第3章·实数·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第3章·实数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根与立方根的概念，会用根号表示并求一个数的平方根与立方根 · 理解无理数与实数的概念，能对实数进行正确分类，知道实数与数轴上的点一一对应 · 掌握用夹逼法估算无理数的大小，会求无理数的整数部分与小数部分并比较实数大小 · 掌握实数的运算法则与运算律，能进行实数的混合运算并解决简单的实际应用问题 · 会运用数形结合思想解决实数与数轴、正方形剪拼等综合问题，能探索数字与图形规律 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 平方根：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，规定=0，算术平方根具有非负性≥0 重要性质：(=a（a≥0），=|a|；求一个数平方根的运算叫做开平方，它与平方互为逆运算 已知平方根求原数：一个正数的两个平方根互为相反数，把它们相加得0列方程，再把平方根平方即得原数 概念辨析例题：已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数 答案：这个正数是9 解析：正数的两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(±3)2=9。 ☆ 2.立方根 立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根，记作3；任何数都有且只有一个立方根 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；(3=a，3=a 求立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算；立方根的被开方数可以是任意实数 当被开方数的小数点向右（左）移动三位时，立方根的小数点相应地向右（左）移动一位 概念辨析例题：已知x-2的立方根是3，求x的值 答案：x=29 解析：由题意得3=3，两边立方得x-2=27，所以x=29。 ☆ 3.实数的分类与无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数，常见形式有开方开不尽的数（如、3）、含π的数、有规律但不循环的数（如0.1010010001…） 实数：有理数和无理数统称实数；按定义可分为有理数和无理数，按符号可分为正实数、0、负实数 有限小数和无限循环小数都是有理数，都可以化为分数；带根号的数不一定是无理数，如=2是有理数 实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反之数轴上每一个点都表示唯一的实数 概念辨析例题：下列各数中：3，0，-，，π，0.1010010001…，无理数共有几个 答案：无理数共有2个 解析：=2是有理数；无理数是π和0.1010010001…，共2个；3、0、-、都是有理数。 ☆ 4.实数的估算与大小比较 估算无理数常用夹逼法：先找与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数在哪两个相邻整数之间 无理数的整数部分是其左边的相邻整数，小数部分等于原数减去整数部分，如的整数部分是2，小数部分是 实数大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；数轴上右边的数总比左边的大 比较两个无理数可平方法（同为正数，平方大的原数大）、作差法、估算法，也可借助数轴直观判断 概念辨析例题：估计在哪两个相邻整数之间，并写出它的整数部分与小数部分 答案：3<<4，整数部分是3，小数部分是 解析：因为9<11<16，所以3<<4；整数部分是3，小数部分为。 ☆ 5.实数的运算 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数完全相同：数a的相反数是-a，绝对值|a|，非零实数a的倒数是 实数运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右 有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用，能简算的要简算 结果中含根号的要化为最简形式；实际问题中可按要求对结果取近似值 概念辨析例题：计算：- 答案： 解析：=3，3=-2，=，所以原式=3+(-2)-=。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 若x2=a，则x=± 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根 算术平方根 正数a的正的平方根≥0 (=a，=|a| 立方根 若x3=a，则x=3 任何数都有唯一立方根，负数立方根为负 无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、π、有规律不循环的数 实数 有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点一一对应 估算 夹逼法找相邻完全平方数 小数部分=原数-整数部分 实数运算 先开方乘方，再乘除，后加减 运算律在实数范围内仍适用 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数与实数的分类（第1-10题） · 识别无理数抓住三点：开方开不尽的数（、3）、含π的数、有规律但不循环的无限小数 · 带根号的数不一定是无理数，要先化简，如=2、3=2都是有理数 · 有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数；分数一定是有理数 · 实数分类先按定义分有理数与无理数，再按符号分正实数、0、负实数，注意0既不是正数也不是负数 · 把数填入集合时要逐个判断，不重不漏，循环小数与无限不循环小数要区分开 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在，，，四个数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数是关键． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：， 是无理数； ，是整数，是分数，它们属于有理数． 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）在实数中，属于无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键． 【详解】解：是分数，0是整数，是整数， 是无理数， 故选：D 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）在，，，，（每两个5之间依次增加1），中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）．根据无理数定义逐项进行判断即可． 【详解】解：在，，，，（每两个5之间依次增加1），中，无理数有，，（每两个5之间依次增加1）共3个． 故选：C． 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列各数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义和算术平方根，牢记无理数的定义是解题的关键． 根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故选项不符合题意； B、 是整数，属于有理数，故选项不符合题意； C、 是无理数，故选项符合题意； D、 是分数， 属于有理数，故选项不符合题意； 故选：． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在实数中，是无理数的是_________________． 【答案】 【知识点】无理数 【分析】本题考查无理数．根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数； ，是有理数； 有限小数，有理数； 是分数，有理数； 无理数的为， 故答案为：． 6．（3.2实数（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________． 【答案】 6，0 ， ，（每两个9之间依次多一个0） 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查实数的分类及定义，根据实数的分类及定义即可求得答案． 【详解】解：属于整数集合的有6，0； 属于负分数集合的有，； 属于无理数的有，（每两个9之间依次多一个0）； 故答案为：6，0；，，（每两个9之间依次多一个0）． 7．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）将下列各数填入相应的括号里：，0，8，，，，，． 正数集合{ …．}； 整数集合{ …．}； 无理数集合{ …．}． 【答案】 正数集合{8，，，，…}； 整数集合{0，8，，…}； 无理数集合{，…}； 【知识点】有理数的分类、无理数 【分析】本题考查了有理数概念和分类，解题的关键是掌握大于0的数是正数，整数也包含0和负整数，无限不循环小数是无理数． 【详解】略 8．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 【答案】①⑥；②③⑦；④⑤． 【知识点】实数的分类、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：无理数：{， } 负分数：{，，} 整数：{，} 故答案为：①⑥；②③⑦；④⑤． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 【答案】 分数：③④⑧⑨； 非负数：①⑤⑥⑦⑧⑨ 无理数：⑥⑦． 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类、无理数 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，掌握无理数的定义（无限不循环小数是无理数）是解题的关键． 根据分数、非负数、无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】略 10．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，， ，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ． (2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内： 【答案】(1)甲 (2)见解析 【知识点】有理数的分类、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查有理数的分类，无理数，熟练掌握有理数的分类方法，无理数的定义，是解题的关键： （1）根据无理数的定义进行判断即可； （2）根据有理数的分类作答即可． 【详解】（1）解：是有理数，不是无理数，和是无理数； 故说错的是甲； 故答案为：甲； （2）由题意，填写如下： 【考点2】平方根与算术平方根（第11-21题） · 表示算术平方根（非负），±才表示平方根，读题看清问的是平方根还是算术平方根 · 一个正数的两个平方根互为相反数，利用这一点列方程可求字母的值，再平方得原数 · 负数没有平方根，因此被开方数必须非负；本身也具有非负性，常用来求字母取值 · 区分(=a与=|a|，后者要根据a的正负去绝对值 · 已知一个数的平方根求原数，把其中一个平方根平方即可；注意平方根有两个不要漏负的那个 11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值，根据算术平方根，立方根，绝对值性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 12．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得出，求出，再得出答案即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 这个数为． 13．（2024·江苏常州·模拟预测）的平方根为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根的计算是解题的关键．根据题意得到，求出的平方根即可． 【详解】解： ， 故的平方根为， 故选：D． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．64的立方根是 B． 没有立方根 C． 是64的平方根 D．的平方根是 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了立方根、平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，任何一个数都有立方根逐一判断即可． 【详解】解：A. 64的立方根是，原说法错误； B. 的立方根是，原说法错误； C. 是64的平方根，说法正确； D. 的平方根是，原说法错误； 故选：C． 15．（23-24七年级下·吉林·阶段检测）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是________． 【答案】2024 【知识点】平方根概念理解 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵一个数的平方根有两个，且互为相反数，一个平方根是， ∴它的另一个平方根是2024， 故答案为：2024． 16．（25-26七年级上·浙江·单元复习）的平方根是 _______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，求分数的平方根，需分别求分子和分母的平方根，再考虑正负值即可． 【详解】解：∵ 且 ， ∴ 的平方根是． 故答案为：． 17．（23-24七年级下·福建莆田·期中）设一个正数的两个平方根是和，则这个正数为 _____． 【答案】9 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，可得：，据此求出a的值，进而求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴这个数为， 故答案为：9． 18．（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则______． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查的是非负数的性质和算术平方根．先根据非负数的性质求出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 19．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于5；②它是负数．这个数是________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：∵一个数具有以下两个特点：①它的平方等于5；②它是负数， ∴这个数是， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·全国·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据两个数的平方根互余相反数，列出方程解方程即可， 本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握一个正数的平方根互为相反数． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以这个正数是． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查立方根和平方根，根据立方根和算术平方根的定义，分别求出和的值，再计算的平方根． 【详解】解：因为且的立方根是它本身，所以． 因为的算术平方根是4，所以，解得． 因此， 所以的平方根为． 故答案为：． 【考点3】立方根（第22-26题） · 任何数都有且只有一个立方根，正数立方根为正、负数立方根为负，这与平方根不同 · (3=a，3=a，开立方与立方互为逆运算，可两边立方去掉根号 · 已知立方根求原数或字母：由3=a两边立方得x=a3 · 被开方数小数点每移动三位，立方根小数点相应移动一位，可由已知立方根估算相关数 · 立方根实际应用：正方体体积V=a3，已知体积求棱长就是求体积的立方根 22．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算、求一个数的立方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据平方根的性质求解即可得． 【详解】解：∵a是的立方根， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的平方根是． 故选：C． 23．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）______． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、实数的性质 【分析】本题考查了求一个数的立方根与绝对值；先由立方根的定义求得立方根，再求出其绝对值即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 24．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则_______． 【答案】5 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义列得方程，解得a的值即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， 故答案为：5． 25．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）设，，且，则______ 【答案】1 【知识点】立方根概念理解、实数的混合运算 【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则，，均为正数， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为， ∵长方体铁坯的长为，宽为，高为， ∴， ∴， 解得， ∴加工后正方体铁块的棱长为． 【考点4】无理数的估算与大小比较（第27-37题） · 夹逼法估算：先找相邻两个完全平方数（或立方数），确定无理数所在的整数区间 · 无理数的整数部分是左边相邻整数，小数部分=原数-整数部分，常结合不等式求字母 · 比较两个同为正数的无理数，可用平方法：平方大的原数大；也可作差或借助数轴 · 求近似值时先确定整数部分，再按二分或材料给出的方法逐次逼近到要求的精度 · 规律探索题先算出前几个具体值，观察整数部分、小数点移动等不变规律再推广到第n个 27．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．先分别求出三个数的绝对值，再根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”来比较这三个负数的大小． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴． 故选：D． 28．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）满足的整数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，无理数比较大小，根据题意，被开方数大的值也大，可得的取值范围内，且是整数，则可得之间能开方的数，由此即可求解，解题的关键是掌握无理数估算的方法． 【详解】解：∵，且是整数， ∴，即， ∴的值是，共个， 故选：． 29．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、实数的大小比较 【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，正方形的面积为， ∴边长为， ∵， ∴， ∴正方形边长最接近的整数是6， 故选：C． 30．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）阅读以下材料： 面积为107的正方形的边长是，且，∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略， 得．解得． 请用以上方法求无理数的近似值（保留两位小数）为（    ） A．20.54 B．20.55 C．20.56 D．20.57 【答案】B 【知识点】算术平方根的实际应用、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的小数部分，无理数的估算．解题的关键在于理解题意并正确的运算．根据材料中的解题先求出正方形的边长是，估算出，设，画出相应图形，得到，忽略求出x的值即可． 【详解】解：面积为422的正方形的边长是 ，且 ， 设 ，其中． 画出边长为 的正方形，如图： 根据图中面积得：，当较小时，忽略， 得， 解得：， ， 故选：B． 31．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了无理数大小的规律，从特殊到一般的规律的探究是解题的关键．本题需要先找出的规律，再根据规律计算的值，最后根据已知条件求出的值． 【详解】解：设为距离最接近的整数，即， 当时，，解得， 所以，此时， 当时，， 解得， 所以，此时， 当时，，解得, 所以,此时， 以此类推，可以发现当时，的和为2，且对应的的个数为， 因为每个的和为2，所以，即一共有1012组，每组对应的的个数为个， 1025156． 故选：D． 32．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知，，，．若为整数且，则的值为______． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算． 通过比较2022与已知平方数的大小，确定的整数部分． 【详解】∵，，且， ∴，即， ∵为整数且满足， ∴． 故答案为：． 33．（23-24八年级上·江西抚州·阶段检测）已知和的小数部分分别为和，则_________． 【答案】1 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小．先估算出的大小，然后求得、的值，最后合并即可． 【详解】解；， ，． ∴，， ．． ， 故答案为：1． 34．（22-23七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3．1404<π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到3的一个更为精确的近似分数为_______． 【答案】 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，理解题中“调日法”的算法是解题的关键．根据题中“调日法”的算法，进行两次“调日法”的计算，得到更为精确的近似分数． 【详解】解：已知，则利用一次“调日法”得：， 由于， ，再次使用“调日法”得：， 由于：， ，再次使用“调日法”得：． 故答案为： 35．（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算；通过估算的取值范围，确定的值所在区间，从而得到整数即可． 【详解】解：因为，所以， 因此， 于是，即， 故的值在整数2和3之间， 所以． 故答案为：2． 36．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算、实数的混合运算 【分析】本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）仿照题中给出的方法估算的取值范围，即可得出其整数部分和小数部分； （2）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出a、b的值，从而计算的值； （3）先估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可求出x、y的值，从而计算出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分：， ∵， ∴小数部分：， ∴． 37．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）观察下面图形，每个小正方形的边长为． (1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ； (2)若的整数部分为，小数部分为，求的值；(结果保留根号) (3)若数轴上有一点，点P所表示的数是，请在给出的数轴上画出点向右移动个单位长度所到的点，并写出点所表示的数为 ． 【答案】(1)， (2) (3) 如图所示示点Q 【知识点】无理数整数部分的有关计算、算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小比较，实数与数轴； （1）根据图中阴影部分的面积=大正方形的面积个腰为的等腰直角三角形的面积，进而根据正方形的面积公式，求得边长，即可求解； （2）估算，得出，进而求得的值，即可求解； （3）根据（1）的方法，作出腰为的等腰直角三角形，得出长的线段，以为圆心为半径交点右侧于点，即可求解． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积=大正方形的面积个腰为的等腰直角三角形的面积 ， 边长为：， 故答案为：，； （2）由（1）可知， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴． （3）∵,点P所表示的数是 ∴Q所表示的数为； 故答案为：． 【考点5】实数与数轴（第38-43题） · 实数与数轴上的点一一对应：先估算该实数的大小，再判断它落在哪两个整数点之间 · 数形结合：数轴上右边的数总比左边的大，借助点的位置比较大小或判断式子正负 · 圆（或图形）沿数轴滚动问题：滚动距离等于图形周长或边长，向左滚动用减、向右滚动用加 · 正方形剪拼问题：剪拼前后面积不变，新正方形的边长就是原面积的算术平方根 · 相反数在数轴上关于原点对称，把数及其相反数表示后再按从小到大排列 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实数的混合运算、实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，根据图示，可得：，且，据此判断即可． 【详解】解：根据图示，可得：，且， ∴ ∴最大的数是， 故选：D． 39．（23-24七年级下·广西防城港·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E 在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，理解数轴上表示的点的方法是解答本题的关键． 根据正方形的面积为5得到，再结合，点A表示的数为1，点E在点A的左侧，然后确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为5， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点E在数轴上（点E在点A左侧）， ∴点E所表示的数为：． 故答案为：． 40．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是___________．（结果保留π）    【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】求出圆的周长，再根据实数与数轴上的点的对应关系解答即可． 【详解】解：由题意得：圆的周长为， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴、圆的周长公式等知识，理解数与数轴上的点的对应关系是解题的关键． 41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】(1)边长都是1，面积2 (2) 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题主要考查实数与数轴、算术平方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）根据正方形的面积得出边长，再求出正方形的对角线，即阴影部分图形的边长和面积； （2）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 则，解得：； 每个小正方形的边长都是1， 正方形的边长为：， ； （2）解：正方形的边长为，点与重合， 点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 42．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请你补全数轴并把下列各数及其相反数近似地表示在数轴上，并按从小到大的顺序排列，用“”连接：，，． 【答案】 相反数为4，相反数为，相反数为， ∴按从小到大的顺序排列为：， 即，在数轴表示为，如图： 【知识点】相反数的定义、实数与数轴、用数轴上的点表示有理数、实数的大小比较 【分析】本题考查了数轴和相反数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先分别求得所给数的相反数和近似值，然后进行大小比较即可求解； 【详解】略 43．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 【答案】(1)5， (2) (3) 如图所示，即为所求．    【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．正方形的面积是由组成正方形的面积的小正方形的个数决定的；边长为面积的算术平方根． （1）正方形的面积是由五个边长为1的小正方形组成的，由此可得面积，进而可得边长； （2）根据（1）正方形是由4个直角三角形组成的，从而求出图2中的长，再根据实数与数轴的关系即可得到答案； （3）仿照（1）画出正方形，进而可得正方形边长为，再仿照图2求解即可． 【详解】（1）解：∵图1中拼成的正方形是由五个边长为1的小正方形组成的， ∴图1中拼成的正方形的面积是5， ∴图1中拼成的正方形的边长为， 故答案为：5，； （2）解：由图1可知，边长为的正方形是由4个直角边为1，2的直角三角形组成的， ∴此直角三角形的斜边长为， 同理可得， ∴点A表示的数为， 故答案为：；    （3）略 【考点6】实数的运算与综合应用（第44-52题） · 先把每个根式单独化简（、3），再按先乘方开方、后乘除、最后加减的顺序运算 · 灵活运用交换律、结合律、分配律简化计算，能合并的同类根式先合并 · 实际应用问题先设未知数，根据面积、体积等等量关系列方程，再开方求解并检验 · 新定义阅读题要先读懂定义（如和谐组合），再按定义逐步代入计算 · 规律计算题先算前几项找规律，再用规律写出通项并代入求值，注意结果保留根号 44．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式：__________； 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，根据题意找到规律即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式： ， 第4个等式：， ， 由上述规律可得，第n个等式为：， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______． 【答案】 是 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】①根据“和谐组合”的定义求解即可； ②根据题意分种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的倍，分别列方程求解即可； 本题考查了新定义问题，算术平方根，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． 【详解】解：①∵，，， ∴三个数是“和谐组合”， 故答案为：是； ②分三种情况：①当时， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ②当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得（不合，舍去）； ③当时，， ∴， ∴最大的算术平方根为，最小算术平方根， ∵最大算术平方根是最小算术平方根的倍， ∴， 解得； 综上所述，的值为， 故答案为：． 46．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解题的关键是看懂阴影部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．设阴影部分正方形的边长为x，根据阴影部分与空白部分面积相等，由此列式可解． 【详解】解：设阴影部分正方形的边长为x， 由于阴影部分与空白部分面积相等，，则有 ， 即 解得 ， ， ， 则阴影部分正方形的边长为． 故答案为：． 47．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算 【详解】解：原式 48．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】原式分别计算，，，然后再合并即可． 【详解】解： ． 49．（25-26八年级上·广西贵港·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 【答案】此时的值为． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查的是算术平方根的应用．根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 答：此时的值为． 50．（20-21七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先乘法，再加法进行计算即可； （2）除法变乘法，逆用乘法分配律进行计算即可； （3）进行乘方和开方运算即可； （4）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 51．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先算乘方，开方，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 52．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：； ， 故答案为：；； （2）解：依据上述运算的规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根有正负两个、算术平方根非负，求根时先看清题目问的是哪一个 · 无理数只看是否无限不循环，带根号的数要先化简再判断 · 估算无理数用夹逼法，记牢常用完全平方数和立方数可提高速度 · 实数运算先化简每个根式再按顺序算，能简算的要运用运算律简算 · 数轴与剪拼类综合题抓住面积不变、点一一对应这两条主线 【作业1】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0.12122 D． 【答案】D 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的概念，注意有理数包括整数、有限小数和循环小数．根据无理数的定义（无限不循环小数或不能表示为两个整数之比的数），逐一判断各选项． 【详解】∵ 无理数是指无限不循环小数或不能表示为分数的数； A．，为整数，是有理数； B．是分数形式，是有理数； C．0.12122是有限小数，是有理数； D．π是无理数，除以3后仍为无理数； 故选：D． 【作业2】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数，是无理数的为（） A． B． C． D．2.1212212221 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：，，2.1212212221这三个数是有理数， 是无限不循环小数，它是无理数， 故选：C． 【作业3】．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 【作业4】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】实数与数轴 【分析】此题考查了实数与数轴、实数的大小比较，根据数轴上点的位置确定a和的取值范围，再根据得b的取值范围，最后根据选项判断即可. 【详解】解：根据数轴可知，， 所以. 因为， 所以， 由选项可知，b的值可以是. 故答案为：A. 【作业5】．（23-24七年级下·浙江台州·期末）点A在数转上的位置如图所示，则点A所表示的实数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴 【分析】本题考查了在数轴上表示数的方法，无理数的估算，先根据点A在数轴上的位置得出点A所表示的实数大于2，且小于3，然后利用“夹逼法”判定即可． 【详解】解：由数轴知：点A所表示的实数大于2，且小于3， ∵，， ∴，，， 而， ∴点A所表示的实数可能是， 故选：C． 【作业6】．（23-24七年级下·福建福州·阶段检测）的值是______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查的是平方根的含义，熟练的求解正数的平方根是解本题的关键，利用平方根的含义计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【作业7】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知n是正整数，且，则n的值为________ 【答案】9 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算． 估算数值，即可估算的值，然后根据，确定正整数的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：9． 【作业8】．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）的整数部分是_______． 【答案】5 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解答本题的关键，经常用逼近法确定无理数的整数部分．先判断出在哪两个连续整数之间，即可求出的整数部分． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5． 故答案为：5． 【作业9】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）实数，0，，中的无理数是__________． 【答案】 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的识别，解题关键是掌握无理数的概念以及常见形式．无理数是指无限不循环小数，常见形式为：开不尽方的数；含的数或式子；类似这样有规律的数．由此分析判断即可． 【详解】解：实数，0，，中的无理数是． 故答案为：． 【作业10】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，，则_____． 【答案】47.4 【知识点】与立方根有关的规律探索、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根的计算，算术平方根的计算等，熟知立方根的性质变形是解题的关键． 根据立方根的运算法则求出，接着求出，再计算的值即可． 【详解】， ， 又， ． 故答案为：47.4． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【答案】4.33 【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题干中无理数的估算方法是解题关键．仿照小潘同学估算的方法，先确定的整数部分，再通过计算与平方数的差值估算小数部分，最后求和并精确到，即可得解． 【详解】解：因为，所以的整数部分是4． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以， 故答案为：4.33． 【作业12】．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少________个． 【答案】2 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，根据题意，可得是三个连续的自然数，由此可得，根据自然数的乘方运算找出规律即可求解． 【详解】解：已知均为正整数，， ∴，且为三个连续的自然数， ∴， ∵， ∴与之间的整数有个，与之间的整数有个， ∴满足条件的的个数总比 的个数少个， 故答案为： ． 【作业13】．（2025·浙江温州·三模）比较大小：______填“>，<或=” 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法． 先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 故答案为： 【作业14】．（10-11七年级上·浙江·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)7 (2) (3)5 (4) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减乘除混合运算，含乘方的有理数混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算乘法，再算加法，运用有理数的混合运算法则计算即可； （2）先算乘方，再把除法变成乘法进行有理数的混合运算即可； （3）先算算术平方根和立方根，再运用有理数的加减法混合运算法则计算即可； （4）先算乘法，运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； （3） 解：原式 ； （4） 解：原式 ． 【作业15】．（3.3立方根（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））求下列各式的值： (1)； (2)； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了考查了立方根的性质，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用立方根的性质化简得出答案； （2）直接利用立方根的性质化简得出答案； （3）直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解：原式 【作业16】．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)22 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根及绝对值等知识． （1）先计算乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方、立方根，并化简绝对值，再算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业17】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】平方根的应用、实数的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7， ，，， 阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积． 【作业18】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)2 【知识点】有理数乘法运算律、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的额混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先写成省略括号和加号的形式，再按加法法则计算； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先算乘方和开方，再算加减． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·实数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解平方根、算术平方根与立方根的概念，会用根号表示并求一个数的平方根与立方根 · 理解无理数与实数的概念，能对实数进行正确分类，知道实数与数轴上的点一一对应 · 掌握用夹逼法估算无理数的大小，会求无理数的整数部分与小数部分并比较实数大小 · 掌握实数的运算法则与运算律，能进行实数的混合运算并解决简单的实际应用问题 · 会运用数形结合思想解决实数与数轴、正方形剪拼等综合问题，能探索数字与图形规律 📚 知识梳理 ☆ 1.平方根与算术平方根 平方根：若x2=a（a≥0），则x叫做a的平方根，记作±；正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作，规定=0，算术平方根具有非负性≥0 重要性质：(=a（a≥0），=|a|；求一个数平方根的运算叫做开平方，它与平方互为逆运算 已知平方根求原数：一个正数的两个平方根互为相反数，把它们相加得0列方程，再把平方根平方即得原数 概念辨析例题：已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和-a+2，求这个正数 答案：这个正数是9 解析：正数的两个平方根互为相反数，所以(2a-1)+(-a+2)=0，解得a=-1；两个平方根为-3和3，这个正数为(±3)2=9。 ☆ 2.立方根 立方根：若x3=a，则x叫做a的立方根，记作3；任何数都有且只有一个立方根 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0；(3=a，3=a 求立方根的运算叫做开立方，它与立方互为逆运算；立方根的被开方数可以是任意实数 当被开方数的小数点向右（左）移动三位时，立方根的小数点相应地向右（左）移动一位 概念辨析例题：已知x-2的立方根是3，求x的值 答案：x=29 解析：由题意得3=3，两边立方得x-2=27，所以x=29。 ☆ 3.实数的分类与无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数，常见形式有开方开不尽的数（如、3）、含π的数、有规律但不循环的数（如0.1010010001…） 实数：有理数和无理数统称实数；按定义可分为有理数和无理数，按符号可分为正实数、0、负实数 有限小数和无限循环小数都是有理数，都可以化为分数；带根号的数不一定是无理数，如=2是有理数 实数与数轴上的点是一一对应的：每一个实数都可以用数轴上唯一的点来表示，反之数轴上每一个点都表示唯一的实数 概念辨析例题：下列各数中：3，0，-，，π，0.1010010001…，无理数共有几个 答案：无理数共有2个 解析：=2是有理数；无理数是π和0.1010010001…，共2个；3、0、-、都是有理数。 ☆ 4.实数的估算与大小比较 估算无理数常用夹逼法：先找与被开方数相邻的两个完全平方数，确定无理数在哪两个相邻整数之间 无理数的整数部分是其左边的相邻整数，小数部分等于原数减去整数部分，如的整数部分是2，小数部分是 实数大小比较：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；数轴上右边的数总比左边的大 比较两个无理数可平方法（同为正数，平方大的原数大）、作差法、估算法，也可借助数轴直观判断 概念辨析例题：估计在哪两个相邻整数之间，并写出它的整数部分与小数部分 答案：3<<4，整数部分是3，小数部分是 解析：因为9<11<16，所以3<<4；整数部分是3，小数部分为。 ☆ 5.实数的运算 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数完全相同：数a的相反数是-a，绝对值|a|，非零实数a的倒数是 实数运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内，同级运算从左到右 有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用，能简算的要简算 结果中含根号的要化为最简形式；实际问题中可按要求对结果取近似值 概念辨析例题：计算：- 答案： 解析：=3，3=-2，=，所以原式=3+(-2)-=。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 平方根 若x2=a，则x=± 正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根 算术平方根 正数a的正的平方根≥0 (=a，=|a| 立方根 若x3=a，则x=3 任何数都有唯一立方根，负数立方根为负 无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、π、有规律不循环的数 实数 有理数和无理数统称实数 实数与数轴上的点一一对应 估算 夹逼法找相邻完全平方数 小数部分=原数-整数部分 实数运算 先开方乘方，再乘除，后加减 运算律在实数范围内仍适用 ⚠️ 核心考点 【考点1】无理数与实数的分类（第1-10题） · 识别无理数抓住三点：开方开不尽的数（、3）、含π的数、有规律但不循环的无限小数 · 带根号的数不一定是无理数，要先化简，如=2、3=2都是有理数 · 有限小数和无限循环小数都能化成分数，都是有理数；分数一定是有理数 · 实数分类先按定义分有理数与无理数，再按符号分正实数、0、负实数，注意0既不是正数也不是负数 · 把数填入集合时要逐个判断，不重不漏，循环小数与无限不循环小数要区分开 1．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）在，，，四个数中，无理数是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江温州·期中）在实数中，属于无理数的是（    ） A． B．0 C． D． 3．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）在，，，，（每两个5之间依次增加1），中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级下·浙江台州·期末）下列各数为无理数的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）在实数中，是无理数的是_________________． 6．（3.2实数（8大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））下列数：6，，，0，，，，（每两个9之间依次多一个0），中属于整数集合的有 ___________；属于负分数集合的有 ___________；属于无理数的有 ___________． 7．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）将下列各数填入相应的括号里：，0，8，，，，，． 正数集合{ …．}； 整数集合{ …．}； 无理数集合{ …．}． 8．（24-25七年级下·陕西安康·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 无理数：{                    }； 负分数：{                    }； 整数：{                    }． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）将下列各数的序号填写在相应的横线上． ①85  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥  ⑦  ⑧  ⑨ 分数：______________________________________________________________________； 非负数：________________________________________________________________________； 无理数：_________________________________________________________； 10．（20-21七年级上·浙江杭州·期中）课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：，，，0，， ，其中，甲说“”，乙说“”，丙说“”． (1)甲、乙、丙三个人中，说错的是 ． (2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内： 【考点2】平方根与算术平方根（第11-21题） · 表示算术平方根（非负），±才表示平方根，读题看清问的是平方根还是算术平方根 · 一个正数的两个平方根互为相反数，利用这一点列方程可求字母的值，再平方得原数 · 负数没有平方根，因此被开方数必须非负；本身也具有非负性，常用来求字母取值 · 区分(=a与=|a|，后者要根据a的正负去绝对值 · 已知一个数的平方根求原数，把其中一个平方根平方即可；注意平方根有两个不要漏负的那个 11．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27八年级上·甘肃天水·阶段检测）已知一个正数的两个平方根是和，则这个数的值是（     ） A．4 B． C．36 D． 13．（2024·江苏常州·模拟预测）的平方根为（　　） A．4 B． C． D． 14．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列说法中正确的是（    ） A．64的立方根是 B． 没有立方根 C． 是64的平方根 D．的平方根是 15．（23-24七年级下·吉林·阶段检测）已知一个数的一个平方根是，则它的另一个平方根是________． 16．（25-26七年级上·浙江·单元复习）的平方根是 _______． 17．（23-24七年级下·福建莆田·期中）设一个正数的两个平方根是和，则这个正数为 _____． 18．（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则______． 19．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）一个数具有以下两个特点：①它的平方等于5；②它是负数．这个数是________． 20．（23-24七年级下·全国·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数为_____． 21．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是4，则的平方根为______． 【考点3】立方根（第22-26题） · 任何数都有且只有一个立方根，正数立方根为正、负数立方根为负，这与平方根不同 · (3=a，3=a，开立方与立方互为逆运算，可两边立方去掉根号 · 已知立方根求原数或字母：由3=a两边立方得x=a3 · 被开方数小数点每移动三位，立方根小数点相应移动一位，可由已知立方根估算相关数 · 立方根实际应用：正方体体积V=a3，已知体积求棱长就是求体积的立方根 22．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知a是的立方根，b是的整数部分，则的平方根为（   ） A．1 B．2 C． D． 23．（22-23七年级下·湖北黄冈·期中）______． 24．（2023七年级上·浙江宁波·竞赛）已知的立方根是3，则_______． 25．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）设，，且，则______ 26．（24-25七年级下·全国·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 【考点4】无理数的估算与大小比较（第27-37题） · 夹逼法估算：先找相邻两个完全平方数（或立方数），确定无理数所在的整数区间 · 无理数的整数部分是左边相邻整数，小数部分=原数-整数部分，常结合不等式求字母 · 比较两个同为正数的无理数，可用平方法：平方大的原数大；也可作差或借助数轴 · 求近似值时先确定整数部分，再按二分或材料给出的方法逐次逼近到要求的精度 · 规律探索题先算出前几个具体值，观察整数部分、小数点移动等不变规律再推广到第n个 27．（14-15九年级下·浙江杭州·期末）比较三个数： 的大小，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）满足的整数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 29．（24-25七年级下·河北唐山·期中）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 30．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）阅读以下材料： 面积为107的正方形的边长是，且，∴设，其中，画出边长为的正方形，如图1：根据图中面积，得，当较小时，忽略， 得．解得． 请用以上方法求无理数的近似值（保留两位小数）为（    ） A．20.54 B．20.55 C．20.56 D．20.57 31．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 32．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）已知，，，．若为整数且，则的值为______． 33．（23-24八年级上·江西抚州·阶段检测）已知和的小数部分分别为和，则_________． 34．（22-23七年级上·浙江温州·期中）南北朝时期数学家何承天发明的“调日法”是一种用程序化寻求精确分数来表示数值的算法．其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（即有＜x＜，其中a，b，c，d为正整数），则是x的更为精确的近似值．例如：已知＜π＜，则利用一次“调日法”后可得到π的一个更为精确的近似分数为；由于≈3．1404<π，再由＜π＜，可以再次使用“调日法”得到π的更为精确的近似分数．现已知，则使用三次“调日法”可得到3的一个更为精确的近似分数为_______． 35．（25-26七年级上·浙江宁波·期中） 经估算，的值在两个相邻整数m和之间，则_______． 36．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． （参考性质：①不等式的两边都加上同一个数，所得的不等式仍成立； ②不等式的两边都乘同一个正数，所得的不等式仍成立） 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的值． 37．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）观察下面图形，每个小正方形的边长为． (1)则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ； (2)若的整数部分为，小数部分为，求的值；(结果保留根号) (3)若数轴上有一点，点P所表示的数是，请在给出的数轴上画出点向右移动个单位长度所到的点，并写出点所表示的数为 ． 【考点5】实数与数轴（第38-43题） · 实数与数轴上的点一一对应：先估算该实数的大小，再判断它落在哪两个整数点之间 · 数形结合：数轴上右边的数总比左边的大，借助点的位置比较大小或判断式子正负 · 圆（或图形）沿数轴滚动问题：滚动距离等于图形周长或边长，向左滚动用减、向右滚动用加 · 正方形剪拼问题：剪拼前后面积不变，新正方形的边长就是原面积的算术平方根 · 相反数在数轴上关于原点对称，把数及其相反数表示后再按从小到大排列 38．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （    ） A． B． C． D． 39．（23-24七年级下·广西防城港·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础、如图所示，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E 在数轴上（点E在点A左侧），且，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 40．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，圆的直径为2个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是___________．（结果保留π）    41．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）如图①是由4个面积相同的小正方形组成的图形，面积为4． (1)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (2)把正方形放到数轴上，如图②，使得点与重合，那么点在数轴上表示的数为 ． 42．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）请你补全数轴并把下列各数及其相反数近似地表示在数轴上，并按从小到大的顺序排列，用“”连接：，，． 43．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）图1为由五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开后拼成一个正方形．          (1)图1中拼成的正方形的面积是________，它的边长是_________． (2)如图2所示，点A表示的数是________． (3)网格中有一个由8个小正方形组成的图形（加粗部分），请仿照图1，将它剪开并拼成一个正方形，在网格中画出示意图． 再将数轴补充完整，并在数轴上表示．（保留作图痕迹） 【考点6】实数的运算与综合应用（第44-52题） · 先把每个根式单独化简（、3），再按先乘方开方、后乘除、最后加减的顺序运算 · 灵活运用交换律、结合律、分配律简化计算，能合并的同类根式先合并 · 实际应用问题先设未知数，根据面积、体积等等量关系列方程，再开方求解并检验 · 新定义阅读题要先读懂定义（如和谐组合），再按定义逐步代入计算 · 规律计算题先算前几项找规律，再用规律写出通项并代入求值，注意结果保留根号 44．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式：__________； 45．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）喜欢探索数学知识的小明遇到了一个新的定义∶对于三个正整数，若任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例如：这三个数，，其结果分别为，都是整数，所以三个数为“和谐组合”，其中最小的算术平方根是，最大的算术平方根是．则三个数______（是或否）“和谐组合”．已知三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的倍，则的值______． 46．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是两个重叠的正方形平移后形成的图案，其中阴影部分为正方形，阴影部分与空白部分面积相等．若，则阴影部分正方形的边长为___________． 47．（25-26七年级下·湖北黄石·期末）计算：． 48．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）计算：． 49．（25-26八年级上·广西贵港·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者能看到的最远距离为，则，其中是地球半径，通常取．小红站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，他观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值． 50．（20-21七年级上·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 51．（24-25七年级上·浙江台州·期末）计算： (1) (2) 52．（25-26八年级上·四川宜宾·阶段检测）阅读下列解题过程：；；；…… (1)计算：_______；_______； (2)按照你所发现的规律，猜想：____（为正整数）； (3)计算：． 💯 课后巩固 复习建议 · 平方根有正负两个、算术平方根非负，求根时先看清题目问的是哪一个 · 无理数只看是否无限不循环，带根号的数要先化简再判断 · 估算无理数用夹逼法，记牢常用完全平方数和立方数可提高速度 · 实数运算先化简每个根式再按顺序算，能简算的要运用运算律简算 · 数轴与剪拼类综合题抓住面积不变、点一一对应这两条主线 【作业1】．（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B． C．0.12122 D． 【作业2】．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）下列各数，是无理数的为（） A． B． C． D．2.1212212221 【作业3】．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【作业4】．（23-24七年级上·浙江温州·期中）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若实数b满足，则b的值可以是（　　） A． B． C． D．3 【作业5】．（23-24七年级下·浙江台州·期末）点A在数转上的位置如图所示，则点A所表示的实数可能是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（23-24七年级下·福建福州·阶段检测）的值是______． 【作业7】．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知n是正整数，且，则n的值为________ 【作业8】．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）的整数部分是_______． 【作业9】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）实数，0，，中的无理数是__________． 【作业10】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）若，，则_____． 【作业11】．（25-26七年级上·浙江台州·期末）小潘同学估算大小的计算过程如图所示，用这种方法估算的大小，则的大小约为______．（精确到0.01） 因为，所以的整数部分是3． 因为，， 所以的小数部分约为， 所以． 【作业12】．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）已知，，均为正整数．若，，则满足条件的的个数总比的个数少________个． 【作业13】．（2025·浙江温州·三模）比较大小：______填“>，<或=” 【作业14】．（10-11七年级上·浙江·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【作业15】．（3.3立方根（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（浙教版2024））求下列各式的值： (1)； (2)； (3) ． 【作业16】．（25-26七年级上·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【作业17】．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【作业18】．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)； (2)； (3) 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