第1～2章·有理数及其计算·期中复习·培优讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第1~2章·有理数及其计算·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值与倒数的概念，能借助数轴比较有理数大小 · 掌握有理数加、减、乘、除与乘方的运算法则，能正确进行含乘方的混合运算 · 熟练运用加法与乘法运算律简化计算，能解决程序流程图与数字规律探索问题 · 掌握科学记数法与近似数的精确度，能解决有理数在实际生活中的应用问题 · 能综合运用绝对值的几何意义与非负性解决数轴动点、绝对值方程等培优问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 正负数：用正负数表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数 有理数分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴上右边的数总比左边的大 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；多重符号化简由负号个数决定 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，|a|≥0；倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：下列各数：-3，0，+2.5，-，-(-4)，-|−5|中，属于负数的有哪些？ 答案：-3，-，-|−5| 解析：-(-4)=4为正数；-|−5|=-5为负数；0既不是正数也不是负数；+2.5为正分数。故负数为-3、-、-|−5|。 ☆ 2.数轴、相反数与绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 绝对值的几何意义：|a-b|表示数轴上数a与数b对应点之间的距离 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 数轴动点：点向右平移加、向左平移减，两点距离=右边点表示的数−左边点表示的数 有理数大小比较：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 概念辨析例题：已知|a-2|+|b+3|=0，求a+b的值 答案：-1 解析：由绝对值非负性，|a-2|≥0且|b+3|≥0，二者之和为0则各自为0，故a=2，b=-3，a+b=2+(-3)=-1。 ☆ 3.有理数的运算 加法：同号相加取相同符号并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减较小绝对值 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数；加减混合运算统一成加法 乘法：两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 除法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；乘方：n个相同因数a相乘记作an 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；灵活运用运算律简化计算 概念辨析例题：计算：-14-×[2-(-3)2] 答案： 解析：-14=-1；(-3)2=9，括号内2-9=-7；×(-7)=-；原式=-1-(-)=-1+=。 ☆ 4.科学记数法与近似数 科学记数法：把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数 n的确定：n等于原数整数位数减1 近似数：与实际接近的数；精确度由四舍五入到哪一位决定 取近似数时只看下一位数字进行四舍五入，后面的数字不再考虑 概念辨析例题：用科学记数法表示地球公转轨道半径约150000000千米，并指出近似数3.20×105精确到哪一位 答案：1.5×108千米；精确到千位 解析：150000000有9位整数，n=9-1=8，故为1.5×108；3.20×105=320000，末尾的0在千位上，故精确到千位。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数 数轴 规定原点、正方向、单位长度的直线 三要素缺一不可 相反数/绝对值 只有符号不同；|a|≥0 |a-b|为数轴两点距离 倒数 乘积为1的两数互为倒数 0没有倒数 科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n=整数位数−1 有理数混合运算 先乘方、再乘除、后加减 有括号先算括号内 乘方 an表示n个a相乘 (-2)2=4而-22=-4 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与正负数意义（第1-5题） · 判断正负数先看符号，0既不是正数也不是负数；用正负数表示相反意义的量时先规定正负方向 · 有理数分类按定义分为整数和分数，再按正负细分；注意有限小数和无限循环小数都可化为分数 · 多重符号化简：数负号个数，偶数个得正、奇数个得负；-(-a)=a，-(+a)=-a · 乘方与符号辨析：(-a)n与-an含义不同，前者底数是-a，后者底数是a 1．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数的乘方运算 【分析】本金有理数的乘方计算法则，化简多重符号和绝对值的计算法则求出四个选项中对应式子的值即可得到答案． 【详解】解：A、，不是负数，不符合题意； B、，是负数，符合题意； C、，不是负数，不符合题意； D、，不是负数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了负数的识别，有理数的乘方计算，化简多重符号和绝对值，正确求出四个选项中式子的值是解题的关键． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如果分表示比标准分多5分，那么比标准分少8分表示为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数应用，解题的关键是理解正负号在题中表示的实际意义．正负号表示一对相反意义的量，据此可解． 【详解】解：根据分表示比平均分高5分，可知选平均分为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负， 因此比标准分少8分表示为分， 故选B． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）为有理数，下列说法正确的是（    ） A．一定为正数 B．一定为正数 C．一定为正数 D．一定为正数 【答案】D 【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算 【分析】根据正数的概念，有理数平方的非负性，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，， 不一定为正数，故A不符合题意； 当时，， 不一定为正数，故B不符合题意； 当时，， 不一定为正数，故C不符合题意； ，， 一定为正数，故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了正数的概念，平方的非负性，熟知一个数的平方大于等于0是解题的关键． 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）按要求解答：把下列各数的序号填在相应的括号内： ①，②，③；④（两个“”之间依次多一个“”），⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 正有理数集合：{______}； 负数集合：{______}； 整数集合：{______}． 【答案】①⑧⑨；③④⑥⑦；②⑦⑧ 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数的分类 【分析】此题主要考查了有理数的相关概念及其分类方法，正确把握相关定义是解题关键．根据有理数、负数、整数的定义分别填空即可． 【详解】解：，， 正有理数集合：； 负数集合：； 整数集合：． 故答案为：①⑧⑨；③④⑥⑦；②⑦⑧． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）把下列各数填在相应的括号内： ，    3.14，  ，  0，  ，  ， ， ①正数：｛　　　　　　    　          　     ｝ ②负整数：｛　　　　　　　　              　 ｝ ③负分数：｛　　　　　　　　               　｝ ④整数：｛　　　　　　　　               　  ｝ 【答案】①3.14，； ②，； ③，； ④，0，， 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 根据正数就是大于0的数，以及整数、分数的定义即可分类． 【详解】解：①正数：｛3.14，，｝ ②负整数：｛，，｝ ③负分数：｛，，｝ ④整数：｛，0，，，｝ 故答案为：①3.14，； ②，； ③，； ④，0，，． 【考点2】数轴与绝对值（第6-14题） · 绝对值是距离恒非负；|a|化简先判断a的正负，正数取本身、负数取相反数 · |a-b|表示数轴上a、b两点距离；数轴动点右移加、左移减 · 绝对值非负性：几个绝对值之和为0时，每个绝对值都为0，可列方程求字母 · 绝对值方程|x|=a（a>0）有两个解x=±a；|x|=0只有一个解x=0 6．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，若将点沿数轴同一方向移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【知识点】有理数的减法运算、数轴上点的平移（动点问题）、用数轴上的点表示有理数、有理数加法运算 【分析】本题考查数轴，有理数的加减运算，根据数轴上点的移动：左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：∵点表示的数为，将点沿数轴同一方向移动3个单位长度得到点， ∴点表示的数是或 故选：D． 7．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【详解】解： P、Q相向而行相遇所用时间为（秒）． 点P从出发向右运动走过的路程为， 故相遇时点P表示的数为． 8．（23-24九年级下·吉林长春·阶段检测）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义 【分析】本题考查正数与负数，绝对值的计算；熟练掌握相关的知识点是解题的关键．求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的砝码． 【详解】解：通过求4个砝码的绝对值得： ； 的绝对值最小，所以这个砝码是最接近标准的砝码； 故选：B． 9．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则的值等于（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了绝对值、有理数乘法等知识点，根据题意得到，y；，y，是解本题的关键． 利用绝对值的意义以及，求出x与y的值，然后求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ∵， ∴，y；，y， ∴． 故选：B． 10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）的相反数是_____，绝对值是_____． 【答案】 /0.4 /0.4 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数和绝对值，掌握只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数是解题关键．根据相反数和绝对值的定义作答即可． 【详解】解：的相反数是，绝对值是， 故答案为：；． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）绝对值大于8且小于12的所有整数的和是 _____ ． 【答案】0 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、相反数的应用 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法运算．根据互为相反数的绝对值相等，互为相反数的两个数的和为计算即可 【详解】解：绝对值大于8且小于12的所有整数的绝对值有，，，   绝对值大于8且小于12的所有整数有： ，， 根据相反数的性质，得它们的和是．   故答案为：． 12．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若与互为相反数，则________． 【答案】2 【知识点】绝对值非负性、相反数的定义 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握非负数和平方的非负性，以及只有符合不同的数互为相反数．先根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，与互为相反数， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是_____． 【答案】7 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离计算、绝对值的意义等知识点，掌握绝对值的意义是解题的关键． 表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，可得．同理：，，结合题意可得：、，，于是，然后代入即可解答． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理：，， ∵， ∴、，． ∴． ∴的最大值为． 故答案为：7． 14．（22-23七年级上·江苏常州·阶段检测）画出数轴并回答问题． (1)把下列各数表示在数轴上：； (2)用“<”把（1）中的五个数连接起来． 【答案】(1) 数轴如下： (2) 【知识点】有理数大小比较、用数轴上的点表示有理数 【分析】（1）根据数轴的定义在数轴上表示出各数即可； （2）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大可得答案． 【详解】（1）解：略． （2）解：由（1）可得，． 【点睛】此题主要考查了相反数，有理数的比较大小以及数轴，关键是掌握当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【考点3】有理数大小比较、相反数与倒数（第15-22题） · 比较大小：正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小；数轴上右边的数总比左边大 · 相反数只改变符号，倒数是分子分母颠倒（整数看成分母为1）；0有相反数但没有倒数 · 含字母的大小比较可用作差法：a-b>0则a>b，a-b<0则a<b · 整体代入求值：利用a+b、ab等已知条件，不 individually 求a、b而整体代入化简 15．（2024·山东菏泽·一模）在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 首先求出，0，2，这四个数的绝对值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可． 【详解】解：，，，， ， 在，0，2，这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：B． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了比较有理数的大小，找出符合条件的点，即可得到答案． 【详解】解：大于而小于2.3的整数有，，，，0，1，2，共7个， 故选：C． 17．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较、倒数 【分析】本题考查了有理数的大小比较，倒数等知识，设，则根据倒数的定义可得出，，，，进而可得答案． 【详解】解：设， ∴，，，， ∴，，，， ∴． 故选：C． 18．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）比较大小：______； __________（选填） 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了绝对值化简，多重符合化简，有理数比较大小，根据绝对值，多重符号化简的方法，然后由正数大于负数，及两个负数比较大小的方法“绝对值大的数反而小”求解即可． 【详解】解： ∴； ∵，， ∴； 故答案为：①；② ． 19．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）写出符合条件的数：绝对值大于且小于的负整数 _______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】要紧扣“负整数”的要求，不要遗漏符号条件，排除正整数和非整数的情况． 【详解】解：绝对值大于且小于的负整数是． 20．（2024·宁夏银川·二模）的相反数是________，的绝对值是________，2024的倒数是________． 【答案】 3 【知识点】求一个数的绝对值、倒数、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数．熟练掌握相反数，绝对值，倒数是解题的关键． 根据相反数，绝对值，倒数的定义求解作答即可． 【详解】解∶的相反数是，的绝对值是3，2024的倒数是， 故答案为∶，3，． 21．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ___． 【答案】0 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、倒数、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，代数式求值等知识点，利用相反数，倒数的定义求出，的值，代入原式计算即可得到结果，熟练掌握相反数，倒数是解决此题的关键． 【详解】和互为相反数，和互为倒数， ，， ， 故答案为：0． 22．（24-25七年级上·广东惠州·期中）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，求代数式，的值． 【答案】或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、求一个数的绝对值、倒数、相反数的定义 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数的定义，绝对值的意义，倒数的定义，先根据相关定义得出，，，然后分别代入求值即可． 【详解】解：∵互为相反数且均不为，互为倒数，， ∴，，， ∴①当时 ；                  ②当时 ，                  ∴代数式的值为或． 【考点4】科学记数法与近似数（第23-25题） · 科学记数法写成a×10n，确保1≤|a|<10；n=原数整数位数−1 · 还原科学记数法：a×10n就是把a的小数点向右移动n位 · 近似数精确度：看最后一位有效数字在原数中的数位；如3.20万精确到百位 · 取近似值只看下一位四舍五入，中间结果不能过早四舍五入 23．（2024·浙江宁波·一模）2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解． 【详解】解：126万亿=， 故选：B． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）用四舍五入把精确到百分位，所得到的近似数是________． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了求近似数，将千分位上的数四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入把精确到百分位，所得到的近似数是， 故答案为：． 25．（2024·广西柳州·模拟预测）将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 【答案】2025 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数，掌握四舍五入法求近似数是解题的关键． 把十分位上的数字6进行四舍五入即可解答． 【详解】解：． 故答案为：2025． 【考点5】有理数的运算与混合运算（第26-45题） · 加减乘除先定符号再算绝对值；减法统一成加法，除法统一成乘法 · 混合运算严格按先乘方、再乘除、后加减；有括号先小括号再中括号 · 运算律灵活用：交换律、结合律凑整，分配律a(b+c)=ab+ac正逆两用 · 程序流程图：把输入值逐步代入，注意判断分支和每一步的符号 · 数字规律题：分别找符号规律和数值规律，用序号n表示第n项 · 区分(-2)2=4与-22=-4，含乘方混合运算先算乘方再处理符号 26．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）定义新运算“”，规定，则的值为（      ） A． B． C．6 D．18 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查新定义，有理数的乘法运算，解答本题的关键是明确新定义和有理数乘法运算的计算方法．根据，可以求得所求式子的值，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 27．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是（    ） A．7 B． C．5 D．11 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【详解】解：， ， ∴若输入的数为，则输出的数是7． 28．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】此题考查了代数式求值，根据运算程序得出一般性规律是解题的关键．根据运算程序求出前几个输出结果，找出循环规律，再根据规律计算第次输出的结果． 【详解】解：第1次输出的数为：把代入，； 第2次输出的数为：把代入，； 第3次输出的数为：把代入，； 第4次输出的数为：把代入，； 第5次输出的数为：把代入，； 由此得，从第2次输出结果开始，以，循环， ， 第次输出的结果为， 故选：B． 29．（25-26七年级上·浙江温州·期中）李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“有理数的混合运算”，规则如下：每人只能看到前一人的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 由题干中的计算步骤，根据相关运算法则及运算顺序进行判断即可． 【详解】解：甲计算： 错误地算为 ，正确应为 ，故甲错误． 乙计算：从甲得 和 ，乙写为 ，此步正确（因 ）． 丙计算：从乙得 ，应算为 ，但丙错误地算为 ，故丙错误． 丁计算：从丙得 ，此步计算正确但基于错误输入． ∴ 错误出现在甲和丙． 故选：B． 30．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）下列结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据平方和立方的计算方法求出结果即可得到答案，解题的关键是注意在运算过程中正负号的计算． 【详解】解：A、 ，，故A不符合题意； B、，，故B符合题意； C、 ，，故C不符合题意； D、 ，，故D不符合题意， 故选：． 31．（24-25七年级上·广西贵港·期末）计算： ___． 【答案】8 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的加法，利用相反数化简多重符合，绝对值，熟练掌握多重符号的运算和绝对值的运算是解题的关键． 先利用相反数和绝对值化简，再进行加法即可． 【详解】解： ， 故答案为：8． 32．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在人工智能领域，二进制可以实现更强大的智能计算．现用二进制记数法来表示正整数，例如：，记作；，记作，则表示正整数为______． 【答案】19 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题目中介绍的二进制是关键，主要考查了学生的自学能力．根据二进制记数法可以得到 ，然后计算即可求得． 【详解】解： ． 故答案：19． 33．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图，根据这个运算流程，当输入的值为时，最后输出的结果为______． 【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题目中的运算程序，可以计算出相应的结果．熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题目中的程序可知： 当时， ， ∴最后输出的结果为． 故答案为：． 34．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图所示的运算程序中，若第一次输入x的值为2，则第次输出的结果是____________.    【答案】 【知识点】程序流程图与有理数计算、数字类规律探索 【分析】根据运算程序依次进行计算，从而不难发现，从第2次到第7次为一个循环，即从第2次开始，以、、、、、为一个循环组循环出现，预算，然后解答即可． 【详解】解：第1次输出的结果为：； 第2次输出的结果为：； 第3次输出的结果为：； 第4次输出的结果为：； 第5次输出的结果为：； 第6次输出的结果为： 第7次输出的结果为： 第8次输出的结果为：； 第9次输出的结果为：； …， 则从第2次开始，以、、、、、为一个循环组循环出现， ∵， ∴第次输出的结果为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，代数式求值，仔细计算，观察出即从第2次开始，以、、、、、为一个循环组循环出现，是解题的关键． 35．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是_______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式，再逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】解：第一组所有数的和为， 第二组所有数的和为， 第一组数中取与第二组数中任取一个数相乘，所有乘积的总和是， 同理可得从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是， 故答案为：． 36．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）按如图所示的程序进行运算： 若输出的数为360，且输入的数x不大于100，则正整数x的值为___________． 【答案】或或 【知识点】程序流程图与有理数计算、乘方的应用、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，掌握运算程序，理解题意是解决问题的关键． 如果一次运行结果就能输出，则时，解得：，再计算两次三次四次输出，得出x是正整数且不大于100即符合题意． 【详解】解：如果一次运行结果就能输出，则时，解得：，为正整数，符合题意； 如果两次运行结果输出，则时，解得：，为正整数，符合题意； 如果三次运行结果输出，则当时，解得：，符合题意， 如果四次运行结果输出，则当时，解得：，不符合题意， ∴若输出结果是360，则正整数x的值为或或． 故答案为：或或． 37．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则__________． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算，理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义将所求的式子进行转化，再计算有理数的乘除法即可得． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 38．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）数列：0，2，4，8，12，18，……叫大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…数轴上现有一点P从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为；第3秒点向右跳4个单位，记为，此时点表示的数为2；…按此规律跳跃，点表示的数为______． 【答案】1023132 【知识点】数字类规律探索、动点问题（一元一次方程的应用）、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查数字类规律探究、数轴等知识，根据题意，计算出前几个数，观察出数字变化规律，结合数轴知识求解即可．观察出变化规律是解答的关键．用到的公式． 【详解】解：根据题意，表示的数为0， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 按此规律，点表示的数为 ， 故答案为：1023132． 39．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)17 (2)9 【知识点】有理数的减法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的减法、有理数的乘法，熟练掌握运算法则与运算律是是解题关键． （1）先去括号，再计算有理数的加法即可得； （2）利用有理数乘法的分配律计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 40．（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】先省略加号，化简原式符号，再通分计算即可． 【详解】解： ． 41．（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【详解】解： ． 42．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可； （2）利用乘法分配律求解即可； （3）先计算除法，再利用分配律去括号，然后计算加减法即可； （4）根据有理数减法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 43．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)（结果用度分秒表示）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算、含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值、角度的四则运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算及度分秒的加减运算． （1）先按照乘法分配律计算，再处理绝对值得到，再进行除法运算即可； （2）先算乘方，再算中括号内的数，紧接着计算乘除，最后按照顺序加减即可； （3）先将小数度转换为度分秒，再按度、分、秒分别加减即可得出最终结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 44．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及绝对值运算、乘方运算、有理数加减乘除运算等知识，熟练掌握有理数相关运算法则是解决问题的关键 （1）先由相反数定义、去绝对值运算化简，再由有理数的加减运算法则求解即可得到答案； （2）先计算乘方，再把除法转化为乘法，利用乘法运算律求解，最后由有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 45．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)8 (2) (3) 【知识点】实数的混合运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、求一个数的立方根 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先根据有理数的乘方、有理数的乘法、立方根的定义计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先利用乘法分配律计算乘法，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先根据有理数的乘方、有理数的乘除、绝对值的运算法则计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【考点6】有理数的实际应用（第46-52题） · 实际问题先明确正方向（如增长为正、减少为负），再列式计算 · 用正负数表示偏差（如超过标准记正、不足记负），总和除以份数得平均值 · 数轴与实际结合：把位置、距离转化为数轴上的点和绝对值 · 最值问题：比较各数据与标准的偏差，最大偏差对应最远距离 46．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）今年12月份的某一天，西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的是______． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查有理数比较大小的实际应用，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，比较出各数的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴其中气温最低的是； 故答案为：． 47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在一个峡谷中，A地的海拔记为，B地比A地高，C地比B地低，则C地的海拔记为 __________． 【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题关键． 根据C地海拔＝B地海拔，其中B地海拔＝A地海拔． 【详解】解： ＝﹣18+15， ， 则C地的海拔为； 故答案为：． 48．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）某一电子昆虫落在数轴上的某点，从点开始跳动，第次向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，第次由向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到 ，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数恰好是，则电子昆虫的初始位置所表示的数是______． 【答案】 【知识点】正负数的实际应用、用数轴上的点表示有理数、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了数轴与有理数，正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设所表示的数是， 则， ∴， 故答案为：． 49．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）鲜果园有20箱瓯柑，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.1 0.3 0.6 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重______千克； (2)求这20箱瓯柑的总质量； (3)若这批瓯柑的批发价是5元/千克，售价是8元/千克，运输和出售过程中有的瓯柑因腐烂等原因无法出售，则出售这20箱瓯柑能盈利多少元？ 【答案】(1)1.1 (2)这20箱瓯柑的总质量为301千克 (3)出售这20箱瓯柑能盈利662.2元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）（千克）， 即最重的一箱比最轻的一箱重1.1千克， 故答案为：1.1； （2）（千克），即这20箱瓯柑的总质量为301千克； （3）（元）， 即出售这20箱瓯柑能盈利662.2元． 50．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）定期进行视力检查，有助于全面掌握孩子的视力情况．为此，我校在开学初进行了全校学生视力检查．以人为基准人数，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，其中班检查人数记录如下： 班级 检查人数 班级 检查人数 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 (1)班接受视力检查的有多少人？ (2)班比班多检查多少人？ (3)若共有名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？ 【答案】(1)人 (2)人 (3)名 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】（）根据正负数的意义列式计算即可； （）根据正负数的意义列式计算即可； （）根据正负数的意义列式求出七年级学生人数，再除以医生人数即可求解； 本题考查了正负数的实际应用，有理数加法和减法的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：人，       答：班接受视力检查的有人； （2）解：人 ，    答：班比班多检查人； （3）解：（人）， （人）， 答：平均每位医生要检查名学生． 51．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）某洗衣粉厂上月生产了30000袋，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“”和“”，记录如下： 超过或不足（克） 0 袋数 1 1 1 6 5 2 4 (1)通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？ (2)若超过或不足不大于5克时为不合格，求这20袋洗衣粉的合格率． (3)厂家规定不合格产品不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？ 【答案】(1)本厂九月生产的洗衣粉平均每袋450.1克 (2) (3)该洗衣厂九月生产的洗衣粉销售的总金额为65550元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】 （1）根据超过或不足的部分分别用正、负数来表示，可得每袋的质量，根据有理数的加法，可得总质量，再根据总质量除以袋数可得平均质量； （2）算出合格的袋数，再除以20即可； （3）算出符合销售的袋数，再进一步求得销售的总金额即可． 【详解】（1） （克． 答：本厂九月生产的洗衣粉平均每袋450.1克． （2）∵超过或不足不大于5克时为合格， ∴合格数量为19， ∴这20袋洗衣粉的合格率 （3） （元． 答：该洗衣厂九月生产的洗衣粉销售的总金额为65550元． 【点睛】 本题考查了正数和负数，理解题意，正确利用正负数的加减法列式是解题关键． 52．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为______千克． (2)超市原计划将这6筐白菜按每千克3元销售，现为促销决定打九折销售，求这6筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 【答案】(1) (2)这6筐白菜现价比原价便宜了元 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、绝对值的其他应用、正负数的实际应用 【分析】（1）根据绝对值的意义，绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）先算得总质量，再算得便宜的钱． 【详解】（1）解：∵， ∴的最接近标准，这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜的质量为：（千克）； （2）解：由题意得：（千克）， （元）； 答：这6筐白菜现价比原价便宜了元． 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数概念先抓定义：数轴三要素、相反数、倒数、绝对值不能混淆 · 绝对值题先判正负再化简，利用非负性可求字母取值 · 混合运算严格按顺序，灵活运用运算律凑整简化计算 · 科学记数法注意a的范围和n的确定，近似数精确度看最后一位所在数位 · 实际应用题先定正负方向，最值与平均值问题用偏差法处理 【作业1】．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各对量中，不是相反意义的量是（    ） A．胜2局与输3局 B．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 C．气温升高4°C与气温下降10°C D．盈利3万元与支出4万元 【答案】D 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了相反意义的量，根据相反意义的量的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、胜与负的意义相反，此项不符题意； B、逆时针与顺时针的意义相反，此项不符题意； C、升高与下降的意义相反，此项不符题意； D、盈利与支出的意义不相反，此项符合题意； 故选：D． 【作业2】．（2026·浙江嘉兴·二模）2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流．那么，数字“7500000”用科学记数法可写作（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【详解】解：． 【作业3】．（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．8或2 C．或2 D．8或 【答案】A 【知识点】有理数的减法运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的加减法，求出、的值是解答本题的关键．根据绝对值的意义及，可得，的值，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，． 的值为或， 故选：． 【作业4】．（25-26七年级上·浙江·期中）一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、求一个数的立方根、化简多重符号、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则分别计算，再根据正数和负数的定义判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则以及正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴结果是负数的有个，即男同学有人， 故选：． 【作业5】．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现从第2次输出的结果开始按，，，，，循环是解题的关键． 根据题意，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当输入的的值为2时， 第1次输出的结果是1； 第2次输出的结果是； 第3次输出的结果是； 第4次输出的结果是； 第5次输出的结果是； 第6次输出的结果是； 第7次输出的结果是； 第8次输出的结果是； ， 由此可见，从第2次输出的结果开始按，，，，，循环， 又因为余2， 所以第2025次输出的结果是． 故选：D． 【作业6】．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）小于的最大整数是______． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数大小比较以及正数和负数，掌握两个负数大小比较方法是解答本题的关键． 根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”可得答案． 【详解】解：小于的最大整数是． 故答案为：． 【作业7】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则______． 【答案】4 【知识点】用数轴上的点表示有理数、倒数、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式求值，相反数、倒数、绝对值的意义，代入求值，掌握其概念和性质是解题的关键．由题意得：，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：4． 【作业8】．（2026·河北唐山·一模）若，则“”表示的数为________． 【答案】 【知识点】倒数 【详解】解：∵， ∴与互为倒数， ∴． 【作业9】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 【答案】 2 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，根据题意列出算式是解题的关键． （1）根据卡片顺序为，计算，即可求解； （2）根据题意得，，即可求解． 【详解】解：（1）依题意， ； （2）依题意，得， 解得：． 【作业10】．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）近似数万精确到___位；___（精确到百分位）． 【答案】 百 【知识点】求近似数的精确度、求一个数的近似数 【分析】此题考查了近似数．根据近似数的意义进行解答即可． 【详解】解：近似数万精确到百位；精确到百分位是． 故答案为：百，． 【作业11】．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数：，，，0，5，，要从中抽取3张，使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是___________． 【答案】120 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查有理数比较大小，有理数乘法运算．要想积最大，要保证最后的结果必须是正数，因此抽取的卡片负数的个数要为偶数个，据此根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵要想积最大，即要保证最后的结果必须是正数， ∴抽取的卡片负数的个数要为偶数个， ∴抽取的卡片为，，时的积最大，即， 故答案为：120． 【作业12】．（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）已知，，且，求的值． 【答案】或 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查求绝对值，有理数大小比较．根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴或． 【作业13】．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）若a，b，c均为整数，且，试计算的值． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、绝对值非负性、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据已知条件得出且或且，再分别进行解答即可得出答案．根据题意判断出两种情况是解题的关键． 【详解】解：，，均为整数， ，也应为整数， ，为两个非负整数， 它们的和为1， 只能是且，① 或且，② 由①知且， ，于是， 由②知且， ，于是， 无论①或②都有且， ． 【作业14】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）刚上初一的小华同学在开学前的统考中数学考了90分，开学以来又进行了四次数学测试，比90分多1分，记为，少1分记为．测试成绩如下： 测试卷 第1章质量评估试卷 第2章有理数计算 第2章质量评估试卷 第一次数学竞赛 测试成绩 列式回答以下问题： (1)从开学以来的四次分数来看，最好一次与最差一次的分数差是多少分？ (2)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于90分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问这四次测试，小华一共找了多少道计算题？ (3)小华同学要想使自己开学以来的数学平均成绩为90分，第五次考试要考多少分？ 【答案】(1)18 (2)30 (3)96 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）由表可知最好一次是97分，最差一次的分数是79分，然后问题可求解； （2）由表可知低于90分是第2次和第4次，则有，进而求解即可； （3）先计算前四次的平均分，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：（分）； 答：最好一次与最差一次的分数差是18分． （2）解：由题意得：（道）； 答：小华一共找了30道计算题． （3）解：由题意得：（分）， 要使五次考试的平均成绩为90分，则五次成绩与90分的偏差之和应为0，故第五次考试成绩应比90分高6分，即（分） 答：要想使自己开学以来的数学平均成绩为90分，所以第五次考试要考96分． 【作业15】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化，掌握有理数的混合运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【作业16】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)27 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及乘法运算律，乘方，算术平方根，立方根，绝对值，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）运用分配律进行计算即可； （2）先计算乘方，算术平方根，立方根，绝对值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业17】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）小明平时练习跳绳，每天跳绳10次，每次1分钟．下表记录他一天中10次，每次1分钟跳绳的数量（以160个为标准，超过标准的部分记为“＋”，少于标准的部分记为“－”）： 与标准的差值（单位：个） 次数 1 2 2 3 1 1 (1)小明这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？ (2)小明在这一天中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多25个 (2)这一天中，累计跳绳次数是1665个 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题主要考查了正数和负数和有理数的混合运算，明白题目中正数和负数的意义是解决问题的关键， （1）根据正数和负数的意义，算出跳的最多的一次和最少的一次，即可得到答案； （2）先按标准算出一共有1600个，再加上不足和超过 标准的一共多少个，得到答案即可． 【详解】（1）解：根据表格数据可知：跳的最多的是（个），跳的最少的是（个）， ∴（个）． 答∶ 这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多25个． （2）（个）． 答：这一天中，累计跳绳次数是1669个． 【作业18】．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 【答案】（1），10；（2）或；（3）或． 【知识点】绝对值方程、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了新定义运算． （1）根据对数的定义直接计算； （2）由的定义得到，化简原式求解即可； （3）先计算对数值，再解绝对值方程，分情况讨论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴或 ∴或； （3）解：∵， ∴ 当时，， ∴， 即， ∴； 当时，，， ∴，无解； 当时，，， ∴， 即， ∴； ∴或． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1~2章·有理数及其计算·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版七年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解正负数、有理数分类、数轴、相反数、绝对值与倒数的概念，能借助数轴比较有理数大小 · 掌握有理数加、减、乘、除与乘方的运算法则，能正确进行含乘方的混合运算 · 熟练运用加法与乘法运算律简化计算，能解决程序流程图与数字规律探索问题 · 掌握科学记数法与近似数的精确度，能解决有理数在实际生活中的应用问题 · 能综合运用绝对值的几何意义与非负性解决数轴动点、绝对值方程等培优问题 📚 知识梳理 ☆ 1.有理数的概念与分类 正负数：用正负数表示具有相反意义的量，0既不是正数也不是负数 有理数分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴上右边的数总比左边的大 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；多重符号化简由负号个数决定 绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离，|a|≥0；倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数 概念辨析例题：下列各数：-3，0，+2.5，-，-(-4)，-|−5|中，属于负数的有哪些？ 答案：-3，-，-|−5| 解析：-(-4)=4为正数；-|−5|=-5为负数；0既不是正数也不是负数；+2.5为正分数。故负数为-3、-、-|−5|。 ☆ 2.数轴、相反数与绝对值 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 绝对值的几何意义：|a-b|表示数轴上数a与数b对应点之间的距离 绝对值非负性：|a|≥0，若|a|+|b|=0，则a=0且b=0 数轴动点：点向右平移加、向左平移减，两点距离=右边点表示的数−左边点表示的数 有理数大小比较：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 概念辨析例题：已知|a-2|+|b+3|=0，求a+b的值 答案：-1 解析：由绝对值非负性，|a-2|≥0且|b+3|≥0，二者之和为0则各自为0，故a=2，b=-3，a+b=2+(-3)=-1。 ☆ 3.有理数的运算 加法：同号相加取相同符号并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减较小绝对值 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数；加减混合运算统一成加法 乘法：两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 除法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；乘方：n个相同因数a相乘记作an 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内；灵活运用运算律简化计算 概念辨析例题：计算：-14-×[2-(-3)2] 答案： 解析：-14=-1；(-3)2=9，括号内2-9=-7；×(-7)=-；原式=-1-(-)=-1+=。 ☆ 4.科学记数法与近似数 科学记数法：把一个绝对值大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为正整数 n的确定：n等于原数整数位数减1 近似数：与实际接近的数；精确度由四舍五入到哪一位决定 取近似数时只看下一位数字进行四舍五入，后面的数字不再考虑 概念辨析例题：用科学记数法表示地球公转轨道半径约150000000千米，并指出近似数3.20×105精确到哪一位 答案：1.5×108千米；精确到千位 解析：150000000有9位整数，n=9-1=8，故为1.5×108；3.20×105=320000，末尾的0在千位上，故精确到千位。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 有理数 整数和分数统称有理数 0既不是正数也不是负数 数轴 规定原点、正方向、单位长度的直线 三要素缺一不可 相反数/绝对值 只有符号不同；|a|≥0 |a-b|为数轴两点距离 倒数 乘积为1的两数互为倒数 0没有倒数 科学记数法 a×10n（1≤|a|<10） n=整数位数−1 有理数混合运算 先乘方、再乘除、后加减 有括号先算括号内 乘方 an表示n个a相乘 (-2)2=4而-22=-4 ⚠️ 核心考点 【考点1】有理数的概念与正负数意义（第1-5题） · 判断正负数先看符号，0既不是正数也不是负数；用正负数表示相反意义的量时先规定正负方向 · 有理数分类按定义分为整数和分数，再按正负细分；注意有限小数和无限循环小数都可化为分数 · 多重符号化简：数负号个数，偶数个得正、奇数个得负；-(-a)=a，-(+a)=-a · 乘方与符号辨析：(-a)n与-an含义不同，前者底数是-a，后者底数是a 1．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）下列算式中，运算结果为负数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）如果分表示比标准分多5分，那么比标准分少8分表示为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）为有理数，下列说法正确的是（    ） A．一定为正数 B．一定为正数 C．一定为正数 D．一定为正数 4．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）按要求解答：把下列各数的序号填在相应的括号内： ①，②，③；④（两个“”之间依次多一个“”），⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 正有理数集合：{______}； 负数集合：{______}； 整数集合：{______}． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段检测）把下列各数填在相应的括号内： ，    3.14，  ，  0，  ，  ， ， ①正数：｛　　　　　　    　          　     ｝ ②负整数：｛　　　　　　　　              　 ｝ ③负分数：｛　　　　　　　　               　｝ ④整数：｛　　　　　　　　               　  ｝ 【考点2】数轴与绝对值（第6-14题） · 绝对值是距离恒非负；|a|化简先判断a的正负，正数取本身、负数取相反数 · |a-b|表示数轴上a、b两点距离；数轴动点右移加、左移减 · 绝对值非负性：几个绝对值之和为0时，每个绝对值都为0，可列方程求字母 · 绝对值方程|x|=a（a>0）有两个解x=±a；|x|=0只有一个解x=0 6．（25-26七年级上·浙江衢州·期末）如图，若将点沿数轴同一方向移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（   ） A．1 B．或 C． D．或 7．（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）已知数轴上两点A、B分别表示数和5．数轴上两点的距离可用这两点所表示数的差的绝对值来计算，故A、B两点间的距离为．点P从点A出发沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动．当两点相遇时，点P表示的数是（     ） A．0.2 B．1.8 C．2.6 D．3.2 8．（23-24九年级下·吉林长春·阶段检测）化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段检测）若，，且，则的值等于（　　） A．8 B． C．4 D． 10．（24-25七年级上·浙江温州·阶段检测）的相反数是_____，绝对值是_____． 11．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）绝对值大于8且小于12的所有整数的和是 _____ ． 12．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若与互为相反数，则________． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知，则的最大值是_____． 14．（22-23七年级上·江苏常州·阶段检测）画出数轴并回答问题． (1)把下列各数表示在数轴上：； (2)用“<”把（1）中的五个数连接起来． 【考点3】有理数大小比较、相反数与倒数（第15-22题） · 比较大小：正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小；数轴上右边的数总比左边大 · 相反数只改变符号，倒数是分子分母颠倒（整数看成分母为1）；0有相反数但没有倒数 · 含字母的大小比较可用作差法：a-b>0则a>b，a-b<0则a<b · 整体代入求值：利用a+b、ab等已知条件，不 individually 求a、b而整体代入化简 15．（2024·山东菏泽·一模）在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C． D． 16．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）大于而小于2.3的整数共有（　　）个． A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 17．（25-26七年级上·浙江绍兴·阶段检测）若四个数a，b，c，d满足，则a，b，c，d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）比较大小：______； __________（选填） 19．（24-25七年级上·四川成都·阶段检测）写出符合条件的数：绝对值大于且小于的负整数 _______． 20．（2024·宁夏银川·二模）的相反数是________，的绝对值是________，2024的倒数是________． 21．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）若、互为相反数，、互为倒数，则的值为 ___． 22．（24-25七年级上·广东惠州·期中）已知互为相反数且均不为，和互为倒数，，求代数式，的值． 【考点4】科学记数法与近似数（第23-25题） · 科学记数法写成a×10n，确保1≤|a|<10；n=原数整数位数−1 · 还原科学记数法：a×10n就是把a的小数点向右移动n位 · 近似数精确度：看最后一位有效数字在原数中的数位；如3.20万精确到百位 · 取近似值只看下一位四舍五入，中间结果不能过早四舍五入 23．（2024·浙江宁波·一模）2024年国务院政府工作报告指出：经济总体回升向好，国内生产总值超过126万亿元，增长5.2%，增速居世界主要经济体前列，将126万亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）用四舍五入把精确到百分位，所得到的近似数是________． 25．（2024·广西柳州·模拟预测）将数四舍五入取近似值，精确到个位为________． 【考点5】有理数的运算与混合运算（第26-45题） · 加减乘除先定符号再算绝对值；减法统一成加法，除法统一成乘法 · 混合运算严格按先乘方、再乘除、后加减；有括号先小括号再中括号 · 运算律灵活用：交换律、结合律凑整，分配律a(b+c)=ab+ac正逆两用 · 程序流程图：把输入值逐步代入，注意判断分支和每一步的符号 · 数字规律题：分别找符号规律和数值规律，用序号n表示第n项 · 区分(-2)2=4与-22=-4，含乘方混合运算先算乘方再处理符号 26．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）定义新运算“”，规定，则的值为（      ） A． B． C．6 D．18 27．（25-26七年级上·贵州遵义·阶段检测）如图是一个数值转换机，若输入的数为，则输出的数是（    ） A．7 B． C．5 D．11 28．（21-22七年级上·浙江杭州·期中）我校计算机社团的同学用编程软件编写出了如下运算程序，如果开始输入的x值为，我们发现第1次输出的结果为，第2次输出的结果为，……，第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 29．（25-26七年级上·浙江温州·期中）李老师设计了接力游戏，用合作的方式完成“有理数的混合运算”，规则如下：每人只能看到前一人的式子，并进行下一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成解答．过程如图所示： 老师 甲 乙 丙 丁 接力中，自己负责的一步出现错误的是（   ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 30．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）下列结果相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 31．（24-25七年级上·广西贵港·期末）计算： ___． 32．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在人工智能领域，二进制可以实现更强大的智能计算．现用二进制记数法来表示正整数，例如：，记作；，记作，则表示正整数为______． 33．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图是一个有理数混合运算的流程图，根据这个运算流程，当输入的值为时，最后输出的结果为______． 34．（23-24七年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图所示的运算程序中，若第一次输入x的值为2，则第次输出的结果是____________.    35．（24-25七年级下·江苏南京·期中）有两组数，第一组：，，，，；第二组：，，，．从第一组数中任取一个数与第二组数中任取一个数相乘，则所有乘积的总和是_______． 36．（24-25七年级上·浙江金华·阶段检测）按如图所示的程序进行运算： 若输出的数为360，且输入的数x不大于100，则正整数x的值为___________． 37．（24-25七年级上·西藏林芝·期中）新定义：规定“”是一种数学运算符号，且，，，，，则__________． 38．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）数列：0，2，4，8，12，18，……叫大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．该数列中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…数轴上现有一点P从原点出发，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为；第3秒点向右跳4个单位，记为，此时点表示的数为2；…按此规律跳跃，点表示的数为______． 39．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）计算： (1) (2) 40．（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 41．（2022七年级上·四川泸州·竞赛）计算： 42．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 43．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）计算： (1)； (2)． (3)（结果用度分秒表示）． 44．（23-24七年级上·四川达州·期末）计算下列各题： (1) (2) 45．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【考点6】有理数的实际应用（第46-52题） · 实际问题先明确正方向（如增长为正、减少为负），再列式计算 · 用正负数表示偏差（如超过标准记正、不足记负），总和除以份数得平均值 · 数轴与实际结合：把位置、距离转化为数轴上的点和绝对值 · 最值问题：比较各数据与标准的偏差，最大偏差对应最远距离 46．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）今年12月份的某一天，西安、兴平、榆林、延安四个城市的最低气温分别是，其中气温最低的是______． 47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在一个峡谷中，A地的海拔记为，B地比A地高，C地比B地低，则C地的海拔记为 __________． 48．（25-26七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）某一电子昆虫落在数轴上的某点，从点开始跳动，第次向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，第次由向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到 ，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数恰好是，则电子昆虫的初始位置所表示的数是______． 49．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）鲜果园有20箱瓯柑，以每箱15千克为标准，超过15千克的数记为正数，不足15千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准重量的差值（单位：千克） 0 0.1 0.3 0.6 箱数（箱） 2 1 5 2 4 2 4 (1)最重的一箱比最轻的一箱重______千克； (2)求这20箱瓯柑的总质量； (3)若这批瓯柑的批发价是5元/千克，售价是8元/千克，运输和出售过程中有的瓯柑因腐烂等原因无法出售，则出售这20箱瓯柑能盈利多少元？ 50．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）定期进行视力检查，有助于全面掌握孩子的视力情况．为此，我校在开学初进行了全校学生视力检查．以人为基准人数，超过的人数记为正数，不足的人数记为负数，其中班检查人数记录如下： 班级 检查人数 班级 检查人数 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 班 (1)班接受视力检查的有多少人？ (2)班比班多检查多少人？ (3)若共有名医生为七年级学生做视力检查，那么平均每位医生要检查多少名学生？ 51．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）某洗衣粉厂上月生产了30000袋，每袋标准重量450克，质量检测部门从中抽出了20袋进行检测，记超过或不足标准重量的部分为“”和“”，记录如下： 超过或不足（克） 0 袋数 1 1 1 6 5 2 4 (1)通过计算估计本厂上月生产的洗衣粉平均每袋多少克？ (2)若超过或不足不大于5克时为不合格，求这20袋洗衣粉的合格率． (3)厂家规定不合格产品不能出厂销售，若每袋洗衣粉的定价为2.30元，试估计本厂上月生产的洗衣粉销售的总金额为多少元？ 52．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）有6筐白菜，以每筐25千克为标准质量，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量后的记录如图． 请回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准质量的这筐白菜为______千克． (2)超市原计划将这6筐白菜按每千克3元销售，现为促销决定打九折销售，求这6筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 💯 课后巩固 复习建议 · 有理数概念先抓定义：数轴三要素、相反数、倒数、绝对值不能混淆 · 绝对值题先判正负再化简，利用非负性可求字母取值 · 混合运算严格按顺序，灵活运用运算律凑整简化计算 · 科学记数法注意a的范围和n的确定，近似数精确度看最后一位所在数位 · 实际应用题先定正负方向，最值与平均值问题用偏差法处理 【作业1】．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）下列各对量中，不是相反意义的量是（    ） A．胜2局与输3局 B．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 C．气温升高4°C与气温下降10°C D．盈利3万元与支出4万元 【作业2】．（2026·浙江嘉兴·二模）2026年1月17日，我国首台串列型高能氢离子注入机成功出束，它能产生7500000电子伏特高能束流．那么，数字“7500000”用科学记数法可写作（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26七年级上·全国·阶段检测）已知，，且，则的值为（    ） A．或 B．8或2 C．或2 D．8或 【作业4】．（25-26七年级上·浙江·期中）一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【作业5】．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【作业6】．（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）小于的最大整数是______． 【作业7】．（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，点M在数轴上表示的数为m，且在原点的左侧，到原点的距离为3，则______． 【作业8】．（2026·河北唐山·一模）若，则“”表示的数为________． 【作业9】．（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）数学活动课上，小安拿出如图所示的三张卡片，每张卡片上分别写有一种运算，卡片可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序．一名同学随机说出一个数字后，其余同学将按小安排列的卡片顺序开始运算． （1）若，卡片顺序为，则运算结果是_____； （2）若数字经过的顺序运算后，结果为，则_____。 【作业10】．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）近似数万精确到___位；___（精确到百分位）． 【作业11】．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段检测）数学活动课上，王老师在6张卡片上分别写了6个数：，，，0，5，，要从中抽取3张，使这3张卡片各数之积最大，则最大的积是___________． 【作业12】．（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）已知，，且，求的值． 【作业13】．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段检测）若a，b，c均为整数，且，试计算的值． 【作业14】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）刚上初一的小华同学在开学前的统考中数学考了90分，开学以来又进行了四次数学测试，比90分多1分，记为，少1分记为．测试成绩如下： 测试卷 第1章质量评估试卷 第2章有理数计算 第2章质量评估试卷 第一次数学竞赛 测试成绩 列式回答以下问题： (1)从开学以来的四次分数来看，最好一次与最差一次的分数差是多少分？ (2)小华同学在计算上很粗心，但学习自觉，主动性很强，每次测试只要低于90分，每低一分，就主动找2道计算题加强训练，以提高自己的计算能力．请问这四次测试，小华一共找了多少道计算题？ (3)小华同学要想使自己开学以来的数学平均成绩为90分，第五次考试要考多少分？ 【作业15】．（24-25七年级上·全国·随堂练习）简便计算： (1) (2) (3) (4) 【作业16】．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【作业17】．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段检测）小明平时练习跳绳，每天跳绳10次，每次1分钟．下表记录他一天中10次，每次1分钟跳绳的数量（以160个为标准，超过标准的部分记为“＋”，少于标准的部分记为“－”）： 与标准的差值（单位：个） 次数 1 2 2 3 1 1 (1)小明这天跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？ (2)小明在这一天中，累计跳绳多少个？ 【作业18】．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）材料1：一般地，个相同因数相乘：记为，如，此时，4叫做以2为底的16的对数，记为（即）． （1）计算：________，________； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，⋯，在这种规定下： （2）求出满足该等式的：； （3）当为何值时，． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $