高中数学单元测试——第5章三角函数（较易版01）

**基本信息** 本卷为高中数学三角函数单元复习较易版测试，覆盖三角函数定义、图像、性质及实际应用，通过基础巩固与情境化设计，适配单元复习需求，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、定义域、三角函数定义|基础概念辨析，注重数学抽象能力| |多选题|3/18|三角函数奇偶性、单调性、对称中心|性质综合判断，发展推理意识| |填空题|3/15|三角恒等变换、周期与最值|计算与逻辑结合，强化运算能力| |解答题|5/67|图像绘制、实际建模（摩天轮）、新定义探究|以摩天轮情境考查函数建模，新定义“余正弦函数”培养探究精神，体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据终边相同的角的公式判断即可. 【详解】因为， 所以与终边相同的一个角为， 又因为都不能写成这种形式， 故选：A 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的定义域进行求解即可. 【详解】由，可得， 所以函数的定义域是. 故选：A. 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边过点，所以， 所以. 故选：D 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据商数关系和平方关系求解即可. 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 5．（本题5分）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项； 【详解】对于A.周期是，A错误； 对于B.周期是，因为是偶函数，B错误； 对于C.周期是，因为是偶函数，C错误； 对于D.周期是，又是奇函数，D正确； 故选：D. 6．（本题5分）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过奇偶性排除CD选项，再通过特定区间的函数符号排除B选项，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的图象关于原点中心对称，所以CD错误． 当时，，所以B错误. 故选：A． 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间内单调递增，所以，所以， 因为，所以，若在区间上单调递增， 则，，解得， 当时，，又，则； 当k取其它值时不满足，∴的取值范围为， 故选：B． 8．（本题5分）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为偶函数， 函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以. 故选：A 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用三角函数定义结合诱导公式逐项判断即可. 【详解】由三角函数定义可得，，， 对于A选项，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 10．（本题6分）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 【答案】BC 【分析】根据正切型函数的性质及奇偶性定义判断各项的正误即可. 【详解】令，则，A错； 由，则，故在上单调递增，B对； 由，显然是的一个对称中心，C对； 由正切型函数的性质知，的最小正周期为，D错. 故选：BC 11．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．为函数的一个对称中心 C．将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图形 D．在上单调递增，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据函数图象求出函数的解析式，再逐项判断可得正确答案. 【详解】由图象可得，，所以， 此时，又， 所以，即， 又，所以，故，故A错误； 由， 所以为函数的一个对称中心，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度， 得到，为偶函数，故C正确； 由，当时，， 由在上单调递增，则，解得， 所以的取值范围为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）若，则_______． 【答案】 【分析】利用诱导公式逐步化简可得答案. 【详解】由题意可得，则，所以． 故答案为： 13．（本题5分）已知函数()的最小正周期为，的图像关于点对称，．若在上存在最大值，则实数的最小值是____． 【答案】 【分析】由周期求出，再根据对称性求出，即可得到函数解析式，由的取值范围，求出，即可得到，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】，，，即， 又， ， ， 当时，，因为在上存在最大值， 所以，解得，即． 故答案为： 14．（本题5分）设函数，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性及单调性结合三角函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】易知，即是偶函数， 在时，均单调递增，故在上单调递增， 所以， 如下图所示，    不等式的解集为：. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： (1)sin x>0； (2)sin x<0. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用五点法作图作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图， （1）由图象可得当x∈(0，π)时，sin x>0. （2）当x∈(－π，0)时，sin x<0. 【详解】（1）利用五点法作图． 根据图象，可知图象在x轴上方时，－sin x>0， 在x轴下方时，－sin x<0， 当x∈(0，π)时，－sin x<0，sin x>0. （2）当x∈(－π，0)时，－sin x>0，sin x<0. 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 【答案】（1）单调增区间为；对称中心为；（2）；（3）． 【分析】（1）根据三角函数基本性质求得单增区间和对称中心. （2）根据函数图像性质，确定三角函数不等式解集. （3）根据函数图像性质求得定义域内的值域. 【详解】解：（1）由三角函数的性质易知，的单调增区间应满足，故单调增区间为； 对称中心应满足，故对称中心为． （2）由得 ∴， ∴， ∴所求x的取值集合为． （3）∵∴ ∴ ∴ 即 ∴在上的值域为． 【点睛】方法点睛：借助三角函数图像问题，来研究不等式，值域，单调区间等问题. 17．（本题15分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的最小正周期及解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)， (2). 【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式； （2）根据图象的变换得到解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上最值. 【详解】（1）由图象可知的最大值为1，最小值-1，故； 又∴， 将点代入， ∴， ∵∴ 故答案为：，. （2）由的图象向右平移个单位长度得到函数 ∵ ∴ ∴当时，即，； 当时，即，. 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 【答案】(1)，； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案； （2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案； （ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案. 【详解】（1）根据题意，设关于的函数解析式为， 由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m， 时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时， 周期， 所以，解得， ，解得， 所以，当，，即，解得， 所以，，整理得，； 所以，关于的函数解析式为：， （2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：， 考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低， 故，即，解得， 即游客乙距离地面的高度关于的关系为，， 即， 所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为； 游客甲距离地面的距离为 所以，即， 所以，首次相等对应最小正解,即，即 所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是. （ii）由题，，即， 所以，解得，时间间隔为：， 所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第5章 三角函数（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）与终边相同的一个角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）设，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）下列函数中，周期是，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）函数的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知函数，其中．若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则（ ） A． B． C． D． 10．（本题6分）关于函数，下列说法中正确的有（ ） A．是奇函数 B．在区间上单调递增 C．为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为 11．（本题6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A． B．为函数的一个对称中心 C．将的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图形 D．在上单调递增，则的取值范围为 三、填空题 12．（本题5分）若，则_______． 13．（本题5分）已知函数()的最小正周期为，的图像关于点对称，．若在上存在最大值，则实数的最小值是____． 14．（本题5分）设函数，则不等式的解集为_____. 四、解答题 15．（本题13分）作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间： (1)sin x>0； (2)sin x<0. 16．（本题15分）已知函数． （1）写出函数的单调增区间和对称中心； （2）求的x的取值集合； （3）求函数在上的值域． 17．（本题15分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的最小正周期及解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值. 18．（本题17分）“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系： (1)游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式； (2)若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处 （i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？ （ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长. 19．（本题17分）定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $