第二章 一元二次函数、方程和不等式(单元分层自测·基础通关卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一上册第二章一元二次函数、方程和不等式单元卷，题型全面，覆盖基础与综合应用，注重数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|充分必要条件、集合运算、函数最值等|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3/18|不等式性质、基本不等式应用|多选项设计，考查逻辑严谨性| |填空题|3/15|命题真假、取值范围|简洁考查关键能力| |解答题|7/77|比较大小、实际应用（花园面积）、新定义“下位序列”|含情境问题与创新题型，体现数学应用与推理，符合核心素养中数学思维与语言表达要求|

2026-2027学年高一上册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A A A D D D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9 10 11 BC AD ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12． 13． 14．9 3 (第一空2分，第二空3分） 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分） 【解析】（1） .（3分） 因为，所以.（5分） 即.（6分） （2）由，得，，，（8分） 因此，（12分） 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则，（2分） 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， （4分） 可得，即关于的关系式为.（6分） （2）由（1）知，，， 则（9分） ，（13分） 当且仅当时，即时，等号成立，（14分） 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为.（15分） 17.（15分） 【解析】（1）选①，，， 当且仅当，即时，等号成立，即.（4分） 选②，由题意知和1是方程的两个根， ，解得.（4分） （注意：仅按照单个条件答题上限计分，不重复累加得分） 不等式，即，解得或 故不等式的解集为（8分） （2）不等式，即， 不等式的解集为R，所以，解得， 故实数b的取值范围为（15分） 18．（17分） 【解析】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； .（4分） （2），，.（6分） 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为；（8分） 当时，，不等式的解集为；（9分） 当时，，不等式的解集为.（10分） 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.（11分） （3），，，得. .（13分） ，，. .（16分） 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）是，理由如下： 因为，所以是的“下位序列”.（4分） （2）因为是的“下位序列”， 所以， 因为均为正数， 所以，即，（7分） 同理，即，（9分） 所以.（10分） （3）由已知得， 因为m，n，k为正整数， 所以，（13分） 所以， 整理得，（15分） 因为该式对集合内的每一个都成立， 所以当时，， 所以正整数n的最小值为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 3．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 4．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 7．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 11．已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 13．设，且，则的取值范围是________． 14．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 16．（15分）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 17．（15分）已知________． 从下面条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答． ①的最小值是a； ②不等式的解集是． (1)解不等式； (2)若的解集为R，求实数b的取值范围． 18．（17分）已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 19．（17分）对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于3、4、8、10，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 3．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 4．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 7．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 11．已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 13．设，且，则的取值范围是________． 14．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 16．（15分）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 17．（15分）已知________． 从下面条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答． ①的最小值是a； ②不等式的解集是． (1)解不等式； (2)若的解集为R，求实数b的取值范围． 18．（17分）已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 19．（17分）对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于3、4、8、10，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 第 2 页 共 2 页 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一上册数学单元自测 第二章 一元二次函数、方程和不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件. 2．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， ， 所以 . 3．已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 4．函数的最小值是（    ） A．8 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【详解】， ，，， 由基本不等式可得：， 当且仅当，即时，等号成立，故选A. 5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 6．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金是（   ） A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定 【答案】D 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，所以，. 所以，令，且. 则， 当或时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 综上所述：顾客购得的黄金是无法确定的. 7．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】D 【详解】因为不等式的解集为， 所以二次函数开口向下，且方程的两根为. 对于A：二次函数开口向下，故，A正确； 对于B：根据韦达定理：，，结合得，， 将代入不等式，得， 两边同除以得，因式分解为，解得，B正确； 对于C：，由得，即，C正确； 对于D：由得，得， 因，故， 由基本不等式得， 等号成立条件为，即，与矛盾，等号无法取到， 故该式最小值不为，D错误. 8．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 10．已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 11．已知二次函数（为常数）的对称轴为，其图像如图所示，则下列选项正确的有（    ） A． B．当时，函数的最大值为 C．关于的不等式的解为或 D．若关于的函数与关于的函数有相同的最小值，则 【答案】ACD 【详解】A选项，二次函数图象开口向上，故， 对称轴为，故， 图象与轴交点在轴正半轴，故， 所以，故，A正确； B选项，因为，故， 因为，所以， 当时，随着的增大而减小， 所以时，取得最大值，最大值为，B错误； C选项，因为，所以， ， 故不等式变形为， 因为，，解得：或，故C正确； D选项，，当时，取得最小值，最小值为， ，当时，取得最小值，最小值为， 所以，即，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】为假命题，则为真命题， 可得，解得，即实数的取值范围是. 13．设，且，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】由条件：⇒， ， 又， 所以， 故答案为： 14．若，，且满足，则的最小值为____________，的最小值为____________． 【答案】 9 3 【详解】①，由，所以，，，当且仅当时取得等号,则的最小值为， 由条件得，，，，，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为. 四、解答题（本大题共7小题，共77分） 15．（13分）（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 16．（15分）某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 17． （15分）已知________． 从下面条件①、条件②中任选一个，补充在上面的横线上作为已知，并作答． ①的最小值是a； ②不等式的解集是． (1)解不等式； (2)若的解集为R，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）选①，，， 当且仅当，即时，等号成立，即. 选②，由题意知和1是方程的两个根， ，解得. 不等式，即，解得或 故不等式的解集为 （2）不等式，即， 不等式的解集为R，所以，解得， 故实数b的取值范围为 18．（17分）已知. (1)若不等式的解集为，求的解析式； (2)若，，求关于的不等式的解集；（结果用表示） (3)若，，，求的最小值. 【答案】(1) (2)时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. (3) 【详解】（1）的解集为，1和3是方程的两个根，且. ，解得； . （2），，. 令，得，则，. ，. 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为. 综合所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为. （3），，，得. . ，，. . 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 19．（17分）对于四个正数，若满足，则称有序数对是的“下位序列”． (1)对于3、4、8、10，有序数对是的“下位序列”吗？请简单说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断之间的大小关系； (3)设正整数满足条件：对集合内的每个，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【详解】（1）是，理由如下： 因为，所以是的“下位序列”. （2）因为是的“下位序列”， 所以， 因为均为正数， 所以，即， 同理，即， 所以. （3）由已知得， 因为m，n，k为正整数， 所以， 所以， 整理得， 因为该式对集合内的每一个都成立， 所以当时，， 所以正整数n的最小值为. 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $