专题03 函数（期中知识清单）高一数学上学期人教B版

专题03 函数（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(8类) 公式清单(12类) 辨析清单(11类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 函数的概念与三要素 1.函数的概念：设 、 是非空实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，． 2.三要素：定义域（自变量 的取值范围 ）、值域（函数值的集合 ）、对应关系 ．三要素中只要有一个不同，就是不同的函数；定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定． 3.求定义域的依据：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数非负；零指数幂与负指数幂的底数不为 ；若式子由几部分组成，定义域是各部分取值范围的交集． 4.求值域的方法：观察法、配方法、换元法、单调性法、基本不等式法等，要结合具体函数选择． 5.相等函数：定义域相同且对应关系相同（化简后一致）的两个函数是同一个函数，与自变量用什么字母表示无关． 6.特别提醒：判断两个函数是否为同一函数，必须同时看定义域和对应关系，只看解析式化简结果是不够的． 知识点02 函数的表示方法与分段函数 1.表示方法：解析法（用式子表示）、列表法（用表格表示）、图象法（用图形表示），三种方法各有优缺点，可根据需要选用． 2.求解析式：已知函数类型用待定系数法；已知 求 用换元法或配凑法；已知 满足的关系式可用方程组法． 3.分段函数：在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数． 4.分段函数求值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应解析式；求 时要由内向外逐层代入． 5.分段函数的图象：逐段画出，注意分界点处图象的实心点（含端点）与空心点（不含端点）． 6.特别提醒：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 知识点03 函数的单调性与最值 1.增函数：设函数 的定义域为 ，区间 ，对 上任意两个值 、，当 时，都有 ，则称 在 上单调递增． 2.减函数：当 时，都有 ，则称 在 上单调递减． 3.单调区间：函数在某个区间上单调递增（减），该区间叫做它的单调增（减）区间；多个单调区间之间用"和"或逗号连接，不能用并集符号""． 4.最值：对任意 ，都有 ，且存在 使 ，则 是 在 上的最大值；把""换成""即得最小值． 5.判断单调性的方法：定义法（取值、作差、变形、定号）、图象法、复合函数"同增异减"． 6.特别提醒：单调性是在区间上讨论的，不能写成" 上单调递减"；单调性是区间内的整体性质，与几个特殊点的大小无关． 知识点04 函数的奇偶性 1.偶函数：对定义域内任意 ，都有 ，则 是偶函数，图象关于 轴对称． 2.奇函数：对定义域内任意 ，都有 ，则 是奇函数，图象关于原点对称． 3.前提：奇偶性要求定义域关于原点对称，这是必要条件；定义域不关于原点对称则函数既不是奇函数也不是偶函数． 4.常用性质：奇函数若在 处有定义，则 ；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同． 5.判断方法：先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系． 6.特别提醒：奇函数不一定在 处有定义；若奇函数在 处有定义，必有 ，这是解题的常用突破口． 知识点05 函数的零点与零点存在定理 1.零点的概念：使 成立的实数 叫做函数 的零点． 2.三者关系：函数 的零点 方程 的实数根 函数图象与 轴交点的横坐标． 3.零点存在定理：若函数 在区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，且 ，则 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使 ． 4.求零点：可直接解方程 ，也可看图象与 轴交点的横坐标；求方程 的根可转化为求函数 的零点． 5.特别提醒：零点存在定理只能判断零点的存在性，不能确定零点的个数； 是"有零点"的充分不必要条件． 知识点06 函数与方程、不等式之间的关系及应用 1.用函数观点看方程：方程 的解就是函数 的零点． 2.用函数观点看不等式：不等式 的解集，就是函数 的图象在 轴上方部分的点的横坐标的集合． 3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系：抛物线与 轴交点的横坐标是方程的根，也是相应不等式解集的端点． 4.常见函数模型：一次函数模型 、反比例函数模型 、二次函数模型 ，要根据实际问题的变化规律选择合适模型． 5.数学建模的一般步骤：审题 设变量 建立函数模型 求解 检验 作答． 6.特别提醒：用函数模型解决实际问题时，一定要注意自变量的取值范围符合实际意义，并检验结果是否符合实际． 知识点07 函数的值域与最值的常用求法 1.观察法：由定义域与对应关系直接看出取值范围，适用于一次函数、反比例函数等简单函数． 2.配方法：二次函数（或可化为二次的函数）配方成 ，再结合顶点是否在定义域内求值域． 3.换元法：令 等于某个含 的式子（如 ），转化为关于 的函数；换元时必须同时写出新元 的取值范围． 4.单调性法：先判定函数在定义域（或所给区间）上的单调性，再由端点值与极值求最值． 5.分离常数法：分式函数化为"常数 + 分式"的形式（如 ），再由分式的取值范围求值域． 6.特别提醒：求值域必须紧扣定义域；分段函数的值域是各段值域的并集，不是各段值域的简单拼接． 知识点08 函数图象的变换（平移、对称、翻折） 1.平移： 的图象向左平移 个单位得 ，向右平移 个单位得 ；向上平移 个单位得 ，向下平移 个单位得 ——口诀"左加右减、上加下减"． 2.对称： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于原点对称． 3.翻折： 是把 轴下方的图象翻到上方； 是保留 轴右侧的图象，再把它翻到左侧（左侧与右侧关于 轴对称）． 4.特别提醒："左加右减"只作用于自变量 ；写成 与 的效果完全不同，切勿混淆． 考点01 函数的概念与定义域 考点内容：函数的概念；三要素；相等函数的判断；函数定义域的求法． 常见考法： ① 求给定解析式的函数的定义域 ② 判断两个函数是否为同一函数 ③ 由定义域求参数的取值范围 ④ 求函数值、由函数值求自变量 ⑤ 求抽象函数的定义域 易错提醒：求定义域要把所有限制条件都列全（分母不为 、被开方数非负等）再取交集，不要漏项． 考点02 函数的表示法与分段函数 考点内容：三种表示方法；求函数解析式；分段函数求值与图象． 常见考法： ① 求函数的解析式（换元法、待定系数法） ② 分段函数求值 ③ 已知分段函数的值求自变量 ④ 画分段函数的图象 ⑤ 求分段函数的值域 易错提醒：求分段函数的值要先判断自变量落在哪一段；含 的要由内向外逐层代入． 考点03 函数的单调性与最值 考点内容：增函数、减函数的定义；单调区间的表示；用定义或图象判断单调性；由单调性求参数． 常见考法： ① 判断或证明函数的单调性 ② 求函数的单调区间 ③ 由单调性比较大小 ④ 由单调性求参数范围 ⑤ 求函数的最值 易错提醒：多个单调区间之间不能用""连接；比较大小要先把自变量化到同一单调区间． 考点04 函数的奇偶性 考点内容：奇函数、偶函数的定义；图象的对称性；奇偶性的判断与应用． 常见考法： ① 判断函数的奇偶性 ② 由奇偶性求解析式 ③ 由奇偶性求参数 ④ 利用奇偶性比较大小、解不等式 ⑤ 奇偶性与单调性的综合 易错提醒：判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系． 考点05 函数的零点 考点内容：零点的概念；函数、方程、图象三者的关系；零点存在定理；零点个数． 常见考法： ① 求函数的零点 ② 判断零点所在的区间 ③ 求零点的个数 ④ 由零点存在定理求参数范围 ⑤ 函数图象交点问题 易错提醒：零点存在定理只能判断"存在"，不能确定个数； 是"有零点"的充分不必要条件． 考点06 函数模型及其应用 考点内容：一次函数、反比例函数、二次函数模型；从实际问题中抽象函数关系；数学建模． 常见考法： ① 用函数模型求最值 ② 分段函数模型的实际应用 ③ 建立函数模型解决最优化问题 ④ 由图象识别函数模型 易错提醒：实际问题中自变量的取值范围要符合实际意义，得到结果后要检验是否符合实际． 考点07 函数的值域与最值 考点内容：值域的概念；观察法、配方法、换元法、单调性法求最值；分段函数的值域；由值域（最值）反求参数． 常见考法： ① 用配方法求二次函数在闭区间上的最值（判断顶点是否在区间内） ② 用换元法求含根式或分式函数的值域 ③ 由单调性求函数的最值，或由最值求参数的取值范围 ④ 求分段函数的值域（各段值域取并集） ⑤ 由函数的值域（或最值）反求参数的取值范围 易错提醒：换元后必须写明新元的取值范围；二次函数在闭区间上求最值要先看顶点是否在区间内． 考点08 函数图象与变换 考点内容：平移、对称、翻折的变换规律；由解析式识别图象；由图象判断参数的符号． 常见考法： ① 按"左加右减、上加下减"写出平移后的解析式 ② 由图象判断解析式中参数（如 、）的符号 ③ 由 的图象画出 或 的图象 ④ 利用图象求方程解的个数或不等式的解集 ⑤ 由图象的对称性判断函数的奇偶性 易错提醒：变换的对象要看清——作用在 上是"左加右减"，作用在整个函数值上才是"上加下减"． 1 常见函数及其图象 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 一次函数 （） 图象为直线， 时单调递增， 时单调递减 2 反比例函数 （） 图象为双曲线， 时在每一象限内单调递减 3 二次函数（一般式） （） 时开口向上， 时开口向下 4 二次函数（顶点式） ，顶点为 对称轴为直线 ，最值为 2 函数性质与零点 序号 名称 公式（符号语言） 说明 5 增函数的定义 其中 、 是区间 内任意两个值 6 奇偶性的定义 为偶函数； 为奇函数 前提是定义域关于原点对称 7 零点存在定理 在 上连续，且 则 内至少存在一个零点 8 二次函数的零点 两个零点； 一个零点； 无零点 9 平移变换 左移 ； 上移 只作用于自变量是"左加右减"，作用于函数值是"上加下减" 10 对称变换 关于 轴对称； 关于 轴对称 关于原点对称 11 翻折变换 下翻上； 右翻左 先看翻折对象是自变量还是函数值整体 12 闭区间上二次函数的最值 （） 顶点在区间内取最小值 ，否则取离对称轴较远的端点值 辨析01 研究函数要先看定义域 定义域是函数的基础，定义域不同则函数不同．求定义域要把所有限制条件都列全（分母不为 、偶次根式被开方数非负、零指数幂底数不为 等），再取交集，不能只想当然． 辨析02 判断同一函数要看定义域与对应关系 两个函数是同一函数，要求定义域相同且对应关系相同，与自变量用什么字母无关．只看化简后的式子相同就下结论，往往会忽略定义域的差别（如 与 ）． 辨析03 分段函数是一个函数 分段函数在定义域的不同子集上用不同的解析式表示，它是一个函数，不是几个函数．它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 辨析04 单调区间不能用并集符号连接 函数的单调区间是区间，多个单调区间之间用"和"或逗号分隔，不能用并集符号""．例如 在 和 上都单调递减，但不能说它在 上单调递减． 辨析05 单调性强调"任意性" 单调性要求区间内任意两个自变量的值都满足同一不等关系，不能用几个特殊值的大小来判断．证明单调性要用定义法：取值、作差、变形、定号． 辨析06 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，不必再验证 与 的关系． 辨析07 奇函数在 处有定义则 若奇函数 在 处有定义，则由 得 ，这是求参数的常用突破口；但奇函数在 处不一定有定义，要具体分析． 辨析08 零点是实数，不是点 函数 的零点是一个实数 ，它满足 ，而不是点 ．要注意把"零点"与"函数图象与 轴的交点 "区分开． 辨析09 零点存在定理只判断"存在"不判断"个数" 零点存在定理的条件是：函数图象在 上连续不断，且 ，此时在 内至少有一个零点．它只能判断零点存在，不能确定零点的个数； 是"有零点"的充分不必要条件． 辨析10 用函数模型要检验实际意义 用函数模型解决实际问题时，自变量的取值必须符合实际意义（如长度、时间非负，价格为正等）；求出结果后还要检验是否符合实际，不能只做纯数学计算． 辨析11 分段函数的单调性要分段讨论且盯住接点 判断分段函数在整个定义域上的单调性，既要分别判断每一段上的单调性，还要比较接点处两侧函数值的大小（如 时的上界与 时的下界）：只有各段单调且接点处不出现"跳升"，才能说函数在整个定义域上单调递增．此外，分段函数的值域是各段值域的并集，求最值时要比较各段的最值后再取． 【题型一】函数的概念与定义域 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）函数 的定义域是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A．与　　 B．与.　　 C．与　　 D．与 【题型二】函数的表示法与分段函数 【例2-1】下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】若函数满足，则的解析式为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-1】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（　　） A． 　　B． C． 　　D． 【变式2-2】幂函数在上递减，则实数（　　） A． 　　B． 　　C．2 　　D．2或 【题型三】函数的单调性与最值 【例3】（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列函数在 上单调递增的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中）下列函数在其定义域上是减函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型四】函数的奇偶性 【例4】（25-26高一上·湖北武汉·期中）下列函数为奇函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式4-1】下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式4-2】已知为偶函数，为奇函数，且，则（　　） A． 　　B．1 　　C． 　　D．3 【题型五】函数的图象与变换 【例5】对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【变式5-1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【题型一】忽略定义域的限制条件 【例1】若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（　　） A．[1,6]　　 B．[2,5]　　 C．[2,6]　　 D．[4,7] 易错警示　 求定义域时容易只看根号、忘了分母的限制条件．把每一部分的限制都列出来，最后取交集，才能得到正确结果． 【变式1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式1-2】函数的单调递增区间为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型二】分段函数求值时"段"判断错误 【例2】（24-25高一上·天津·期中）设函数，则不等式的解集是（　　） A． 　B． 　C． D． 易错警示　 求 时，内层结果要重新判断落在哪一段，再代入相应解析式，不能一直用同一段的式子． 【变式2-1】（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数，则（　　） A．9 　　B．10 　　C．11 　　D．12 【变式2-2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数.在上单调递增，则a的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型三】对函数零点的理解有误 【例3】（25-26高一上·辽宁协作体·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（　　） A．－1 　　B． 　　C．1 　　D．2 易错警示　 函数的零点是一个实数（方程 的根），不是点．"图象与 轴的交点 "与"零点 "要区分清楚． 【变式3-1】（25-26高一上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁实验中学·期中）若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型一】奇偶性与单调性综合（抽象函数） 【例1】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为________． 【变式1-1】（25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（　　） A．减函数且最小值是-8 　　B．减函数且最大值是-8　　C．增函数且最小值是8 　　D．增函数且最大值是8 【变式1-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且 都有不等式 ，且，则不等式 的解集是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型二】函数零点的个数与参数范围 【例2】（25-26高一上·辽宁营口市九师联盟·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中）下列区间中，一定包含函数的零点的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-2】（25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型三】函数模型的实际应用 【例3】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过多少小时，才能驾驶？（附：，）（　　） A．4 　　B．5 　　C．6 　　D．7 【变式3-1】某工厂生产某产品的固定成本为 元，每生产一件产品成本增加 元．若产量为 件，总成本为 元，则 关于 的函数解析式为（　　） A．　　B．　C．　　D． 【变式3-2】用长为 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形面积 （m）关于其一边长 （m）的函数解析式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【题型一】定义域求解模型 【模型解读】 求函数的定义域，就是把使解析式有意义的自变量取值条件全部列出来，再取交集． 结论：分母不为 ；偶次根式被开方数非负；根式在分母上时要严格大于 ；零指数幂与负指数幂底数不为 ． 【例1】已知函数，若，则（　　） A．4 　　B． 　　C．14 　　D． 【变式1-1】若函数的定义域为，则的定义域为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式1-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型二】求函数解析式模型 【模型解读】 根据已知条件求 ：已知 用换元法或配凑法；已知函数类型用待定系数法． 结论：换元法注意求出新元的取值范围；待定系数法要把函数形式设全，再由条件列方程（组）求解． 【例2】下列四组函数中表示同一个函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-1】已知函数满足．若，则（　　） A．2 　　B．1 　　C．3 　　D．0 【变式2-2】已知定义在上的函数满足，则（　　） A．0 　　B．1 　　C．2 　　D．3 【题型三】单调性判断模型 【模型解读】 判断单调性可用定义法、图象法或复合函数"同增异减"；求单调区间要结合图象或配方找对称轴． 结论：二次函数的单调区间以对称轴为界；反比例函数在每个象限内单调，不能跨象限写单调区间． 【例3】已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（　　） A． B．或 C． D．或 【变式3-1】函数的单调递增区间为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式3-2】若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型四】奇偶性判断模型 【模型解读】 判断奇偶性分两步：先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系． 结论： 为偶函数； 为奇函数；定义域不对称则既非奇也非偶．多项式的偶函数只含偶次项，奇函数只含奇次项． 【例4】（25-26高一上·辽宁七校协作体·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式4-1】下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·联考）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（　　） A． 　　B．　　C． 　　D． 【题型五】分段函数模型 【模型解读】 分段函数求值要先判断自变量所在区间，再代入相应解析式；画图象要逐段进行，注意端点虚实． 结论：求 时先算内层，得到的结果再判断所在区间代入外层；分段函数的值域是各段值域的并集． 【例5】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，则（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式5-1】已知函数，则（　　） A．0 　　B．1 　　C．2 　　D． 【变式5-2】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知是定义在上的增函数，则的取值范围为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型六】函数的零点与参数范围模型 【模型解读】 求零点可解方程 ；讨论零点个数或求参数范围，常转化为两函数图象的交点问题，用数形结合求解． 结论：二次函数 的零点个数由判别式 决定； 两个零点， 一个零点， 无零点． 【例6】函数的零点所在区间为(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式6-1】函数的零点个数为（　　） A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 【变式6-2】对于函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【题型七】函数模型应用模型 【模型解读】 把实际问题转化为函数问题：先设自变量，再根据题意列出函数解析式，最后结合实际意义求解． 结论：常见模型有匀速运动 、成本利润 、几何图形的面积与周长的关系等；求出的自变量范围要符合实际． 【例7】某汽车以 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 （km）与时间 （h）之间的函数关系式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式7-1】某水池有水 m，以每分钟 m 的速度向外排水，则池中剩余水量 （m）与排水时间 （min）之间的函数关系式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式7-2】某商品每件成本 元，若按每件 元（）销售，每天可售出 件，则每天利润 （元）关于 的函数解析式为（　　） A．　 　B．　　 C．　　 D． 技巧 一句话要点 求定义域——"分母、根式都查一遍" 分式看分母不为 ，偶次根式看被开方数非负，根式在分母上要严格大于 ，最后取交集． 同一函数——"定义域和对应关系缺一不可" 定义域相同、对应关系相同才是同一函数，与自变量用什么字母无关． 求解析式——"换元或待定系数" 已知 用换元法；已知函数类型用待定系数法． 分段函数——"先定段再代入" 求分段函数的值，先看自变量落在哪一段，再代入对应解析式． 分段函数——"由内向外算" 求 时先算内层，再把结果判断所在区间后代入外层． 单调性——"取值作差定符号" 用定义证明单调性：取值、作差、变形、定号，四步走完． 单调区间——"不用并集符号" 多个单调区间之间用"和"连接，不能用""． 单调性比大小——"化到同一区间" 利用单调性比较大小，要先把自变量化到同一单调区间内． 奇偶性——"先看定义域是否对称" 定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数． 奇函数——" 好用" 若奇函数在 处有定义，则 ，常用于求参数． 偶函数——"对称区间单调性相反" 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数则相同． 零点——"零点、方程的根、交点" 函数零点 方程 的根 图象与 轴交点的横坐标． 零点存在定理——"连续且异号" 图象连续且 ，则 内至少有一个零点． 零点个数——"数形结合" 求零点个数或参数范围，常转化为两图象交点问题，画出图象分析． 函数模型——"设变量建模型再检验" 审题设变量、建立函数模型、求解、检验、作答，别忘了实际意义． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(8类) 考点清单(8类) 公式清单(12类) 辨析清单(11类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 函数的概念与三要素 1.函数的概念：设 、 是非空实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 ，． 2.三要素：定义域（自变量 的取值范围 ）、值域（函数值的集合 ）、对应关系 ．三要素中只要有一个不同，就是不同的函数；定义域和对应关系一旦确定，值域也随之确定． 3.求定义域的依据：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数非负；零指数幂与负指数幂的底数不为 ；若式子由几部分组成，定义域是各部分取值范围的交集． 4.求值域的方法：观察法、配方法、换元法、单调性法、基本不等式法等，要结合具体函数选择． 5.相等函数：定义域相同且对应关系相同（化简后一致）的两个函数是同一个函数，与自变量用什么字母表示无关． 6.特别提醒：判断两个函数是否为同一函数，必须同时看定义域和对应关系，只看解析式化简结果是不够的． 知识点02 函数的表示方法与分段函数 1.表示方法：解析法（用式子表示）、列表法（用表格表示）、图象法（用图形表示），三种方法各有优缺点，可根据需要选用． 2.求解析式：已知函数类型用待定系数法；已知 求 用换元法或配凑法；已知 满足的关系式可用方程组法． 3.分段函数：在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数． 4.分段函数求值：先判断自变量落在哪一段，再代入相应解析式；求 时要由内向外逐层代入． 5.分段函数的图象：逐段画出，注意分界点处图象的实心点（含端点）与空心点（不含端点）． 6.特别提醒：分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 知识点03 函数的单调性与最值 1.增函数：设函数 的定义域为 ，区间 ，对 上任意两个值 、，当 时，都有 ，则称 在 上单调递增． 2.减函数：当 时，都有 ，则称 在 上单调递减． 3.单调区间：函数在某个区间上单调递增（减），该区间叫做它的单调增（减）区间；多个单调区间之间用"和"或逗号连接，不能用并集符号""． 4.最值：对任意 ，都有 ，且存在 使 ，则 是 在 上的最大值；把""换成""即得最小值． 5.判断单调性的方法：定义法（取值、作差、变形、定号）、图象法、复合函数"同增异减"． 6.特别提醒：单调性是在区间上讨论的，不能写成" 上单调递减"；单调性是区间内的整体性质，与几个特殊点的大小无关． 知识点04 函数的奇偶性 1.偶函数：对定义域内任意 ，都有 ，则 是偶函数，图象关于 轴对称． 2.奇函数：对定义域内任意 ，都有 ，则 是奇函数，图象关于原点对称． 3.前提：奇偶性要求定义域关于原点对称，这是必要条件；定义域不关于原点对称则函数既不是奇函数也不是偶函数． 4.常用性质：奇函数若在 处有定义，则 ；偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同． 5.判断方法：先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系． 6.特别提醒：奇函数不一定在 处有定义；若奇函数在 处有定义，必有 ，这是解题的常用突破口． 知识点05 函数的零点与零点存在定理 1.零点的概念：使 成立的实数 叫做函数 的零点． 2.三者关系：函数 的零点 方程 的实数根 函数图象与 轴交点的横坐标． 3.零点存在定理：若函数 在区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，且 ，则 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使 ． 4.求零点：可直接解方程 ，也可看图象与 轴交点的横坐标；求方程 的根可转化为求函数 的零点． 5.特别提醒：零点存在定理只能判断零点的存在性，不能确定零点的个数； 是"有零点"的充分不必要条件． 知识点06 函数与方程、不等式之间的关系及应用 1.用函数观点看方程：方程 的解就是函数 的零点． 2.用函数观点看不等式：不等式 的解集，就是函数 的图象在 轴上方部分的点的横坐标的集合． 3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系：抛物线与 轴交点的横坐标是方程的根，也是相应不等式解集的端点． 4.常见函数模型：一次函数模型 、反比例函数模型 、二次函数模型 ，要根据实际问题的变化规律选择合适模型． 5.数学建模的一般步骤：审题 设变量 建立函数模型 求解 检验 作答． 6.特别提醒：用函数模型解决实际问题时，一定要注意自变量的取值范围符合实际意义，并检验结果是否符合实际． 知识点07 函数的值域与最值的常用求法 1.观察法：由定义域与对应关系直接看出取值范围，适用于一次函数、反比例函数等简单函数． 2.配方法：二次函数（或可化为二次的函数）配方成 ，再结合顶点是否在定义域内求值域． 3.换元法：令 等于某个含 的式子（如 ），转化为关于 的函数；换元时必须同时写出新元 的取值范围． 4.单调性法：先判定函数在定义域（或所给区间）上的单调性，再由端点值与极值求最值． 5.分离常数法：分式函数化为"常数 + 分式"的形式（如 ），再由分式的取值范围求值域． 6.特别提醒：求值域必须紧扣定义域；分段函数的值域是各段值域的并集，不是各段值域的简单拼接． 知识点08 函数图象的变换（平移、对称、翻折） 1.平移： 的图象向左平移 个单位得 ，向右平移 个单位得 ；向上平移 个单位得 ，向下平移 个单位得 ——口诀"左加右减、上加下减"． 2.对称： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于原点对称． 3.翻折： 是把 轴下方的图象翻到上方； 是保留 轴右侧的图象，再把它翻到左侧（左侧与右侧关于 轴对称）． 4.特别提醒："左加右减"只作用于自变量 ；写成 与 的效果完全不同，切勿混淆． 考点01 函数的概念与定义域 考点内容：函数的概念；三要素；相等函数的判断；函数定义域的求法． 常见考法： ① 求给定解析式的函数的定义域 ② 判断两个函数是否为同一函数 ③ 由定义域求参数的取值范围 ④ 求函数值、由函数值求自变量 ⑤ 求抽象函数的定义域 易错提醒：求定义域要把所有限制条件都列全（分母不为 、被开方数非负等）再取交集，不要漏项． 考点02 函数的表示法与分段函数 考点内容：三种表示方法；求函数解析式；分段函数求值与图象． 常见考法： ① 求函数的解析式（换元法、待定系数法） ② 分段函数求值 ③ 已知分段函数的值求自变量 ④ 画分段函数的图象 ⑤ 求分段函数的值域 易错提醒：求分段函数的值要先判断自变量落在哪一段；含 的要由内向外逐层代入． 考点03 函数的单调性与最值 考点内容：增函数、减函数的定义；单调区间的表示；用定义或图象判断单调性；由单调性求参数． 常见考法： ① 判断或证明函数的单调性 ② 求函数的单调区间 ③ 由单调性比较大小 ④ 由单调性求参数范围 ⑤ 求函数的最值 易错提醒：多个单调区间之间不能用""连接；比较大小要先把自变量化到同一单调区间． 考点04 函数的奇偶性 考点内容：奇函数、偶函数的定义；图象的对称性；奇偶性的判断与应用． 常见考法： ① 判断函数的奇偶性 ② 由奇偶性求解析式 ③ 由奇偶性求参数 ④ 利用奇偶性比较大小、解不等式 ⑤ 奇偶性与单调性的综合 易错提醒：判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系． 考点05 函数的零点 考点内容：零点的概念；函数、方程、图象三者的关系；零点存在定理；零点个数． 常见考法： ① 求函数的零点 ② 判断零点所在的区间 ③ 求零点的个数 ④ 由零点存在定理求参数范围 ⑤ 函数图象交点问题 易错提醒：零点存在定理只能判断"存在"，不能确定个数； 是"有零点"的充分不必要条件． 考点06 函数模型及其应用 考点内容：一次函数、反比例函数、二次函数模型；从实际问题中抽象函数关系；数学建模． 常见考法： ① 用函数模型求最值 ② 分段函数模型的实际应用 ③ 建立函数模型解决最优化问题 ④ 由图象识别函数模型 易错提醒：实际问题中自变量的取值范围要符合实际意义，得到结果后要检验是否符合实际． 考点07 函数的值域与最值 考点内容：值域的概念；观察法、配方法、换元法、单调性法求最值；分段函数的值域；由值域（最值）反求参数． 常见考法： ① 用配方法求二次函数在闭区间上的最值（判断顶点是否在区间内） ② 用换元法求含根式或分式函数的值域 ③ 由单调性求函数的最值，或由最值求参数的取值范围 ④ 求分段函数的值域（各段值域取并集） ⑤ 由函数的值域（或最值）反求参数的取值范围 易错提醒：换元后必须写明新元的取值范围；二次函数在闭区间上求最值要先看顶点是否在区间内． 考点08 函数图象与变换 考点内容：平移、对称、翻折的变换规律；由解析式识别图象；由图象判断参数的符号． 常见考法： ① 按"左加右减、上加下减"写出平移后的解析式 ② 由图象判断解析式中参数（如 、）的符号 ③ 由 的图象画出 或 的图象 ④ 利用图象求方程解的个数或不等式的解集 ⑤ 由图象的对称性判断函数的奇偶性 易错提醒：变换的对象要看清——作用在 上是"左加右减"，作用在整个函数值上才是"上加下减"． 1 常见函数及其图象 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 一次函数 （） 图象为直线， 时单调递增， 时单调递减 2 反比例函数 （） 图象为双曲线， 时在每一象限内单调递减 3 二次函数（一般式） （） 时开口向上， 时开口向下 4 二次函数（顶点式） ，顶点为 对称轴为直线 ，最值为 2 函数性质与零点 序号 名称 公式（符号语言） 说明 5 增函数的定义 其中 、 是区间 内任意两个值 6 奇偶性的定义 为偶函数； 为奇函数 前提是定义域关于原点对称 7 零点存在定理 在 上连续，且 则 内至少存在一个零点 8 二次函数的零点 两个零点； 一个零点； 无零点 9 平移变换 左移 ； 上移 只作用于自变量是"左加右减"，作用于函数值是"上加下减" 10 对称变换 关于 轴对称； 关于 轴对称 关于原点对称 11 翻折变换 下翻上； 右翻左 先看翻折对象是自变量还是函数值整体 12 闭区间上二次函数的最值 （） 顶点在区间内取最小值 ，否则取离对称轴较远的端点值 辨析01 研究函数要先看定义域 定义域是函数的基础，定义域不同则函数不同．求定义域要把所有限制条件都列全（分母不为 、偶次根式被开方数非负、零指数幂底数不为 等），再取交集，不能只想当然． 辨析02 判断同一函数要看定义域与对应关系 两个函数是同一函数，要求定义域相同且对应关系相同，与自变量用什么字母无关．只看化简后的式子相同就下结论，往往会忽略定义域的差别（如 与 ）． 辨析03 分段函数是一个函数 分段函数在定义域的不同子集上用不同的解析式表示，它是一个函数，不是几个函数．它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 辨析04 单调区间不能用并集符号连接 函数的单调区间是区间，多个单调区间之间用"和"或逗号分隔，不能用并集符号""．例如 在 和 上都单调递减，但不能说它在 上单调递减． 辨析05 单调性强调"任意性" 单调性要求区间内任意两个自变量的值都满足同一不等关系，不能用几个特殊值的大小来判断．证明单调性要用定义法：取值、作差、变形、定号． 辨析06 判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．若定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数，不必再验证 与 的关系． 辨析07 奇函数在 处有定义则 若奇函数 在 处有定义，则由 得 ，这是求参数的常用突破口；但奇函数在 处不一定有定义，要具体分析． 辨析08 零点是实数，不是点 函数 的零点是一个实数 ，它满足 ，而不是点 ．要注意把"零点"与"函数图象与 轴的交点 "区分开． 辨析09 零点存在定理只判断"存在"不判断"个数" 零点存在定理的条件是：函数图象在 上连续不断，且 ，此时在 内至少有一个零点．它只能判断零点存在，不能确定零点的个数； 是"有零点"的充分不必要条件． 辨析10 用函数模型要检验实际意义 用函数模型解决实际问题时，自变量的取值必须符合实际意义（如长度、时间非负，价格为正等）；求出结果后还要检验是否符合实际，不能只做纯数学计算． 辨析11 分段函数的单调性要分段讨论且盯住接点 判断分段函数在整个定义域上的单调性，既要分别判断每一段上的单调性，还要比较接点处两侧函数值的大小（如 时的上界与 时的下界）：只有各段单调且接点处不出现"跳升"，才能说函数在整个定义域上单调递增．此外，分段函数的值域是各段值域的并集，求最值时要比较各段的最值后再取． 【题型一】函数的概念与定义域 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）函数 的定义域是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，需 且 ，即 且 ，故定义域为 ．故选 B． 【变式1-1】下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，，定义域为R，=，不是偶函数，不符合题意；对于B，，定义域为R，，是偶函数，符合题意；对于C， ，定义域为R，，是奇函数，不符合题意；对于D，，定义域为，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，不符合题意；故选：　　B. 【变式1-2】已知奇函数的定义域为，且在上单调递减．若，则的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据奇函数的性质可知在和上单调递减，且，所以的解集为.故选：B 【变式1-3】（多选）下列各组函数是同一个函数的是（　　） A．与　　 B．与.　　 C．与　　 D．与 【答案】ABC 【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；对于选项B：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系相同，是同一个函数，故B正确；对于选项C：的定义域，的定义域，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.故选：ABC. 【题型二】函数的表示法与分段函数 【例2-1】下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增.A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意；B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意；C：二次函数的对称轴为，开口向上，所以该函数在上单调递增，故C符合题意；D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意.故选：C 【例2-2】若函数满足，则的解析式为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】，令，则，故，所以.故选：C 【变式2-1】若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（　　） A． 　　B． 　 C． 　　D． 【答案】A 【详解】∵函数是奇函数，∴，∵时，，设时，则，∴，∴，即时，.故选：A. 【变式2-2】幂函数在上递减，则实数（　　） A． 　　B． 　　C．2 　　D．2或 【答案】C 【详解】因为为幂函数，则，即，解得或，当时，在上递减，所以满足题意，当时，在上递增，所以不满足题意，综上，实数，故选：　　C. 【题型三】函数的单调性与最值 【例3】（25-26高一上·河北石家庄·期中）下列函数在 上单调递增的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】A 中一次函数 ，在 上单调递增，正确；B 中 ，单调递减；C 中 在 上单调递减；D 中 在 上单调递减．故选 A． 【变式3-1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】A选项：为偶函数，不符合题意，故A不正确；B选项：为奇函数，且在区间上单调递增，故B正确；C选项：为对勾函数，且在区间上单调递减，不合题意，故C不正确；D选项：令，则，所以不是奇函数，故D不正确；故选：B 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁大连市普兰店区第九中学·期中）下列函数在其定义域上是减函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】，定义域为，且在单调递减，在定义域上不是减函数，A错，，定义域为，因为在单调递增，所以在单调递减，即在其定义域上是减函数，B对，定义域域为，在单调递增，C错，定义域为，在区间单调递增，在定义域上不是减函数，D错，故选：B 【题型四】函数的奇偶性 【例4】（25-26高一上·湖北武汉·期中）下列函数为奇函数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】A、B 为偶函数；C 中 ，也不是奇函数；D 中 ，且定义域为 ，是奇函数．故选 D． 【变式4-1】下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】选项A：函数的定义域是，， 不是偶函数，故A错误；选项B：函数，定义域关于原点对称，但，是奇函数，故B错误；选项C：函数的定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数，故C错误；选项D：函数的定义域是，是偶函数，函数图像开口向上，对称轴为轴，函数在上单调递减，故D正确．故选：　　D． 【变式4-2】已知为偶函数，为奇函数，且，则（　　） A． 　　B．1 　　C． 　　D．3 【答案】D 【详解】因为为偶函数，为奇函数，则，所以，两式相加得，即.故选：D． 【题型五】函数的图象与变换 【例5】对于函数，“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】函数是偶函数，则，此时，，因此的图象关于轴对称，但当的图象关于轴对称时，未必推出是偶函数，如，的图象也关于轴对称，但并非偶函数，故“的图象关于轴对称”是“是偶函数”的必要不充分条件．故选：　　B. 【变式5-1】下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项：为偶函数，不符合题意，故A不正确；B选项：为奇函数，且在区间上单调递增，故B正确；C选项：为对勾函数，且在区间上单调递减，不合题意，故C不正确；D选项：令，则，所以不是奇函数，故D不正确；故选：B 【题型一】忽略定义域的限制条件 【例1】若函数. 的定义域是[4,25]，则函数的定义域是（　　） A．[1,6]　　 B．[2,5]　　 C．[2,6]　　 D．[4,7] 【答案】D 【详解】函数的定义域是的定义域是，故对于函数，有，解得，从而函数的定义域是.故选：D 易错警示　 求定义域时容易只看根号、忘了分母的限制条件．把每一部分的限制都列出来，最后取交集，才能得到正确结果． 【变式1-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，所以在中，，则在中，，解得，故的定义域为.故选：B 【变式1-2】函数的单调递增区间为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】由题意可得，即，解得或，令（或），则，因为的对称轴为，所以在上递减，在上递增，因为在定义域内递增，所以在上递减，在上递增.故选：C 【题型二】分段函数求值时"段"判断错误 【例2】（24-25高一上·天津·期中）设函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，则，不等式，当时，，解得，因此；当时，，即，解得或，因此或，所以不等式的解集是.故选：B 易错警示　 求 时，内层结果要重新判断落在哪一段，再代入相应解析式，不能一直用同一段的式子． 【变式2-1】（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数，则（　　） A．9 　　B．10 　　C．11 　　D．12 【答案】D 【详解】由函数，可知.故选：D 【变式2-2】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数.在上单调递增，则a的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递增，所以 .故选：A 【题型三】对函数零点的理解有误 【例3】（25-26高一上·辽宁协作体·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（　　） A．－1 　　B． 　　C．1 　　D．2 【答案】C 【详解】当时，曲线与恰有一个交点，即时，方程只有一个实数根，方程化简为，问题可转化为函数在时只有一个零点，由在上为偶函数，则有，解得.时，函数，方程在时，只有一个解，所以当时，曲线与恰有一个交点.故选：C 易错警示　 函数的零点是一个实数（方程 的根），不是点．"图象与 轴的交点 "与"零点 "要区分清楚． 【变式3-1】（25-26高一上·辽宁大连市滨城高中联盟·期中）函数在下列哪个区间内一定有零点（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】因为，，，，，则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为故选：　　B. 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁实验中学·期中）若函数，则下列区间中一定包含零点的区间是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】由已知：当时，，所以函数在上不存在零点，当时，因为函数和函数在单调递减，所以函数在上单调递减，又，，，根据零点存在定理可知，一定包含零点的区间为，故选：　　C. 【题型一】奇偶性与单调性综合（抽象函数） 【例1】已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【详解】因为，所以，所以在上严格增函数，所以，．故答案为： 【变式1-1】（25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中）如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（　　） A．减函数且最小值是-8 　　B．减函数且最大值是-8　　 C．增函数且最小值是8 　　D．增函数且最大值是8 【答案】C 【详解】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减，所以在单调递增，对，，因为在最小值是，所以，又，所以，即在单调递增，且最小值是.故选：　　C. 【变式1-2】（25-26高一上·天津·阶段检测）设奇函数的定义域为，对任意的，且 都有不等式 ，且，则不等式 的解集是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】设函数，由为上的奇函数，得，则函数是上的偶函数，又，依题意，对任意的，且，都有，则函数在上单调递增，由，得，不等式，则得①或②，由①可得，解得；由②可得,即得，解得.综上可得，原不等式的解集为.故选：D 【题型二】函数零点的个数与参数范围 【例2】（25-26高一上·辽宁营口市九师联盟·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】当时，，故在区间上没有零点；易得在上单调递减，又，所以当时，，故在上没有零点，在上没有零点，又，所以在上有零点.故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中）下列区间中，一定包含函数的零点的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】因为的定义域为R，且连续，，所以函数的零点所在区间为故选：　　C. 【变式2-2】（25-26高一上·辽宁锦州市铁路高级中学·期中）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】因为，则，，又，，由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是，故选：　　C. 【题型三】函数模型的实际应用 【例3】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，根据国家规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，血液中的酒精含量达到.如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过多少小时，才能驾驶？（附：，）（　　） A．4 　　B．5 　　C．6 　　D．7 【答案】D 【详解】假设经过小时才能驾驶，则，即，即，；故选：　　D. 【变式3-1】某工厂生产某产品的固定成本为 元，每生产一件产品成本增加 元．若产量为 件，总成本为 元，则 关于 的函数解析式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】总成本 固定成本 可变成本，即 ．故选 A． 【变式3-2】用长为 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形面积 （m）关于其一边长 （m）的函数解析式为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】矩形周长为 ，则相邻两边长之和为 ，另一边长为 ，故 ．故选 B． 【题型一】定义域求解模型 【模型解读】 求函数的定义域，就是把使解析式有意义的自变量取值条件全部列出来，再取交集． 结论：分母不为 ；偶次根式被开方数非负；根式在分母上时要严格大于 ；零指数幂与负指数幂底数不为 ． 【例1】已知函数，若，则（　　） A．4 　　B． 　　C．14 　　D． 【答案】A 【详解】设，则，又的定义域为，从而是奇函数，即，故，即.因为，所以，解得，则，故.故选：A 【变式1-1】若函数的定义域为，则的定义域为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】因为函数定义域为，所以，解得：，所以函数的定义域为.故选：C 【变式1-2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． 　　B．　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，所以，解得，根据解析式有意义可知，即，综上，.所以函数的定义域为.故选：A． 【题型二】求函数解析式模型 【模型解读】 根据已知条件求 ：已知 用换元法或配凑法；已知函数类型用待定系数法． 结论：换元法注意求出新元的取值范围；待定系数法要把函数形式设全，再由条件列方程（组）求解． 【例2】下列四组函数中表示同一个函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】对于A：的定义域为的定义域为，A中两个函数不表示同一个函数；对于B：两个函数的对应关系不一致，中两个函数不表示同一个函数；对于C：与，解析式相同，且两个函数的定义域均为，中两个函数表示同一个函数；对于D：两个函数的定义域不一致，中两个函数不表示同一个函数；故选：　　C. 【变式2-1】已知函数满足．若，则（　　） A．2 　　B．1 　　C．3 　　D．0 【答案】C 【详解】令，因为，且，所以，可得，故选：　　C. 【变式2-2】已知定义在上的函数满足，则（　　） A．0 　　B．1 　　C．2 　　D．3 【答案】B 【详解】由，以替换，得，又因为①，所以，所以是以4为周期的周期函数.在①中，令，得，所以，所以.故选：B 【题型三】单调性判断模型 【模型解读】 判断单调性可用定义法、图象法或复合函数"同增异减"；求单调区间要结合图象或配方找对称轴． 结论：二次函数的单调区间以对称轴为界；反比例函数在每个象限内单调，不能跨象限写单调区间． 【例3】已知偶函数在上单调递增，且，则的解集是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】偶函数在上单调递增，故函数在上单调递减，，，当时，，故；当时，不成立；当时，，.综上所述：或.故选：B 【变式3-1】函数的单调递增区间为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】令，则或，由抛物线的开口向上，故在上单调递减，在上单调递增，根据复合函数的单调性，则的单调递增区间为.故选：C 【变式3-2】若函数对恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】令，因为，所以，所以当时，恒成立，即，因为在区间上单调递减，在上单调递增，所以，所以.故选：A 【题型四】奇偶性判断模型 【模型解读】 判断奇偶性分两步：先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系． 结论： 为偶函数； 为奇函数；定义域不对称则既非奇也非偶．多项式的偶函数只含偶次项，奇函数只含奇次项． 【例4】（25-26高一上·辽宁七校协作体·期中）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】是偶函数，在内为增函数，不合题意；是奇函数，但在定义域内不是减函数，不合题意；是偶函数，在为增函数，不合题意；作函数的图象，观察图象可得是奇函数，且在定义域内为减函数，符合题意.　　故选：D 【变式4-1】下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，根据对勾函数的性质可知函数在定义域内不是增函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，又因为，所以函数是奇函数，因为函数和都是上的增函数，所以函数在定义域内是增函数，故B正确；对于C，函数的定义域为，因为函数和都是上的减函数，所以函数在定义域内是减函数，故C错误；对于D，函数的定义域为，又因为，所以函数是偶函数，故D错误.故选：　　B. 【变式4-2】（25-26高一上·辽宁葫芦岛市县协作校·联考）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】函数是偶函数，且在上单调递增，不符合题意；函数是偶函数，且在上单调递减，符合题意；函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．故选：　　C． 【题型五】分段函数模型 【模型解读】 分段函数求值要先判断自变量所在区间，再代入相应解析式；画图象要逐段进行，注意端点虚实． 结论：求 时先算内层，得到的结果再判断所在区间代入外层；分段函数的值域是各段值域的并集． 【例5】（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知，则（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】因为，所以，故.故选：A. 【变式5-1】已知函数，则（　　） A．0 　　B．1 　　C．2 　　D． 【答案】D 【详解】，．故答案为：　　D. 【变式5-2】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知是定义在上的增函数，则的取值范围为（　　） A． 　　B．　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】当时，函数在上单调递增，在上单调递增，且，符合题意；当时，由，解得.故的取值范围为.故选：D 【题型六】函数的零点与参数范围模型 【模型解读】 求零点可解方程 ；讨论零点个数或求参数范围，常转化为两函数图象的交点问题，用数形结合求解． 结论：二次函数 的零点个数由判别式 决定； 两个零点， 一个零点， 无零点． 【例6】函数的零点所在区间为(　　) A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】∵f(x)定义域为R，且f(x)在R上单调递增，又∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0，∴f(x)在(1，2)上存在唯一零点.故选：　　B. 【变式6-1】函数的零点个数为（　　） A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3 【答案】C 【详解】由，得，在同一坐标系中，作出和的图象，观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为.故选：C　　　　 【变式6-2】对于函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，结合选项，只考虑上的情况即可，设，则，因为，故，即，故在上单调递增，由于，，，结合选项知函数的零点所在的区间为，故选：B． 【题型七】函数模型应用模型 【模型解读】 把实际问题转化为函数问题：先设自变量，再根据题意列出函数解析式，最后结合实际意义求解． 结论：常见模型有匀速运动 、成本利润 、几何图形的面积与周长的关系等；求出的自变量范围要符合实际． 【例7】某汽车以 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 （km）与时间 （h）之间的函数关系式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】路程 速度 时间，故 ．故选 A． 【变式7-1】某水池有水 m，以每分钟 m 的速度向外排水，则池中剩余水量 （m）与排水时间 （min）之间的函数关系式是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】剩余水量 原有水量 已排水量，故 ．故选 B． 【变式7-2】某商品每件成本 元，若按每件 元（）销售，每天可售出 件，则每天利润 （元）关于 的函数解析式为（　　） A．　　 B．　 C．　　 D． 【答案】B 【详解】每件利润为 元，每天售出 件，故 ．故选 B． 技巧 一句话要点 求定义域——"分母、根式都查一遍" 分式看分母不为 ，偶次根式看被开方数非负，根式在分母上要严格大于 ，最后取交集． 同一函数——"定义域和对应关系缺一不可" 定义域相同、对应关系相同才是同一函数，与自变量用什么字母无关． 求解析式——"换元或待定系数" 已知 用换元法；已知函数类型用待定系数法． 分段函数——"先定段再代入" 求分段函数的值，先看自变量落在哪一段，再代入对应解析式． 分段函数——"由内向外算" 求 时先算内层，再把结果判断所在区间后代入外层． 单调性——"取值作差定符号" 用定义证明单调性：取值、作差、变形、定号，四步走完． 单调区间——"不用并集符号" 多个单调区间之间用"和"连接，不能用""． 单调性比大小——"化到同一区间" 利用单调性比较大小，要先把自变量化到同一单调区间内． 奇偶性——"先看定义域是否对称" 定义域不关于原点对称，函数既不是奇函数也不是偶函数． 奇函数——" 好用" 若奇函数在 处有定义，则 ，常用于求参数． 偶函数——"对称区间单调性相反" 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数则相同． 零点——"零点、方程的根、交点" 函数零点 方程 的根 图象与 轴交点的横坐标． 零点存在定理——"连续且异号" 图象连续且 ，则 内至少有一个零点． 零点个数——"数形结合" 求零点个数或参数范围，常转化为两图象交点问题，画出图象分析． 函数模型——"设变量建模型再检验" 审题设变量、建立函数模型、求解、检验、作答，别忘了实际意义． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $