福建宁德市福安市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

福安一中2026-2027学年第一学期高一第一次月考 数学试卷 （满分：150分 完成时间：120分钟） 一、单选题（每小题5分，合计60分）， 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知一元二次方程的两个根分别为，，则的值为 A． B． C． D． 3．据《焦点访谈》2026年9月28日报道，第48届世界技能大赛在上海举办，共有个国家和地区参赛，名选手同台竞技．设集合，，则下列判断正确的是： A．， B．， C．， D．， 4．下列运算正确的是 A． B． C． D． 5．已知集合，，则 A． B． C． D． 6．集合，，将集合，分别用如下图中的两个圆表示，则图中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是 A． B． C． D． 7．设，，则 A． B． C． D．或 8．“”是“，”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．若，则的最小值是 A．4 B． C． D． 10．下列结论成立的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 11．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是 A． B． C．或 D．或 12．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围是 A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（每小题5分，合计20分） 13．已知，则的值为________． 14．不等式的解集为________． 15．若不等式在上恒成立，则的取值范围为________； 16．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为________． 三、解答题（6题，共70分） 17．（满分10分） 已知，，其中． （1）比较A与B的大小； （2）在解决比较两个代数式大小的问题时，作差法是最核心的通法．结合本题，请总结“作差法比较大小”的标准三步流程，并说明每一步的核心操作． 18．（满分12分） 已知集合，． （1）当a时，求； （2）若，求a的值． 19．（满分12分） 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围． 20．（满分12分） 已知不等式的解集为． （1）求，的值； （2）解不等式． 21．（满分12分） 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元． （1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由． 22．（满分12分） 已知函数． （1）求证：函数的图像与轴恒有两个不同的交点、，并求此两交点之间距离的最小值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 福安一中2026-2027学年第一学期高一第一次月考 数学试卷参考答案 一、单项选择题：（每小题5分，共60分） 1．A 2．B 3．A 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题：（每小题5分，共20分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．（满分10分） （1） 2分 4分 5分 （2）作差法比较大小的三步流程： Step1：作差：计算两个代数式的差（注意加括号，避免符号错误）； Step2：变形：对差值进行化简（如因式分解、配方、通分等），转化为易判断符号的形式； Step3：定号：根据变形结果（如完全平方式、二次函数图象、因式符号等），判断差值与0的大小关系，进而得出原代数式的大小 10分 18．（满分12分） 详解：（1）依题意，， 2分 当时，， 4分 所以； 6分 （2）因为，则，于是得，即， 解得或， 8分 当时，，则，不符合题意， 10分 当时，，则，符合题意， 综上得，的值是． 12分 19．（满分12分） 详解：（1）， 2分 ，所以， 4分 6分 （2）①当时，，此时； 8分 ②当时，，则，所以 10分 综合①②，可得的取值范围是． 12分 20．（满分12分） 详解（1）由题意知，和是方程的两个实根， 由韦达定理得，，解得． 6分 （2）将代入不等式得，即． 当时，得或 当时，得 当时，得或 10分 综上所述： 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或． 12分 21．（满分12分） （1）由题意可得， 2分 由得， 又，所以该设备从第2年开始实现总盈利． 4分 （2）方案一：由（1）知，总盈利额， 5分 当时，取得最大值160， 6分 此时处理掉设备，则总利润为万元； 7分 方案二：由（1）可得， 平均盈利额为 ， 9分 当且仅当，即时等号成立； 即时，平均盈利额最大，此时， 10分 此时处理掉设备，总利润为万元． 11分 综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适． 12分 22．（满分12分） （1），， 所以函数的图像与轴恒有两个不同的交点、． 2分 设、，则，， 5分 所以两交点之间距离的最小值2． 6分 （2）若在上恒成立， 则恒成立， 7分 分离参数得，恒成立， 8分 设，， ， ， 10分 当且仅当，，等号成立， 11分 12分 学科网（北京）股份有限公司 $