第4章·代数式·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第4章·代数式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解代数式概念并会列代数式 · 掌握整式加减与去括号法则 · 会化简含绝对值的式子 · 会用数轴与绝对值距离解题 · 掌握数字规律与新定义运算 📚 知识梳理 ☆ 1.代数式与列代数式 用运算符号把数和字母连接的式子叫代数式 列代数式注意书写规范：数在前字母在后 除法写成分数形式，带分数化假分数 实际问题用代数式表示数量关系 概念辨析例题：a的2倍与b的和的平方。 答案：(2a+b)2。 解析：先读题，按运算顺序加括号。 ☆ 2.整式的加减 同类项：字母相同且相同字母指数相同 合并同类项：系数相加字母部分不变 去括号：括号前是负号各项变号 整式加减先去括号再合并同类项 概念辨析例题：化简：3(x-2y)-2(2x-y)。 答案：-x-4y。 解析：去括号：3x-6y-4x+2y=-x-4y。 ☆ 3.绝对值化简 正数绝对值是它本身，负数是它的相反数 化简含字母绝对值先判断正负 零点分段法：找绝对值为0的点分段讨论 几个绝对值之和的最小值在零点处取得 概念辨析例题：a<0时化简|a|+a。 答案：0。 解析：|a|=-a，|a|+a=-a+a=0。 ☆ 4.数轴与距离、数字规律 数轴上两点距离=|a-b| |x-a|+|x-b|最小值在a,b之间取得 数列规律先写前3项找递推 新定义运算按定义代入计算 概念辨析例题：|x-1|+|x-3|最小值是多少？ 答案：2。 解析：1≤x≤3时最小，=2。 📋 知识总结表 核心概念 法则/公式 注意事项 代数式 数与字母运算连接 除法写分数 同类项 字母同指数同 与系数无关 合并同类项 系数相加字母不变 不是同类项不能合并 去括号 负号全变号 不要漏乘 绝对值 |a|=a(a≥0)，|a|=-a(a<0) 先判正负 数轴距离 |AB|=|a-b| 距离非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】列代数式与整式加减几何应用（第1-13题） · 图形周长问题用代数式表示边长再化简 · 数字问题按位值原理展开 · 去括号注意负号全变 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）将一些数字填入如图幻方中，使每个三角形的三个顶点上的数字之和相等，则的值是（   ）  ． A．6 B．1 C． D． 2．（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·上海·期末）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，为“数3”，为“数4”．若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法正确的是（    ） 嘉嘉：代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果： 琪琪：代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果． A．只有嘉嘉正确 B．只有琪琪正确 C．嘉嘉、琪琪都正确 D．嘉嘉、琪琪都不正确 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）某学校为丰富课后服务内容，开设了海岛生态观察（A），台州非遗手作（B），古城数学探秘（C）三门拓展课程，七（1）班每个同学都至少选择其中一门课程，但不超过两门．只选了一门课程的有人，选了两门课程的有人，选择课程A的有人，选择课程的也是21人，选择课程的有人，下列说法中错误的是（    ） A．七（1）班总人数人 B．同时选了A和B两门课程的人数比只选了C课程的人数少人 C．同时选了A和C两门课程的人数比只选了B课程的人数少人 D．同时选了B和C两门课程的人数比只选了A课程的人数少人 5．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 6．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4．下列结论：①小长方形的较长边为；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当时，阴影A和阴影B的面积和为220．其中正确结论的序号有_____________． 9．（25-26七年级上·山西·期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，如果，那么我们把这个四位正整数叫做“等和数”．例如四位正整数，因为，所以叫做“等和数”．判断4567是否是“等和数”______（填是或否）；已知是一个“等和数”，个位上的数字是，百位上的数字是，且能被整除，则________． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，每个小三角形的边长都为1，由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，图中共有四个“单元”，每个“单元”的四个数字之和都相等．下列说法中，正确的是________． ①； ②； 若、，，则； ④若十个小三角形中填入的是数字1到数字10，则每个“单元”的数字之和为奇数． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是__________． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次减少相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递减数”，记为，把这个“递减数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的三位数，记为，例如交换后为123，即，规定，如． (1)求，的值． (2)若一个三位“递减数”的百位数字、十位数字、个位数字分别为、、，其中且为整数，求证：． (3)若是百位数字为9的数，是个位数字为1的数，且满足，记，求的最大值． 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【考点2】绝对值化简与求值（第14-22题） · 先判断字母正负再去绝对值 · 多个绝对值用零点分段 · 非负性：|a|≥0 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 15．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 17．（25-26七年级上·四川广元·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①0是绝对值最小的有理数；②那么；③0只表示“没有”的意义；④立方等于本身的数：；⑤近似数精确到千位；⑥倒数等于它本身的数：、0；⑦是负数． A．5 B．4 C．3 D．1 18．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知x，y满足且，则符合条件的整数x，y的值中，______． 19．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中，正确的是______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为2； ③若，则是负数； ④三点在数轴上对应的数分别是、x、6，若相邻两点的距离相等，则； ⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑥若，则的值为1． 20．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则________． 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，为3个自然数，满足，其中，试求的最大值． 22．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的方程有四个解，化简． 【考点3】数轴与绝对值距离综合（第23-28题） · 距离=|a-b|，结合数轴分析 · 两绝对值和的最小值在零点间 · 新定义距离按定义列式 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 24．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ； (2)若数轴上表示数的点位于和之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是 ； 25．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ； ②求的最小值． 26．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________； ②的值为________（用含的式子表示）． 27．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是_______； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么_______； (3)若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是_______，最小距离是_______． (4)若数轴上表示数的点位于与5之间，则_______． 28．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 【考点4】数字规律与新定义运算（第29-45题） · 数列规律先写前3项找周期 · 杨辉三角/数表按递推写通项 · 新定义运算严格按定义代入 29．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则点与点之间的距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 30．（24-25七年级上·广东深圳·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定，如，则的值为（    ） A． B． C． D．8 31．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 32．（25-26七年级上·浙江温州·期中）任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，，，…．若分裂后，其中有一个奇数是2025，则的值是（   ） A．44 B．45 C．46 D．47 33．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按一定规律排列的一列数依次为：按此规律排列下去，第7个数为_____，第（为正整数）个数为_____． 34．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若有理数，则我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．如果第一个数，第二个数是的差倒数，第三个数是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么：（1）______；（2）______． 35．（24-25七年级上·江西赣州·阶段检测）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 36．（25-26七年级上·山东济南·期中）若一个三位自然数的百位数字a、十位数字b、个位数字c恰满足，则称这个数为“捧月数”．例如：自然数165中，，则165是“捧月数”；自然数793中，，则793不是“捧月数”．若一个“捧月数”能被12整除，则这个“捧月数”最大为______． 37．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为________；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为_______． 38．（25-26七年级上·浙江金华·期中）一列数，，…中的任意三个相邻数之和都是20，若，，则______． 39．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…．其中第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，依此类推．若整数满足如下条件：且该列数的前项和为2的整数幂．则整数的最小值为______． 40．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： (1)根据表中规律，求 = ；（写计算结果） (2)根据表中规律，则 ；（只列式，不写计算结果） (3)求的值． 41．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子： ，，，，； (1)请写出第个式子：___________； (2)计算：． 42．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学习内容的特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 43．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）根据规律求值． ，，，…… 则 ． (1)求值：； (2)求值：； (3)求值：． 44．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： (1)若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； (2)小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 45．（24-25九年级下·安徽·阶段检测）在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空：①；②． (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为_______，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 💯 课后巩固 复习建议 · 列代数式按顺序 · 去括号负号变号 · 绝对值先判正负 · 距离用|a-b| · 规律列前3项 【作业1】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．36 B．34 C．32 D．17 【作业2】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【作业3】．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【作业4】．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【作业5】．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）王老师报出一个五位数，学生们将它顺序倒排后得到的五位数减去原数后，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956．王老师判定4个结果中有一个是正确的，答对的是______． 【作业6】．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）若干个1与排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，， ，规则是：第个数是，其后写个，第个数是，其后写个，，即在第个与第个之间插入个，，，．则该数列前个数的和为(    ) A．200 B．224 C．165 D．187 【作业7】．（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）如图，将一列有理数按如图规律排列，则数对应中的哪个位置（   ） A．A B．B C．C D．D 【作业8】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值为______． 【作业9】．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）数列的第2025项的值是__________． 【作业10】．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2026的点与圆周上表示数字______的点重合． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）现有一列数，，，，，，，其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则________． 【作业12】．（2025·福建龙岩·一模）若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． (1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； (3)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 【作业13】．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：表示a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知图①，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出的最小值为______；当______时，的最小值为______． (2)应用二：在图①中，若点A以3个单位长度/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．点A表示的数为______：（用含t的式子表示）； 将数轴沿着点A折叠，若数轴上点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，且M，N两点沿着A点折叠后重合，则点M表示的数是______；点N表示的数是______；点C表示的数是______． (3)应用三：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依此类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段长度为______；应用这个原理，请计算：． 【作业14】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在一个的方格中填写了9个不同的数字，且使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”． (1)图1是一个“幻方”，则________；________；________； (2)图2是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图3，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中．请写出a的值，并说明理由． 【作业15】．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章·代数式·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解代数式概念并会列代数式 · 掌握整式加减与去括号法则 · 会化简含绝对值的式子 · 会用数轴与绝对值距离解题 · 掌握数字规律与新定义运算 📚 知识梳理 ☆ 1.代数式与列代数式 用运算符号把数和字母连接的式子叫代数式 列代数式注意书写规范：数在前字母在后 除法写成分数形式，带分数化假分数 实际问题用代数式表示数量关系 概念辨析例题：a的2倍与b的和的平方。 答案：(2a+b)2。 解析：先读题，按运算顺序加括号。 ☆ 2.整式的加减 同类项：字母相同且相同字母指数相同 合并同类项：系数相加字母部分不变 去括号：括号前是负号各项变号 整式加减先去括号再合并同类项 概念辨析例题：化简：3(x-2y)-2(2x-y)。 答案：-x-4y。 解析：去括号：3x-6y-4x+2y=-x-4y。 ☆ 3.绝对值化简 正数绝对值是它本身，负数是它的相反数 化简含字母绝对值先判断正负 零点分段法：找绝对值为0的点分段讨论 几个绝对值之和的最小值在零点处取得 概念辨析例题：a<0时化简|a|+a。 答案：0。 解析：|a|=-a，|a|+a=-a+a=0。 ☆ 4.数轴与距离、数字规律 数轴上两点距离=|a-b| |x-a|+|x-b|最小值在a,b之间取得 数列规律先写前3项找递推 新定义运算按定义代入计算 概念辨析例题：|x-1|+|x-3|最小值是多少？ 答案：2。 解析：1≤x≤3时最小，=2。 📋 知识总结表 核心概念 法则/公式 注意事项 代数式 数与字母运算连接 除法写分数 同类项 字母同指数同 与系数无关 合并同类项 系数相加字母不变 不是同类项不能合并 去括号 负号全变号 不要漏乘 绝对值 |a|=a(a≥0)，|a|=-a(a<0) 先判正负 数轴距离 |AB|=|a-b| 距离非负 ⚠️ 核心考点 【考点1】列代数式与整式加减几何应用（第1-13题） · 图形周长问题用代数式表示边长再化简 · 数字问题按位值原理展开 · 去括号注意负号全变 1．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）将一些数字填入如图幻方中，使每个三角形的三个顶点上的数字之和相等，则的值是（   ）  ． A．6 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用． 根据题意得到，，求得，，据此计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴，即， 故选：D． 2．（24-25七年级上·甘肃临夏·期末）如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，设，，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 3．（25-26六年级上·上海·期末）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包含括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，为“数3”，为“数4”．若将任意两个数交换位置，称这个过程为“换位思考”．例如：对上述代数式的“数1”和“数4”进行“换位思考”，得到：，则下列说法正确的是（    ） 嘉嘉：代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果： 琪琪：代数式进行一次“换位思考”，化简后可能得到4种结果． A．只有嘉嘉正确 B．只有琪琪正确 C．嘉嘉、琪琪都正确 D．嘉嘉、琪琪都不正确 【答案】A 【知识点】去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查新定义“换位思考”的理解与应用，需根据定义交换代数式中的数后化简，判断可能得到的结果种类数．嘉嘉的式子，正确；琪琪的式子因最后一项符号不同，交换后得到5种结果，而非4种，错误． 【详解】解：嘉嘉的式子： ∵ 有4个数：，，， ∴ 交换与括号内数得3种不同结果，括号内数间交换得1种结果，共4种，嘉嘉正确． 琪琪的式子： ∵ 有4个数：，，， ∴ 交换所有可能对： 交换与：得 交换与：得 交换与：得 交换与：得 交换与：得（与原始相同） 交换与：得（与原始相同） ∴ 得5种不同结果，琪琪错误． 故选：A. 4．（25-26七年级上·浙江台州·期末）某学校为丰富课后服务内容，开设了海岛生态观察（A），台州非遗手作（B），古城数学探秘（C）三门拓展课程，七（1）班每个同学都至少选择其中一门课程，但不超过两门．只选了一门课程的有人，选了两门课程的有人，选择课程A的有人，选择课程的也是21人，选择课程的有人，下列说法中错误的是（    ） A．七（1）班总人数人 B．同时选了A和B两门课程的人数比只选了C课程的人数少人 C．同时选了A和C两门课程的人数比只选了B课程的人数少人 D．同时选了B和C两门课程的人数比只选了A课程的人数少人 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式，通过设未知数表示各部分人数，利用题目给出的人数条件建立等式，联立推导后逐一验证选项． 【详解】解：设只选课程A的有人，只选课程B的有人，只选课程C的有人，同时选A、B的有人，同时选A、C的有人，同时选B、C的有人， 只选一门的有人，选两门的有人， ，， 总人数为， 故A选项正确； 选择课程A的有人，选择课程B的有人，选择课程C的有人， ， 由①得：，即， 说明同时选B、C的人数比只选A的少人， 故D选项正确； 由②得：，即， 说明同时选A、C的人数比只选B的少人， 故C选项正确； 由③得：，即， 说明同时选A、B的人数比只选C的多人，与B选项表述矛盾， 故B选项错误． 故选：B． 5．（25-26七年级上·云南昭通·阶段检测）甲、乙、丙三个商店同款足球的单价都是80元，但优惠方式各不相同（如下表），李老师要为学校购买10个足球，选择（    ）商店能让支付的金额最少． A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数乘法和减法的应用，根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额，然后比较选择费用最低的商店． 【详解】解：根据三家商店的优惠方式，分别计算甲、乙、丙三个商店购买10个足球的实际支付金额为： 甲商店：优惠为“买10个送1个”，购买10个需支付（元），但实际得到11个，因李老师只需10个，需按原价支付800元； 乙商店：全场八折，总金额为元，打八折后为（元）； 丙商店：每满100元返15元现金，实际支付（元）； ， 乙商店实际支付金额最少，为640元， 故选：B． 6．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，正方形和长方形的周长公式，解题关键是通过利用正方形和长方形周长相等这一条件，建立等式关系，进行代数运算和推理的能力．设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③．然后根据①+③的周长和②+③的周长之差为6，列出等式，化简得到．再由正方形和长方形周长相等，即，变形为．最后通过和这两个式子，能够求出（即）与（即）的差，从而确定答案为C选项，而其他选项仅根据现有条件无法求出具体数值． 【详解】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③ ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， ①+③的周长和②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 又因为， 可通过这两个式子求出的值， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 答案选C． 8．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长为y，宽为x的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4．下列结论：①小长方形的较长边为；②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当时，阴影A和阴影B的面积和为220．其中正确结论的序号有_____________． 【答案】①②③ 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式以及整式的加减混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． 观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和，可得出说法④不符合题意． 【详解】解：∵大长方形的长为，小长方形的宽为， ∴小长方形的长为，说法①正确； ∵大长方形的宽为，小长方形的长为，小长方形的宽为， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②正确； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③正确； 当时，阴影A的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的较长边为，较短边为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为：，说法④错误， 故答案为：①②③． 9．（25-26七年级上·山西·期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为，如果，那么我们把这个四位正整数叫做“等和数”．例如四位正整数，因为，所以叫做“等和数”．判断4567是否是“等和数”______（填是或否）；已知是一个“等和数”，个位上的数字是，百位上的数字是，且能被整除，则________． 【答案】 否 8365 【知识点】整式加减的应用、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值；新定义的运算法则，利用“等和数”的定义进行验证，即可得到答案；由题意可设这个四位数的十位数为a，千位数为b．然后根据7的倍数关系，以及“等和数”的定义，利用分类讨论思想进行分析，即可得到答案． 【详解】解：在中，因为， ∴不是“等和数”． 由题可得，设这个四位数的十位数为，千位数为，且，， 四位正整数是“等和数”， ，则， ，即， 这个四位数为： ， ，， ， ∵这个“等和数”能被整除，即这个四位数是的倍数， 必须是的倍数； ， ∴， ∴或， ∴（舍去）或， ∴； 综上所述，这个“等和数”为：． 故答案为：否；． 10．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，每个小三角形的边长都为1，由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，图中共有四个“单元”，每个“单元”的四个数字之和都相等．下列说法中，正确的是________． ①； ②； 若、，，则； ④若十个小三角形中填入的是数字1到数字10，则每个“单元”的数字之和为奇数． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用，根据每个“单元”的四个数字之和都相等，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：每个“单元”的四个数字之和都相等， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②错误； ，、，， ， ，故正确； ， 若十个小三角形中填入的是数字1到数字10，则每个“单元”的数字之和为：， 是奇数， 是奇数， 是奇数，即每个“单元”的数字之和为奇数，故④正确； 综上可知，正确的有， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是__________． 【答案】或 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，整式加减的应用等知识点，根据已知条件逐步推理并充分利用，，，的约束条件是解题的关键． 设这个四位数为，则，，，，首先，因为若，则可推出与已知条件不符，因而，，于是，根据题意可得，即，可推出，，因而，于是可得，即，进而可得出其整数解为或，于是得解． 【详解】解：设这个四位数为，则， 首先， ，，，若，则有： ， ，与已知条件不符， ， ， ， 根据题意可得： ， 整理，得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 整数解为：或， 故所求四位数为或， 经检验，两个数都符合要求， 故答案为：或． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次减少相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递减数”，记为，把这个“递减数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的三位数，记为，例如交换后为123，即，规定，如． (1)求，的值． (2)若一个三位“递减数”的百位数字、十位数字、个位数字分别为、、，其中且为整数，求证：． (3)若是百位数字为9的数，是个位数字为1的数，且满足，记，求的最大值． 【答案】(1)； (2) 证明：， ， ∴ ； (3)最大值为325 【知识点】列代数式、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式和整式加减的应用，解答关键要理解每个递减数的各数位数字递减的规律． （1）根据题意列出算式，进行计算，即可求解； （2）根据题意得出，，然后代入进行计算即可； （3）由于、为递减数，需要设出每个数的递减的数值为、，根据题意，列出、的关系，再用、表示即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：设、的每个数位上的数字递减数值分别为、， 、为各个数位上的递减数值，递减后的数值不能使各数位上的数字小于1， 、分别取的整数， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∵， ， ，且为整数， 当时，最大值为325． 13．（24-25七年级上·浙江台州·期末）对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【答案】(1) ，， 不是“好六数”， 故答案为：不是； (2)，，7；，6； (3) ， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 是“好六数”， ， 即， ， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除． 【知识点】有理数四则混合运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”； （2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可； （3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除． 【详解】（1） 略 （2）解：因为， 所以，，， 所以， 所以是“好六数”， 故答案为：，，7；，6； （3）略 【考点2】绝对值化简与求值（第14-22题） · 先判断字母正负再去绝对值 · 多个绝对值用零点分段 · 非负性：|a|≥0 14．（25-26七年级上·福建漳州·期中）已知，，均为整数，且满足，则的值为（    ） A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的性质．由绝对值的性质及整数条件，可知和中一个为，另一个为，从而推导出的值． 【详解】，且，，均为整数， 和均为非负整数，且和为， 可能情况为： ①且，则， ； ②且，则， ． 综上，． 故选：A． 15．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段检测）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和．例如：对 ，2，5进行“运算”，得．下列说法： ①对进行“运算”的结果是5，则的值是3； ②对进行“运算”的结果是22，则的取值范围是； ③对进行“运算”，化简后的结果可能存在5种不同的表达式． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了新定义运算，化简绝对值符号，绝对值的几何意义，整式的加减运算，理解新定义运算是解题的关键． 根据“F运算”的运算方法进行运算可判断①和②；先根据“F运算”的运算方法进行运算，再分类化简绝对值符号，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：①由题意得， ，解得 或3，故①错误； ②由题意得，即， ∴当，等式成立；故②正确； ③对进行“运算”得， 当 ，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， 当，原式， ∴进行“运算”化简后的结果可能存在6种不同的表达式，故③错误； 故选：B． 16．（25-26七年级上·重庆万州·期中）已知，，且，则的值为（    ） A．0 B．0或1 C．0或或1 D．0或1或 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查带字母的绝对值化简问题，根据已知条件得出a、b、c 中负数的个数是解题的关键． 由 可知 a、b、c 中负数的个数为奇数（1 个或 3 个），但由排除三负的情况，故恰好一个负数、两个正数，进而计算各项值，、、中两个为 1、一个为 ，和为 1；因而为。代入表达式得． 【详解】解：∵， ∴a、b、c 中负数的个数为奇数； ∵， ∴a、b、c 中不可能有三个负数（否则和为负），故恰好一个负数、两个正数． ∴、、中两个为 1、一个为，其和为 ． 又 ∵， ∴． ∴． 故选：A． 17．（25-26七年级上·四川广元·期中）下列说法正确的个数是（   ） ①0是绝对值最小的有理数；②那么；③0只表示“没有”的意义；④立方等于本身的数：；⑤近似数精确到千位；⑥倒数等于它本身的数：、0；⑦是负数． A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、有理数的乘方运算、求近似数的精确度 【分析】本题考查有理数的绝对值、立方、倒数等概念，以及近似数的精确度． 逐项判断说法是否正确即可． 【详解】解：∵①0的绝对值为0，其他有理数绝对值均大于0，∴①正确； ∵②时，a与b可能相等或互为相反数，∴②错误； ∵③0还表示基准点（如温度）、占位符等，∴③错误； ∵④立方等于本身的数有0、，∴④错误； ∵⑤，最后一位0在十位，∴精确到十位，不是千位，∴⑤错误； ∵⑥倒数等于它本身的数是，0没有倒数，∴⑥错误； ∵⑦当a为负数或0时，为非负数，∴⑦错误； ∴正确说法为①，共1个． 故选：D． 18．（25-26七年级上·重庆九龙坡·期末）已知x，y满足且，则符合条件的整数x，y的值中，______． 【答案】4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了绝对值的性质，代数式求值， 首先由得到，然后由得到，，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵x，y都是整数 ∴， ∵ ∴，或，或， 当，时，代入得，，不符合题意，舍去； 当，时，代入得，，不符合题意，舍去； ∴， ∴． 故答案为：4． 19．（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中，正确的是______．（请写出正确的序号） ①若，则； ②的最大值为2； ③若，则是负数； ④三点在数轴上对应的数分别是、x、6，若相邻两点的距离相等，则； ⑤若代数式的值与无关，则该代数式值为2024； ⑥若，则的值为1． 【答案】①②⑤⑥ 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查有理数的混合运算、整式的乘除、平方差公式，解答本题的关键是对于错误的结论，要说明理由或者举出反例．根据各个小题中的说法，可以判断是否正确，尤其是对于错误的结论，我们只要说明理由或者举出反例即可． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②的最小值为0，则的最大值为2，故②正确； ③因为， 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时； 当，时，，则，，此时；， 当时，此时； ，故③错误； ④、、三点在数轴上对应的数分别是、、6，若相邻两点的距离相等， 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 当三点在数轴上的位置为、、时，此时，解得； 故或或14，故④错误； ⑤若代数式的值与无关， 则 ，故⑤正确； ⑥，， 、、中一定是一正两负，，，， 不妨设，，， ，故⑥正确. 故答案为：①②⑤⑥． 20．（24-25七年级上·江苏南通·期中）在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，若，则________． 【答案】或或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，化简绝对值等知识点，分析判断其余个字母的值的和为时，这个字母可能是什么数是解题的关键． 根据已知条件：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，且，又因，因而可推出有两个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为，然后分三种情况讨论：当这个字母的值分别为，，，，0，0时；当这个字母的值分别为，，，，，0时；当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时，分别化简绝对值并求和，即可得出答案． 【详解】解：在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个， ∵， ， 有两个个字母的值分别为，，其余个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，，0或，，，，,0或，2，2，2，2， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，，，，，0时， ， 当这个字母的值分别为，2，2，2，2，时， ， 或或， 故答案为：或或． 21．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，为3个自然数，满足，其中，试求的最大值． 【答案】1010 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，化简绝对值等，先由题意得到，则可求出，则要满足c尽可能的大，a尽可能的小，据此可确定，从而得到，再根据题意可得b要尽可能的小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵要使的值最大， ∴的值最大，即的值最大， ∴要满足c尽可能的大，a尽可能的小， ∵，，为3个自然数， ∴， ∵， ∴， ∵c要尽可能的大， ∴b要尽可能的小， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴的最大值为． 22．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 【考点3】数轴与绝对值距离综合（第23-28题） · 距离=|a-b|，结合数轴分析 · 两绝对值和的最小值在零点间 · 新定义距离按定义列式 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）阅读：已知点在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． 理解： （）数轴上表示数和的两点之间的距离是_______；（用含的式子表示） （）当时，则的值为_____； （）当时，则的值为______； （）当代数式取最小值时，相应的的取值范围是______；最小值是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：，它们顺次有快递车辆，辆，辆，辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 【答案】理解：（）；（）或；（）或；（），；应用：种调配方案，调出的最少车辆数为辆． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】理解：（）根据题意即可求解； （）根据绝对值的意义即可求解； （）分、和三种情况，根据绝对值的性质解答即可求解； （）由可得代数式表示到和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：理解：（）由题意得，数轴上表示数和的两点之间的距离是， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）当时，， 解得； 当时，， 此时方程无解； 当时，， 解得； 综上，的值为或， 故答案为：或； （）∵， ∴代数式表示到和的距离之和，当在和之间，即时，和最小，最小值为， 故答案为：，； 应用：根据题意，画图如下，共有种调配方案： 由图可得，调出的最少车辆数为辆． 24．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ；表示和两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么 ； (2)若数轴上表示数的点位于和之间，求的值； (3)当取何值时，的值最小，最小值是 ； 【答案】(1)；；或； (2)； (3)． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】本题主要考查数轴上两点间距离公式以及绝对值的意义． （1）利用绝对值的意义进行计算和求解； （2）根据数的取值范围去绝对值计算； （3）将绝对值的和理解为点到点的距离之和，通过分析确定使值最小的点． 【详解】（1）解：；；，则，解得或； 故答案为；；或； （2）数轴上表示数的点位于和之间， （3）根据表示数到，，三点的距离之和， 则当时，， 故当时，的值最小，最小值为， 故答案为． 25．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“美好关联数”为t，例如：，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)3和5关于2的“美好关联数”为 ； (2)若x和1关于0的“美好关联数”为4，求x的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，和关于2的“美好关联数”为1，和关于3的“美好关联数”为1，…，和关于40的“美好关联数”为1，…． ①的最小值为 ； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)①；② 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）根据“美好关联数”定义进行求解即可； （2）根据“美好关联数”定义列方程，再解方程即可； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，分析两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解：， ∴3和5关于2的“美好关联数”为4． （2） ∵x和1关于0的“美好关联数”为4， ∴， ∴， 解得：或． （3）解：①∵和关于1的“美好关联数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， 当，时， ∴， ∴， ∴， ∴有最小值1． ②由题意可知：， 同理可得：的最小值； ， 同理可得：的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值； ； ，的最小值； ∴的最小值： ． 26．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）对于有理数，，，，若，则称和关于的“相对关系值”为，例如，，则2和3关于1的“相对关系值”为． (1)和3关于1的“相对关系值”为________； (2)若和2关于1的“相对关系值”为，求的值； (3)若和关于1的“相对关系值”为1，和关于2的“相对关系值”为1，和关于3的“相对关系值”为1，…，和关于的“相对关系值”为1． ①的最大值为________； ②的值为________（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3)①；②或或或 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程 【分析】此题考查了绝对值的应用，解题的关键是理解“相对关系值”的定义，熟练掌握绝对值的性质． （1）根据“相对关系值”的定义，求解即可； （2）根据“相对关系值”的定义，列方程，求解即可； （3）①根据题意列出方程，再分为四种情况，分别讨论，根据绝对值的性质，把绝对值方程转化为常规方程进行解答便可； ②分五种情况计算即可． 【详解】（1）解：， ∴和3关于1的“相对关系值”为， 故答案为： （2）解： 和关于的“相对关系值”为， ， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上所述，的值为或； （3）解：①和关于的“相对关系值”为， ； 分四种情况： 当，时，，则； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 得到； 当，时，，则， 由此可知的最大值为； 故答案为： ②分五种情况， 当时，，解得， 由可得，， 可得， ； 当时，， ，此种情形不存在； 当时，，，， ； ； 当时，， ， ， ， ，，，， ，即， ，即， 同理可得：，，， ，，，，， ； 当，时，由可得， 即，此种情形不存在； 当，时，可得，，，，， ，，，，， ； 综上，的值为或或或； 故答案为：或或或 27．（25-26七年级上·山东枣庄·阶段检测）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示和1两点之间的距离是_______； 一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． (2)如果，那么_______； (3)若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是_______，最小距离是_______． (4)若数轴上表示数的点位于与5之间，则_______． 【答案】(1)3 (2)1或 (3)12；2 (4)8 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、绝对值的意义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据数轴，结合两点之间的距离公式即可解决； （2）根据绝对值的定义可得或，即可解答； （3）根据绝对值分别求出a，b的值，再分别讨论，即可解答； （4）根据题意可得，，据此化简绝对值即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 故答案为：3； （2）解：， 则或， 解得或． 故答案为：1或； （3）解：∵， ∴， 解得或； ∵， ∴， 解得或． 当，时，、两点间有最大距离； 当，时，、两点间有最小距离． 故答案为：12；2； （4）解：∵表示数的点位于与5之间， ∴，， ∴． 故答案为：8． 28．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．小亮决定对此进行变化应用： (1)应用一：已知如图，点在数轴上表示为，数轴上任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______； (2)应用二：若点表示的整数为，则当为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数的和为______； (4)应用四：求的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3)7， (4) 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何应用是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的点与表示2和的点的距离相等，则数轴上表示的点是表示2和的点的中点，据此求解即可； （3）分情况讨论，再求出符合题意的的值的和即可； （4）将化为，分别求出三组最小时x的取值范围，进而求出最小时x的取值范围，计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： 与的值相等， 表示的点与表示2和的点的距离相等， 表示的点是表示2和的点的中点， ， 故答案为：； （3）解：当时， 当时， 当时， 当时，有最小值，最小值为7， 整数有、、、、、0、1、2，它们的和为， 故答案为：7；； （4） ， 由（3）可知，当时，有最小值； 当时，有最小值； 当时，有最小值； 可知当时，有最小值， 此时 ． 故答案为：． 【考点4】数字规律与新定义运算（第29-45题） · 数列规律先写前3项找周期 · 杨辉三角/数表按递推写通项 · 新定义运算严格按定义代入 29．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则点与点之间的距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、图形类规律探索 【分析】本题考查线段的和差计算，周期循环规律，推导落点的循环周期是解题关键． 先计算前几次落点的线段长度，找出落点的循环周期为，再用总次数除以求余数，据此对应周期内的落点，进而确定目标落点与 B 的距离． 【详解】解：已知，，，初始点在边，，则． 第一次跳：从跳到边，，则； 第二次跳：从跳到边，，则； 第三次跳：从跳到边，，则； 第四次跳：从跳到边，，则； 第五次跳：从跳到边，，则； 第六次跳：从跳到边，，与重合； 据此可知，跳蚤的落点每次为一个循环周期， 由，可知， 在边且，故点与点之间的距离为． 故选：． 30．（24-25七年级上·广东深圳·期中）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a和b，规定，如，则的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：原式． 故选：D． 31．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）已知这100个数中，每个数仅可以取值1或，则能取到的最小正数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】表达式值始终为偶数，且通过调整的取值，可以使表达式值为2，这是最小正偶数，即可作答． 【详解】解：依题意，把第k项的数记为（，且k为正整数）， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． ∴是奇数还是偶数取决于： 若为奇数，则为奇数； 若为偶数，则为偶数； 从1到100有50个奇数和50个偶数，50个奇数的和为偶数， 因此始终为偶数； ∵能取到的最小正数， ∴偶数且是最小正数为2， 验证：把每连续的8个数看作一组数： ； ； 依次类推，每连续的8个数之和为0，即这样的一组数之和为0； 依题意，， 即100个数中有12组这样的数，100个数中剩下的4个数分别为， ∵这100个数中，每个数可以取值1或． 则 故能取到的最小正数为2． 32．（25-26七年级上·浙江温州·期中）任意大于1的正整数的三次幂均可“分裂”成个连续奇数的和，如：，，，…．若分裂后，其中有一个奇数是2025，则的值是（   ） A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】B 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字规律探究，找到起始奇数规律是解答的关键．根据题意，可分裂成个连续奇数的和，且起始奇数为．2025是奇数，需判断其是否在的分裂序列中．通过计算2025是从3开始的第1012个奇数，并利用从到的奇数总数公式，找到满足的值． 【详解】解：∵分裂的起始奇数为， ∴分裂的奇数为连续个奇数． 设2025是从3开始的第个奇数， ∵奇数序列 3，5，7，…，2025， ∴，解得． 从到所用奇数总数为． 需满足． 计算： 当，， 当，， ∴在的分裂中， 故． 故选：B． 33．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按一定规律排列的一列数依次为：按此规律排列下去，第7个数为_____，第（为正整数）个数为_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数的规律问题． 观察数列的分子、分母和符号的变化规律，分子是2的幂加1，分母是奇数序列，符号交替，从而归纳出第个数的表达式． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 第5个数：； 第6个数：； 归纳得：第个数为； 当时，第7个数为； 故第7个数为，第个数为． 故答案为：，． 34．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）若有理数，则我们把称为的差倒数．如：的差倒数是，的差倒数是．如果第一个数，第二个数是的差倒数，第三个数是的差倒数，是的差倒数，…，依此类推，那么：（1）______；（2）______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查有理数的运算，能根据题意找到规律是解题的关键．依次计算出，，，，的值，即可找到规律． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， …… 由上可得这列数依次以，，循环出现，每个数循环出现一次． ， ． 故答案为：，． 35．（24-25七年级上·江西赣州·阶段检测）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为______． 【答案】3或5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵多项式 是关于x的三次多项式， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 故答案为：3或5． 36．（25-26七年级上·山东济南·期中）若一个三位自然数的百位数字a、十位数字b、个位数字c恰满足，则称这个数为“捧月数”．例如：自然数165中，，则165是“捧月数”；自然数793中，，则793不是“捧月数”．若一个“捧月数”能被12整除，则这个“捧月数”最大为______． 【答案】792 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数的整除，掌握能被3和4整除数的特征是解题的关键． 根据“捧月数”的定义，百位数字a、十位数字b、个位数字c满足a + c = b，且这个三位数能被12整除．由于，因此该数必须同时被3和4整除．被3整除的条件是数字之和能被3整除，被4整除的条件是末两位数字组成的数能被4整除．为了使数最大，从百位数字开始尝试，逐步减小a，检验满足条件的数即可解答． 【详解】解：设三位数为，其中a为1至9的整数，b、c为0至9的整数，且满足． ∵该数能被12整除， ∴该数需同时满足被3整除和被4整除．   ∵数字之和为，由， ∴， ∴能被3整除，即能被3整除．   ∵末两位数字为且能被4整除，， ∴需被4整除， 要求最大数，需从开始检验：   ①当时，，故，数为990．数字和18能被3整除，但末两位90不能被4整除，不符合题意；    ②当时，或1． 若，数为880，数字和16不能被3整除，不符合题意； 若，，数为891，数字和18能被3整除，但末两位不能被4整除，均不符合． ③当时，、1或2，、1或2． 若，，数为770，数字和14不能被3整除； 若，数为781，数字和16不能被3整除； 若，数为782数字和17不能被3整除； 若，数为792，数字和18能被3整除，末两位92能被4整除，则792能被12整除，且满足．   当时所得数均小于792， ∴最大“捧月数”为792． 故答案为792． 37．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为________；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为_______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了数的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图可知，，计算可求，由图可知向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：；由，可知，为真分数，则与在同一层，同一分支上的数为，可知第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为，同理可得，第7层的数为，第6层的数为，第5层的数为，由图可知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由图可知，， 解得，； 向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：； ∵， ∴，为真分数， ∴与在同一层，同一分支上的数为， ∴第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第7层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第6层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第5层的数为， 由图可知，， 解得，， ∴， 故答案为：，． 38．（25-26七年级上·浙江金华·期中）一列数，，…中的任意三个相邻数之和都是20，若，，则______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算得出这列数按，16，10循环是解题的关键． 根据题意，得出这列数的循环规律，据此即可解决问题． 【详解】解：由题知，这列数中的任意三个相邻数之和都是20， 则， ，，， ． ， 这列数按，16，10循环， ， ． 故答案为：． 39．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…．其中第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，依此类推．若整数满足如下条件：且该列数的前项和为2的整数幂．则整数的最小值为______． 【答案】7882 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数列分组规律、二进制进位思想以及幂的运算；解题的关键是发现当加上第组的前项时，前项和能成为 2的整数幂的充要条件是，先将数列按描述分组，第组有项；设前组完整，第组取前项，则总项数，总和；为使为的整数幂，则需使得，即；根据计算，并找到满足的最小值． 【详解】将数列进行分组： 第1组有1项：和为 第2组有2项：和为 第组有项，和为 设前组完整，第组取前项，则： 前项和为 （其中表示第组前项的和，当时此项为 0） 为使为的整数幂，则需使得，即 当时的最小值： 由和依次尝试的值： 当时，， ，不满足； 当时，， ，满足条件； ∴当时，更大，也更大，因此最小值为7882． 故答案为7882． 40．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： (1)根据表中规律，求 = ；（写计算结果） (2)根据表中规律，则 ；（只列式，不写计算结果） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的规律探索，根据所给等式，总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题目所给的等式，总结出一般规律，即可解答； （2）根据（1）中的规律，即可解答； （3）根据一般规律，先将算式转化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解： ． 41．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察下列式子： ，，，，； (1)请写出第个式子：___________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】（）根据题目中的等式的特点，写出第个式子即可； （）利用（）中的规律将所求式子变形，然后拆项，即可计算出所求式子的值； 本题考查了数字的变化规律问题，有理数的混合运算，由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，，，， ∴第个式子为， 故答案为：； （2）解：原式 ． 42．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学习内容的特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 【答案】素材：；规律总结：49，99，101；综合应用：4356；拓展延伸：32或64． 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的加法运算，指数方程，利用方程思想是解题的关键． 素材：设未知数，列方程求解即可； 规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解即可； 综合应用：找出规律，根据规律进行计算即可求解； 拓展延伸：根据题意，验证求解． 【详解】解：素材：设， 解得：， ， 故答案为：； 规律总结：设， 解得：， 当时，，， 故答案为：49，99，101； 综合应用：， ， ， ， … ， 拓展延伸：当时，， 解得：， 此时， ， 当时，， 解得， 此时， ， 故答案为：32或64． 43．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）根据规律求值． ，，，…… 则 ． (1)求值：； (2)求值：； (3)求值：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的混合运算，熟练掌握裂项是关键． （1）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可； （2）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可； （3）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可． 【详解】（1）解： （2） （3） ． 44．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）考拉兹猜想（又称猜想）是近代数学中最著名的未解猜想之一，由德国数学家考拉兹提出，其内容是：任意正整数，若是偶数就除以2，若是奇数就乘3加1，重复操作，最终都会得到1．例如，当时，分步进行考拉兹运算： 第1步：；第2步：；第3步：；第4步：；第5步：；第6步： (1)若从某正整数出发，第一步考拉兹运算得到16，求所有满足条件的正整数； (2)小杭同学说：若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，则（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 为偶数 若为奇数，则下一步考拉兹运算后为； 若为偶数，则下一步考拉兹运算继续除以2，多次运算，直至出现奇数，则下一步考拉兹运算得到； 可以多次考拉兹运算为的形式； 一定也符合考拉兹猜想． 若（为任意正整数）已被证明符合考拉兹猜想，请继续证明（为任意正整数）一定也符合考拉兹猜想． 【答案】(1)或32 (2) 证明：为任意正整数， 为奇数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为. 为偶数， 则下一步考拉兹运算结果为， ∴ 经过三步考拉兹运算后得到． ∵ 为正整数， ∴ 是形如（为正整数）的数．根据题设，形如的数均符合考拉兹猜想，故一定也符合考拉兹猜想． 【知识点】合并同类项、整式的加减运算 【分析】（1）分两种情况讨论：当n是偶数时，；当n是奇数时，； （2）经过三步考拉兹运算后得到，由此证明即可． 【详解】（1）解：当为偶数时：， ， 当为奇数时：， ， 或32； （2）略 45．（24-25九年级下·安徽·阶段检测）在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ， ， ， ， ， … 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： (1)填空：①；②． (2)有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为_______，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】(1)①，；②， (2)， 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化规律问题，能观察多组数据找出数字间的运算规律是解题关键，从特殊到一般总结出普遍规律是解题难点． （1）观察题中等式即可发现规律； （2）根据整式的运算法则即可求解． 【详解】（1）解：根据题中等式的规律可得，①；②， 故答案为：①，；②， （2）解：设等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，则的取值范围为，则等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边=右边，为11的倍数． 💯 课后巩固 复习建议 · 列代数式按顺序 · 去括号负号变号 · 绝对值先判正负 · 距离用|a-b| · 规律列前3项 【作业1】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．36 B．34 C．32 D．17 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查代数式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出阴影部分的长和宽． 根据题意，可以先设小长方形卡片的长为，宽为，然后即可表示出两个阴影部分的周长，再去括号，合并同类项即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 图②中两块阴影部分的周长和为： ， 故选：C． 【作业2】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知的最小值是，的最大值是，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、已知式子的值，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查的是绝对值的几何意义，化简绝对值，利用绝对值的几何意义，分别求出两个绝对值表达式的最值，再计算的值． 【详解】解：表示数轴上点x到3的距离，表示数轴上点x到的距离． ∴当时，取得最小值， ∴， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴， ∴． 故选：B 【作业3】．（23-24七年级上·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 【作业4】．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（   ） A．线段上，更靠近点A B．线段上，更靠近点B C．线段上，更靠近点B D．线段上，更靠近点C 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上找原点 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，由B是的中点，若假设B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾，而b的绝对值最小，所以B靠近原点，从而即可得解． 【详解】解：∵B是的中点， ∴若B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾， ∴B不是原点， ∵而b的绝对值最小， ∴B是靠近原点， ∵c的绝对值最大， ∴C离原点最远， ∴原点在线段上，更靠近点B， 故选：B． 【作业5】．（25-26七年级上·浙江舟山·期中）王老师报出一个五位数，学生们将它顺序倒排后得到的五位数减去原数后，学生甲、乙、丙、丁的结果分别是34567、34056、23456、34956．王老师判定4个结果中有一个是正确的，答对的是______． 【答案】乙 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，数的整除，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 原五位数与倒排后五位数的差是11的倍数，因此正确的差应能被11整除，通过计算各结果除以11的余数，判断是否被11整除． 【详解】解：设原五位数为 ，则倒排后为 ， ∴ 因此差是11的倍数, ∵，余数不为0； ，余数为0； ，余数不为0； ，余数不为0。 故只有34056是11的倍数， 故答对的是乙同学， 故答案为：乙． 【作业6】．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）若干个1与排成一列：，，，，，，，，，，，，，，，， ，规则是：第个数是，其后写个，第个数是，其后写个，，即在第个与第个之间插入个，，，．则该数列前个数的和为(    ) A．200 B．224 C．165 D．187 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的规律探究，由题意知，将数进行分组，1 第1组，2 1 第2组，2 2 1 第3组，-------，2 2 2 2 2 1 第组（由个2和1个1构成）则前行共有数字个数为，进而得出第个数为第组的第个数，是2，前个数中共有个1，个2，即可求解． 【详解】解：由题意知，把该列数分组如下： 1 第1组 2 1 第2组 2 2 1 第3组 2 2 2 1 第4组 2 2 2 2 1 第5组 ------- 2 2 2 2 2 1 第组 (有个2)， ∴前行共有数字个数为， ∵， ∴第个数为第组的第个数，是2， ∴前个数中共有个1，个2， ∴前个数的和为， 故选：D． 【作业7】．（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）如图，将一列有理数按如图规律排列，则数对应中的哪个位置（   ） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化规律，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．先找出数字排列的周期规律，再通过计算确定在周期中的位置，进而判断其对应的字母． 【详解】解：观察图形中的数字排列，每个数字为一个周期， 然后用， 说明对应的是一个周期的第个位置， 位置对应的是． 故选：C． 【作业8】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：，，，，，，，，则的值为______． 【答案】351 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数列的规律探索．奇偶项分开归纳规律是解题的关键． 分类找出奇偶项规律，再代入计算即可． 【详解】解：数列的奇数项，，， 规律：第项（为正整数）的数值是（连续自然数的和），即，， ， ； 数列的偶数项，，， 规律：第项（为正整数）的数值是（连续自然数的和），即，， ， ； ． 故答案为：351． 【作业9】．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）数列的第2025项的值是__________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】根据数列规律，数字出现次，到数字的总项数为等差数列前项和，通过计算该和与的大小关系，确定第项所在的数字组． 【详解】解：由数列规律可知，数字出现次，到数字的总项数为 ． 当时，，． 当时，，． 由此可知，第项到第项均为，故第项的值是． 故答案为． 【作业10】．（26-27七年级上·福建厦门·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2026的点与圆周上表示数字______的点重合． 【答案】3 【知识点】数字类规律探索、数轴上的规律探究 【分析】根据圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律可知，每四个数2，3，0，1一个循环，再根据即可得解． 【详解】解：由题意知，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则圆周上表示数字2的点与数轴上表示1的点重合， 圆周上表示数字3的点与数轴上表示2的点重合， 圆周上表示数字0的点与数轴上表示3的点重合， 圆周上表示数字1的点与数轴上表示4的点重合， 圆周上表示数字2的点与数轴上表示5的点重合， ……， ∴每四个数2，3，0，1一个循环， ∵， ∴数轴上表示2026的点与圆周上表示数字3的点重合． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江台州·阶段检测）现有一列数，，，，，，，其中，，，并且满足任意相邻三个数的和为同一个常数，则________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查数字的变化规律．根据任意相邻三个数的和相等，可推导出数列具有周期性，周期为，利用已知项的值确定各类项的值，再计算每类项的个数，最后求和． 【详解】解：由于任意相邻三个数的和相等，由，得， 同理，，，依此类推，数列呈周期性，周期为， 已知，故所有下标除以余的项均为， 已知，且，故所有下标除以余的项均为， 已知，且，故所有下标除以余的项均为， 总项数为，下标除以余的项有个，余的项有个，余的项有个， 因此，总和为 ． 【作业12】．（2025·福建龙岩·一模）若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． (1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； (2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数； (3)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 【答案】(1)不是 (2)或； (3) 证明：∵是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数， ∴，， 则， ， ∵， ∴ ， ∵为整数，且， ∴一定能被101整除． 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了新定义，整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“和谐四位数”的定义对3122进行分析，即可作答． （2）先根据以及千位数字为1，十位数字为9，得出，结合，且为整数，得，且为整数，则或，即可作答． （3）先理解得，，则，根据为整数，且，故一定能被101整除． 【详解】（1）解：∵四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”，且， ∴3122不是和谐四位数； 故答案为：不是 （2）解：设这个和谐四位数为，即， ∵一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9， 即， ∴， ∴ ∵，且为整数， ∴，且为整数， ∴当时，则， 此时这个和谐四位数为； ∴当时，则， 此时这个和谐四位数为； 综上：这个和谐四位数为或； （3）略 【作业13】．（24-25七年级上·广东佛山·阶段检测）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：表示a与b两数在数轴上所对应的两点之间的距离，如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．已知图①，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______，应用这个知识，请写出的最小值为______；当______时，的最小值为______． (2)应用二：在图①中，若点A以3个单位长度/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒．点A表示的数为______：（用含t的式子表示）； 将数轴沿着点A折叠，若数轴上点M在点N的左侧，M，N两点之间距离为12，M，C两点之间距离为4，且M，N两点沿着A点折叠后重合，则点M表示的数是______；点N表示的数是______；点C表示的数是______． (3)应用三：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依此类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段长度为______；应用这个原理，请计算：． 【答案】(1)，3，，8． (2)，，4，或． (3)；． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离、绝对值的性质、整式的加减混合运算、折叠的性质等知识点，找出题目的规律是解题的关键． （1）根据数轴上A、B两点之间的距离即可求得两点的距离；根据绝对值的几何意义可知：当x在表示数与1的两点及两点之间时的值最小，据此求解即可求得最小值；根据绝对值的几何意义可知，当时，有最小值8； （2）先根据题意列代数式表示点A表示的数；设点M表示的数m，C表示的数为c，则N表示的数为：，根据折叠的性质可列式求得m，进而确定点M、N表示的数，再列绝对值方程求得点C表示的数； （3）第一次剪掉的长度是，剩下的长度是；第二次剪掉的长度是，剩下的长度是；第三次剪掉的长度是，以此类推，第n次剪掉的长度是，按此可求得剪掉5次后剩下线段的长度，并利用该原理求得的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：两点的距离可以表示为； 由题意，当时，|取最小值， 其最小值为：； 由题意，表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为8． 故答案为：，3，，8． （2）解：由题意可知：点A表示的数为； 设点M表示的数m，C表示的数为c，则N表示的数为：， ∵A在数轴上表示为，M，N两点沿着A点折叠后重合， ∴，解得：，则， ∴点M表示的数是，点N表示的数是4， ∵M，C两点之间距离为4， ∴，解得∶或． 故答案为：，，4，或． （3）解：第一次剪掉的长度是，剩下的长度是； 第二次剪掉的长度是，剩下的长度是； 第三次剪掉的长度是，剩下的长度是 以此类推，第n次剪掉的长度是，剩下的长度是； ∴当时，剩下的长度为， ∴ ． 故答案为：；． 【作业14】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在一个的方格中填写了9个不同的数字，且使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，则称这个的方格为“幻方”． (1)图1是一个“幻方”，则________；________；________； (2)图2是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图3，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中．请写出a的值，并说明理由． 【答案】(1)1；；5 (2) 新的三阶幻方如下： (3) 解：a的值为3 理由：共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边， 每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， ，6，2这一行最后一个圆圈数字应填，则所在的横着的一行最后一个圈为， ，4，1这一行第三个圆圈数字应填， 数字就剩下0，3，5， 故：，这一行剩下的两个圆圈数字和应为8，则0，3，5，取其中的3，5， ，2这一行剩下的两个圆圈数字和应为3，则0，3，5，取其中的0，3， 这两行交汇处是a即为3． 【知识点】有理数加法运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律的探索，有理数加法的应用，根据题目中给出的定义准确找出答案为解题关键． 根据每一横行，每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等，列式求解即可； 根据“幻方”的定义求出结果即可； 根据题意6条边上四个数之和都相等求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意： ， 解得：，，， 故答案为：1；；5； （2）每一横行，每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做“幻和”）均相等， 新的三阶幻方如下： （3）略 【作业15】．（2026·浙江绍兴·二模）【主题】研究幻方 【背景】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个三阶幻方．        【实践】小嵊和小州课后研究起了幻方，发现只要满足三阶幻方特征填入的任意9个数，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． 小嵊给出了数学证明： 如图2，设这9个数依次为，，，，，，，，， 因为每行，每列，每条对角线的三个数字之和都相等，所以把每行，每列，每条对角线的三个数字之和都记为， 则第二行：①， 第二列：②， 对角线分别：③，④， 将①＋②＋③＋④，得： 所以，每个横行，每个竖列，每条对角线上的三个数字之和一定等于中间数的3倍． (1)请完成“”中小嵊未显示的推理过程． (2)利用上述结论，小州继续探索：如图3，仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，求其中，，之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】（1）将、、整体代入化简即可解答； （2）设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，据此补全幻方，并根据其定义解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，   ∴． （2）解：设中间格的值为，利用（1）结论，则每行，每列，每条对角线的和为，则有： ∴，即． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $