精品解析：福建厦门市高新学校2026-2027学年高一上学期10月适应性练习数学试卷

厦门高新学校2026～2027学年10月适应性练习 高一数学 本试卷共四大题，19小题，试卷共6页，7-8页为草稿 请认真审题，并在答题卡的相应区域内答题，在试卷中作答无效 命题人：黄文忠，审核：郑英升 【考试技巧提醒】 1．高中数学试题的难度特别是思维深度和灵活度远高于初中，而且每道题分值高，因此基础题的得分决定了成绩高低，考试的策略就是会做的做到全对. 2．选择填空遇到困难要学会用特值举反例验证，多选题要学会排除，尽可能不要错选. 3．解答题要注意按照课堂讲授的步骤规范解题，减少跳步现象.有困难的题目特别是压轴题要学会分步得分.例如子集问题要讨论空集；解不等式要注意用数轴辅助找出解集；学会利用图像辅助；应用题先按照题意列出关系式等等． 4．养成科学的应试技巧：先易后难，确保会做的题目得分；先审题（圈注关键词）后答题，草稿纸有序，答题注意卷面规划，少涂改. 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】原命题中的量词为，改为；原命题结论为，其否定为， 所以原命题的否定为：，. 2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】由，， ，故A错； ，故C错； ，故D错； 由不等式的性质易知B正确. 故选：B 3. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，从而利用得到答案. 【详解】或， 故或， 则阴影部分为. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质证明. 【详解】若，则，所以前者是后者的充分条件； 若，则，等价于，解得， 此解集包含，因此无法证明，所以前者不是后者的必要条件. 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选:C. 6. 设平面内有，且表示这个平面内的动点，指出属于集合的点是什么.（ ） A. 的内心 B. 的外心 C. 的重心 D. 的垂心 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形外心的定义可得结论. 【详解】因为点属于集合，则，故为的外心. 故选：B. 7. 某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案. 【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人， 只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人， 只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图， 所以班级人数为：. 故选：A 8. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于x的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 二次函数的零点是， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项求解判断. 【详解】由不等式的解集是， 得是方程的两个根，且， 则，即，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，不等式，解得或，C正确； 对于D，二次函数，即，其零点为，D错误. 10. 已知，设，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则M有最小值 B. 若，则N有最大值 C. 若，则M有最小值4 D. 若则N有最大值2 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由基本不等式建立"和与积"的桥梁关系，再逐项处理：A、B直接把已知量代入求最值；C、D由消去一个量，转化为关于（或）的一元二次不等式，解后取最值并验证等号. 【详解】由、得，当且仅当时取等号. 对于A，当时，当、时取等号， 所以的最小值为而不是，A错误. 对于B，当时，即，解得，当、时取等号， 所以的最大值为，B正确. 对于C，由得，代入得， 两边平方整理得，即，由得， 当、时取等号，所以的最小值为，C正确. 对于D，由得，代入得， 两边平方整理得，即；又，所以， 当、时取等号，所以的最大值为，D正确. 所以正确的选项是B、C、D. 11. 整数集合中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作[K]，以下判断正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定定义，结合整除思想逐项判断即可. 【详解】对于A，，因此，A正确 对于B，，因此，B错误； 对于C，由，令，则， 由，得，因此，C正确； 对于D，由，令，则， 由，得，因此，D正确. 三．填空题：本大题有3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，且，若，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据补集概念得到，故1，4是方程的两根，由韦达定理求出答案. 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 13. 若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 【答案】## 【解析】 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可. 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是. 故答案为：. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 二次函数． （1）若不等式的解集为，求a，b的值 （2）若函数的图象经过点，且a，b为正数，求的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由解集的两端点是方程的两根，把二次式写成因式分解的形式后比较系数； （2）由图象过点得，再用"1的代换"把展开成，最后用基本不等式求最小值并验证等号. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以、是方程的两个根，且二次项系数为， 所以，比较系数得，. 【小问2详解】 由图象经过点得，即. 由常值代换得 ， 当且仅当，即时取等号， 此时结合得、，满足， 所以的最小值为. 16. 设集合，，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1），或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）小问当时，，即可求出； （2）小问将“”是“”的充分不必要条件，转化为⫋，分类讨论和即可. 【小问1详解】 当时，， 则； 或，或， 或. 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以⫋， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数m的取值范围或. 17. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且； ①求实数的取值范围； ②求的最小值. 【答案】（1）和3 （2）①②8 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义，解方程，可得答案； （2）①根据题意可得：方程有两个不相等的正实数根，利用韦达定理和判别式运算求解；②由韦达定理结合基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 令，整理得，解得或， 所以不动点为和3. 【小问2详解】 ①令，整理得， 原题意等价于方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； ②因为 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 18. 高小新参加振兴乡村种植有机蔬菜的调研，根据市场调查数据，种植有机蔬菜需投入年固定成本3万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本W万元．在年产量不足8万斤时，； 在年产量不小于8万斤时，； 每斤有机蔬菜售价为8元，假设种植的有机蔬菜当年能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）高小新利用所学的知识提醒农民要注意控制年产量规模，以免亏损.根据他的判断，求出年产量的范围； （3）年产量为多少万斤时，农民在这一年种植有机蔬菜获得年利润最大.最大年利润是多少？ 【答案】（1），（的单位：万斤）. （2）年产量范围为（单位：万斤） （3）年产量为5万斤或12万斤时年利润最大，最大年利润为16万元 【解析】 【分析】（1）小问由题意分类讨论和时利润关于的解析式； （2）小问，不亏损，即，当时，解不等式；当时，解不等式即可； （3）小问当时，求二次函数的最大值；当时，利用基本不等式求的最大值即可. 【小问1详解】 当时，，则， 整理得，； 当时，，则， 整理得，， 所以，（的单位：万斤）. 【小问2详解】 要想不亏损，则， 当时，，解得， 结合，可得； 当时，， 两边同乘正数，可得，则， 解得，结合，可得； 综上所述，农民以免亏损则年产量的范围为即，（单位：万斤）. 【小问3详解】 当时，，开口向下，对称轴为， 则当时，（万元）； 当时，， 由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立， 则， 即当时，（万元）， 综上所述，年产量为5万斤或12万斤时年利润最大，最大年利润为16万元. 19. 设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是． （1）当封闭曲线为扇形，并且面积取到最大值时，用边长为的正方形纸片能否完全覆盖这个扇形？请说明理由．（提示，圆心角度数为，半径为的扇形面积公式为，弧长公式为） （2）当封闭曲线为直角三角形时，求斜边长的最小值；如图，设直角边边长分别为，， （3）当封闭曲线是四边形时，猜想是什么样的四边形的面积最大并证明你的猜想. 如图，设四边形的边，，，的长度分别为，，，. 【答案】（1）该正方形无法覆盖该扇形，理由如下： 该扇形的半径为，圆心角为，因此弧长，所以，即， 该扇形面积，将代入，则，则， 所以当时，面积取最大值，此时，即该扇形的圆心角大于， 如下图： 过圆心作，则，所以， 则，，同理， 则，而边长为的正方形中，最长线段为对角线，长为， 因此，该正方形无法覆盖这个扇形. （2） （3）猜想：当该四边形是正方形时面积最大. 四边形的边，，，的长分别为，，，，则， 连接，，过点作交于， 对于，若以为底边，则高为， 面积为，当且仅当时等号成立， 同理的面积的最大值为，当且仅当时等号成立， 因此四边形的面积，当且仅当，时等号成立， 同理，当且仅当，时等号成立， 故当且仅当该四边形是矩形时等号成立. 由基本不等式得，，即，当且仅当时等号成立， 则，即， 所以该四边形为矩形，且时，面积取最大值， 由矩形的性质可知，，，所以， 综上所述，当该四边形为正方形时面积最大. 【解析】 【分析】（1）求面积最大值时半径的值，进而求出该扇形的弦长，该弦长比正方形的对角线长，因此判断出无法覆盖；（2）利用基本不等式及三边长的数量关系，求解不等式可得最小值；（3）先证明三角形的面积小于两边之积的一半，进而利用基本不等式求面积最大值，通过取等号条件可证明四边形为正方形时面积最大. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 该直角三角形两直角边长分别为和，且周长为，所以， 设斜边长，则，当且仅当时等号成立， 即，化简得，解得（舍）或， 所以当时，斜边有最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门高新学校2026～2027学年10月适应性练习 高一数学 本试卷共四大题，19小题，试卷共6页，7-8页为草稿 请认真审题，并在答题卡的相应区域内答题，在试卷中作答无效 命题人：黄文忠，审核：郑英升 【考试技巧提醒】 1．高中数学试题的难度特别是思维深度和灵活度远高于初中，而且每道题分值高，因此基础题的得分决定了成绩高低，考试的策略就是会做的做到全对. 2．选择填空遇到困难要学会用特值举反例验证，多选题要学会排除，尽可能不要错选. 3．解答题要注意按照课堂讲授的步骤规范解题，减少跳步现象.有困难的题目特别是压轴题要学会分步得分.例如子集问题要讨论空集；解不等式要注意用数轴辅助找出解集；学会利用图像辅助；应用题先按照题意列出关系式等等． 4．养成科学的应试技巧：先易后难，确保会做的题目得分；先审题（圈注关键词）后答题，草稿纸有序，答题注意卷面规划，少涂改. 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 6. 设平面内有，且表示这个平面内的动点，指出属于集合的点是什么.（ ） A. 的内心 B. 的外心 C. 的重心 D. 的垂心 7. 某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（ ） A. 52 B. 51 C. 50 D. 49 8. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知关于x的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 二次函数的零点是， 10. 已知，设，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则M有最小值 B. 若，则N有最大值 C. 若，则M有最小值4 D. 若则N有最大值2 11. 整数集合中，被4所除余数为K的所有整数组成一个“类”，记作[K]，以下判断正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 三．填空题：本大题有3小题，每小题5分，共15分. 12. 设全集，且，若，则________. 13. 若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 14. 定义集合的“长度”是，其中，.已知集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________； 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 二次函数． （1）若不等式的解集为，求a，b的值 （2）若函数的图象经过点，且a，b为正数，求的最小值． 16. 设集合，，． （1）当时，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点，且； ①求实数的取值范围； ②求的最小值. 18. 高小新参加振兴乡村种植有机蔬菜的调研，根据市场调查数据，种植有机蔬菜需投入年固定成本3万元，每生产万斤有机蔬菜，需另投入流动成本W万元．在年产量不足8万斤时，； 在年产量不小于8万斤时，； 每斤有机蔬菜售价为8元，假设种植的有机蔬菜当年能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（万斤）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） （2）高小新利用所学的知识提醒农民要注意控制年产量规模，以免亏损.根据他的判断，求出年产量的范围； （3）年产量为多少万斤时，农民在这一年种植有机蔬菜获得年利润最大.最大年利润是多少？ 19. 设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是． （1）当封闭曲线为扇形，并且面积取到最大值时，用边长为的正方形纸片能否完全覆盖这个扇形？请说明理由．（提示，圆心角度数为，半径为的扇形面积公式为，弧长公式为） （2）当封闭曲线为直角三角形时，求斜边长的最小值；如图，设直角边边长分别为，， （3）当封闭曲线是四边形时，猜想是什么样的四边形的面积最大并证明你的猜想. 如图，设四边形的边，，，的长度分别为，，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $