四川省成都市第七中学2026-2027学年高二上学期10月定时练习数学试题

高2028届高二上期10月份定时练习 数 学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．已知空间向量，，则（ ） A． B． C． D． 2．空间中、、、四点共面，则（ ） A． B． C． D． 3．参加科技知识决赛的选手成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．估计参加决赛的选手成绩的第85百分位数是（ ） A．93 B．90 C．95 D．85 4．已知空间向量，，且，则在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知，为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A． B． C． D． 7．在平行六面体中，，，，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 8．我国人脸识别技术处于世界领先地位．所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．已知余弦距离，其中，（为原点）．若点为曲线上任意一点，点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知方程表示圆，则的值可能为（ ） A． B． C． D． 10．已知直线：与：相交于点，则点与原点的距离的最值（ ） A．的最小值为 B．无最小值 C．无最大值 D．的最大值为 11．已知棱长为1的正方体，下列说法正确的是（ ） A．若点为的中点，平面与正方体的截面面积为 B．若点为平面上一点，直线与直线所成角的正切值为，则点在内的轨迹长度为 C．若为等边三角形且平面，点是线段上的点，且满足，点，分别是平面与平面内的动点，则的最小值为 D．点为空间中一动点，若直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则三棱锥体积的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．经过，两点的直线的方向向量为，则________． 13．在中，已知顶点，，过点的角平分线方程是，则直线的方程为________________． 14．直线：，若满足条件的所有直线围成的封闭区域边界记为，线段在直线：上运动，点为上任意一点，若上存在两点，，使得成立，则线段长度的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知两条直线：与直线：，． （1）若，求的值；（6分） （2）若点在直线上，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程．（7分） 16．为庆祝中秋佳节，某校举办校园诗词大赛，参赛的学生成绩均在内（单位：分），现随机抽取100名学生的成绩，整理后按照，，，，分组，并绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求的值，并估计这100名学生成绩的中位数；（7分） （2）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，从这5人中再随机选取2人．求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率．（8分） 17．在空间直角坐标系中，过点，且法向量为的平面方程为，将其整理为方程，其中． （1）若点，，，求平面的方程；（7分） （2）已知平行六面体中，平面经过点，，，平面的方程为，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值．（8分） 18．如图，在直三棱柱中，，，E为棱的中点，F是棱AC上的异于端点的一个动点． （1）求证：；（8分） （2）记点A，C到平面的距离分别为，，求的最小值．（9分） 19．如图，已知圆M：，过坐标原点O作圆M的两条互相垂直的弦，． （1）求证：为定值；（8分） （2）当时，求直线的方程和直线的方程．（9分） 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高二上期10月份定时练习参考答案 数学 一、选择题：1－8：ADBA BACC 二、选择题：9．ABC 10．BD 11．ACD 三、填空题：12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【解】(1)因为，所以，解得或， 当时，：，：，即，此时，满足题意； 当时，：，即，：，此时，重合，不满足题意． 综上所述，． (2)因为点在直线上，所以，得，则点的坐标为，直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为0，①当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即；②当两截距不为0时，设直线的方程为，代入点，得，解得，则直线的方程为，即．综上所述，直线的方程为或． 16．【解】(1)由频率分布直方图的性质，，解得，设100名学生成绩中位数的估计结果为．记第组的频率为(按分数从低到高，，则由频率分布直方图可得：，，，，因为，，所以．由比例关系，，解得(分)． (2)由(1)得，．由分层抽样定义，在分数段内抽取4人，在，分数段内抽取1人．记中选取的四人为，，，，中选取的一人为，则样本空间 ，设事件“这2人中恰有1人的成绩落在内”，则，所以． 17．【解】(1)，，设是平面的一个法向量，则令，得，，所以． 设点是平面内任意一点，，由，得，所以平面的方程为． (2)由题意，平面的方程为，所以平面的一个法向量为；平面的方程为，所以平面的一个法向量为．由已知得，， 设为平面的一个法向量，则． 令，得，，所以． 设直线的一个方向向量为，则 令，得，，所以． 因为平面，所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，所以，解得，所以．所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．【解】(1)取和的中点和，连接，，则，因为，可得，在直三棱柱中，可得底面，且底面，所以， 所以，可得，又因为，且，可得， 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 可得，，，，，， 因为为的中点，所以，所以，， 可得，所以，所以． (几何证法也可：例如取中点，证明面，从而实现) (2)因为是棱上的异于端点的一点，令，其中，由，，可得，所以点，即平面的三点为，，，可得，，设平面的法向量为，则，取，可得，所以， 又由，，则点到平面的距离为，则，点到平面的距离为，则， 所以 ， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为． 19．【解】(1)证明：①当直线斜率不存在时，直线的斜率为0． 在方程中，令得，令得， ，，． ②当直线斜率为0时，直线的斜率不存在，，，． ③当直线斜率存在且不为0时，设：，则：， 由，得，设，， 则，，， ，， ， 综上得，为定值，定值为180． (2)由圆周角定理得，．由得，，，，为等腰直角三角形，，，． ，． 由(1)得，当直线斜率不存在或斜率为0时不合题意． 取中点，连接，，则，， 故，，三点共线，，．易知斜率大于0， 由得，由，得或，，． 方程为，即，方程为，即． 综上得，：，：． 学科网（北京）股份有限公司 $