专题三·期中综合复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握有理数四则混合运算与乘方运算，能灵活运用运算律进行简便计算 · 掌握数轴上两点距离与绝对值的几何意义，能解决含字母的绝对值化简与最值压轴题 · 理解平方根、立方根与无理数概念，能进行实数估算与算术平方根规律探索 · 掌握列代数式与整式加减化简求值，能解决实际背景中的整式应用压轴题 · 能从数字、图形与数轴中归纳一般规律，用代数式表示第n项并求解压轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算与符号判断 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右 符号判断：几个非零数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正 运算律：加法交换律、结合律与乘法交换律、结合律、分配律，压轴题常逆用分配律凑整 区分(-a)n与-an：前者整体乘方，后者是乘方结果的相反数 概念辨析例题：计算：-14-(1-0.5)××[2-(-3)2] 答案： 解析：-14=-1；1-0.5=0.5=；(-3)2=9，2-9=-7；××(-7)=-；原式=-1-(-)=-1+=。 ☆ 2.数轴与绝对值综合 绝对值几何意义：|a|表示数轴上数a的点到原点的距离；|a-b|表示a、b两点间距离 含字母绝对值化简：先根据数轴判断绝对值内式子的正负，再脱去绝对值符号（正不变、负变号） 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 数轴动点与最值：|x-a|+|x-b|表示x到a、b距离之和，当x在a、b之间时取最小值|a-b| 概念辨析例题：有理数a、b在数轴上的位置如图，化简：|a-b|+|a+b|-|b| 答案：b 解析：由数轴知a<0<b且|a|>|b|，所以a-b<0，a+b<0，b>0；|a-b|=-(a-b)=b-a，|a+b|=-(a+b)=-a-b，|b|=b；原式=(b-a)+(-a-b)-b=-2a-b。 ☆ 3.实数与算术平方根 平方根：若x2=a（a≥0），则x=±，正数有两个互为相反数的平方根 算术平方根≥0；(=a（a≥0）；立方根∛a对任意实数唯一存在 无理数是无限不循环小数，如、π；实数与数轴上的点一一对应 估算夹逼法：找相邻完全平方数确定的整数部分，如2<<3 概念辨析例题：已知的整数部分为a，小数部分为b，求a-b的值 答案：a-b=2 解析：因为3<<4，所以a=3，b=；a-b=3-(=6-。 ☆ 4.代数式与整式加减 单项式：数与字母的积，系数是数字因数，次数是所有字母指数之和 多项式：几个单项式的和，次数取最高次项的次数；同类项字母相同且相同字母指数相同 整式加减：先去括号（括号前是负号各项变号），再合并同类项（系数相加、字母不变） 化简求值：先化简为最简式，再代入数值；整体代入法可避免求单个字母的值 概念辨析例题：先化简，再求值：3(x2-2xy)-[3x2-2y+2(xy+y)]，其中x=-，y=-3 答案：-8xy，值为-12 解析：原式=3x2-6xy-[3x2-2y+2xy+2y]=3x2-6xy-3x2-2xy=-8xy；代入x=-，y=-3：-8×(-)×(-3)=-12。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数混合运算 先乘方→再乘除→后加减 有括号先算括号内 符号判断 负因数个数奇负偶正 0乘任何数都为0 |a-b|几何意义 数轴上a、b两点间距离 距离恒非负 绝对值化简 正不变号、负变号 先判正负再去绝对值 与∛a ≥0；∛a任意实数 负数无平方根有立方根 同类项 字母相同且指数相同 与系数和顺序无关 整式加减 去括号→合并同类项 括号前负号各项变号 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的运算与符号判断（第1-9题） · 严格按先乘方、再乘除、后加减的顺序运算，有括号先算括号内 · 压轴混合运算善用分配律正逆联用，把带分数拆成整数与分数之和凑整 · 符号判断数清负因数个数：奇数个负得负，偶数个负得正 · 区分(-2)3=-8与-23=-8结果相同，但(-2)2=4与-22=-4不同 · 程序流程图题把输入值逐步代入，注意每步分支条件与符号 1．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 2．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，，连续这样操作2025次，则每次取的两个中点所形成的所有线段之和（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含乘方的有理数混合运算、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段中点的性质、等比数列的通项与求和公式，熟练掌握线段中点的性质以推导线段长度的规律，并运用等比数列求和公式计算总和是解题的关键．根据，、分别为、的中点，求出的长度，再由的长度求出的长度，找到的规律即可求出的值． 【详解】解：，、分别为、的中点， ， 又，分别为、的中点， ， ，分别为、的中点， ，， 由此可得：， ． 故选：． 3．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、有理数四则混合运算 【分析】本题考查数轴与有理数，有理数的运算，绝对值的意义，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，结合有理数的运算法则和绝对值的意义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴，； 若，， 则：或； 综上：①②③正确，④错误； 故答案为：①②③ 4．（24-25七年级上·湖北·阶段检测）小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】先算所有数字总和，推出每组和，再分类求与． 【详解】解：如图，设内圈上的数为，外圈上的数为， 所有数字总和：， ∵内外两圆总和相等， ∴每个圆 4 数和为， ∵竖线现有，和为， 又∵竖线 4 数和为 ， ∴，即， ∵内圆总和为， ∴， 解得， ∵外圆总和为， ∴，即， 又∵剩余未填数字为与， ∴或， ∴或． 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是__________． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，根据题意要求的的最小值，结合题意，得出，，进而根据，得出，或，，代入式子，即可求解． 【详解】解：∵且为非零整数 ∴， 要使得最小，则都为最小值， ∴ ∵，且最小，则 ∵ ∴ ∵，为整数，且最小，则都为负数， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、探索规律 【分析】将原式转化为，进行计算即可． 【详解】解： ， ， M的整数部分为，小数部分为． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把，个，记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究： 除方乘方：幂的形式 ①直接写出计算结果： ， ； ②关于除方，下列说法错误的是 ； ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (2)深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ； ； ②想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：． 【答案】(1)①，；②C； (2)①；；；②；③ 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． （1）①根据除法运算直接计算即可； ②根据运算规律，判断每个选项即可； （2）①一个非零有理数的圈次方等于的倒数的次方，按此规律即可求得； ②根据圈的运算规定，写出规律表达式即可； ③根据圈的运算规定，按照有理数的运算顺序、运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①， ； 故答案为：，； ②A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1；所以选项A正确，不符合题意； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1；所以选项B正确，不符合题意； C、，，则；所以选项C错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确，不符合题意； 故选：C； （2）解：①； ； ； 故答案为：；；； ②由上总结规律得：； 故答案为：； ③， ， ， ． 8．（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 ；；； 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则 例：当明文为，取时，加密解密过程如下： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥为，设计匹配的私钥． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵能被1000整除， ∴被1000除的余数为， 即被1000除的余数为． （3） （4），（答案不唯一） 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】此题主要考查了有理数的乘法运算，理解题意，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． （1）根据，再计算即可得出结论； （2）计算，根据被1000除的余数为可得出结论； （3）根据，对于匹配的钥匙，则有，再根据当，时可得出的值； （4）根据，对于匹配的钥匙，则有，再由可得出匹配的钥匙（答案不唯一）． 【详解】（1）略 （2）略 （3） ， 对于匹配的钥匙，则有， 当公钥为69，则匹配的私钥； 为两位整数， 当时，； （4）∵， ∴对于匹配的钥匙，则有， ∵， ∴匹配的钥匙． 故答案为：，（答案不唯一）． 9．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 【答案】（1），10；（2）或；（3）或． 【知识点】绝对值方程、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义运算． （1）根据对数的定义直接计算； （2）由的定义得到，化简原式求解即可； （3）先计算对数值，再解绝对值方程，分情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴或； （3）解：∵， ∴ 当时，， ∴， 即， ∴； 当时，，， ∴，无解； 当时，，， ∴， 即， ∴； ∴或． 【考点2】数轴与绝对值综合压轴（第10-22题） · 含字母绝对值化简：先由数轴判断每个绝对值内式子的正负，再去符号 · |a-b|表示数轴上a、b距离，动点问题用距离列式再化简 · 绝对值非负性：几个绝对值之和为0，则每个绝对值内部都为0 · 距离和最值：|x-a|+|x-b|在x位于a、b之间时取最小值|a-b| · 多绝对值压轴：分段讨论零点，在每个区间内分别化简再综合 10．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）把1，2，3…，这个正整数任意分成n组（n为正整数），每组两个数，现将每组两个数中较小的数记为x，另一个数记为y，代入进行计算并求出结果，将这n个结果的和记为，下列说法： ①当时，有3种不同的结果； ②当时，的最小值为； ③当时，的最小值为． 其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、数字类规律探索、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数字的变化规律、化简绝对值、整式的加减等知识点，发现代数式的值为较小数的相反数成为解题的关键． 当时，通过化简绝对值和整式的加减可得，代数式的值为较小数的相反数；①根据题意列举分组，分别求出的值，看是否超过三种结果即可判断；②当时，有1、2、3、4、5、6、7、8六个数，根据代数式的值为较小数的相反数，可知取7和8时，代数式有最小值，然后求值比较即可判定②；③代数式的值为较小数的相反数，可得的最小值为，然后计算判断即可． 【详解】解：当时，，即代数式的值为较小数的相反数； ①当时，有1、2、3、4、5、6六个数， 当分组为：1和2，3和4、5和6，此时的值为：； 当分组为：1和3，2和4、5和6，此时的值为：； 当分组为：1和3，2和5、4和6，此时的值为：； 当分组为：1和4，2和5、3和6，此时的值为：； 当分组为：1和4，2和6、3和5，此时的值为：； 当分组为：1和4，2和5、3和6，此时的值为：； 当分组为：1和4，2和3、5和6，此时的值为：； …… 所以的结果为超过3种，即①错误； ②当时，有1、2、3、4、5、6、7、8六个数，的值为较小数的相反数，则此时取最小值时，数对为和8，即当时，的最小值为，则②错误； ③当时，的最小值时的分组为1和2，3和4，……，15和16，且的最小值为，即③正确． 综上，正确的有1个． 故选B． 11．（15-16七年级上·浙江温州·期中）若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值，明确题意，利用分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 根据题意，可以得到a、b、c之间的关系，从而可以得到所求式子的值． 【详解】解：∵为整数， ∴为整数， ∵，且， ∴当时，符合题意， 此时，或， ∴； 当时，符合题意， 此时，或， ∴； 综上，的值为2， 故选：C． 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知字母的值 ，求代数式的值、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，求代数的值，绝对值的意义等知识，根据，可知 a、b、c 的符号组合为全正或两负一正，则的值仅取决于a、b、c的符号，分别计算各种情况，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c的符号可能为：全正或两负一正， ①全为正数时，则，，， ∴ 原式； ②两个负数一个正数： 若a、b为负，c为正，则，，， ∴ 原式； 若a、c为负，b为正，则，，， ∴原式； 若b、c为负，a为正，则，，， ∴原式， 综上，原式的值为1或， 故选：C． 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为_______． 【答案】1 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值非负性、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解，熟练掌握绝对值的性质，能够确定且是解题的关键． 【详解】解：方程， ，即， 或， 或， 方程始终存在四个不同的实数解， ，， 且， ， 故答案为：1． 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】c 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，利用数轴比较数的大小从而正确化简计算是解题关键． 【详解】解：由数轴可知：，，， ． 故答案为：c． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）已知a，b为实数，下列说法： ①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；⑤若，且，则，其中正确的是___________． 【答案】①②③⑤ 【知识点】两个有理数的乘法运算、带有字母的绝对值化简问题、相反数的定义、有理数加法运算 【分析】此题考查了相反数，绝对值和有理数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键． ①除0外，互为相反数的商为，可作判断； ②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断； ③分类讨论，，，，以及分别处理即可； ④由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断； ⑤先根据，得，由和有理数乘法法则可得，，分情况可作判断． 【详解】①∵，且，互为相反数， ∴，故本选项正确； ②∵， ∴与同号， ∵， ∴，， ∴，故本选项正确； ③若，当，则是正数， 当时，是正数， 当时，是正数， 当时，是正数，本选项正确； ④∵，即， ，即，本选项错误； ⑤∵， ， ， ，， 当时，， ，不符合题意； ∴，， ， 则，本选项正确， 故答案为：①②③⑤． 16．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则_____；当时，则_____． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数．满足且，求的值． 【答案】(1)1， (2)2或 (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数乘法的实际应用 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的几何意义求解即可； （2）分类进行讨论，根据绝对值的几何意义求解 （3）根据给出的条件得出中有2个正数，1个负数，然后根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则； 故答案为：1，； （2）解：当时， 或， 当时，； 当时，； ∴的值为2或； （3）解：由，，是非零有理数，且得， 中有2个正数，1个负数， ∴， ∴ ． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 【答案】(1)3 (2)或5 (3)，或0，或1，或2 (4)6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、绝对值的其他应用 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离意义的表示，是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （2）根据数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值即可求解； （3）分三种情况：，，时分别计算，进而求解； （4）表示数轴上某点到表示2、4、三点的距离之和，即可求解． 【详解】（1）； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴，或； 故答案为：或5； （3）解：∵， 即， 当 时， ， ∴； 当时， ， 此时，，或； 当时， ， ∴， ∴x的整数值为：，或0，或1，或2： 故答案为：，或0，或1，或2： （4）解：∵可看作是数轴上表示x的点到、2、4三点的距离之和， ∴当时，有最小值． 的最小值为 ． 故答案为：6． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）【定义新知】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： 【初步应用】 （1）如果，那么a的值是______； （2）如果，那么a的值是______； （3）如果，那么a的值是______； （4）的最小值是______． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5，右侧1，右侧3．A居民区有居民1千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民2千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）；（2）或8；（3）或4.5；（4）2；（5）实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是10元 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查数轴上两点间的距离： （1）（2）根据绝对值的定义即可求解； （3）分为、、三种情况讨论即可； （4）分为、、、四种情况讨论即可； （5）设实验室P对应的数为x，用x表示出总成本，对x的位置进行讨论即可． 【详解】解：（1），则； 故答案为：； （2），则， ∴， ∴或， 故答案为：8或； （3） 当时，，则； 当时，，不存在这样的a； 当时，，则； 故答案为：或； （4） 当时，， 当时，，， 当时，，， 当时，， ∴当时，原式有最小值2， 故答案为：2； （5）A、B、C在数轴上分别表示，1，3，设P表示的数是x，使总运输和包装成本最低，即最小， 当时，， 当时，，， 当时，， ， 当时，， ∴当时，最小值为10， ∴实验室P建在点B处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是10元． 19．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 【答案】（1）3，7.7； （2）7； （3）时，式子有最小值为6，理由： 根据新定义可知，表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示4的点之间的距离， 如图，代数式存在最小值，即存在最小值， 所以当点与点重合，即时，有最小值，此时最小值为， 所以当时，式子有最小值为； （4）公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为3200米 【知识点】数轴上两点之间的距离、两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）根据题意知式子表示数轴上一点到表示、6的点的距离之和，利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到表示、1、4的点的距离之和，根据数轴即可求解； （4）由上一问可知，公交站应在兴园小区和名园小区之间的两个小区时距离之和最小，答案可得． 【详解】解：（1）由题可知，和两点的距离可表示为， 和两点的距离可表示为， 故答案为，； （2）表示数轴上表示x的点到表示和6的点的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； （3）略 （4）由题意，当所建公交站台在兴园小区和名园小区之间时，到兴园小区和名园小区的距离之和最小，当所建公交站台在梦园小区和竹园小区之间时，到梦园小区和竹园小区的距离之和最小， 故为使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，公交站台应建在梦园小区或竹园小区，所建公交站台到四个小区距离之和的最小值为米． 20．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为 ． (2)当取最小值时，可以取整数 ；的最大值为 ． (3)当 时，的值最小，最小值为 ． (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，右侧，右侧居民区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元千份千米，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)1或 (2)，，，0，1；4 (3)；7 (4)菜鸟驿站建在点B，点C之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． （1），根据题意即可得其值； （2）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值； （3）的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， （4）列出式子，求其最小值即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵ ∴当在的左边时，则； ∴当在的右边时，则； 则的值为：1或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，1或； （2）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当取最小值时，则在和1之间， 当时，即当可以取整数、、、0、1； 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离的差， 当在的右边时，则为表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离，即为4； 当在的左边时，则， ∴最大值为4； 故答案为：、、、0、1；4． （3）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离， 当时，的值最小，此时即为和1之间的距离，即为7， ∴最小值为7； 故答案为：，7； （4）解：设菜鸟驿站在处， 根据题意可得，运输距离为：， 的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点和与表示有理数3的点之间的距离， 由（2）得，在之间才能取最小值， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人． ∴当时，取得最小值， 则， ∴此时最低成本12（元）， 菜鸟驿站建在点，点之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 21．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)； (4)； (5)． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、绝对值．解决本题的关键在于根据数轴上点的位置去掉绝对值符号，解题过程中要注意分类讨论． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求出表示和两点之间的距离；根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解方程求出； （2）首先根据绝对值的性质分别求出、的值，再根据数轴上两点之间的距离公式分情况求出点、点之间的距离，通过比较找出最大距离和最小距离； （3）根据数轴上两点之间的距离，可知当时，，找到之间的所有整数并求和即可； （4）分情况求出的取值范围，根据取值范围确定的最小值； （5）由（4）可知，当时，有最小值，根据规律去掉绝对值符号求合即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是； 表示数和的两点之间的距离是， ， 整理得：， 解得：或； 故答案为：；或； （2）解：， ， 解得：或， ， ， 解得：或， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 、两点间的最大距离是，最小距离是； （3）解：如下图所示， ， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示数轴上表示的点到表示数的点之间的距离， 表示到点和的距离之和等于的点， 从数轴上可知，表示数的点在数轴上表示数和之间， 这些点表示的数有、、、、、、、， 这些点表示的数的和是， 故答案为：； （4）解：当时， ， ， ， ； 当时， ， 当时， ， ， ， ， 距离和的最小值是：； （5）解：由可知当时，有最小值， ， 故答案为：． 22．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示， （1）若，那么a的值是 ． （2）最小值是 ． （3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】（一）4；（二）（1）或；（2）2028；（3）；（4）a为时，的最小值为． 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、绝对值的其他应用 【分析】本题考查数轴，绝对值方程，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． （一）根据两点间距离的求法直接写出即可； （二）（1）由题意可得或，求出的值即可； （2）根据绝对值的几何意义可知时，有最小值2028； （3）分类讨论，去绝对值符号即可解答； （4）将原式化为，根据绝对值的意义分段解答即可． 【详解】解：（一）表示数的点和表示数2的点之间的距离是， 故答案为：4； （二）（1）， 或， 解得或， 的值是或， 故答案为：或； （2）表示数轴上表示的点与、3的点的距离之和， 当时，的最小值是2028， 故答案为：2028； （3）当时，； 当时，， 时，取最小值为； 当时，， 综上所述，的最小值为， 故答案为：； （4）， ， 当时，有最小值， 当时，有最小值， 所以当时，原式有最小值， 最小值为 综上，a为时，的最小值为． 【考点3】实数与算术平方根估算（第23-26题） · 用夹逼法找相邻完全平方数确定的整数部分与小数部分 · 的整数部分为不超过的最大整数，小数部分=整数部分 · 平方根成对互为相反数，算术平方根只取非负的那一个 · 算术平方根规律题观察被开方数与结果的小数点移动规律 23．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 24．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了算术平方根的意义，本题是阅读型题，正确理解新定义的含义是解题的关键．利用题干中的新定义依次得到各数的整数部分，计算即可得出结论． 【详解】，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ，， 与之间共有个数， ， ，， 与之间共有个数， ． 故选C． 25．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查数轴，算术平方根的应用，利用面积法求出的长并熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题关键． 根据A、B、C、D为的方格各边中点可得正方形的面积等于的方格面积的一半，即可求出的长，点在原点右侧且到原点的距离为1个单位可得点A表示的数，根据数轴上两点间距离公式即可求出点E表示的数． 【详解】解：∵A、B、C、D为的方格各边中点， ∴正方形的面积等于的方格面积的一半， ∴， ∴， ∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位， ∴点A表示的数为1， ∵， ∴， ∵点E在点A左侧， ∴点E表示的数为， 故选：B． 26．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 【考点4】列代数式与整式加减应用（第27-38题） · 列代数式抓住关键词：和、差、积、商、倍、分，注意运算顺序加括号 · 整式加减先去括号再合并同类项，多重括号从内向外或从外向内逐层去 · 化简求值先化简再代入，整体代入可不求单个字母直接求多项式的值 · 实际应用题把数量关系用代数式表示，再代入具体数值计算利润或方案 · 单项式系数与次数：系数不含字母，次数是所有字母指数之和 27．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式加减的应用 【分析】设1号正方形边长为，2号正方形边长为，根据图①的拼接关系表示出其他图形的边长，利用图①周长求出的值，再通过平移法或分段计算法表示出图②中阴影部分的周长，代入求值即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为，2号正方形的边长为， 由图可知，3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 图①中长方形的周长为40， ， 即， ， 设图②中大长方形的长为，宽为，则， 阴影部分的周长由水平线段和竖直线段组成， 竖直线段之和：左侧边界长为，右侧边界长为，共， 水平线段之和：大长方形上下边未被覆盖部分长为，内部水平线段长为， 水平线段总长为， 阴影部分的周长为， 阴影部分的周长为． 28．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，由题意可知长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和，设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为，列出等式，从而有，又块阴影长方形的周长之和为，再化简代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，长为、宽为的长方形面积块形状、大小完全相同的空白长方形面积块阴影长方形、的面积之和， 设块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为， ∴可得， 解得：， ∴块阴影长方形的周长之和为 ， ， 故选：． 29．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在一个大长方形中放入一个大正方形和两个完全一样的小正方形、，重叠部分、也为正方形，记阴影部分①、②、③的周长分别为、、．若要求的值，只需知道下列哪条线段的长度（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求线段长、整式四则混合运算、多边形的周长 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长及整式的表达及化简计算．设大正方形的边长为a，两个完全一样的小正方形、边长为b，重叠部分正方形的边长为c，正方形的边长为d，结合图形将阴影部分的周长用未知数进行表示，再计算得出的未知数表达式，即可求得结果． 【详解】解：设大正方形的边长为a，两个完全一样的小正方形、边长为b，重叠部分正方形的边长为c，正方形的边长为d， ∴阴影部分①的周长表示为：， 阴影部分②的周长表示为：， ∴四边形是正方形， 阴影部分③的周长表示为：， 其中，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴周长表示为：， ∴， ∵， ∴只需知道正方形任一边长的长度即可， 故选：A． 30．（25-26七年级上·浙江台州·期末）某学校为丰富课后服务内容，开设了海岛生态观察（A），台州非遗手作（B），古城数学探秘（C）三门拓展课程，七（1）班每个同学都至少选择其中一门课程，但不超过两门．只选了一门课程的有人，选了两门课程的有人，选择课程A的有人，选择课程的也是21人，选择课程的有人，下列说法中错误的是（    ） A．七（1）班总人数人 B．同时选了A和B两门课程的人数比只选了C课程的人数少人 C．同时选了A和C两门课程的人数比只选了B课程的人数少人 D．同时选了B和C两门课程的人数比只选了A课程的人数少人 【答案】B 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式，通过设未知数表示各部分人数，利用题目给出的人数条件建立等式，联立推导后逐一验证选项． 【详解】解：设只选课程A的有人，只选课程B的有人，只选课程C的有人，同时选A、B的有人，同时选A、C的有人，同时选B、C的有人， 只选一门的有人，选两门的有人， ，， 总人数为， 故A选项正确； 选择课程A的有人，选择课程B的有人，选择课程C的有人， ， 由①得：，即， 说明同时选B、C的人数比只选A的少人， 故D选项正确； 由②得：，即， 说明同时选A、C的人数比只选B的少人， 故C选项正确； 由③得：，即， 说明同时选A、B的人数比只选C的多人，与B选项表述矛盾， 故B选项错误． 故选：B． 31．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，点在边上，分别以为边作正方形和正方形．点在边上，以为边作正方形．记正方形的面积为，正方形面积为．若阴影部分的面积为，，则的值为____．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】列代数式 【分析】本题考查了代数式，设，，先表示和的面积，再得到，结合阴影部分的面积为得出结论． 【详解】解：如图所示， 设，， 则，， ，，四边形是长方形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 阴影部分的面积为， ， 即， ． 32．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段检测）某校七、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的女生人数占三个年级的学生人数的______． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】通过设未知数表示出各年级男女生人数，再计算三个年级女生总人数与三个年级总人数的比值，即可得到结果． 【详解】解：设七年级男生人数为人，女生人数为人， ∵七、八年级学生人数相同，七年级的男生人数与八年级的女生人数相同， ∴八年级男生人数为人，女生人数为人，七、八年级总人数均为人． ∵九年级的学生人数是八年级学生人数的， ∴九年级学生人数为， 设九年级男生人数为， ∵九年级男生人数占三个年级男生人数的， ∴， 整理得， 解得， ∴九年级女生人数为， 三个年级女生总人数为， 三个年级总人数为， ∴三个年级女生人数占总人数的比值为． 33．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是__________． 【答案】或 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，整式加减的应用等知识点，根据已知条件逐步推理并充分利用，，，的约束条件是解题的关键． 设这个四位数为，则，，，，首先，因为若，则可推出与已知条件不符，因而，，于是，根据题意可得，即，可推出，，因而，于是可得，即，进而可得出其整数解为或，于是得解． 【详解】解：设这个四位数为，则， 首先， ，，，若，则有： ， ，与已知条件不符， ， ， ， 根据题意可得： ， 整理，得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 整数解为：或， 故所求四位数为或， 经检验，两个数都符合要求， 故答案为：或． 34．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是_____（填序号）． ①小长方形的较长边为；②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 【答案】①③ 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】由题意知，小长方形的较长边为 ，阴影A的较短边为 ，较长边为 ，阴影B的较短边为 ，较长边为15，根据各说法列代数式求解，进而可判断各说法的正误． 【详解】解：由题意知，小长方形的较长边为 ，①正确，故符合要求； 阴影A的较短边为 ，阴影B的较短边为∶ ， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为 ；②错误，故不符合要求； 阴影A的较长边为 ，阴影B的较长边为15， ∴阴影A和阴影B的周长和为 ， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值，③正确，故符合要求； 当时，阴影A和阴影B的面积和为 ，阴影和阴影的面积和与有关，不是定值，④错误，故不符合要求； ∴正确的有①③． 35．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 【答案】(1) ①∵， ∴每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为， 故满足题意的幻方可以是下图所示 ② (2) 【知识点】整式的加减运算、等式的性质1 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，等式的性质，正确理解题意是解题的关键． （1）①求出这9个数字的和，可得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为18，据此填写幻方即可；②用含b的式子表示出右下角的数字，再用a、b分别表示出左上角的数字，从而可得关系式； （2）设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s，可证明，表示出右上角的数字，进而表示出右下角和左上角的数字，据此可得关系式． 【详解】（1）解：①略 ②右下角的数， ∵左上角的数， ∴； （2）解：设最中间的数为d，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都为s， ∴中间一行的三个数字之和加上中间一列三个数字之和，再加上两条对角线上6个数字（每条对角线都有3个数字）之和等于， ∴， ∴， ∴右上角的数字为， ∴右下角的数字为，左上角的数字为， ∴左上角的数字为， ∴， ∴． 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某商场购进一批西服，进价为每套元，原定每套以元的价格销售，这样每天可销售套．如果每套比原销售价降低元销售，则每天可多销售套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润=每套西服的销售价-每套西服的进价）． (1)按原销售价销售和每套降低元销售，每天可获利润哪个高些？高多少元． (2)如果每套销售价降低元，每天就多销售套，每套销售价降低元，每天就多销售套，按这种方式，若每套降低元（为大于或等于，且小于或等于的整数） ①用含的代数式表示： 降价后每套西服的利润为________元； 降价后西服每天的销售量为________套； 降价后每天所获利润为________元； ②请你测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？为什么？ 【答案】(1)每套降低元销售时，每天可获利润高些，高元． (2)①，，； ②销售方案为：降价元，按每套元的价格销售，原因：利润最高， 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查列代数式，销售问题，求代数式，根据销售问题的数量关系正确列出代数式是解题的关键． （1）根据单价间商品利润的关系公式列式即可求解原销售价销售的利润，原价基础上减去降价部分，列式即可求解降低元销售的利润；二者对比，相减即可． （2）①根据题意，降价后每套西服的利润减去降价的，每天的销售量在原销售量基础上加上，每天所获利润为降价后每套西服的利润乘以天的销售量列示化简即可； ②根据的取值范围，可令分别取，再分别相对应的利润，比较判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得，原销售价销售的利润为：（元）， 每套降低元销售的利润为：（元）， ∵，（元）， ∴每套降低元销售时，每天可获利润高些，高元． （2）解：①每套降低元时，每套西服的利润为：（元）， 西服每天的销售量为：（套）， 每天所获利润为：， 故答案为：，，， ②∵为大于或等于，且小于或等于的整数，每天所获利润为：， ∴可以取， 时，利润为：（元）， 时，利润为：（元）， 时，利润为：（元）， 时，利润为：（元）， 时，利润为：（元）， ∴降价元，按每套元的价格销售时，利润最高， ∴销售方案为：降价元，按每套元的价格销售，原因：利润最高． 37．（25-26七年级上·浙江金华·期中）结合表中素材，完成相应学习任务． 运动会快到了，学校准备订购一批篮球和跳绳 素材1 经过调查后发现店和店篮球每个定价都是120元，跳绳每条定价都是30元． 素材2 现有促销活动，店：买一个篮球送一条跳绳；店：篮球按定价打九折，跳绳按定价打七折． 问题解决 任务1 已知要购买篮球个，跳绳条（，为正整数）． ①若，，则在店购买需付款______元． ②若购买跳绳数目比篮球数目多，则只在店购买，一共需付款_____元；只在店购买，一共需付款______元．（用含，的代数式表示） 任务2 当，时，请你设计一种最为省钱的购买方案，并计算所需的总费用． 【答案】任务一：①900；②，； 任务二：在店买30个篮球，店买70根跳绳，共5070元 【知识点】列代数式、整式加减的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，依据题意正确列出代数式是解题的关键． 任务一．①利用店的优惠方案解答即可； ②利用店，店的优惠方案解答即可； 任务二．先在店购买30个篮球，送30根跳绳，余下的跳绳从店购买即可． 【详解】解：任务一： ①若，， 则在店购买需付款为：（元）． 故答案为：900． ②若购买跳绳数目比篮球数目多， 则只在店购买，一共需付款（元）； 只在店购买，一共需付款． 故答案为：，． 任务二： 最为省钱的购买方案为：在店购买30个篮球，送30个跳绳，再从店购买70根跳绳． 在店购买30个篮球，需付款（元）， 从店购买70根跳绳需付款（元）， 所需的总费用为（元）． 38．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 【答案】(1)①④，②③； (2)； (3)； (4)x的最大值为，x的最小值为 【知识点】单项式的系数、次数、整式的加减运算、已知同类项求指数中字母或代数式的值、多项式的项、项数或次数 【分析】知识点：新定义“强同类项”的应用、绝对值运算、整式项的系数与指数分析方法：根据“指数差绝对值为0或1”列条件，分类讨论求解．关键：准确理解新定义，逐一验证项的指数关系．易错点：遗漏指数差的两种情况；忽略项的系数为0的特殊情况． （1）计算各单项式的指数差，筛选出符合“强同类项”的组合． （2）根据指数差绝对值为0或1，列方程求m的可能值． （3）验证多项式中任意两项的指数关系，结合系数为0的情况确定n． （4）先确定s、t、k的范围，再结合绝对值公式求x的最值． 【详解】（1）计算各单项式字母指数的差： 、、、、、， 得：①与②③指数差绝对值大于1，不是“强同类项”； ①与④指数差绝对值为1，是“强同类项”； ②与③指数差绝对值为0或1，是“强同类项”； ②与④、③与④指数差绝对值大于1，不是“强同类项”． 故组合为：①④，②③． 故答案为：①④，②③． （2）根据“强同类项”定义，指数差的绝对值为0或1，即或1： 当时，； 当时，； 当时，． 故． （3）已知，任意两项为“强同类项”： 第一项与第二项满足“强同类项”； 第一项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、6、7； 第二项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、5、6； 当时，第一项系数为0，为单项式（不符合题意），故． （4）由与是“强同类项”，得、4、5，、2、3； 结合，得、1、； 由，得； ∵表示数轴上x到1的距离， ∴的值越大对应的x的两个值小的越小，大的越大， 即取最大值时，x的两个值分别取最小值和最大值， 当s取最大（）、k取最小（）时，，此时或． 故x的最大值为，最小值为． 【考点5】规律探索（数字、图形与数轴）（第39-49题） · 数字规律题列前若干项，找不变量与随序号n变化的部分，写出第n项 · 图形规律题数图形个数的增量，通常是等差数列或等比数列 · 数轴规律题标出前几个点的位置，找周期或递推关系求第n个点 · 程序图规律题把前几次输出列出，观察循环节再求指定次数的结果 · 用代数式表示规律后代入指定n值求解，注意检验前几项是否吻合 39．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了加法原理和乘法原理，解题关键是从简单情况入手，从中找出规律，再利用规律求解． 先从简单情况入手，若有1级台阶，则只有唯一的迈法，若有2级台阶，则有两种迈法，若有3级台阶，则有4种迈法，若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知种迈法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有种，然后依次求出、、…． 【详解】从简单情况入手： （1）若有1级台阶，则只有唯一的迈法：； （2）若有2级台阶，则有两种迈法：一步一级或一步二级，则； （3）若有3级台阶，则有4种迈法：①一步一级地走，②第一步迈一级而第二步迈二级，③第一步迈二级而第二步迈一级，④一级迈三级，； （4）若有4级台阶，则按照第一步迈的级数分三类讨论：①第一步迈一级台阶，那么还剩三级台阶，根据前面分析可知种迈法，②第一步迈二级台阶，还剩二级台阶，根据前面的分析可知有种迈法，③第一步迈三级台阶，那么还剩一级台阶，还有种． ∴（种） 相应有 （种）， （种）， （种）， （种）， （种）， （种）， ∴共有种迈法． 故选：D． 40．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】数字类规律探索 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的m的值为多少即可． 【详解】解：根据分析，可得 则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3，共4个， 故选：D． 【点睛】此题考查规律型：数列变化类，解题关键在于注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 41．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知2021个整数，，，…，满足下列条件：，，，……，，则的值为__________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值，数字规律，解题的关键是得到这列数从a3开始每2个一循环的规律． 根据题意，可以分别求得这列数的各项的数值，从而可以求得从a3开始每2个一循环，本题即可求解． 【详解】解：∵，，，……，， ∴ ， ， ， ∴从开始每2个一循环， ∴． 故答案为：． 42．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2025次输出的结果是______． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了程序和循环规律的有理数的运算，解题的关键是找出循环规律． 列出前几次输出的结果，找出规律，然后根据循环规律求解即可． 【详解】解：第1次输出的结果是； 第2次输出的结果是1； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； …… 从第2个结果开始，输出结果为循环规律，循环部分为1，，4，循环周期为3， ∴， ∴第2025次输出的结果是， 故答案为：． 43．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）有一机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动．该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第秒该机器人在数轴上所对应的数，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____（填序号）． 【答案】①②③ 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴上的规律问题，准确理解题意，发现该机器人每9秒向左移动1个单位长度是解题的关键．先根据题意得出该机器人每9秒向左移动1个单位长度，用时间除以9，得到的余数小于等于5时，向左移动，余数大于5时，向右移动，据此一一判断即可． 【详解】解：∵机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动，每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度， ∴，①正确；该机器人每9秒向左移动1个单位长度， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，④错误； ∴正确的有①②③， 故答案为：①②③． 44．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式：_____________________． （2）计算：___________． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】此题主要考查了探寻数列规律问题； （1）首先根据前四个等式的特征，可得第个等式的分子是n+2，分母是；然后判断出后面算式的两个数的分子都是1，第一个数的分母是，第二个数的分母是，据此解答即可． （2）根据题意，把前3个等式左右两边分别相加，求出的值，再把第4，5，6，7个等式左右两边分别相加，求出的值即可解答． 【详解】解：（1）根据分析，可得用含的代数式表示第个等式： 故答案为：； （2）∵ ∴ 故答案为：． 45．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2宽为1，以此类推，摆放2025个时，实线部分长为_____． 【答案】5063 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，解决本题的关键是首先计算出前几个图形中实线部分的长度．从中找出规律，根据规律得到第2025个图形实线部分的长度． 【详解】解：第1个图形实线部分的长度为， 第2个图形实线部分的长度为， 第3个图形实线部分的长度为， 第4个图形实线部分的长度为， ⋯， ∵， ∴第2025个图形的实线部分的长度为． 故答案为：5063． 46．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为________；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为_______． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了数的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由图可知，，计算可求，由图可知向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：；由，可知，为真分数，则与在同一层，同一分支上的数为，可知第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为，同理可得，第7层的数为，第6层的数为，第5层的数为，由图可知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由图可知，， 解得，； 向右发散的都是真分数，规律为：；向左发散的都是假分数，规律为：； ∵， ∴，为真分数， ∴与在同一层，同一分支上的数为， ∴第8层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第7层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第6层的数为，为假分数，与在同一层，同一分支上的数为， 第5层的数为， 由图可知，， 解得，， ∴， 故答案为：，． 47．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…．其中第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，依此类推．若整数满足如下条件：且该列数的前项和为2的整数幂．则整数的最小值为______． 【答案】7882 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数列分组规律、二进制进位思想以及幂的运算；解题的关键是发现当加上第组的前项时，前项和能成为 2的整数幂的充要条件是，先将数列按描述分组，第组有项；设前组完整，第组取前项，则总项数，总和；为使为的整数幂，则需使得，即；根据计算，并找到满足的最小值． 【详解】将数列进行分组： 第1组有1项：和为 第2组有2项：和为 第组有项，和为 设前组完整，第组取前项，则： 前项和为 （其中表示第组前项的和，当时此项为 0） 为使为的整数幂，则需使得，即 当时的最小值： 由和依次尝试的值： 当时，， ，不满足； 当时，， ，满足条件； ∴当时，更大，也更大，因此最小值为7882． 故答案为7882． 48．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按一定规律排列的一列数依次为：按此规律排列下去，第7个数为_____，第（为正整数）个数为_____． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数的规律问题． 观察数列的分子、分母和符号的变化规律，分子是2的幂加1，分母是奇数序列，符号交替，从而归纳出第个数的表达式． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； 第5个数：； 第6个数：； 归纳得：第个数为； 当时，第7个数为； 故第7个数为，第个数为． 故答案为：，． 49．（24-25七年级上·广东惠州·期中）【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 【答案】（1），，；  （2）   （3）     【知识点】有理数的加减混合运算、倒数、数字类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，数字规律等知识，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律是解答本题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）根据“倒数差”的定义列式计算即可； 先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运用规律解答即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ， ； （3） 数组确定为， 第一次变换后， ， ，即变换后得到的数组为， 故答案为：； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 第次变换后， ， ，即变换后得到的数组为； 同理可得：，，， ，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【考点6】有理数实际应用压轴（第50-52题） · 实际应用题把正负数表示相反意义的量，用有理数运算列式 · 方案选择题分别计算各方案费用，比较后选最优，注意单位与分段计费 · 利润问题：利润=售价-成本，总利润=单件利润×数量，列综合算式求解 50．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现从第2次输出的结果开始按，，，，，循环是解题的关键． 根据题意，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当输入的的值为2时， 第1次输出的结果是1； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； 第8次输出的结果是； ， 由此可见，从第2次输出的结果开始按，，，，，循环， 又因为余2， 所以第2025次输出的结果是． 故选：D． 51．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量．统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得周五的送餐量最少，且送餐量最多的一天和最少的一天数量差为22单． 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是多少单? (2)求该外卖小哥这周总共送餐多少单? 【答案】(1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是单 (2)该外卖小哥这一周一共送餐369单 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的混合运算的应用，解题的关键是理解题意，列出相应的算式． （1）根据题意可知这一周送餐量最多的一天是周四，再列式计算即可； （2）根据题意列出算式，再计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由数据可知，周五的送餐量最少， 除星期四外，最多的一天是周日，两天相差单， 而送餐量最多的一天和最少的一天数量差为22单， 所以，这一周送餐量最多的一天是周四，共单， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是单； （2） （单） 答：该外卖小哥这一周一共送餐369单． 52．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择订购方案最划算？ 素材1 古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份． 素材2 某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元） 素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露． 问题解决 分析规划 任务1 单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？ 任务2 莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元． 确定方案 任务3 莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额． 【答案】任务1：169元；任务2：133元；任务3：119元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的四则混合运算的应用，理解题意，得到最优方案是解答的关键． 任务1：根据题中单价乘杯数求解支付费用即可； 任务2：分别求得分两笔下单的费用，各自减去“18元代金券”，可求得实际支付费用； 任务3：用完三张“18元代金券”可得到最划算的费用，即就是拼单，可分三笔下单支付，每笔费用必须满55元或者费用大于且最接近55元，也可以用添加小料凑单完成． 【详解】解：任务1：由题意，（元）， 答：单笔订单购买12杯饮料，实际支付169元； 任务2：分两单支付： 购买珍珠奶茶支付（元）， 购买杨枝甘露支付（元）， ∴珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单，共需支付为（元）； 任务3：莉莉的下单方案不是最划算的方案； 最划算的方案为： 第一单：购买5杯珍珠奶茶，实际支付（元）； 第二单：购买2杯珍珠奶茶，2杯杨枝甘露，实际支付（元）， 第三单：购买3杯杨枝甘露，再添加4份椰果或2份椰果、1份多肉或2份多肉，实际支付（元）， 三单共需支付（元）． 💯 课后巩固 复习建议 · 混合运算先定顺序再定符号，分配律逆用是凑整关键 · 绝对值压轴先画数轴判正负，分段讨论不漏零点 · 实数估算用夹逼法，小数部分=原数-整数部分 · 整式化简先去括号再合并，求值先化简后代入 · 规律题列前几项找n的关系，写出通项再代入验证 【作业1】．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算法则是解题的关键．根据题意列出算式，先计算小括号内的减法，再计算乘法即可． 【详解】由题意得， 故选：B． 【作业2】．（23-24七年级上·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【知识点】列代数式 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 【作业3】．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及新定义，能够读懂定义是解题关键；根据“快乐数”的定义逐一对每个选项进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ，，， ∴2026是“快乐数”，故①正确； ②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0）， ∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等， ∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样， 若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1， ∴也是“快乐数”，故②正确； ③设正整数为，各位数字的平方和为， 对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作， ∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”． ∴①②③正确． 故选：D． 【作业4】．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 【答案】D 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数大小的规律，从特殊到一般的规律的探究是解题的关键．本题需要先找出的规律，再根据规律计算的值，最后根据已知条件求出的值． 【详解】解：设为距离最接近的整数，即， 当时，，解得， 所以，此时， 当时，， 解得， 所以，此时， 当时，，解得, 所以,此时， 以此类推，可以发现当时，的和为2，且对应的的个数为， 因为每个的和为2，所以，即一共有1012组，每组对应的的个数为个， 1025156． 故选：D． 【作业5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【答案】C 【知识点】列代数式 【分析】本题主要考查了列代数式，正方形和长方形的周长公式，解题关键是通过利用正方形和长方形周长相等这一条件，建立等式关系，进行代数运算和推理的能力．设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③．然后根据①+③的周长和②+③的周长之差为6，列出等式，化简得到．再由正方形和长方形周长相等，即，变形为．最后通过和这两个式子，能够求出（即）与（即）的差，从而确定答案为C选项，而其他选项仅根据现有条件无法求出具体数值． 【详解】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形为③ ①+③的周长为：， ②+③的周长为：， 已知①和②的周长之差为6， ①+③的周长和②+③的周长之差为6， 即， 化简可得， 则， 因为正方形和长方形周长相等， 所以，可得， 又因为， 可通过这两个式子求出的值， 所以与的差可求． 与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值． 答案选C． 【作业6】．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则_____． 【答案】3 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘除计算，代数式求值．根据，确定出a、b、c中有两个负数，一个正数，再分别讨论a、b、c的符号，然后化简绝对值，从而确定x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数或a、b、c中三个都是正数， 又∵， ∴a、b、c中有两个负数，一个正数， 当，则，，， ∴ ； 当，则，，， ∴ ； 当，则， ∴ ； ∴， ∴， 故答案为：3． 【作业7】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）设，则的值为___． 【答案】 1518 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，通过赋值法，利用二项式展开式的性质，计算特定系数和． 【详解】由二项式定理，设 ． 计算 ， ， ． 由 ， 得 ． 又 ， 且 ， 所以 ． 于是 ． 因此 ． 故答案为 ：1518． 【作业8】．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 【答案】3037 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴、数字规律，依次求得每次移动后点所对应的数，根据总结的规律求解即可． 【详解】解：由题知，第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动个单位长度，移动后点所对应的数为1； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，移动个单位长度；移动后点所对应的数为； ⋯， 移动n次后该点对应的数为个单位长度； ∴移动5次后对应的点数为，n为奇数时，向右移动；n为偶数时，向左移动； ∴第2025次向右移动个单位长度， ∵， 即前2024次移动后表示的数为， ∴， ∴移动2025次后表示的数为3037，移动2025次后该点到原点的距离为3037， 故答案为：3037． 【作业9】．（24-25七年级上·浙江金华·期中）把自然数按一定的规律排成如图所示图形，若规定图形中第4行的第3个数“8”记为，依次类推，则记为的数是_____． 【答案】52 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．观察发现记为、、、的数的规律，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：由图可知，记为的数是， 记为的数是， 记为的数是， 记为的数是， 归纳类推得：记为的数是（为正整数）， 所以记为的数是， 所以记为的数是， 故答案为：52． 【作业10】．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 【答案】（） 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 先计算立方体的原体积，再得到体积减小后的新体积，进而求出新棱长，最后求棱长减少的量即可． 【详解】解：∵立方体的棱长为10， ∴原体积为． 由题意得，体积减小V后，新体积为， 由于保持立方体形状，新棱长为新体积的立方根，即． ∴棱长应减少． 故答案为：（）． 【作业11】．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【答案】 / 【知识点】绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，掌握是数轴上表示的点与表示的点之间的距离是解题关键．根据绝对值的几何意义，利用分类思想，分情况讨论即可． 【详解】解：当时， ，则时，有最大值； 当时， 为定值； 当时， 为定值； 故当时，有最大值，且最大值为2； 当时， ，则时，有最小值； 当时， ； 当时， ； 故当时，取有最小值，且最小值为； 故答案为：，；，． 【作业12】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一列数，，…，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，若，，则的值为____． 【答案】4048 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查的是数字的变化规律，学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，涉及到有理数的加法法则，解题的关键在于分析题意，找到规律并进行推导；根据任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和求得到分别是多少，即可找出规律，求得答案． 【详解】解：∵任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，，， ∴，，，，，； ∴每6个数为一循环，且6个数的和为0， ； ∴； 故答案为：4048． 【作业13】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【答案】7 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减，能够正确求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为是解答本题的关键． 求得横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为，求得的值，即可得到的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可得，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和为 ， ，， 和的值为和或和， 当，时，， 当，时，， 故图中的值为 故答案为：． 【作业14】．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）__________． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】根据有理数的加减混合运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【作业15】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，每个小三角形的边长都为1，由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，图中共有四个“单元”，每个“单元”的四个数字之和都相等．下列说法中，正确的是________． ①； ②； 若、，，则； ④若十个小三角形中填入的是数字1到数字10，则每个“单元”的数字之和为奇数． 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式加减的应用，根据每个“单元”的四个数字之和都相等，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：每个“单元”的四个数字之和都相等， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②错误； ，、，， ， ，故正确； ， 若十个小三角形中填入的是数字1到数字10，则每个“单元”的数字之和为：， 是奇数， 是奇数， 是奇数，即每个“单元”的数字之和为奇数，故④正确； 综上可知，正确的有， 故答案为：． 【作业16】．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了错位相减法求和，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据错位相减法即可计算． 【详解】解：令， 则， ∴， 即， ∴． 【作业17】．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可． （3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可； （4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可； （5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可； （6）先计算前两项，再与后一项运算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【作业18】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 购置计划清单： ________型号的电冰箱、________型号的洗衣机、________型号的微波炉，优惠率为_______． 【答案】(1)6400元 (2) (3)二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意，理清各量间的关系，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据题意，国补后只需要支付元，解答即可． （2）根据题意，购买一级冰箱国补金额，购买一级洗衣机国补金额，购买一级微波炉国补金额，计算国补后的总金额，计算再优惠金额，根据题意，计算可得优惠率解答即可． （3）根据题意，分类计算，比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补：元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付元． （2）解：根据题意，购买一级冰箱国补元， 购买一级洗衣机国补元， 购买一级微波炉国补元， 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元， 根据题意，优惠率． （3）解：根据题意，依据国补标准，计算如下： 一级冰箱国补元，实付4800元； 二级冰箱国补元，实付4250元； 一级洗衣机国补元，实付3200元； 二级洗衣机国补元，实付2140元； 一级微波炉国补元，实付720元； 二级微波炉国补元，实付510元； 第一种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7720元，超出预算，不符合题意； 第二种组合：购买一级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000元，实际支付7510元，超出预算，不符合题意； 第三种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付7060元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第四种组合：购买一级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600元，实际支付6940元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第五种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠1000，实际支付7170元，没有超出预算，符合题意； 优惠率． 第六种组合：购买二级冰箱，一级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付7360元，超出预算，不符合题意； 第七种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，一级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6560元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 第八种组合：购买二级冰箱，二级洗衣机，二级微波炉， 国补金额为：元； 国补后的总金额为元， 根据活动方案，可以再优惠600，实际支付6300元，不超出预算，符合题意； 优惠率． 故购买二级冰箱，购买一级洗衣机，购买一级微波炉，优惠率最高，且为， 故答案为：二级冰箱，一级洗衣机，一级微波炉， ． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握有理数四则混合运算与乘方运算，能灵活运用运算律进行简便计算 · 掌握数轴上两点距离与绝对值的几何意义，能解决含字母的绝对值化简与最值压轴题 · 理解平方根、立方根与无理数概念，能进行实数估算与算术平方根规律探索 · 掌握列代数式与整式加减化简求值，能解决实际背景中的整式应用压轴题 · 能从数字、图形与数轴中归纳一般规律，用代数式表示第n项并求解压轴综合题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的运算与符号判断 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右 符号判断：几个非零数相乘，负因数个数为奇数时积为负，偶数时积为正 运算律：加法交换律、结合律与乘法交换律、结合律、分配律，压轴题常逆用分配律凑整 区分(-a)n与-an：前者整体乘方，后者是乘方结果的相反数 概念辨析例题：计算：-14-(1-0.5)××[2-(-3)2] 答案： 解析：-14=-1；1-0.5=0.5=；(-3)2=9，2-9=-7；××(-7)=-；原式=-1-(-)=-1+=。 ☆ 2.数轴与绝对值综合 绝对值几何意义：|a|表示数轴上数a的点到原点的距离；|a-b|表示a、b两点间距离 含字母绝对值化简：先根据数轴判断绝对值内式子的正负，再脱去绝对值符号（正不变、负变号） 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 数轴动点与最值：|x-a|+|x-b|表示x到a、b距离之和，当x在a、b之间时取最小值|a-b| 概念辨析例题：有理数a、b在数轴上的位置如图，化简：|a-b|+|a+b|-|b| 答案：b 解析：由数轴知a<0<b且|a|>|b|，所以a-b<0，a+b<0，b>0；|a-b|=-(a-b)=b-a，|a+b|=-(a+b)=-a-b，|b|=b；原式=(b-a)+(-a-b)-b=-2a-b。 ☆ 3.实数与算术平方根 平方根：若x2=a（a≥0），则x=±，正数有两个互为相反数的平方根 算术平方根≥0；(=a（a≥0）；立方根∛a对任意实数唯一存在 无理数是无限不循环小数，如、π；实数与数轴上的点一一对应 估算夹逼法：找相邻完全平方数确定的整数部分，如2<<3 概念辨析例题：已知的整数部分为a，小数部分为b，求a-b的值 答案：a-b=2 解析：因为3<<4，所以a=3，b=；a-b=3-(=6-。 ☆ 4.代数式与整式加减 单项式：数与字母的积，系数是数字因数，次数是所有字母指数之和 多项式：几个单项式的和，次数取最高次项的次数；同类项字母相同且相同字母指数相同 整式加减：先去括号（括号前是负号各项变号），再合并同类项（系数相加、字母不变） 化简求值：先化简为最简式，再代入数值；整体代入法可避免求单个字母的值 概念辨析例题：先化简，再求值：3(x2-2xy)-[3x2-2y+2(xy+y)]，其中x=-，y=-3 答案：-8xy，值为-12 解析：原式=3x2-6xy-[3x2-2y+2xy+2y]=3x2-6xy-3x2-2xy=-8xy；代入x=-，y=-3：-8×(-)×(-3)=-12。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数混合运算 先乘方→再乘除→后加减 有括号先算括号内 符号判断 负因数个数奇负偶正 0乘任何数都为0 |a-b|几何意义 数轴上a、b两点间距离 距离恒非负 绝对值化简 正不变号、负变号 先判正负再去绝对值 与∛a ≥0；∛a任意实数 负数无平方根有立方根 同类项 字母相同且指数相同 与系数和顺序无关 整式加减 去括号→合并同类项 括号前负号各项变号 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的运算与符号判断（第1-9题） · 严格按先乘方、再乘除、后加减的顺序运算，有括号先算括号内 · 压轴混合运算善用分配律正逆联用，把带分数拆成整数与分数之和凑整 · 符号判断数清负因数个数：奇数个负得负，偶数个负得正 · 区分(-2)3=-8与-23=-8结果相同，但(-2)2=4与-22=-4不同 · 程序流程图题把输入值逐步代入，注意每步分支条件与符号 1．（23-24八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 2．（25-26七年级上·四川广元·期末）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，，连续这样操作2025次，则每次取的两个中点所形成的所有线段之和（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·天津河东·期末）已知a，b是有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④若，c是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（24-25七年级上·湖北·阶段检测）小学时候大家喜欢玩的“幻方”游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏．现在将，，，，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内、外两圆上的个数字的和都相等．如图，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知 4 个互不相等的非零整数 满足 ， 其中，则 的最小值是__________． 6．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试），则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”，一般地，把，个，记作，读作“的圈次方”． (1)初步探究： 除方乘方：幂的形式 ①直接写出计算结果： ， ； ②关于除方，下列说法错误的是 ； ．任何非零数的圈2次方都等于1； ．对于任何正整数，； ； ．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． (2)深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ ①试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． ； ； ； ②想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 ； ③算一算：． 8．（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）阅读下列素材： 如何设计“非对称加密算法” 素材1 “非对称加密算法”中公钥和私钥是一对不同却匹配的钥匙，只有使用匹配的钥匙，才能完成对明文的加密解密． 素材2 ；；； 素材3 项目小组正在研究利用“非对称加密算法”对以内的三位正整数进行加密解密，方法如下：记（公钥，私钥）为（其中，均为两位正整数），则 例：当明文为，取时，加密解密过程如下： 结合上述素材，完成以下问题： 【模型理解】 （1）设是一个三位数，是一个六位数，则，请说明理由． （2）设是一个三位数，是一个四位数，则被除的余数为，请说明理由． 【初步应用】 （3）若公钥为，设计匹配的私钥． 【解决问题】 （4）请再设计一对匹配的钥匙：（ ， ）． 9．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 【考点2】数轴与绝对值综合压轴（第10-22题） · 含字母绝对值化简：先由数轴判断每个绝对值内式子的正负，再去符号 · |a-b|表示数轴上a、b距离，动点问题用距离列式再化简 · 绝对值非负性：几个绝对值之和为0，则每个绝对值内部都为0 · 距离和最值：|x-a|+|x-b|在x位于a、b之间时取最小值|a-b| · 多绝对值压轴：分段讨论零点，在每个区间内分别化简再综合 10．（24-25七年级上·重庆·阶段检测）把1，2，3…，这个正整数任意分成n组（n为正整数），每组两个数，现将每组两个数中较小的数记为x，另一个数记为y，代入进行计算并求出结果，将这n个结果的和记为，下列说法： ①当时，有3种不同的结果； ②当时，的最小值为； ③当时，的最小值为． 其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．（15-16七年级上·浙江温州·期中）若为整数，且的值为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．4 12．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 13．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如果p，q是非零实数，关于x的方程始终存在四个不同的实数解，则的值为_______． 14．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）有理数所对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 15．（24-25七年级上·浙江·期中）已知a，b为实数，下列说法： ①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；⑤若，且，则，其中正确的是___________． 16．（25-26七年级上·四川宜宾·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则_____；当时，则_____． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，是非零有理数．满足且，求的值． 17．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)和2之间的距离为__________； (2)若x与2的距离为3，则x的值为__________； (3)若成立，则满足条件的所有整数x为__________； (4)由以上探索猜想，对于任何有理数x，的最小值为__________． 18．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）【定义新知】 数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A、B，分别用数a、b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．若数轴上点A表示数a，请回答下列问题： 【初步应用】 （1）如果，那么a的值是______； （2）如果，那么a的值是______； （3）如果，那么a的值是______； （4）的最小值是______． 【解决问题】 （5）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5，右侧1，右侧3．A居民区有居民1千人，B居民区有居民2千人，C居民区有居民2千人．现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低，最低成本是多少？ 19．（25-26七年级上·广东肇庆·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，它是“数形结合”的基础． 【知识呈现】 新定义：我们规定：点A，B在数轴上分别表示数，，则A，B两点之间的距离可表示为：，如式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离；式子，它在数轴上的意义是表示6的点与表示的点之间的距离． 【初步理解】 （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示和5.2的两点之间的距离是________； （2）已知数轴上点A所表示的数是，点B所表示的数是6，x表示数轴上任意一点，则的最小值是________； 【深入探究】 （3）结合数轴，利用以上的新定义求式子的最小值，求出此时x的值，并简单说明理由． 【实际应用】 （4）某市一条东西走向的大道一侧有四个小区，分别是兴园小区、梦园小区、竹园小区、名园小区，如图（每个小区看作一个点），每相邻两个小区之间相距800米，为方便各小区居民出行，公交公司想在某一个小区处建一个公交站台，使所建公交站台到四个小区的距离之和最小，问这个公交站台应建在哪个小区？所建公交站台到四个小区距离之和的最小值是多少?（不用说明理由） 20．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为 ． (2)当取最小值时，可以取整数 ；的最大值为 ． (3)当 时，的值最小，最小值为 ． (4)如图，一条笔直的公路边有三个居民区和市民广场，居民区分别位于市民广场左侧，右侧，右侧居民区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元千份千米，那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 21．（24-25七年级上·广东湛江·期中）先阅读，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： 【阅读】：表示与差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)数轴上表示和两点之间的距离是________；一般地、数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是，那么的值为________． (2)若，，且数、在数轴上表示的点分别是点、点，则、两点间的最大距离是________，最小距离是________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是________． (4)应用：小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作，妈妈上班地点记作，小明学校记作2，那么距离和的最小值是：________． (5)拓展：的最小值是：________． 22．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为 ，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离．利用此结论，回答以下问题： （一）数轴上表示数的点和表示数2的点之间的距离是 ． （二）数轴上点A用数a表示， （1）若，那么a的值是 ． （2）最小值是 ． （3）最小值是 ． （4）当a为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【考点3】实数与算术平方根估算（第23-26题） · 用夹逼法找相邻完全平方数确定的整数部分与小数部分 · 的整数部分为不超过的最大整数，小数部分=整数部分 · 平方根成对互为相反数，算术平方根只取非负的那一个 · 算术平方根规律题观察被开方数与结果的小数点移动规律 23．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（    ）（式子中的“”，“”依次相间） A．22 B． C．23 D． 25．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【考点4】列代数式与整式加减应用（第27-38题） · 列代数式抓住关键词：和、差、积、商、倍、分，注意运算顺序加括号 · 整式加减先去括号再合并同类项，多重括号从内向外或从外向内逐层去 · 化简求值先化简再代入，整体代入可不求单个字母直接求多项式的值 · 实际应用题把数量关系用代数式表示，再代入具体数值计算利润或方案 · 单项式系数与次数：系数不含字母，次数是所有字母指数之和 27．（25-26七年级下·湖北十堰·期末）将图①中周长为的长方形纸片剪成号、号、号、号正方形和号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·北京丰台·期末）如图，长为、宽为的长方形被分割为块，包括块完全相同的空白长方形和块阴影长方形，．若每块空白长方形较短的边长为，则阴影长方形，的周长之和为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，在一个大长方形中放入一个大正方形和两个完全一样的小正方形、，重叠部分、也为正方形，记阴影部分①、②、③的周长分别为、、．若要求的值，只需知道下列哪条线段的长度（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·浙江台州·期末）某学校为丰富课后服务内容，开设了海岛生态观察（A），台州非遗手作（B），古城数学探秘（C）三门拓展课程，七（1）班每个同学都至少选择其中一门课程，但不超过两门．只选了一门课程的有人，选了两门课程的有人，选择课程A的有人，选择课程的也是21人，选择课程的有人，下列说法中错误的是（    ） A．七（1）班总人数人 B．同时选了A和B两门课程的人数比只选了C课程的人数少人 C．同时选了A和C两门课程的人数比只选了B课程的人数少人 D．同时选了B和C两门课程的人数比只选了A课程的人数少人 31．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，点在边上，分别以为边作正方形和正方形．点在边上，以为边作正方形．记正方形的面积为，正方形面积为．若阴影部分的面积为，，则的值为____．（用含的代数式表示） 32．（22-23七年级下·浙江丽水·阶段检测）某校七、八年级的学生人数相同，九年级的学生人数是八年级学生人数的，已知七年级的男生人数与八年级的女生人数相同，九年级男生人数占三个年级男生人数的，那么三个年级的女生人数占三个年级的学生人数的______． 33．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）将一个四位数的四个数字之和的2倍与这个四位数相加得到2379．则满足条件的四位数是__________． 34．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm，下列说法中正确的是_____（填序号）． ①小长方形的较长边为；②阴影的较短边和阴影的较短边之和为；③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值；④当时，阴影和阴影的面积和为定值． 35．（25-26七年级上·浙江台州·期末）幻方是中国古代重要的数学成就．在每个小方格中各填入一个数，如果每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，那么就称这个图是一个三阶幻方． (1)现用2到10这9个整数构造三阶幻方（每个数只能用一次） ①将图1的三阶幻方补充完整； ②如图2，该同学经过多次尝试，发现幻方中不同位置的数之间有一定的数量关系，若将图中对应位置的数记作a，b，写出a，b满足的数量关系； (2)如图3，对于任意满足条件的三阶幻方，设对应位置的数分别为a，b，c，写出a，b，c满足的数量关系． 36．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某商场购进一批西服，进价为每套元，原定每套以元的价格销售，这样每天可销售套．如果每套比原销售价降低元销售，则每天可多销售套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润=每套西服的销售价-每套西服的进价）． (1)按原销售价销售和每套降低元销售，每天可获利润哪个高些？高多少元． (2)如果每套销售价降低元，每天就多销售套，每套销售价降低元，每天就多销售套，按这种方式，若每套降低元（为大于或等于，且小于或等于的整数） ①用含的代数式表示： 降价后每套西服的利润为________元； 降价后西服每天的销售量为________套； 降价后每天所获利润为________元； ②请你测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？为什么？ 37．（25-26七年级上·浙江金华·期中）结合表中素材，完成相应学习任务． 运动会快到了，学校准备订购一批篮球和跳绳 素材1 经过调查后发现店和店篮球每个定价都是120元，跳绳每条定价都是30元． 素材2 现有促销活动，店：买一个篮球送一条跳绳；店：篮球按定价打九折，跳绳按定价打七折． 问题解决 任务1 已知要购买篮球个，跳绳条（，为正整数）． ①若，，则在店购买需付款______元． ②若购买跳绳数目比篮球数目多，则只在店购买，一共需付款_____元；只在店购买，一共需付款______元．（用含，的代数式表示） 任务2 当，时，请你设计一种最为省钱的购买方案，并计算所需的总费用． 38．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 【考点5】规律探索（数字、图形与数轴）（第39-49题） · 数字规律题列前若干项，找不变量与随序号n变化的部分，写出第n项 · 图形规律题数图形个数的增量，通常是等差数列或等比数列 · 数轴规律题标出前几个点的位置，找周期或递推关系求第n个点 · 程序图规律题把前几次输出列出，观察循环节再求指定次数的结果 · 用代数式表示规律后代入指定n值求解，注意检验前几项是否吻合 39．（2023九年级上·浙江宁波·竞赛）一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶，最多可以迈三级台阶，从地面上到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的迈法（   ） A． B． C． D． 40．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即：如图所示，如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 41．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知2021个整数，，，…，满足下列条件：，，，……，，则的值为__________． 42．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是2，第1次输出的结果是，第2次输出的结果是1，依次继续下去…，第2025次输出的结果是______． 43．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）有一机器人从数轴原点出发，沿数轴负方向以每前进5步后退4步的程序运动．该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第秒该机器人在数轴上所对应的数，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____（填序号）． 44．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）观察下列等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含的代数式表示第个等式：_____________________． （2）计算：___________． 45．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）将相同的长方形卡片按如图方式摆放在一个直角上，每个长方形卡片长为2宽为1，以此类推，摆放2025个时，实线部分长为_____． 46．（24-25七年级上·浙江·期中）十九世纪与两人发明了“一棵树”，称之为“有理数树”，它将全体正整数和正分数按照如图所示的方法排列．从1开始，一层一层的“生长”出来：是第一层，第二层是和，第三层是，，，，…，按照这个规律，图中所表示的数为________；若数（，均为正整数）位于第9层，且，则表示的数为_______． 47．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知一列数如下规律排列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…．其中第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，依此类推．若整数满足如下条件：且该列数的前项和为2的整数幂．则整数的最小值为______． 48．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）按一定规律排列的一列数依次为：按此规律排列下去，第7个数为_____，第（为正整数）个数为_____． 49．（24-25七年级上·广东惠州·期中）【阅读中思考】 设是不为和的有理数，我们把与的倒数的差，即称为的倒数差， 如：的倒数差是的倒数差是． 【探索中理解】 若是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算的算式，再求出它们的值． （2）求的值． 【应用拓展】 设，，都是不为和的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得数组第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 第一次变换后得到的数组为_______； 的值为_______．（直接写出答案） 【考点6】有理数实际应用压轴（第50-52题） · 实际应用题把正负数表示相反意义的量，用有理数运算列式 · 方案选择题分别计算各方案费用，比较后选最优，注意单位与分段计费 · 利润问题：利润=售价-成本，总利润=单件利润×数量，列综合算式求解 50．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 51．（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量．统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得周五的送餐量最少，且送餐量最多的一天和最少的一天数量差为22单． 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天是多少单? (2)求该外卖小哥这周总共送餐多少单? 52．（25-26七年级上·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何选择订购方案最划算？ 素材1 古茗奶茶店里出售的两款饮料价格如下：珍珠奶茶12元/杯，杨枝甘露17元/杯；另外可额外添加小料：椰果1元/份，多肉2元/份． 素材2 某外卖平台为促进消费，实行免配送费活动并给每个用户账号发放3张“18元代金券”，单笔订单满55元限用1张．（如：单笔金额为110元的订单，实付金额为：元） 素材3 莉莉等12人组成的研学小组准备订购下午茶，经统计7人想喝珍珠奶茶，5人想喝杨枝甘露． 问题解决 分析规划 任务1 单笔订单购买12杯饮料，实际支付多少元？ 任务2 莉莉发现将珍珠奶茶和杨枝甘露的订单分开2笔下单更划算，共需支付 元． 确定方案 任务3 莉莉的下单方案是最划算的方案吗？如果是，请说明理由；如果不是，请你求出最划算的下单方案的金额． 💯 课后巩固 复习建议 · 混合运算先定顺序再定符号，分配律逆用是凑整关键 · 绝对值压轴先画数轴判正负，分段讨论不漏零点 · 实数估算用夹逼法，小数部分=原数-整数部分 · 整式化简先去括号再合并，求值先化简后代入 · 规律题列前几项找n的关系，写出通项再代入验证 【作业1】．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）减去它的，再减去余下的，再减去余下的……，以此类推，一直减到余下的，则最后剩下的数是（   ） A． B．1 C． D． 【作业2】．（23-24七年级上·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【作业3】．（25-26七年级上·北京海淀·期末）对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论： ①2026是“快乐数”； ②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”； ③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数” 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【作业4】．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 【作业5】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（     ） A． 与 的和 B． 与 的积 C． 与 的差 D． 与 的商 【作业6】．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则_____． 【作业7】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）设，则的值为___． 【作业8】．（25-26七年级上·广东深圳·阶段检测）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，．．．以此类推，这样移动2025次后该点到原点的距离为___________． 【作业9】．（24-25七年级上·浙江金华·期中）把自然数按一定的规律排成如图所示图形，若规定图形中第4行的第3个数“8”记为，依次类推，则记为的数是_____． 【作业10】．（25-26七年级上·浙江丽水·期中）若将一个棱长为10的立方体的体积减小V，而保持立方体形状不变，则棱长应减少______． 【作业11】．（24-25七年级上·重庆长寿·期中）当x满足条件________时，取得最大值，最大值为________； 当x满足条件________时，取得最小值，最小值为________． 【作业12】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）一列数，，…，，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于左右两个数的和，若，，则的值为____． 【作业13】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）爱动脑筋的小明设计了一种“幻圆”游戏，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，若他已经将1，，，7这四个数填入了圆圈，则图中的值为______． 【作业14】．（26-27七年级上·浙江金华·阶段检测）__________． 【作业15】．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，每个小三角形的边长都为1，由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“单元”，图中共有四个“单元”，每个“单元”的四个数字之和都相等．下列说法中，正确的是________． ①； ②； 若、，，则； ④若十个小三角形中填入的是数字1到数字10，则每个“单元”的数字之和为奇数． 【作业16】．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 【作业17】．（25-26七年级上·全国·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【作业18】．（24-25六年级下·上海虹口·期中）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见表），另有一张该商店的五一促销海报（见图） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)如果在5月1日前，在该店购置一台价值8000元的电器，如果这是一台一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，那么在“五一”期间，可以得到的优惠率是多少？（优惠率，结果在百分号前保留1位小数） (3)如果小红家本次购置电器的消费预算在7200元以内，那么他们应该如何选择才能即不超过预算，又能得到最大的优惠率呢？（优惠率）经过计算：完成以下购置计划清单：（结果在百分号前保留1位小数） 购置计划清单： ________型号的电冰箱、________型号的洗衣机、________型号的微波炉，优惠率为_______． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $