考点通关练 11导数与函数的单调性专项训练 - 2027 届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与函数单调性核心应用，通过分层题型构建从基础判断到综合探究的知识逻辑链，培养数学思维的逻辑性与问题求解能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|14题|涵盖比较大小、单调区间判断、极值点分析、函数与导函数图像关系|从导数符号与单调性的基础概念，到极值点判定、参数范围求解，形成"概念-判断-应用"的递进逻辑| |解答题|2题|综合考查单调区间、切线倾斜角、公切线问题及参数讨论|以导数几何意义与单调性综合为核心，构建"单一性质应用-多知识点交汇"的拓展逻辑|

考点通关练 11导数与函数的单调性模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 2.已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3.已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　) A. f >f(1)>f  B. f(1)>f >f  C. f >f(1)>f  D. f >f >f(1) 4.（2025-2026·吉林松原高三上模拟）若函数的减区间为，则的值为（） A.3 B.1 C. D. 5.已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6.（2025-2026·黑龙江齐齐哈尔高三上开学考）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（） A.有2个极值点 B.在处取得极大值 C.在上单调递增 D.有极小值，没有极大值 7.已知函数f(x)＝ln x－设a＝f(log32)，b＝f(log0.20.5)，c＝f(ln 4)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 8.（2025-2026·山东日照高三上期末）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（） A.有极小值点，没有极大值点 B.有极大值点，没有极小值点 C.至少有两个极小值点和一个极大值点 D.至少有一个极小值点和两个极大值点 二、多选题（共3小题） 9.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为(　　) A.(－∞，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，＋∞) 10.（2026·湖南衡阳二模）已知函数，则下列结论正确的是（） A.在区间上单调递增 B.的最小值为 C.方程的解有个 D.导函数的极值点为 11.设函数，则(　　) A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为 C. 方程只有一个实根 D. ，都有成立 三、填空题（共3小题） 12.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调递减区间为则a＝                13.函数的单调减区间是                  . 14.（2026·陕西渭南三模）若函数有两个极值点，则的取值范围为                    四、解答题（共2小题） 15.已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围． 16.（2026·湖南邵阳三模）已知函数和． (1)设函数，讨论的单调性； (2)若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围； (3)求函数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点通关练 11导数与函数的单调性模块练习 2027 届高考数学一轮复习 一、选择题（共8小题） 1.，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【答案】C 【解析】令，所以， 所以当x∈(0，e)时，，单调递增； 当x∈(e，+∞)时，，单调递减， 因为，b===f(e)，， 所以f(e)＞f(4)＞f(9)，即b>a>c. 故选：C. 2.已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】不等式的解集即函数的减区间， 由题图知的减区间为， 故的解集为. 故选：B. 3.已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f ，f(1)，f 的大小关系为(　　) A. f >f(1)>f  B. f(1)>f >f  C. f >f(1)>f  D. f >f >f(1) 【答案】A 【解析】因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f ＝f .当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上是增函数，所以f <f(1)<f ，即f >f(1)>f . 4.（2025-2026·吉林松原高三上模拟）若函数的减区间为，则的值为（） A.3 B.1 C. D. 【答案】A 【解析】由得. 因为的减区间为,所以的解集为. 由得,即. 故,解得. 故选:A. 5.已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由函数的图象可知： 当x<-1时，，即，此时单调递增； 当-1<x<0时，，即，此时单调递减； 当0<x<1时，，即，此时单调递减； 当x>1时，，即，此时单调递增． 故选：C. 6.（2025-2026·黑龙江齐齐哈尔高三上开学考）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（） A.有2个极值点 B.在处取得极大值 C.在上单调递增 D.有极小值，没有极大值 【答案】D 【解析】由导函数的图象可知， 当时，（当且仅当时取等号）； 当时，. 因为导函数时函数单调递减，时函数单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增. 由极值点定义，导函数符号由负变正的点为极小值点， 由正变负的点为极大值点. 因为在处由负变正， 所以为的极小值点； 又当时，， 但时，即两侧导函数均非正， 故不是极值点. 因此仅有一个极小值点，无极大值点. 对于选项A：因为仅有1个极值点，所以A错误. 对于选项B：因为处不是极值点，所以B错误. 对于选项C：因为在上单调递减，所以C错误. 对于选项D：因为有极小值点，无极大值点，所以D正确. 答案为D. 7.已知函数f(x)＝ln x－设a＝f(log32)，b＝f(log0.20.5)，c＝f(ln 4)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 【答案】A 【解析】因为f(x)＝ln x－则x∈(0，＋∞)， 所以f'(x)＝ ＝ 又当x∈(0，＋∞)时，ex>1≥－所以f'(x)>0恒成立， 所以f(x)＝ln x－在(0，＋∞)上单调递增. 又0<log32<1，0<log0.20.5＝lo＝log52<log32，ln 4>1， 所以ln 4>log32>log0.20.5，则c>a>b. 8.（2025-2026·山东日照高三上期末）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（） A.有极小值点，没有极大值点 B.有极大值点，没有极小值点 C.至少有两个极小值点和一个极大值点 D.至少有一个极小值点和两个极大值点 【答案】C 【解析】由题设得，求导得，设直线与相切两点的横坐标为，满足，由切线斜率相等得，故是的两个零点. 结合函数图象可得，存在使得，由此可知共有三个不同零点，满足. 当时，，当时，，当时，，当时，. 由导数符号与函数单调性的关系得在递减，在递增，在递减，在递增，故为极小值点，为极大值点，即至少有两个极小值点和一个极大值点. 故选：C. 二、多选题（共3小题） 9.函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为(　　) A.(－∞，－1) B.(－1，0) C.(0，1) D.(1，＋∞) 【答案】AC 【解析】由题意得y'＝4x3－4x＝4x(x2－1)＝4x(x＋1)(x－1)， 令y'<0，解得x<－1或0<x<1， 结合选项可知函数y＝x4－2x2＋5的单调递减区间可以为(－∞，－1)，(0，1). 10.（2026·湖南衡阳二模）已知函数，则下列结论正确的是（） A.在区间上单调递增 B.的最小值为 C.方程的解有个 D.导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】定义域为，求导得，令，得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的最小值为，由此可得选项A、B正确. 当时，；当时，，结合单调性与最小值可得，直线与曲线仅有一个交点，故方程的解只有个，选项C错误. 令，求导得，令得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故的极值点为，选项D正确. 答案为ABD. 11.设函数，则(　　) A. 在上单调递减 B. 在上的最大值为 C. 方程只有一个实根 D. ，都有成立 【答案】BCD 【解析】由题可得， 令，则， 当时，，所以，在上单调递减． 又，所以当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上，． 当时，， 所以在上的最大值为，故A错误，B正确； ，即 ， 由图象知，与的图象只有一个交点，故C正确； 令， 则 ， 当时，，单调递增， 当时，，当时，， 所以在上先增后减， 又， ，所以成立，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（共3小题） 12.(2025·南通模拟)已知函数f(x)＝x2－ax＋ln x(a∈R)的单调递减区间为则a＝　　　　　　.  【答案】3 【解析】由题意可得，f'(x)＝2x－a＋<0的解集为则a＝3. 13.函数的单调减区间是                  . 【答案】(a，a+1) 【解析】依题意，函数f(x)的定义域为R， ， 由解得a<x<a+1，即f(x)在(a，a+1)上单调递减， 所以f(x)的单调减区间是(a，a＋1). 故答案为：(a，a＋1). 14.（2026·陕西渭南三模）若函数有两个极值点，则的取值范围为                    【答案】 【解析】由求导得，因为有两个极值点，所以有两个不同零点，且零点两侧导函数符号异号. 令，设，求导得. 当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的极小值即最小值为. 当时，恒成立，当时，恒成立，要使有两个不等实根，需满足，化简得，经验证符合要求. 故答案为：. 四、解答题（共2小题） 15.已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围． 【答案】解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝， 当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)； 当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)； 当a＝0时，f(x)为常函数． (2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2， ∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝. ∴g(x)＝x3＋x2－2x， ∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. ∵g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数， 即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点． 由于g′(0)＝－2，∴ 当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1，2]恒成立， 由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0， 即m<－5且m<－9，即m<－9； 由g′(3)>0，即m>－.∴－<m<－9. 即实数m的取值范围是. 16.（2026·湖南邵阳三模）已知函数和． (1)设函数，讨论的单调性； (2)若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围； (3)求函数的最小值． 【答案】解：(1)由题意得，定义域为，求导得. 当时，恒成立，故在上为单调递减函数. 当时，令得，令得，结合定义域可得在上单调递增，在上单调递减. (2)设公切线与相切于点，与相切于点，由得的方程为，由得的方程为. 联立系数相等得，整理得. 设，求导得，由得或，故在和上单调递增，在上单调递减. 当时，当时，且，，要使有三个不同实根，需，故实数的取值范围为. (3)，定义域为，求导得，设，求导得，故在上单调递增. 由，，得存在唯一零点，满足. 故在上单调递减，在上单调递增，最小值为，结合零点条件化简得. 由，设，得，由知单调递增，故，即，代入得，故的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $