，，的值是______． 36．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若，则的值为__________. 37．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，且，则值等于______． 38．（2024·山东济宁·一模）已知，且，则__________. 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 40．（24-25七年级上·广西桂林·期中）绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． 【学以致用】 （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； （2）数轴上表示与1的两点和之间的距离为2，那么为___________； 【解决问题】 如图，已知分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50． （3）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间； 【数学理解】 （4）数轴上两点、对应的数分别为、，已知，点从出发向右以每秒3个单位长度的速度运动．直接写出秒后、之间的距离___________（用含的式子表示）． 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 【考点5】有理数大小比较与运算（第42-50题） · 数轴法：右边的数总比左边的大；法则法：正数>0>负数，两个负数绝对值大的反而小 · 作差法：a-b>0则a>b；比较分数先通分再比较分子 · 温差、时差问题：先列式再计算，注意正负号的实际意义 · 卡片抽数、最值问题：枚举所有可能情况后比较，或结合绝对值的几何意义 42．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）某天河北省四个城市的气温如下，则当天这四个城市温差最大的是（    ） A．唐山 B．廊坊 C．保定 D．沧州 43．（24-25七年级上·江西赣州·期末）比较大小：___________2．（用“”“ ”或“”连接） 44．（24-25七年级上·全国·期中）数学活动课上，王老师在4张卡片上分别写了4个不同的数（如图），然后从中抽取2张，使这2张卡片上各数之积最大，最大的积为__________． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 46．（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是_________日． 47．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 _______． 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？ 49．（24-25七年级上·上海·阶段检测）设，． (1)求：； (2)若，且，求a的值． 50．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习正负数的概念，理解0既不是正数也不是负数，能用正负数表示相反意义的量 · 掌握有理数的两种分类方法（按定义分类和按性质分类），做到分类不重不漏 · 熟练掌握数轴的三要素和画法，会用数轴表示有理数并比较大小，理解数形结合思想 · 掌握绝对值和相反数的概念与性质，会用绝对值非负性、分类讨论解决求值问题 · 多做数轴动点、距离最值和绝对值方程等综合题，提高分析问题和解决问题的能力 【作业1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【作业2】．（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【作业3】．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…以此类推，下列说法中：①；②；③，正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【作业4】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【作业5】．（2025·河南周口·三模）的运算结果等于（   ） A．5 B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【作业7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置．已知点B与原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为________． 【作业8】．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如果互为倒数，互为相反数，那么______． 【作业9】．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）绝对值不大于4.6的整数有 _____个，它们的和是 _____． 【作业10】．（23-24七年级上·吉林长春·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【作业11】．（24-25七年级上·四川眉山·阶段检测）若，则______． 【作业12】．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）的相反数是___________； （2）若的相反数是，则___________． 【作业13】．（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： 15，，0.81，，，，，171，0，3.14． 正数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； 非负整数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}． 【作业14】．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． ． 【作业15】．（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）有理数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值为2． (1)已知互为倒数，则____________； (2)已知互为相反数，则____________； (3)已知的绝对值为____________； (4)求的值． 【作业16】．（25-26七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ； （2）若，，且数a、b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ； （3）求代数式的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （4）若x表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【作业17】．（25-26七年级上·全国·课后作业）海海有5张从左到右标号依次为①②③④⑤的卡片（如图），每张卡片上写着不同的数．请你按照要求，解决下列问题： (1)在上面给出的数轴上标出其余4张卡片上的数所表示的点，并将卡片上的5个数进行大小比较，用“<”连接． (2)若从5张卡片中抽取1张卡片，要使这张卡片上的数的绝对值最大，如何抽取？最大值是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·有理数及大小比较·培优提高·期中复习讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027·人教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正数和负数的概念，能判断一个数是正数还是负数，能用正负数表示相反意义的量 · 理解有理数的意义，能对有理数进行正确分类，掌握整数、分数、正数、负数等概念 · 掌握数轴的三要素，能将有理数用数轴上的点表示，会利用数轴比较有理数的大小 · 理解绝对值和相反数的概念，会求一个数的绝对值和相反数，掌握绝对值的非负性 · 会利用数轴、绝对值和法则比较有理数的大小，解决数轴上动点与距离问题，体会数形结合思想 📚 知识梳理 ☆ 1.正数与负数 像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数；像-3，-2.7%这样在正数前面加上负号「-」的数叫做负数 0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界 正负数表示具有相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义 用正负数表示相反意义的量时，要先规定哪个量为正，如收入为正，则支出为负 概念辨析例题：某天某市的最高气温为+3℃，最低气温为-5℃，若+3℃表示零上3℃，则-5℃表示什么？ 答案：-5℃表示零下5℃ 解析：规定+3℃表示零上3℃，那么-5℃表示与「零上」相反的意义，即零下5℃。 ☆ 2.有理数的分类 整数：正整数、0、负整数统称为整数；分数：正分数、负分数统称为分数 有理数：整数和分数统称为有理数 按定义分类：有理数分为整数和分数，整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数 按性质分类：有理数分为正有理数、0、负有理数；有限小数和无限循环小数都可以化为分数 概念辨析例题：把下列各数填在相应的大括号里：-3，0，+5，-2，3.7，-10% 答案：整数：{-3，0，+5}；分数：{-2，3.7，-10%} 解析：3.7是有限小数可化为分数，-10%是百分数属于分数，-2是负分数，按定义分类逐一判断。 ☆ 3.数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素缺一不可 画数轴步骤：画直线→取原点→规定正方向→选取单位长度 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，正数在原点的右边，负数在原点的左边 数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，即AB=|a-b| 概念辨析例题：在数轴上表示-3，+2，0，-，并用「<」把它们连接起来 答案：-3 < - < 0 < +2 解析：先在数轴上表示出各个数，再根据「右边的数总比左边的数大」比较大小。 ☆ 4.绝对值与相反数 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a| 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即|a|≥0 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；若a与b互为相反数，则a+b=0 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；多重符号化简：奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正 概念辨析例题：求下列各数的绝对值：-3，0，+5，- 答案：|-3|=3，|0|=0，|+5|=5，|-|= 解析：负数的绝对值是它的相反数：|-3|=3，|-|=；正数的绝对值是它本身：|+5|=5；0的绝对值是0。 ☆ 5.有理数大小比较 数轴上的数从左到右越来越大，即右边的数总比左边的大 正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数 两个负数比较大小，绝对值大的反而小 比较步骤：先求绝对值，再比较绝对值大小，最后判断原数大小 概念辨析例题：比较-3和-5的大小 答案：-3 > -5 解析：|-3|=3，|-5|=5，因为3<5，所以-3>-5（两个负数，绝对值大的反而小）。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 正数 大于0的数 正数前面的「+」号可以省略 负数 在正数前面加上负号「-」的数 负数前面的「-」号不能省略 0 既不是正数，也不是负数 0是正数和负数的分界 有理数 整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都可化为分数 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线 三要素缺一不可 绝对值 |a|=数轴上点a到原点的距离 绝对值非负性：|a|≥0 相反数 a的相反数是-a 互为相反数的两数和为0 大小比较 两个负数，绝对值大的反而小 先求绝对值再比较 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与分类（第1-12题） · 判断一个数是正数还是负数，关键看它是大于0还是小于0，0既不是正数也不是负数 · 用正负数表示相反意义的量时，要先规定哪个量为正 · 有理数分类做到不重不漏：按定义分类（整数/分数）和按性质分类（正/0/负） · 有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以都是有理数 1．（20-21七年级上·江西赣州·期中）如果收入10元记作元，那么支出10元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查相反意义的量，正负数的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据收入10元记作元，那么支出10元记作元，即可解答． 【详解】解：如果收入10元记作元，那么支出10元记作元． 故选C． 2．（2024·广东东莞·三模）中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具有相反意义的量．若气温上升记作，则气温下降记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，把气温上升用正数表示，那么气温下降用负数表示，据此求解即可． 【详解】解：若气温上升记作，则气温下降记作， 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）在数中，整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，根据整数的定义，即可求解． 【详解】解：在数中，整数有，共4个． 故选：C．解： 4．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 【答案】B 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，根据负有理数包括负整数和负分数，进行判断即可． 【详解】解：，0，，，5中，负有理数有，，，共3个； 故选B． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，根据倒数，相反数，绝对值的定义逐项判断即可,熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意； 当时，没有倒数，则B不符合题意； 一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意； 的相反数是2，而，则D不符合题意； 故选：C． 6．（24-25七年级上·山东聊城·期中）刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义、相反意义的量 【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义即可得到答案． 【详解】解：“水位下降”应表示为， 故选B． 7．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，比如北京的时间是时，东京时间为．则当北京的时间为2024年10月7日时，纽约的时间是 ______． 【答案】10月6日20时 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查正负数的实际运用，根据正数和负数的实际意义，结合表格信息即可求得答案． 【详解】解：当北京的时间为2024年10月7日时，纽约的时间是2024年10月6日时， 故答案为：10月6日20时． 8．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）国际田联规定：女子铅球的标准质量是，在一次产品抽检时，第一个不合格铅球质量为，记为，第二个不合格铅球质量为，应记为__________． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的应用，以标准质量为基准，高于标准记为正数，低于标准记为负数。第二个铅球质量3.98kg低于标准质量，计算差值后记为负数即可． 【详解】解：标准质量为，第二个铅球质量为，与标准质量的差值为， 由于质量低于标准，故应记为， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·广东珠海·期中）把下列各数分别填在相应的集合内：，73，，，，，0． 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】，，；73，0 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】此题考查了有理数的分类．根据有理数的分类方法进行解答即可． 【详解】解：负有理数集合{，，，…}； 非负整数集合{73，0…}． 故答案为：，，；73，0 10．（24-25七年级上·天津宁河·阶段检测）将下列各数填入适当的括号内： 5，，，8.9，19，，，，0， 整数集合：{                        …} 分数集合：{                       …} 正有理数集合：{                     …} 负有理数集合：{                      …} 非负数集合：{                      …}． 【答案】 解：整数集合：{5、、19、、0…}， 分数集合：{、8.9、、、…} 正有理数集合：{5、、8.9、19、…} 负有理数集合：{、、、…} 非负数集合：{5、、8.9、19、0、…}． 【知识点】有理数的分类 【分析】此题主要考查有理数的分类，按照有理数的分类即可求解，解题的关键是熟知有理数的分类方法． 【详解】略 11．（24-25七年级上·河南南阳·阶段检测）外卖送餐为我们的生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送1次外卖称为1单）的部分记为“＋”，低于40单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： (1)该外卖小哥这一周送餐最多的一天是______单，最少的一天是______单． (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)54；32； (2)301单 (3)1500元 【知识点】正负数的实际应用、有理数大小比较的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数大小比较的实际应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）先比较大小，再求出最多送餐量和最少送餐量即可； （2）由40单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）根据工资构成，每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴，分别计算每天的工资，再求和即可． 【详解】（1）解：， 该外卖小哥这一周送餐最多的一天是（单），最少的一天是（单）， 故答案为54；32； （2）解：由题意，得（单）． 答：该外卖小哥这一周总共送餐301单． （3）解：由题意，得 （元）． 答：该外卖小哥这一周的工资收入为1500元． 12．（24-25七年级上·河北唐山·期末）我国自主研发的巡逻机器人备受关注，为安保工作提供了强有力的支持．某天小明发现一个巡逻机器人正准备在一条南北方向的公路上执行治安巡逻．（规定初始位置为0，向北走为正，向南走为负）它从初始位置到结束巡逻所走的路程（单位：）如下： (1)直接写出巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离________； (2)通过计算，描述巡逻机器人结束巡逻时的最后位置； (3)已知这次巡逻机器人的平均速度为，请求出巡逻机器人的巡逻时间． 【答案】(1) (2)巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处 (3)巡逻机器人的巡逻时间 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）分别求得每次巡逻后距出发点的距离及位置后进行判断即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据绝对值的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：第1次： ； 第2次： ； 第3次： ； 第4次： ； 第5次： ； 第6次： ； ∴巡逻机器人在这次巡逻中离出发点最远的距离为， 故答案为：． （2）解：， ∴巡逻机器人结束巡逻时的最后位置在出发点南距出发点处． （3）解：此次巡逻共走：， ， ∴巡逻机器人的巡逻时间． 【考点2】数轴与数轴上的点（第13-26题） · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可 · 正数在原点的右边，负数在原点的左边，0在原点处 · 数轴上两点距离：AB=|a-b|，动点表示的数=起点+运动距离（右正左负） · 折叠数轴、圆滚动数轴问题要先确定重合点，再分析对应关系 13．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上找原点 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，由B是的中点，若假设B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾，而b的绝对值最小，所以B靠近原点，从而即可得解． 【详解】解：∵B是的中点， ∴若B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾， ∴B不是原点， ∵而b的绝对值最小， ∴B是靠近原点， ∵c的绝对值最大， ∴C离原点最远， ∴原点在线段上，更靠近点B， 故选：B． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上表示，0，5，4，的点中，不在原点右边的点有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，熟记数轴上数的特点是解题的关键，根据数轴上不在原点右边的数是非正数解答即可． 【详解】解∶在数轴上不在原点右边的数是非正数，非正数有，0，， 所以有3个． 故选：C． 15．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列数轴画的正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴的三要素及其画法 【分析】本题考查了数轴的画法，根据数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线，逐项分析判断，即可求解． 【详解】A，没有原点，故该选项不正确，不符合题意； B，单位长度不统一，故该选项不正确，不符合题意； C，正确，故该选项符合题意； D，单位标记不正确，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 16．（24-25七年级上·全国·单元复习）如图，周长为4个单位长度的圆上4等分点为，，，，点落在数轴上的2的位置，将圆在数轴上沿负方向滚动，那么圆上落在数轴上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的规律探究 【分析】本题考查图形类规律探索，数轴上两点间的距离，理解题意，找出规律是解题关键．根据数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，，解答即可． 【详解】解：根据题意可得：数轴上负方向上从2的位置开始的整数每四个数为一个循环，依次对应，，，． ∵表示的点与表示2的点的距离为， 又∵， ∴圆上落在数轴上的点是P． 故选C． 17．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图所示，表示数m、的点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键．先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 18．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上整点覆盖问题 【分析】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 19．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足．点O是数轴原点．如图，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上，木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动，且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，设点P移动的时间为t秒，当t为（   ）时，P点恰好距离木棒2个单位长度． A．3秒 B．4秒 C．14秒 D．4秒或14秒 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题先根据绝对值与平方数的非负性求出、的值，再确定木棒和点在数轴上的位置表达式，最后分情况讨论点与木棒的位置关系来求解的值．本题主要考查了数轴上的动点问题以及绝对值和平方数的非负性，熟练掌握数轴上点的移动规律和绝对值、平方数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，． ∵木棒从右端与点重合开始以每秒个单位长度向移动，出发秒后点才出发， ∴木棒移动的总时间为秒，木棒右端表示的数为，木棒左端表示的数为． ∵点从点出发，以每秒个单位长度向移动，移动时间为秒， ∴点表示的数为． 当点在木棒左侧个单位时， ， ， ， 解得． 当点在木棒右侧，距离木棒左端个单位时： ， 解得（舍去，因为）． 综上，． 故选：B． 20．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”，已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，这样依次得到点、、、，…，．若点在数轴表示的数是，则点在数轴上表示的数是_____． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数的规律探索，计算出、、、，，这六个点表示的数，找到规律是，2，依次循环，由此即可求解． 【详解】解：点在数轴表示的数是，则点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是，点在数轴表示的数是2，点在数轴表示的数是，……，由此得：三个数，2，依次循环； 而，则点在数轴上表示的数是2； 故答案为：2． 21．（24-25七年级上·河南周口·期中）已知整数：，，，，……，满足下列条件：，，，，……，依此类推，则在数轴上到的距离为3的数是_____． 【答案】或/或 【知识点】数轴上两点之间的距离、求一个数的绝对值、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字中的规律，数轴上两点间的距离，探索规律，分类求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， ， ，…； 观察其规律，可得：当，是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于； ， ，与相距3个单位长度的数是或． 故答案为：或． 22．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面． (1)若表示的点与表示2的点重合，则表示1的点与表示______的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示3的点与表示______的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为10，（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②，4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，表示的点与表示2的点重合，则对称中心是原点，从而找到1的对称点； （2）由题意可确定对称点是表示的点，则： ①表示3的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合； ②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为5，据此求解 【详解】（1）解：根据题意得对折点是， 则1表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：①根据题意得对折点是， ∴和表示3的点重合的， ② 故点表示的数是， 点表示的数是． 23．（26-27七年级上·全国·课后作业）如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】如图所示． 【知识点】数轴的三要素及其画法、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：略． 24．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 【答案】 数轴上表示为： 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数轴知识和相反数的定义．利用数轴知识，相反数的定义解答． 【详解】解：∵A点表示的数为，B点表示的数为2的相反数，C点表示的数为， ∴A是数，B是数，C点表示的数为，进而可在数轴上表示． 25．（24-25七年级上·全国·课堂练习）有两只小蚂蚁在如图所示的数轴上爬行，蚂蚁甲从图中点A的位置沿数轴向右爬了4个单位长度到达点C处，蚂蚁乙从图中点B的位置沿数轴向左爬了8个单位长度到达点D处． (1)在图中标出点C，D的位置． (2)点E到点C与点D的距离相等，在数轴上描出点E的位置，并用“”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来． 【答案】(1) 点C，D的位置如图①所示． (2) 点E的位置如图②所示． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了有理数大小比较，利用数轴比较有理数的大小：数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据数轴结合移动方向，可得答案； （2）先表示表示的数，再表示各数，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得点C表示的数为0，点D表示的数为． （2）解：由题意可得：表示的数为， 用“<”把点A，B，C，D，E所表示的数连接起来为． 26．（24-25七年级下·江西宜春·期末）课本再现 七年级下册教材中我们探究过《用求差法比较大小》：我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或代数式的大小．当不能直接比较大小时就要考虑进行一定的转化，其中“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过先求差，变形，然后利用差的符号来确定它们的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 【类比应用】 （1）用“”或“”填空． ①若时，a______b； ②若时，a______b； ③若，则______； 【解决问题】 （2）如图所示，在4×4的正方形网格中，以A为圆心AB为半径画扇形，以CE为直径画半圆，若图中阴影部分的面积分别为，，比较与的大小． 【答案】（1）①;②;③;（2） 【知识点】有理数大小比较、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解作差法是解题的关键． （1）①②根据作差法的意义解答即可；③用作差法比较即可； （2）先表示出，，再用作差法比较即可． 【详解】解：（1）①， ． ②， ． ③ ， ． 故答案为： ①；②；③． （2）设两扇形重叠部分面积为， 则，， ， ． 【考点3】相反数与倒数（第27-29题） · 求相反数：在数前加负号即可；0的相反数是0 · 若a与b互为相反数，则a+b=0；若a与b互为倒数，则ab=1 · 多重符号化简：奇数个负号为负，偶数个负号为正 · 相反数+倒数综合题：先分别求出相反数和倒数，再代入求值 27．（2025·四川泸州·中考真题）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．和 B．和 C．2和 D．和 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：A. 和互为相反数，故该选项正确，符合题意；     B. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； C. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；     D. 和，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 28．（21-22七年级上·广东汕头·阶段检测）绝对值和相反数都等于它本身的数是_________． 【答案】0 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】 本题考查了初中数学中最为特别的数字0的特性，要求熟记便于快速解决问题． 0的特性：0的绝对值是0，相反数是0，没有倒数，平方还是0等． 相反数的定义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，0的相反数是0； 绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【详解】 解：根据相反数的定义，得相反数等于它本身的数是0； 根据绝对值的意义，得绝对值等于它本身的数是非负数． 所以绝对值和相反数都等于它本身的数是0． 29．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知方程的解与关于的方程的解互为相反数，则的值是________． 【答案】225 【知识点】相反数的定义、已知式子的值，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的求解以及相反数的应用。先解第一个方程得到的值，再根据“解互为相反数”得到第二个方程的解，代入后求出，最后计算的值． 【详解】解：解方程 因为两个方程的解互为相反数，所以关于的方程的解为 把代入方程解得： 将代入解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和相反数的概念，解题关键是通过“解互为相反数”建立联系，逐步求出参数，再代入计算代数式的值． 【考点4】绝对值（第30-41题） · 求绝对值：正数取本身，负数取相反数，0取0 · 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 · 已知|a|求a：a=±|a|，注意分类讨论；若|a|=|b|，则a=b或a=-b · 绝对值方程：|x|=a（a>0）的解为x=±a；|a-1|+(b+2)2=0型利用非负性 30．（23-24七年级下·四川攀枝花·阶段检测）已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 31．（24-25七年级上·河南南阳·期末）绝对值是3的负数是____________． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】此题考查了绝对值，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴绝对值是3的负数是， 故答案为： 32．（23-24七年级上·北京房山·期末）若，则的值为__________． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是非负数的性质．先根据非负数的性质求出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 33．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，，且，那么_____． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质和有理数的加法，熟记运算法则是解题的关键． 根据绝对值的性质求出a、b，再根据有理数的加法判断出a、b的对应关系，然后相乘即可得解． 【详解】解：∵，， ，， ， 时，或时，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为． 故答案为：． 34．（23-24七年级上·河南周口·阶段检测）已知，，且，则的值是 _________________ ． 【答案】3或 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法，先根据绝对值的意义得出，，再根据，得出a和b异号，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴a和b异号， 当，时，， 当，时，， 故答案为：3或． 35．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：，，，的值是______． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、两个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查绝对值、平方根、整式的运算，掌握相关知识是解题的关键． 由绝对值和平方根的定义求出x和y的可能值，再根据乘积为负确定符号关系，最后分情况求和即可． 【详解】解：由，得或， 由，得或， 因为，所以x与y异号， 当时，，则， 当时，，则， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若，则的值为__________. 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查非负数的性质，整式的加减运算，代数式求值，熟练掌握绝对值的非负性及偶次方的非负性是解题的关键．根据非负数的性质得出，将代入代数式去括号合并同类项，再整体计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ,故答案为：． 37．（24-25七年级上·江苏南京·阶段检测）已知，且，则值等于______． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，绝对值的性质，熟记运算法则与性质是解题的关键． 根据绝对值的性质求出、的值，再判断出、的对应情况，然后根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 【答案】 【详解】解：第一次输入， 可有， 第二次输入， 可有， 第三次输入， 可有， ∴输出的结果是． 故答案为：． 38．（2024·山东济宁·一模）已知，且，则__________. 【答案】13或7 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了绝对值及其性质，求代数式的值；由已知可得a、b各两个值，再由可得a、b确定的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：， ； ， ， ，； 当时，； 当时，； 综上，的值为13或7； 故答案为：13或7． 39．（25-26七年级上·全国·课后作业）求下列各数的绝对值： ，，，，． 【答案】9；；；； 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查绝对值，正确应用绝对值的定义是解题关键． 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 40．（24-25七年级上·广西桂林·期中）绝对值的概念：在数轴上，表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作．实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为点表示的数记为，则两点间的距离就可记作． 【学以致用】 （1）数轴上表示1和的两点之间的距离是___________； （2）数轴上表示与1的两点和之间的距离为2，那么为___________； 【解决问题】 如图，已知分别为数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是50． （3）现有一只蚂蚁从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁恰好从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动．求两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间； 【数学理解】 （4）数轴上两点、对应的数分别为、，已知，点从出发向右以每秒3个单位长度的速度运动．直接写出秒后、之间的距离___________（用含的式子表示）． 【答案】（1）4；（2）或；（3）；（4） 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、绝对值非负性 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，绝对值方程的应用，非负数的性质，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． （1）直接利用两点间的距离公式进行计算即可得到答案； （2）由数轴上表示与的两点间的距离为，列方程，再解方程可得答案； （3）由路程除以两只蚂蚁的速度和可得答案； （4）先求解的值，再表示后对应的数为，再利用两点间的距离公式表示之间的距离即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）由题意得： 或， 或 故答案为：或； （3）由题意可得：， 所以两只蚂蚁在数轴上相遇时所用的时间为： （4） ， 且， ， 如图，秒后对应的数为：， 故答案为：． 41．（25-26七年级上·全国·课后作业）先阅读，后解题：符号表示的绝对值为3，表示的绝对值为3，如果那么或．若解方程，可将绝对值符号内的看成一个整体，则可得或，分别解方程可得或．利用上面的知识，解方程：． 【答案】或． 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了绝对值的意义，解一元一次方程，方程整理后，利用绝对值的代数意义转化为两个一元一次方程，求出解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴或 解得：或． 【考点5】有理数大小比较与运算（第42-50题） · 数轴法：右边的数总比左边的大；法则法：正数>0>负数，两个负数绝对值大的反而小 · 作差法：a-b>0则a>b；比较分数先通分再比较分子 · 温差、时差问题：先列式再计算，注意正负号的实际意义 · 卡片抽数、最值问题：枚举所有可能情况后比较，或结合绝对值的几何意义 42．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）某天河北省四个城市的气温如下，则当天这四个城市温差最大的是（    ） A．唐山 B．廊坊 C．保定 D．沧州 【答案】C 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了有理数减法的应用．用最高气温减去最低气温得到各城市的温差，比较后即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，四个城市的温差分别为： ， ， ， ， 综上可知，当天这四个城市温差最大的是保定， 故选：C 43．（24-25七年级上·江西赣州·期末）比较大小：___________2．（用“”“ ”或“”连接） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较．注意：正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：， 故答案为：． 44．（24-25七年级上·全国·期中）数学活动课上，王老师在4张卡片上分别写了4个不同的数（如图），然后从中抽取2张，使这2张卡片上各数之积最大，最大的积为__________． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，有理数比较大小，根据题意，分6种情况，由有理数的乘法运算法则计算后比较大小即可得到答案． 【详解】解：根据题意，抽取的2张卡片上各数之积有下面情况： ； ； ； ； ； ； ， 抽取的2张卡片上各数之积最大的值是， 故答案为：． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：________． 【答案】0 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则. 先算乘方和绝对值，再算乘除，最后加减. 【详解】解：原式 故答案为：0． 46．（24-25七年级下·重庆江津·期末）如图为某市几天的每日最高气温与最低气温的变化趋势图，根据图中信息可知，温差最大的是_________日． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了折线统计图的应用以及有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 求出每天的最高气温与最低气温的差，再比较大小即可． 【详解】解：∵由折线统计图可知， 15日的日温差； 16日的日温差； 17日的日温差； 18日的日温差； 19日的日温差； 20日的日温差； ∴温差最大的是16日． 故答案为：16． 47．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）如下是张小琴同学的一张测试卷，她的得分应是 _______． 【答案】25 【知识点】绝对值非负性、有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了幂的定义，有理数的乘方运算，绝对值的非负性，解题的关键是掌握这些基础知识点． 【详解】解：①的底数是2，故错误； ②的立方是，故错误； ③∵， ∴，， ∴，， ∴，故正确； ④若，则，故错误； 则小琴同学的得分是． 故答案为：25． 48．（26-27七年级上·全国·课后作业）现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？ 【答案】解：将81粒珍珠分成三组，每组27粒，且这三组分别记为，，， 使用天平称量两组（比如A和B），留下第三组C.不称， 如果A和B重量相同，则假珍珠在C组， 如果A比B重，则假珍珠在B组， 如果B比A重，则假珍珠在A组， 将含有假珍珠的那组（假设是C组）再次分成三组，每组9粒， 重复上述称量步骤，然后将含有假珍珠的那组分成三组，每组3粒，继续重复上述称量步骤， 最后，将含有假珍珠的那组分成三组，每组1粒， 使用天平称量其中的两粒珍珠， 如果两粒重量相同，则假珍珠是未被称量的那一粒， 如果其中一粒比另一粒轻，则假珍珠是较轻的那一粒， 通过以上步骤，我们最多需要称量四次（第一次分成三组，每组27粒；第二次分成三组，每组9粒；第三次分成三组，每组3粒；第四次确定假珍珠）即可找到假珍珠． 【知识点】推理问题 【分析】将81粒珍珠分成三组，每组27粒，且这三组分别记为，，， 使用天平称量两组（比如A和B），留下第三组C.不称， 如果A和B重量相同，则假珍珠在C组， 如果A比B重，则假珍珠在B组， 如果B比A重，则假珍珠在A组， 将含有假珍珠的那组（假设是C组）再次分成三组，每组9粒， 重复上述称量步骤，可尽快地将这粒假珍珠挑出来． 【详解】详解见答案 49．（24-25七年级上·上海·阶段检测）设，． (1)求：； (2)若，且，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】绝对值非负性、整式的加减运算、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质，解一元一次方程等知识，关键是熟练进行整式加减运算． （1）去括号，再合并同类项即可； （2）由非负数的性质求得x、y的值，再把两个值代入等式中即可求得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，且， ∴， ∴； ∵， ∴； 把代入上式中，得：， 解得：． 50．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是____________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是____________； (3)从中取山3张卡片，使这3张卡片乘积结果为，请写出所有的情况． 【答案】(1) (2) (3)，，，． 【知识点】有理数大小比较、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， （1）找出与，使其乘积最大即可； （2）找出与，使其商最小即可； （3）利用“24点”游戏规则写出两个符合要求的式子即可． 熟练掌握有理数的混合运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】（1）解：根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较和，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择和，它们的乘积为， 故答案为：； （2）解：根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，是较大的绝对值，\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是， 故答案为：； （3）解：根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为的等式有， ， ， ， ． 💯 课后巩固 复习建议 · 复习正负数的概念，理解0既不是正数也不是负数，能用正负数表示相反意义的量 · 掌握有理数的两种分类方法（按定义分类和按性质分类），做到分类不重不漏 · 熟练掌握数轴的三要素和画法，会用数轴表示有理数并比较大小，理解数形结合思想 · 掌握绝对值和相反数的概念与性质，会用绝对值非负性、分类讨论解决求值问题 · 多做数轴动点、距离最值和绝对值方程等综合题，提高分析问题和解决问题的能力 【作业1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①正数前加上负号就是负数；②不是正数的数就是负数；③只有带“＋”的数才是正数；④0既不是正数也不是负数．其中正确的有（    ） A．②④ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【知识点】正负数的定义、0的意义 【分析】考查了正数与负数，根据正数和负数的定义进行判断即可． 【详解】解：①正数前加上一个负号就是负数，说法正确； ②不是正数的数就是负数，说法错误，0既不是正数，也不是负数； ③只有带“＋”号的数才是正数，说法错误，例如5是正数，但没有带“＋”号； ④0既不是正数也不是负数，说法正确． 综上所述可得：说法正确的有①④，共计2个． 故选：B． 【作业2】．（2026·河北邢台·二模）如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【知识点】数轴上找原点 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 【作业3】．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…以此类推，下列说法中：①；②；③，正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数、数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 【详解】解：第一次操作后数列为．第二次操作时，对每个数取相反数得，加1后为，再取倒数得， 即，，，故①正确． 第三次操作后数列恢复为，形成周期为9项的循环． 计算余，对应第9项，即，故②正确． 每个周期9项的和为： 个周期余2项，总和为，故③正确． 综上，三个说法均正确， 故选D． 【作业4】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若，则的值为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或1 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的除法运算 【分析】此题考查绝对值的化简求值，由 可知 和 同号，分两种情况讨论：都正或都负，代入计算表达式的值． 【详解】∵ ，∴ 和 同号， 当 时，，，，∴ 原式 ； 当 时，，，，∴ 原式 ， ∴ 原式的值为 或 ， 故选：C 【作业5】．（2025·河南周口·三模）的运算结果等于（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，正数和0的绝对值是他本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 【作业6】．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段检测）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键．比0大的数叫正数，正数前面常有一个符号“”，通常可以省略不写；比0小的数叫做负数，负数用负号“”和一个正数标记．利用正数、负数和0的意义可得出答案． 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，； 负数有，； 0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 【作业7】．（25-26七年级上·全国·课后作业）点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置．已知点B与原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为________． 【答案】7或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查数轴上的动点问题，根据数轴上的点的移动规则，左移减，右移加，分在原点的左侧和右侧两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B与原点的距离是5个单位长度， ∴点表示的数为或， ∵点A在数轴（向右为正方向）上先向左移动3个单位长度，再向右移动1个单位长度到达点B的位置， ∴点向左平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，到达点A的位置， ∴点表示的数为或； 故答案为：7或． 【作业8】．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如果互为倒数，互为相反数，那么______． 【答案】 【知识点】相反数的应用、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查倒数和相反数的概念，代数式求值；首先根据倒数的概念，可知，根据相反数的概念可知，然后把它们分别代入，即可求出代数式的值. 【详解】若，互为倒数，则， ，互为相反数，则， 那么， 故答案为：． 【作业9】．（23-24七年级上·河南郑州·阶段检测）绝对值不大于4.6的整数有 _____个，它们的和是 _____． 【答案】 9 0 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】此题考查了绝对值的意义，有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．找出绝对值不大于4.6的所有整数，求出之和即可． 【详解】解：绝对值不大于4.6的整数有0，，，，，共9个， ，即它们的和是0． 故答案为：9，0． 【作业10】．（23-24七年级上·吉林长春·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据两个负数相比较，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【作业11】．（24-25七年级上·四川眉山·阶段检测）若，则______． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】根据绝对值的非负性求出、的值，再将、的值代入进行计算即可．本题主要考查了绝对值的非负性以及代数式求值．熟练掌握绝对值的非负性“若几个绝对值的和为，则每个绝对值内的式子都为”，是解题的关键． 【详解】解：因为，，且， 所以 由可得； 由可得； 当，时， ， 故答案为：． 【答案】①②④ 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数减法法则，解题关键是熟记法则，准确进行判断即可． 【详解】解：①，所以，则，①正确； ②若，所以，则，②正确； ③若，所以，则，③错误； ④若，且，所以，则，，④正确． 故答案为：①②④． 【作业12】．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）的相反数是___________； （2）若的相反数是，则___________． 【答案】 a / 【知识点】相反数的定义 【分析】（1）根据只有符号不同的两个数互为相反数，得的相反数是a，解答即可． （2）根据的相反数是a，的相反数是，根据等量代换，得． 本题考查了相反数，等量代换，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据只有符号不同的两个数互为相反数，得的相反数是a， 故答案为：a． （2）解：根据（1）得的相反数是a，又的相反数是， 根据等量代换，得． 故答案为：． 【作业13】．（25-26七年级上·吉林松原·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： 15，，0.81，，，，，171，0，3.14． 正数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； 负数集合：{　　　　　　　　　　　　　　…}； 非负整数集合：{　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】 正数集合：{15，0.81，，171，3.14 …}； 负数集合：{，，，…}； 非负整数集合：{15，171，0…}． 【知识点】有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的概念是解题的关键． 根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】略 【作业14】．（23-24七年级上·湖北襄阳·期中）给出下面六个数：，，，，，．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键． 先画出数轴，再在数轴上表示出各数即可． 【详解】略 ． 【答案】 解：数轴上表示各数如图： 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【详解】略 【作业15】．（24-25七年级上·山东济南·阶段检测）有理数，且互为倒数，互为相反数，的绝对值为2． (1)已知互为倒数，则____________； (2)已知互为相反数，则____________； (3)已知的绝对值为____________； (4)求的值． 【答案】(1)1 (2)0 (3) (4)或 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值、倒数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数的定义，相反数的定义，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握乘积为1的两个数，互为倒数；只有符号不同的两个数互为相反数． （1）根据倒数的定义进行解答即可； （2）根据相反数的定义进行解答即可； （3）根据绝对值的意义进行解答即可； （4）将，，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵互为倒数， ∴， 故答案为：1； （2）解：∵互为相反数， ∴， 故答案为：0； （3）解：∵的绝对值为2， ∴， 故答案为：； （4）解：当，，时， ； 当，，时， ； 综上，的值为或． 【作业16】．（25-26七年级上·全国·课后作业）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】：（1）如果，那么 ； （2）若，，且数a、b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ； （3）求代数式的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （4）若x表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）0或；（2）8，2；（3）最小值是3，此时x取的整数有或或0或1；（4）8 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，两点之间的距离， 对于（1），根据绝对值的意义解方程即可； 对于（2），根据绝对值的意义分别求出a与b的值，再分别讨论最大值与最小值； 对于（3），求代数式的最小值，即找一点到坐标和1点距离和最小，由线段的性质可知最小值，最后得出x的取值即可． 对于（4），根据（3）的求法可以求出的最小值，最后再计算最小值即可． 【详解】解：（1）， 故或， 即或. 故答案为：0或； （2）， 即或，或， 故或1，或． 故A、B两点最大的距离是，最小的距离为． 故答案为：8，2； （3）的最小值是3， 由题意得：， ∵x为整数， ∴x可取的整数值为：，0，1； （4）代数式有最大值． ∵由题意可知：的最小值为5， ∴代数式最大值为： ． 【作业17】．（25-26七年级上·全国·课后作业）海海有5张从左到右标号依次为①②③④⑤的卡片（如图），每张卡片上写着不同的数．请你按照要求，解决下列问题： (1)在上面给出的数轴上标出其余4张卡片上的数所表示的点，并将卡片上的5个数进行大小比较，用“<”连接． (2)若从5张卡片中抽取1张卡片，要使这张卡片上的数的绝对值最大，如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1) 在数轴上表示如图． (2)抽取①号卡片的绝对值最大，最大值是4． 【知识点】用数轴上的点表示有理数、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴表示有理数的大小，以及有理数的绝对值的求法． （1）根据数轴上的点与有理数的关系在数轴上即可表示出各数，然后按照数轴上的右边的点比左边的点表示的数大比较大小即可； （2）分别求出张卡片上的数的绝对值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：数轴上右边的点比左边的点表示的数大， ． （2）解：，，，，， 抽取①号卡片的绝对值最大，最大值是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $