第3章·实数·期中复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第3章·实数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解实数的概念与分类，能判断无理数 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 · 能利用数轴表示实数，进行实数的大小比较 · 掌握实数的混合运算，能利用非负性求值 · 能解决实数的规律探索与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数；无理数是无限不循环小数 实数与数轴上的点一一对应 无理数常见类型：开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数 实数大小比较：正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小 概念辨析例题：下列各数中哪些是无理数？3.14，，，π，，0.1010010001… 答案：，π，0.1010010001… 解析：=3是有理数；3.14和是有理数。 ☆ 2.平方根与算术平方根 平方根：若x²=a，则x叫a的平方根，记作± 算术平方根：正数a的正的平方根叫；≥0（非负性） 正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 非负性应用：|a|≥0，≥0，a²≥0 概念辨析例题：已知+|b+3|=0，求(a+b)²的值 答案：1 解析：由非负性得a=2，b=-3，a+b=-1，(-1)²=1。 ☆ 3.立方根 立方根：若x³=a，则x叫a的立方根，记作³ 任何实数都有立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ³=-³ 立方根的规律：被开方数小数点移动n位，立方根小数点移动位 概念辨析例题：求³的值 答案：-4 解析：(-4)³=-64，所以³=-4。 ☆ 4.实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应 利用数轴化简绝对值：根据点的位置判断正负 数轴上两点距离：|a-b| 无理数在数轴上的表示：用勾股定理构造线段 概念辨析例题：实数a在数轴上位于-1和0之间，化简|a+1|+|a| 答案：1 解析：由-1<a<0知a+1>0，a<0，原式=a+1-a=1。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 实数分类 有理数+无理数 无理数是无限不循环小数 平方根 ±（a≥0） 负数没有平方根 算术平方根 ≥0 非负性是常考点 立方根 ³ 任何实数都有立方根 非负性 |a|+²=0→均为0 三个非负数之和为0 实数与数轴 一一对应 无理数可用勾股定理构造 ⚠️ 核心考点 【考点1】实数的概念与分类（第1-2题） · 判断无理数：无限不循环小数 · 实数与数轴一一对应 · 实数大小比较 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有______（横线上填序号）． 【考点2】平方根与算术平方根（第3-12题） · 非负性：|a|≥0，≥0，a²≥0 · 几个非负数之和为0，则每个都为0 · 已知平方根求原数 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 6．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②一个数的立方根等于这个数的算术平方根，这个数一定是；③精确到是；④的平方根是；⑤的相反数是．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是______． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，则的立方根是______． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【考点3】立方根（第13-17题） · 任何实数都有立方根 · ³=-³ · 小数点移动规律 13．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 15．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察规律：，，．则_____． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出438976的立方根是___． 【考点4】实数与数轴（第18-26题） · 利用数轴判断正负化简绝对值 · 数轴上两点距离=|a-b| · 无理数用勾股定理构造 18．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知小正方形的面积是1，则大正方形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 21．（2024·浙江台州·一模）如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 22．（24-25七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为__________． 23．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是________． 25．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为_____． 26．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 【考点5】实数的运算与大小比较（第27-29题） · 实数混合运算顺序同有理数 · 作差法比较大小 · 估算无理数范围 27．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）已知与互为相反数，那么（　　） A．3 B． C． D．9 28．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【考点6】规律探索与实际应用（第30-43题） · 算术平方根规律探索 · 实际应用：正方形面积、裁纸问题 · 新定义运算转化为已学运算 30．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则______； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个． 31．（2026·河北保定·模拟预测）将三张大小一样的正方形纸片按如图所示的方式重叠地放置在长方形内部，．将中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变．设，则每个正方形纸片的周长为_____（用含m的式子表示）． 32．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式：__________； 33．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 34．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 35．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 36．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 37．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 38．（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，有一张由五个边长为1的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)图1拼成的正方形的面积为________，边长为________． (2)将图1中剪下的如图2所示放置在数轴上，使点与表示的点重合，点与原点重合，以数轴上表示的点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是_______． (3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长（要求写出简单的推理过程）． 39．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 40．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 41．（24-25七年级下·山东临沂·期末）小明现有一块面积为的正方形纸板，他准备用这块纸板自制一个书架装饰品，他设计了如下的两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板，且其长宽之比为． 小明设计的两种方案是否可行？若可行，说明如何裁剪；若不可行，请说明理由． 42．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 43．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记实数分类，无理数是无限不循环小数 · 非负性是常考点：|a|+²=0则每个都为0 · 任何实数都有立方根，³=-³ · 利用数轴判断正负化简绝对值 · 规律探索题先观察再归纳 【作业1】．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）若x是一个满足的无理数，任意写出一个符合题意的x值______（答案不唯一）． 【作业3】．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）比较大小，填“”或“”号， ______ ， ______， ______ 【作业5】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【作业6】．（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【作业7】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）的绝对值是________．的算术平方根是________，的立方根是________ 【作业8】．（25-26七年级下·天津西青·期中）的绝对值是______． 【作业9】．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是______． 【作业10】．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 【作业11】．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则=________． 【作业12】．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【作业13】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【作业14】．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【作业15】．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章·实数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解实数的概念与分类，能判断无理数 · 掌握平方根、算术平方根、立方根的概念与计算 · 能利用数轴表示实数，进行实数的大小比较 · 掌握实数的混合运算，能利用非负性求值 · 能解决实数的规律探索与实际应用问题 📚 知识梳理 ☆ 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数；无理数是无限不循环小数 实数与数轴上的点一一对应 无理数常见类型：开方开不尽的数、含π的数、无限不循环小数 实数大小比较：正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小 概念辨析例题：下列各数中哪些是无理数？3.14，，，π，，0.1010010001… 答案：，π，0.1010010001… 解析：=3是有理数；3.14和是有理数。 ☆ 2.平方根与算术平方根 平方根：若x²=a，则x叫a的平方根，记作± 算术平方根：正数a的正的平方根叫；≥0（非负性） 正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 非负性应用：|a|≥0，≥0，a²≥0 概念辨析例题：已知+|b+3|=0，求(a+b)²的值 答案：1 解析：由非负性得a=2，b=-3，a+b=-1，(-1)²=1。 ☆ 3.立方根 立方根：若x³=a，则x叫a的立方根，记作³ 任何实数都有立方根：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ³=-³ 立方根的规律：被开方数小数点移动n位，立方根小数点移动位 概念辨析例题：求³的值 答案：-4 解析：(-4)³=-64，所以³=-4。 ☆ 4.实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应 利用数轴化简绝对值：根据点的位置判断正负 数轴上两点距离：|a-b| 无理数在数轴上的表示：用勾股定理构造线段 概念辨析例题：实数a在数轴上位于-1和0之间，化简|a+1|+|a| 答案：1 解析：由-1<a<0知a+1>0，a<0，原式=a+1-a=1。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 实数分类 有理数+无理数 无理数是无限不循环小数 平方根 ±（a≥0） 负数没有平方根 算术平方根 ≥0 非负性是常考点 立方根 ³ 任何实数都有立方根 非负性 |a|+²=0→均为0 三个非负数之和为0 实数与数轴 一一对应 无理数可用勾股定理构造 ⚠️ 核心考点 【考点1】实数的概念与分类（第1-2题） · 判断无理数：无限不循环小数 · 实数与数轴一一对应 · 实数大小比较 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）若的整数部分是，小数部分是，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，实数的运算，夹逼法求出的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故选B． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）在①，②，③，④，⑤（每两个3之间依次增加一个1）中，无理数有______（横线上填序号）． 【答案】①③⑤ 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数成为解题的关键． 根据无理数以及算术平方根的定义逐个判断即可． 【详解】解：①是开方不尽的数，且无限不循环，是无理数； ②是循环小数，可化为分数，是有理数； ③π是圆周率，无限不循环，是无理数； ④是分数，是有理数； ⑤虽有一定规律，但无限不循环，是无理数． 所以无理数有①③⑤． 故答案为：①③⑤． 【考点2】平方根与算术平方根（第3-12题） · 非负性：|a|≥0，≥0，a²≥0 · 几个非负数之和为0，则每个都为0 · 已知平方根求原数 3．（24-25八年级下·山东聊城·期末）已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段检测）若与是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义．根据平方根的性质即可求出答案． 【详解】解：与是同一个数的两个不等的平方根， ∴， 解得：， ∴这个数是， 故选：D． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段检测）的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 【知识点】无理数整数部分的有关计算、运用平方差公式进行运算、已知字母的值，化简求值 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·单元复习）一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②一个数的立方根等于这个数的算术平方根，这个数一定是；③精确到是；④的平方根是；⑤的相反数是．其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】相反数的定义、求一个数的平方根、立方根概念理解、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，立方根与算术平方根，近似数，平方根和相反数等概念，根据以上知识点逐一判断即可求解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，该说法正确； ②一个数的立方根等于这个数的算术平方根，这个数是或，该说法错误； ③精确到是，该说法正确； ④的平方根是，该说法错误； ⑤的相反数是，该说法正确； ∴ 正确的说法有①③⑤，共个， 故选：． 8．（24-25七年级上·浙江温州·期中）下列选项中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根的，平方根的求解，根据算术平方根，平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，不符合题意； 故选：D． 9．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）已知某数的两个不同的平方根分别是和，那么这个数是______． 【答案】16 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查已知一个数的平方根，求这个数，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再根据平方根的定义，求出这个数即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：， ∴， ∴， 故答案为：16． 10．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知，则的立方根是______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，求一个数的立方根． 根据算术平方根的非负性，平方的非负性求出、的值，再代入计算，最后计算立方根即可． 【详解】∵， ∴，， 即，， ∴， 则的立方根是， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）化简：________；________；________；________； （2）根据（1）的计算结果，化简，． 【答案】（1）0.01；25；4；7；（2）； 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义进行求解； （2）根据（1）的计算结果，归纳可得，． 【详解】（1）； ； ； ； （2）根据（1）的计算结果可得；． 12．（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、算术平方根和立方根的综合应用、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 【考点3】立方根（第13-17题） · 任何实数都有立方根 · ³=-³ · 小数点移动规律 13．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【知识点】立方根概念理解 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了立方根，乘方运算，有理数的混合运算等知识点，先进行立方根，乘方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后加减运算即可得解，熟练掌握其运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 15．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）观察规律：，，．则_____． 【答案】 【知识点】与立方根有关的规律探索 【分析】观察已知开立方运算结果，总结被开方数小数点移动与立方根小数点移动的规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察已知等式：，，， 可得规律：开立方运算中，被开方数的小数点向右或向左移动3位，立方根的小数点相应向右或向左移动1位， 对比与，的小数点向右移动3位得到， 因此的小数点向右移动1位，得． 16．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）若将一个棱长为的立方体体积减少（），而保留立方体形状不变，则棱长应减少_______（用含的代数式表示），若，则棱长应减少_______． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵立方体的棱长为， ∴立方体的体积为， ∴立方体体积减少后剩余的体积为， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当时，， ∴若，则棱长应减少， 故答案为：；． 17．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）我国著名数学家华罗庚在访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根．华罗庚脱口而出：39，其思考过程是：（1）由于59319大于10的立方，小于100的立方，所以它的立方根是一个两位数；（2）由于59319的个位上的数是9，从而它的立方根个位上的数是9；（3）如果划去59319后面的三位数319得到数59，而3的立方是27，4的立方是64，由此立方根的十位上的数是3，所以．请同学们根据以上思考过程，写出438976的立方根是___． 【答案】 76 【知识点】求一个数的立方根 【详解】解：（1）因为 ，，，所以的立方根是一个两位数； （2）因为的个位数字是，只有个位为的数的立方个位数字是，所以立方根的个位数字是； （3）划去的后三位，得到数，因为，，，所以立方根的十位数字是； 故. 【考点4】实数与数轴（第18-26题） · 利用数轴判断正负化简绝对值 · 数轴上两点距离=|a-b| · 无理数用勾股定理构造 18．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知小正方形的面积是1，则大正方形的面积是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题主要考查有理数的乘除法的应用，理清数量关系是解答的关键．小正方形面积是，则组成小正方形的小三角形面积是的一半，大正方形是由4个小三角形组成的，所以大正方形的面积等于小三角形面积的4倍． 【详解】解： ． 答：大正方形的面积是． 故选：B 19．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 【答案】D 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，因为，则，再结合数轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 则表示数的点应在O，B之间， 故选：D． 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，面积为S的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1．.若点E在数轴上的位置如图所示，点A分别到点E与到点B的距离相等，则S的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴、数轴上两点之间的距离，由数轴得到点A分别到点B的距离是解题关键． 由数轴得到，因此，于是，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵面积为S的正方形的顶点A在数轴上， ∴， ∴， 故选：C． 21．（2024·浙江台州·一模）如图，数轴上三个不同的点A，B，P分别表示实数a，b，，则下列关于数轴原点位置的描述正确的是（    ）    A．原点在点A的左侧 B．原点在A，B两点之间 C．原点在B，P两点之间 D．原点在点P的右侧 【答案】A 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查了数轴上点的特征，有理数的加减法，熟练掌握“正数在原点右侧，负数在原点左侧”是解题的关键． 【详解】解：A、原点在点A的左侧时，，符合题意； B、原点在A，B两点之间时，则，不符合题意； C、 原点在B，P两点之间，则，不符合题意； D、 原点在点P的右侧，则，不符合题意； 故选A． 22．（24-25七年级上·山东淄博·阶段检测）如图，面积为10的正方形的顶点在数轴上，点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），，则点所表示的数为__________． 【答案】/ 【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点M在点A的右侧，即可求出M点所表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵点A表示的数为1，且点M在点A的右侧， ∴M点所表示的数为． 故答案为：． 23．（25-26八年级上·上海松江·期中）如图，在数轴上，点与点关于点对称，、两点对应的实数分别是和，那么点所对应的实数是_____． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，对称的性质，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．设点C表示的数为x，根据两点间的距离公式可得到，求解即可得到答案． 【详解】解：设点C表示的数为x， 根据题意，得， 解得， ∴点C所对应的实数为， 故答案为：． 24．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴上点A表示的数是，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是________． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先画出图形，再求出的长，然后根据数轴的性质求解即可得． 【详解】解：由题意，画出数轴如下： ∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∵点分别位于点的两侧，且到点的距离相等, ∴， ∴点表示的数是， 故答案为：． 25．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为原点，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为_____． 【答案】/ 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为2， ∴， ∴ 又∵点在点的右边， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)6 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、实数与数轴 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离求解即可． （2）根据绝对值的意义化简绝对值，再进行运算即可． （3）根据相反数的定义以及非负数的性质得到e，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：，则， ； 答：的值为6． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：， ， 的平方根为． 答：的平方根为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，实数的运算，相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，以及求一个数的平方根，掌握这些定义以及性质是解题的关键． 【考点5】实数的运算与大小比较（第27-29题） · 实数混合运算顺序同有理数 · 作差法比较大小 · 估算无理数范围 27．（24-25七年级上·河南周口·阶段检测）已知与互为相反数，那么（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】D 【知识点】相反数的定义、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了非负数的性质、相反数等知识，结合非负数的性质确定，的值是解题关键．根据相反数的定义可得，结合非负数的性质解得，的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为：D． 28．（25-26七年级下·四川广元·期末）小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数、程序设计与实数运算 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 29．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【考点6】规律探索与实际应用（第30-43题） · 算术平方根规律探索 · 实际应用：正方形面积、裁纸问题 · 新定义运算转化为已学运算 30．（2024·河北·中考真题）已知a，b，n均为正整数． （1）若，则______； （2）若，则满足条件的a的个数总比b的个数少______个． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、无理数的大小估算 【分析】本题考查的是无理数的估算以及规律探究问题，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）由即可得到答案； （2）由，，为连续的三个自然数，，可得，，再利用完全平方数之间的数据个数的特点探究规律即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，而， ∴； 故答案为：； （2）∵a，b，n均为正整数． ∴，，为连续的三个自然数，而， ∴，， 观察，，，，，，，，，，， 而，，，，， ∴与之间的整数有个， 与之间的整数有个， ∴满足条件的a的个数总比b的个数少（个）， 故答案为：． 31．（2026·河北保定·模拟预测）将三张大小一样的正方形纸片按如图所示的方式重叠地放置在长方形内部，．将中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变．设，则每个正方形纸片的周长为_____（用含m的式子表示）． 【答案】 / 【知识点】列代数式、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质、正方形和矩形的性质以及周长计算，解题的关键是利用阴影部分面积不变得出线段相等关系，进而推导出正方形的边长． 根据中间正方形上下平移时阴影部分面积不变，得出对应线段相等；利用矩形边长关系确定正方形边长为；根据正方形周长公式，边长乘以，计算出周长为． 【详解】解：如图． ∵中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变， ∴， 由正方形及矩形性质可得： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， 即正方形的边长为． 则每个正方形的纸片的周长为． 32．（24-25八年级下·福建福州·阶段检测）观察下列等式，完成下列问题： 第1个等式：        第2个等式： 第3个等式：        第4个等式： … 按照上面规律，请写出第n个等式：__________； 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了二次根式的规律探索，根据题意找到规律即可求解，找到规律是解题的关键． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式： ， 第4个等式：， ， 由上述规律可得，第n个等式为：， 故答案为：． 33．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积为 (1)图1中阴影正方形的面积是______，并由面积求正方形的边长，可得边长 AB长为______； (2)在图2，正方形方格中，由题的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段． (3)如图3，网格中每个正方形边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，则新正方形的边长是______． 【答案】(1)； (2) 如图，线段即为所求； ∵大正方形的面积为，空白部分的面积为：， 故阴影部分的面积为：， 故阴影正方形的边长为：， 故为所求； (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、格点作图题 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，算术平方根，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 利用数形结合的思想解决问题即可； 利用一个面积为的正方形，正方形的边长为所求； 求出阴影部分的面积可得结论． 【详解】（1）解：阴影正方形的面积为四个正方形面积的一半 ∴边长为 故答案为：2，； （2）略 （3）阴影部分的面积， 新正方形的边长 故答案为： 34．（2025七年级上·全国·专题练习）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： (1)观察算式规律，计算______；______． (2)用含正整数n的式子表示上述算式的规律：______． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键． （1）根据算术平方根进行计算即可求解； （2）从数字找规律，即可解答； （3）从数字找规律，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律：； 故答案为：； （3）解： ． 35．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）（1）若与互为相反数，求的值． （2）已知，与互为相反数，求代数式的值． 【答案】（1）    （2）或 【知识点】相反数的定义、利用算术平方根的非负性解题、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了相反数的应用，算术平方根、立方根的性质和代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据相反数的定义得到，再根据算术平方根的性质得到，，进而求得、的值，最后将、的值代入即可得解； （2）由得，再根据相反数的定义得，进而得到，再分情况把、的值代入即可得解． 【详解】（1）解：与互为相反数， ， ，， ，， ； （2）， ， 与互为相反数， ， ，即， 当时，，， 当时，，， 综上，代数式的值为或． 36．（24-25七年级上·浙江温州·期中）如图，正方形面积为16，正方形面积为7，求阴影部分的面积（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】平方根的应用、实数的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确地识别图形是解题的关键．根据正方形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形面积为16，正方形面积为7， ，，， 阴影部分的面积正方形面积正方形面积△的面积△的面积． 37．（24-25七年级下·山东德州·期中）请认真阅读下面的材料，再解答问题． 我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根： 若，则叫的三次方根； 若，则叫的四次方根． (1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；的五次方根为_____； (2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_____ (3)求的值：． 【答案】(1) (2)为任意实数 (3)或 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查新定义．解题的关键是利用类比法，理解四次方根和五次方根的定义． （1）进行开方运算即可； （2）根据定义，进行计算即可； （3）利用四次方根解方程即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵是一个数的四次方， ， ， ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的三次方， ∴为任意实数． 故答案为：为任意实数； （3）解：， ， ， ， 或， 或． 38．（25-26七年级上·浙江·期中）如图1，有一张由五个边长为1的小正方形组成的纸板，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)图1拼成的正方形的面积为________，边长为________． (2)将图1中剪下的如图2所示放置在数轴上，使点与表示的点重合，点与原点重合，以数轴上表示的点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是_______． (3)如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，求新正方形的边长（要求写出简单的推理过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了正方形的面积与边长、数轴与实数的对应关系以及图形面积的计算，解题的关键是掌握正方形面积公式、实数与数轴的对应关系． （1）根据组成正方形的小正方形个数求面积，再求边长； （2）先求的长度，再结合数轴上点的位置求点表示的数； （3）先计算阴影部分面积，再求新正方形的边长． 【详解】（1）解：正方形由五个边长为1的小正方形组成， 面积为， 根据正方形面积公式（为边长），可得边长． 故答案为：； （2）解：由（1）知，点与表示的点重合，以该点为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是，即． 故答案为：； （3）解：阴影部分的面积. ∴新正方形的边长是． 39．（24-25七年级下·广东阳江·期中）定义：若点满足，则称这个点为“理想点”．例如，，故点是“理想点”． (1)点，，中，不是“理想点”的是_____． (2)若点是“理想点”，求x的值． (3)是否存在点，使点M是“理想点”？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)和 (2)； (3)的值为0或． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根应用，理解题意，掌握“理想点”的定义是解题的关键． （1）根据“理想点”的定义，计算即可判断； （2）根据“理想点”的定义，列出方程，解方程即可求解； （3）根据“理想点”的定义，求得的值，再代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点不是“理想点”； ∵，， 又∵， ∴点是“理想点”； 故答案为：和； （2）解：∵点是“理想点”， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵点是“理想点”， ∴，整理可得， ∴或， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为0或． 40．（24-25七年级下·山东日照·期中）观察求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ， (1)已知，则_______； (2)已知，则_______； (3)归纳：已知数的小数点的移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ 【答案】(1) (2) (3)规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了算术平方根、规律型：数字的变化类，熟练掌握算术平方根是解决本题的关键． （1）根据规律即可得出答案； （2）根据规律即可得出答案； （3）应从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴规律是：数的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位． 41．（24-25七年级下·山东临沂·期末）小明现有一块面积为的正方形纸板，他准备用这块纸板自制一个书架装饰品，他设计了如下的两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸板，且其长宽之比为． 小明设计的两种方案是否可行？若可行，说明如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行，方案二不能， 方案一：， ， 以正方形一边为长（），沿垂直方向裁出宽 的长方形，方案一可行． 方案二：不能 理由：长方形纸板的长宽之比为 设长方形的纸板的长为，则宽为． 根据题意，得， 解得，（舍去）． 长方形纸板的长为． ， ，即长方形的纸片大于正方形边长， 方案二不可行． 【知识点】算术平方根的实际应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—几何图形的面积问题，根据题意正确列出方程是解题的关键．方案一通过比较面积和边长可行性——正方形边长，裁长方形需一边（，可行）；方案二需结合长宽比计算具体尺寸——设长、宽，由面积得，则长，超出正方形范围，故不可行。 【详解】略 42．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为；的整数部分为1，小数部分为；再如，的整数部分为，小数部分为．由此得到：若，其中x是整数，且，则，．根据材料，回答下列问题： (1)若，其中m是整数，且，则 ， ； (2)若，其中a是整数，且，求的值； (3)若，其中p是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解题的关键． （1）根据即可得出结论； （2）先得出，进而求出，，代入求出值即可； （3）先求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，，其中是整数，且 则； （2）解：， ， ∵a是整数，， ，， ∴． （3）∵， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴根据题意得， ， ． 43．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息计算即可； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记实数分类，无理数是无限不循环小数 · 非负性是常考点：|a|+²=0则每个都为0 · 任何实数都有立方根，³=-³ · 利用数轴判断正负化简绝对值 · 规律探索题先观察再归纳 【作业1】．（25-26八年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，在数轴上，被墨迹覆盖的实数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系．关键是明确数轴上的点表示的数的大小，估计无理数的取值范围． 根据题意得出被墨迹覆盖的实数在到之间，再根据每个选项中的范围进行判断． 【详解】解： 被墨迹覆盖的实数在到之间， ∴在到之间，选项A不符合题意； ∵， ∴被墨迹覆盖的实数不可能是，故B符合题意； ∵， ∴C、D选项不符合题意； 故选：B． 【作业2】．（24-25八年级下·湖北襄阳·期中）若x是一个满足的无理数，任意写出一个符合题意的x值______（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键； 根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数解答即可． 【详解】解：∵， ∴符合题意的x的值可以是（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【作业3】．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，可以用点表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，再结合数轴即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴点表示在和之间，如图： ， 故选：A． 【作业4】．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段检测）比较大小，填“”或“”号， ______ ， ______， ______ 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了平方根，立方根，实数的大小比较的应用，根据根式的性质把根号外的因式移入根号内，再比较即可． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：，，． 【作业5】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【作业6】．（25-26八年级上·四川雅安·期中）的绝对值是_____，的算术平方根是____，的平方根是___ 【答案】 / /0.5 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】根据绝对值的性质、算术平方根的定义、平方根的定义分别计算即可． 【详解】解：的绝对值是； ，算术平方根是； ，4的平方根是， 故答案为：，，． 【作业7】．（24-25八年级上·山西太原·阶段检测）的绝对值是________．的算术平方根是________，的立方根是________ 【答案】 /0.25 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，算术平方根，立方根的意义，直接根据实数的性质，算术平方根，立方根的意义求解即可． 【详解】解：的绝对值是， 的算术平方根是， ∵， ∴的立方根是． 故答案为：，，2． 【作业8】．（25-26七年级下·天津西青·期中）的绝对值是______． 【答案】4 【知识点】求一个数的绝对值、求一个数的立方根 【分析】先根据立方根的定义求出的值，再根据绝对值的性质计算最终结果． 【详解】解：， ， ∴的绝对值是． 【作业9】．（25-26七年级上·山东德州·阶段检测）正方形在数轴上的位置如图所示，点A，D对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第1次翻转后，点B所对应的数为0；则翻转2025次后，点B在数轴上对应的数字是______． 【答案】 【知识点】数轴上的规律探究 【分析】本题考查了数轴，数字、字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 故答案为：． 【作业10】．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为． (1)_____． (2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪． 【答案】(1) (2)；；能 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案； （2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案． 【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点， ∴； （2）解：由（1）可得，点B表示的数为， ∵点所表示的数为5， ∴； ∵的速度是1个单位长度/秒， ∴从到达时的运动时间为秒， ∴运动的路程是， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴能逃脱的魔爪 【作业11】．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）对于正有理数，运算“*”定义为，则=________． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查新定义、有理数的混合运算等知识点，理清题意、理解所给运算法则是解题关键． 先根据新定义运算法则列式，然后再跟进有理数混合运算法则计算即可． 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 【作业12】．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）小明打算利用一张面积为的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作． (1)求正方形卡纸的边长； (2)如图1，按图中方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长宽之比为，裁出的长方形的面积能否为？请通过计算说明； (3)如图2，按图中方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为，求该正方体的表面积． 【答案】(1) (2) 解：裁出的长方形的面积不能为，理由如下： 设裁出的长方形的长为，宽为． 根据题意，得，       解得或（舍去）， ∵， ∴裁出的长方形的面积不能为； (3) 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的实际应用，熟知求算术平方根和立方根的方法是解题的关键． （1）设出正方形卡片的边长，根据正方形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长为，宽为，根据长方形面积计算公式建立方程求出长和宽，再比较长方形长和宽与正方形边长的大小即可得到结论； （3）根据正方体体积公式计算出棱长，进而求出其表面积即可． 【详解】（1）解：设正方形卡纸的边长为． 根据题意，得，     解得或（舍去）．     答：正方形卡纸的边长为． （2）略 （3）解：∵正方体的体积为， ∴该正方体的棱长为， ∴该正方体的表面积为． 【作业13】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读理解：我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，小乐同学用来表示的小数部分，并给出了理由：因为，所以，则的整数部分为1，小数部分为，事实上，小乐同学的方法是正确的，请解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)4； (2) 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算的方法是解题的关键； （1）根据夹逼法可得，进而求解； （2）结合（1）题可得，进而可得x、y的值，进而求解． 【详解】（1）解：因为，即， 所以， 所以的整数部分是4，小数部分是； （2）解：因为， 所以， 所以的整数部分，小数部分， 所以． 【作业14】．（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度； （3）若沿着（1）小题的大正方形纸片边的方向裁剪，能否裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片，若能，求出裁得的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）不能；理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为． 由题意，得，即． 此时． 不能裁得一个长宽之比为且面积为的长方形纸片． 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （1）先计算出大正方形的面积，再求算术平方根即可； （2）先求出中间小正方形的面积，再求算术平方根即可； （3）设长方形纸片的长为，宽为．求出x的值， 进而求出长方形纸片的长，与（1）中结果进行比较即可． 【详解】（1）由题意得，大正方形的面积 ， 大正方形的边长 ； （2）大正方形面积为：，两个小长方形面积为：， 小正方形面积为：． 故长方形对角线长度为：． （3）略 【作业15】．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高， 理由如下；∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】（1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $