第一章集合与常用逻辑用语（期中知识清单）高一数学上学期人教B版

第1章 集合与常用逻辑用语　知识清单 一、核心知识总结（必背・章节重点） 集合及其表示方法 1.1 集合的概念 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成一个集合（有时简称为集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素。 示例： 由所有小于 的自然数组成的集合，其元素是 ；图书馆中某一学科的图书组成的集合，其元素是这些图书。 1.2 元素与集合的关系 集合通常用英文大写字母 表示，集合的元素通常用英文小写字母 表示。 如果 是集合 的元素，就记作 ，读作“ 属于 ”；如果 不是集合 的元素，就记作 ，读作“ 不属于 ”。 示例： 若 是由所有小于 的自然数组成的集合，则 ，。 1.3 集合中元素的三个特性 根据集合的概念可知，集合的元素具有以下特点： 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的，给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素，应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 示例： “本班高个子同学”不能组成集合（不满足确定性）；由单词“success（成功）”中的所有英文字母组成的集合只含 这 个元素（满足互异性）。 1.4 空集 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作 。 示例： 方程 的所有解组成的集合不含任何元素，是空集，即 。 1.5 集合的相等 给定两个集合 和 ，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作 。 示例： 由 组成的集合 与 相等，即 。 1.6 有限集与无限集 含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。空集可以看成包含 个元素的集合，所以空集是有限集。 示例： 是有限集；自然数集 是无限集。 1.7 常用数集及其符号 名称 含义 记号 自然数集 所有非负整数组成的集合 正整数集 自然数集中去掉元素 之后的集合 整数集 所有整数组成的集合 有理数集 所有有理数组成的集合 实数集 所有实数组成的集合 示例： ，，， 且 。 1.8 列举法 把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法。 示例： 由两个元素 组成的集合可表示为 ；不大于 的自然数组成的集合可表示为 。 注意： 用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序，例如 与 表示同一个集合。 1.9 描述法 一般地，如果属于集合 的任意一个元素都具有性质 ，而不属于集合 的元素都不具有这个性质，则性质 称为集合 的一个特征性质。此时，集合 可以用它的特征性质 表示为 。这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法。 示例： 大于 的数组成的集合 可表示为 ；被 整除的整数组成的集合可表示为 。 1.10 区间及其表示 如果 ，集合 可简写为 ，称为闭区间；集合 可简写为 ，称为开区间；集合 可简写为 ，集合 可简写为 ，它们都称为半开半闭区间。 其中 分别称为区间的左、右端点， 称为区间的长度。实数集 可表示为 ；集合 可表示为 ，集合 可表示为 ，集合 可表示为 ，集合 可表示为 。 示例： 集合 可简写为闭区间 ；集合 可表示为 。 图1：区间 在数轴上的表示（ 处为实心点， 处为空心点） 集合的基本关系 2.1 子集 一般地，如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素，那么集合 称为集合 的子集，记作 （或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）。 对应地，如果 不是 的子集，则记作 （或 ），读作“ 不包含于 ”（或“ 不包含 ”）。 示例： 若 ，，则 。 注意： 依据子集的定义，任意集合 都是它自身的子集，即 ；空集是任意一个集合 的子集，即 。对于集合 ，如果 ，，则 。 2.2 真子集 一般地，如果集合 是集合 的子集，并且 中至少有一个元素不属于 ，那么集合 称为集合 的真子集，记作 （或 ），读作“ 真包含于 ”（或“ 真包含 ”）。 示例： 若 ，，则 ，且 但 ，所以 是 的真子集，即 。 图2： 是 的真子集 注意： 对于集合 ，如果 ，，则 。 2.3 集合的相等与子集的关系 一般地，由集合相等以及子集的定义可知： （1）如果 且 ，则 ； （2）如果 ，则 且 。 示例： 若 ，，则 且 ，所以 。 集合的基本运算 3.1 交集 一般地，给定两个集合 ，由既属于 又属于 的所有元素（即 和 的公共元素）组成的集合，称为 与 的交集，记作 ，读作“ 交 ”。 图3：（阴影部分） 示例： 。 注意： 交集运算具有以下性质，对于任意两个集合 ，都有：；；；如果 ，则 ，反之也成立。 3.2 并集 一般地，给定两个集合 ，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为 与 的并集，记作 ，读作“ 并 ”。 图4：（阴影部分） 示例： 。 注意： 同时属于 和 的元素，在 中只出现一次。并集运算具有以下性质，对于任意两个集合 ，都有：；；；如果 ，则 ，反之也成立。 3.3 全集与补集 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用 表示。 如果集合 是全集 的一个子集，则由 中不属于 的所有元素组成的集合，称为 在 中的补集，记作 。 图5： 在 中的补集 （阴影部分） 示例： 若 ，，则 。 注意： 给定全集 及其任意一个子集 ，补集运算具有如下性质：；；。 命题与量词 4.1 命题 可供真假判断的陈述语句称为命题。判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。 一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断。 示例： “ 的算术平方根是 ”是真命题；“所有无理数都大于零”是假命题。 4.2 全称量词与全称量词命题 “所有”“任意”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示。含有全称量词的命题，称为全称量词命题。 全称量词命题就是形如“对集合 中的所有元素 ，”的命题，可简记为 。 示例： “任意给定实数 ，”是全称量词命题，可简记为 。 4.3 存在量词与存在量词命题 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示。含有存在量词的命题，称为存在量词命题。 存在量词命题就是形如“存在集合 中的元素 ，”的命题，可简记为 。 示例： “存在有理数 ，使得 ”是存在量词命题，可简记为 。 全称量词命题与存在量词命题的否定 5.1 命题的否定 一般地，对命题 加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非 ”或“ 的否定”。 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。 示例： “”是真命题，则它的否定“”是假命题。 5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题 ；全称量词命题“”的否定是存在量词命题 。 示例： “存在实数的平方小于 ”的否定是“每一个实数的平方都不小于 ”，即 的否定是 。 充分条件、必要条件 6.1 充分条件与必要条件 在“如果 ，那么 ”形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论。若“如果 ，那么 ”是一个真命题，则称由 可以推出 ，记作 ，读作“ 推出 ”；否则，称由 推不出 ，记作 ，读作“ 推不出 ”。 当 时，我们称 是 的充分条件， 是 的必要条件；当 时，我们称 不是 的充分条件， 不是 的必要条件。 示例： 因为“如果 ，则 ”是真命题，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件。 6.2 充要条件 一般地，如果 且由 推不出 ，则称 是 的充分不必要条件；如果由 推不出 且 ，则称 是 的必要不充分条件；如果 且 ，则称 是 的充分必要条件（简称为充要条件）。此时，也读作“ 与 等价”“ 当且仅当 ”。 示例： 因为 ，但 ，所以 是 的充分不必要条件；在 中，“等角对等边、等边对等角”，所以 是 的充要条件。 图6：当 ， 且 时， 是 的充分条件， 是 的必要条件 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 含 个元素的集合的子集个数 集合 含有 个元素，则 的子集共有 个，真子集有 个，非空真子集有 个。 1.2 有限集元素个数公式 设 为有限集，用 表示有限集 所含元素的个数，则 。 【使用提醒】 公式只适用于有限集；当 时退化为 。 1.3 集合运算的等价条件 当且仅当 ； 当且仅当 ； 当且仅当 。 1.4 补集的运算律（德摩根律） 设全集为 ，则 ，。 1.5 空集在含参问题中的地位 空集 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。凡涉及“”的含参问题，必须先讨论 的情形。 1.6 充分、必要条件的集合判断 记 ，，则 当且仅当 是 的充分条件（即 是 的必要条件）； 当且仅当 是 的充要条件。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断集合之间的关系 先看 的每个元素是否都属于 ，再看 中是否有多余元素：都属 且无多余元素则 ，有多余元素则 。如 ，， 的元素都属于 且 多余，故 。 2.2 求集合的子集（真子集）个数 先确定元素个数 ，再套 公式；要逐一列举时，按元素个数为 分类写出，可一个不漏。 2.3 求交集、并集、补集 有限集直接取公共元素（交集）或合并元素（并集，重复元素只写一次）；连续数集（区间）在数轴上画图，观察公共部分或覆盖部分。如 ，，数轴上得 。 2.4 含参集合关系的分类讨论 由 求参数时，先分 与 两类； 时再解方程、验端点（开闭区间）。如 ， 且 ，需讨论 （此时 ）与 。 2.5 判断命题的真假 全称量词命题“”举一个反例即判假；存在量词命题“”找一个满足条件的元素即判真。 2.6 判断充分、必要条件 分别看“ 能否推出 ”和“ 能否推出 ”，再按 1.6 的集合包含关系或定义作答，注意“充分”“必要”的方向不要写反。 3. 集合运算与逻辑判断小技巧 技巧 要点 示例 数轴法 区间运算画数轴，端点实心空心看仔细 求 ，得 维恩图法 交、并、补关系复杂时画维恩图，用阴影标出目标集合 求 的阴影表示 特殊值法 判断命题真假用特殊值快速找反例或实例 判断“”取 即得反例 “且”“或”对应 “且”对应交集（两条件同时成立），“或”对应并集（至少一个成立） 且 即 4. 常见考试模型 4.1 求子集（真子集）个数模型 公式： 含 个元素的集合有 个子集、 个真子集、 个非空真子集。 限定： 空集 和集合本身都算子集；勿漏数。 示例： 如 含 个元素，子集共 个，真子集 个。 4.2 含参集合关系模型（由 求参数） 公式： 由 列方程或不等式，并讨论 。 限定： 先讨论 ；解出的参数代回检验，开闭区间的端点能否取到要单独验证。 示例： 如 ， 且 ，则 。 4.3 集合运算求参数模型 公式： 由交、并、补的结果反推参数，转化为方程或不等式求解。 限定： 端点能否取到（开区间与闭区间）要单独讨论。 示例： 如 ，，若 ，则 。 4.4 充分、必要条件判断模型 公式： 且 为充要条件； 但由 推不出 为充分不必要条件；由 推不出 但 为必要不充分条件。 限定： 判断方向勿反，“充分”看 ，“必要”看 。 示例： 如 ，， 但由 推不出 ，故 是 的充分不必要条件。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：由子集关系求参数时忘记讨论空集 典例： 已知集合 ，，且 ，求实数 的值。 错解： 解方程得 。由 知 ，令 或 ，得 或 。 正解： 。当 时，，满足 ；当 时，，由 或 得 或 。综上， 的值为 。 原因： 学生看到 就默认它“含有一个元素”，忽略了 时方程 无解、 为空集。而空集是任何集合的子集， 这一情形必须单独讨论。纠正要点：凡是“由 （或 ）求参数”，先问一句“ 会不会是空集？”，把 作为第一类情况处理。 易错点 2：把元素与集合、集合与集合的关系符号混用 典例： 用适当的符号（，，，）填空： ____ ； ____ 。 错解： ；。 正解： ；。 原因： 学生没有分清“元素”与“集合”是不同层次的对象。“”连接的是元素与集合（ 是元素，）；“（或 ）”连接的是集合与集合（ 是集合，）。混淆的根源是把“含一个元素的集合 ”误当成元素 本身。纠正要点：牢记“元素属于集合用 ，集合包含于集合用 ”，判断时先看等号左右是谁。 易错点 3：由并集求参数时忽略元素的互异性 典例： 已知集合 ，，且 ，求实数 的值。 错解： 由 得 ，于是 或 ，解得 或 或 。 正解： 由 得 ，则 或 ，得 或 或 。检验互异性：当 时，，出现重复元素，不满足集合元素的互异性，舍去；、 均满足。故 或 。 原因： 学生解完方程就直接作答，没有把求出的参数代回原集合检验。集合要求元素互异， 会使 中元素 与 重复，导致集合“退化”。纠正要点：凡由集合相等、包含、运算反求参数，求出值后必须代回检验三要素——元素是否重复（互异性）、是否符合集合定义、端点能否取到。 易错点 4：区间端点开闭写反 典例： 用区间表示集合 与 。 错解： ；。 正解： ；。 原因： 学生分不清“（含等号）”与“（不含等号）”对应区间的闭端点和开端点：有等号处用方括号（闭），无等号处用圆括号（开）。 中 取不到 ，所以 处必须是圆括号，不能写成 。纠正要点：读题时把每个不等号处“能不能取等”标出来，再逐一对应方括号（能取）或圆括号（不能取）；无穷大 处永远是圆括号。 易错点 5：全称量词命题的否定忘了换量词 典例： 写出命题“”的否定，并判断其真假。 错解： 命题的否定为“”，是假命题。 正解： 命题的否定为“”，是假命题。 原因： 学生对全称量词命题否定时，只否定了结论“”成“”，却忘了把全称量词“”同时换成存在量词“”。“否定一个全称量词命题”应同时做到两点：量词互变（ 与 互换）、结论否定。本例虽然真假性判断结果碰巧相同，但否定形式写错仍不得分。纠正要点：记忆口诀“全称变存在、存在变全称，结论都取反”。 易错点 6：充分条件与必要条件的方向搞反 典例： 设 ，，判断 是 的什么条件。 错解： 由 得 成立，所以 是 的充分条件，从而 是 的必要不充分条件。 正解： ，即 ；但由 推不出 。所以 是 的充分不必要条件。 原因： 学生判断出了“ 能推出 ”，却把“谁推出谁”与“谁是充分条件”对应反了。规定是“若 ，则 是 的充分条件、 是 的必要条件”，即“条件推出结论，条件是充分条件”。纠正要点：牢牢抓住方向——“”中，箭头出发的一方 是充分条件，箭头指向的一方 是必要条件；可用“小范围是充分条件（小推大）”辅助记忆。 学科网（北京）股份有限公司 $