专题03 常用逻辑用语（6个考点梳理，10题型解读+提升训练）（期中知识清单）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题03 常用逻辑用语 【清单01】命题 1.命题：可供真假判断的陈述语句就是命题． 2.判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题. 【清单02】量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． （3）常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 【清单03】全称命题与特称命题 1．全称命题 （1）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2．特称命题 （1）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 【清单4】全称命题与特称命题的否定 1.命题的否定对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定” 2.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 3.含有一个量词的命题的否定 （1）全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). （2）存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) 【清单5】充分条件与必要条件 如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 【清单6】充要条件 1.如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 2.如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 3.如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. 4．如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件 【知识拓广】： 1.等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推． 2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 【考点题型一】判断命题的真假 【例1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【变式1-1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【变式1-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【变式1-3】（多选）（2024高一·全国·专题练习）（多选）假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．物理好数学不一定好 B．数学好物理不一定好 C．数学不好物理一定不好 D．物理不好数学一定不好 【变式1-4】（多选）（23-24高一上·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 【考点题型二】根据命题的真假求参数（范围） 【例2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【变式2-4】（2024高一·全国·专题练习）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 【考点题型三】全称命题与特称命题真假的判断 【例3】（23-24高一下·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【变式3-1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．所有能被3整除的数都是奇数 C．， D．， 【变式3-2】（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（多选）（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 【变式3-4】（多选）（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下面四个命题，其中错误的是（    ） A．，恒成立； B．，； C．，； D．， 【考点题型四】根据存在量词命题的真假求参数 【例4】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）命题“存在，使得”是假命题，求实数a的取值范围． （2）若把（1）中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 【变式4-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【变式4-2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知集合，，命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课前预习）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围． 【变式4-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：“，”为真命题，求m的取值范围． 【考点题型五】根据全称量词命题的真假求参数 【例5】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（17-18高三上·福建三明·期中）已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【变式5-3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ． 【变式5-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题p：，，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【考点题型六】命题的否定及其真假的判断 【例6】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：实数的平方是非负数； (2)p：质数都是奇数； (3)p：方程有实数根； (4)p：菱形的对角线互相垂直且平分． 【变式6-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）设命题，则的否定为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【变式6-4】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【考点题型七】根据命题否定的真假求参数 【例7】（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【变式7-1】（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【变式7-2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知命题p：，都有，且¬p是假命题，求实数a的取值范围． 【变式7-4】（18-19高一·全国·课后作业）已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围． 【考点题型八】判断命题成立的条件 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【变式8-1】（24-25高二上·安徽·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】（多选）（23-24高一上·湖北恩施·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 B．“”的一个必要不充分条件是“” C．“是实数”的一个充分不必要条件是“是有理数” D．“”是“”的充要条件 【变式8-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【考点题型九】充分条件、必要条件的探求与应用 【例9】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（21-22高一上·云南临沧·期末）二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【变式9-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式9-3】（多选）（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-4】（多选）（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十】根据命题成立的条件求参数（范围） 【例10】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式10-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知，，且p是q的必要不充分条件，则a的取值范围为（    ） A．(−∞,−3] B．(−∞,−3) C．[3,+∞) D．(3,+∞) 【变式10-3】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式10-4】（22-23高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 常用逻辑用语 【清单01】命题 1.命题：可供真假判断的陈述语句就是命题． 2.判断为真的语句称为真命题；判断为假的语句称为假命题. 【清单02】量词 （1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词． （2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词． （3）常见量词： 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 【清单03】全称命题与特称命题 1．全称命题 （1）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （2）全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”． 2．特称命题 （1）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （2）特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”． 【清单4】全称命题与特称命题的否定 1.命题的否定对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定” 2.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 3.含有一个量词的命题的否定 （1）全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x∈M，¬p(x). （2）存在量词（特称）命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x) 【清单5】充分条件与必要条件 如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件. 【清单6】充要条件 1.如果p⇒q且qp，则称p是q的充分不必要条件． 2.如果pq且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． 3.如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. 4．如果pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件 【知识拓广】： 1.等价转化法判断充分条件、必要条件 p是q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．其他情况依次类推． 2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 【考点题型一】判断命题的真假 【例1】（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【答案】(1)不是命题； (2)是命题，真命题； (3)不是命题； (4)是命题；真命题； (5)是命题，假命题； (6)不是命题. 【知识点】命题的概念、判断命题的真假 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【详解】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 【变式1-1】（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）已知，则下列判断中，正确的是（    ） A．p为真，q为假 B．p为假，q为真 C．p为真，q为真 D．p为假，q为假 【答案】B 【分析】根据命题的真假即可判定. 【详解】p为假，q为真, 故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【答案】C 【知识点】判断命题的真假 【分析】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【详解】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C 【变式1-3】（多选）（2024高一·全国·专题练习）（多选）假设“物理好数学就好”是真命题，那么下列命题正确的是（    ） A．物理好数学不一定好 B．数学好物理不一定好 C．数学不好物理一定不好 D．物理不好数学一定不好 【答案】BC 【知识点】判断命题的真假、原命题与逆否命题等价性的应用 【分析】根据已知命题得出A,D错误，再转化B,C为集合关系即可得出命题为真. 【详解】设：物理好，：数学好，由题意，“若，则”为真命题，A，D不正确． 如果将物理好的学生定义为集合，数学好的学生定义为集合， 则，或许存在，但，即数学好物理不一定好，B正确； 设为全集，则，因此可以说数学不好的物理一定不好，C正确； 故选：BC． 【变式1-4】（多选）（23-24高一上·内蒙古·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．若，是任意实数，则 C．若是奇数，则是奇数 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】举反例得到B错误，根据定义判断AC正确，确定，，D正确，得到答案. 【详解】对选项A：对角线相等的平行四边形是矩形，则A是真命题． 对选项B：当时，，则B是假命题． 对选项C：x是奇数，所以x不能被2整除，所以不能被2整除，即是奇数， 则C是真命题． 对选项D：由，，得，则，则D是真命题． 故选：ACD. 【考点题型二】根据命题的真假求参数（范围） 【例2】（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）设命题：方程有两个不相等的实数根；命题：. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】已知命题的真假求参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）根据判别式即可求解， （2）分类即可求解. 【详解】（1）若命题为真命题， 则， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）若命题为真命题，解得， 当真假时，，得； 当假真时，，得； 综上所述，实数的取值范围为或. 【变式2-1】（多选）（24-25高一上·全国·随堂练习）（多选）给出命题“方程没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】已知命题的真假求参数 【分析】先求出命题“方程没有实数根”为真时，的取值范围，再结合选项，即可求解. 【详解】当方程没有实数根时，有，得到， 故选：BC. 【变式2-2】（22-23高一·江苏·假期作业）若命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题，则a，b满足的条件是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，然后根据一元一次方程、一元二次方程有根的条件求解即可． 【详解】①当时，方程为，只有当时，方程才有实数解； ②当时，方程为一元二次方程，方程有实数解的条件为． 综上可得当或时，方程有实数解． 故答案为：或 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、已知命题的真假求参数 【分析】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【详解】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-4】（2024高一·全国·专题练习）已知有两个不等的负根，无实根，若、一真一假，求的取值范围． 【答案】或 【知识点】交并补混合运算、已知命题的真假求参数 【分析】分别计算出命题、为真命题时的取值范围后，结合、一真一假即可得. 【详解】设为的两个不等的负根，则， 解得，记集合， 而，解之得，记集合， 若p真q假，则， 若p假q真，则， 综上：若、一真一假，则或. 【考点题型三】全称命题与特称命题真假的判断 【例3】（23-24高一下·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)存在量词命题，假命题 (6)存在量词命题，真命题 (7)存在量词命题，真命题 【知识点】判断命题是否为全称命题、判断全称命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用全称量词命题和存在量词命题的定义及真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数， 所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除， 所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）是全称量词命题，当时，不满足， 所以“，有”为假命题． （4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题． （7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3， 所以“有些整数只有两个正因数”为真命题． 【变式3-1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）下列命题中是存在量词命题且为真命题的是（    ） A．， B．所有能被3整除的数都是奇数 C．， D．， 【答案】A 【知识点】判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据全称量词和存在量词，即可结合选项求解. 【详解】对于A，取，则，A是存在量词命题，且为真命题， 对于B， “所有”是全称量词，故B是全称命题， 对于C，由于，所以选项C为假命题， 对于D，，是全称量词命题， 故选：A 【变式3-2】（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列命题中，假命题的个数是（    ） （1）； （2）； （3），方程恰有一解； （4）两个无理数的和一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据给定条件，结合全称量词命题、存在量词命题的真假判断逐一判断各个命题即得. 【详解】对于（1），取，，（1）错误； 对于（2），取，，（2）正确； 对于（3），当时，方程有无穷多个解，（3）错误； 对于（4），都是无理数，而是有理数，（4）错误， 所以假命题的个数是3. 故选：C 【变式3-3】（多选）（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（    ） A． B． C．至少存在两个质数的平方是偶数 D．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 【答案】BD 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】运用含有量词的命题的概念，结合特值法可解. 【详解】“”不是存在量词命题，A错误. ，故B正确. 因为只有质数2的平方为偶数，所以不存在两个质数的平方是偶数，C错误. 内角为的直角三角形的三个内角成等差数列，D正确. 故选：BD. 【变式3-4】（多选）（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下面四个命题，其中错误的是（    ） A．，恒成立； B．，； C．，； D．， 【答案】ABC 【知识点】全称命题的否定及其真假判断、特称命题的否定及其真假判断 【分析】依次对选项进行判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由，解得：，是无理数，则也是无理数，故B错误； 对于C，由于对任意实数满足都成立，故C错误； 对于D，由原不等式得， 所以，都有成立，故D正确； 故选：ABC 【考点题型四】根据存在量词命题的真假求参数 【例4】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）命题“存在，使得”是假命题，求实数a的取值范围． （2）若把（1）中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）写出命题的否定，即可求解； （2）将问题转化为，即可求解. 【详解】（1）命题“存在，使得”是假命题， 所以此命题的否定“任意，使得”是真命题， 因为对任意，都有， 所以，所以， 即实数a的取值范围为． （2）由题意知“存在，使得”是真命题， 故有，所以，即实数a的取值范围为． 【变式4-1】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）若命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】利用含有一个量词命题的否定的真假，由判别式即可求得实数的取值范围. 【详解】根据题意可得“，使”是假命题等价于“，”是真命题， 因此可得，解得； 即可得实数的取值范围为. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知集合，，命题q：，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、已知命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意，故可列出关于的方程组求解. 【详解】由题意，所以，即，解得， 此时. 为使，需有，即. 故实数m的取值范围为. 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课前预习）若命题“，”为真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由已知可得方程有实数根，故其判别式大于等于，由此可得的取值范围. 【详解】∵命题“，”为真命题， ∴方程存在实数根， 所以方程的判别式， 解得． 所以实数的取值范围为． 【变式4-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：“，”为真命题，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】由题意可得，则或，解不等式即可得出答案. 【详解】由于命题p：，是真命题， 则， 因为，所以． 所以或， 解得：． 【考点题型五】根据全称量词命题的真假求参数 【例5】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意可得，由此可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由于命题p：，是真命题， 所以，又， 所以， 解得． 即m的取值范围为． 【变式5-1】（23-24高一上·云南昆明·期中）若命题“”是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围. 【详解】若命题“”是真命题， 则当时，不等式为对恒成立； 当时，要使得不等式恒成立，则，解得 综上，的取值范围为. 故选：D. 【变式5-2】（17-18高三上·福建三明·期中）已知命题：∃，；命题：∀，.若、都为假命题，则实数的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1] 【答案】A 【知识点】根据或且非的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假 【详解】p，q都是假命题．由p：∃，为假命题， 得∀，，∴. 由q：∀，为假，得∃， ∴，得或. ∴. 故选A. 【变式5-3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ． 【答案】1（答案不唯一，1或2均可） 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】找出原命题的等价命题，即可写出答案. 【详解】或， 命题“”为假命题，所以的值可取1或2. 故答案为：1. 【变式5-4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题p：，，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由恒成立即可求解. 【详解】由于p：，为真命题， 所以对任意的成立，故， 故答案为： 【考点题型六】命题的否定及其真假的判断 【例6】（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：实数的平方是非负数； (2)p：质数都是奇数； (3)p：方程有实数根； (4)p：菱形的对角线互相垂直且平分． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【知识点】判断命题的真假、写出简单命题的非命题 【分析】（1）（2）（3）（4）写出各个命题的否定，再判断其真假. 【详解】（1）：实数的平方不都是非负数；而命题是真命题，因此是假命题． （2）：质数不都是奇数；2是质数，但2是偶数，所以为真命题． （3）：方程没有实数根；由，得是真命题． （4）：菱形的对角线不互相垂直或平分；而命题是真命题，因此是假命题． 【变式6-1】（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得： 命题“，”的否定是“，”. 故选：D. 【变式6-2】（24-25高三上·四川成都·开学考试）设命题，则的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即得. 【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题， 所以命题的否定为“”. 故选：D. 【变式6-3】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知命题：，；命题：，，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【知识点】判断非命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据题意，分析命题、的真假，进而分析选项，可得答案. 【详解】当时，，所以命题为假命题，则命题为真命题； 当时，，所以命题为真命题，则命题为假命题； 所以和都是真命题. 故选：C 【变式6-4】（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知命题，命题，则（    ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】B 【知识点】判断非命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】直接判断命题的真假. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题. 综上，和均为真命题. 故选：B. 【考点题型七】根据命题否定的真假求参数 【例7】（22-23高一上·浙江台州·阶段练习）已知，； (1)写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围 (2)若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【知识点】特称命题的否定及其真假判断、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假 【分析】（1）根据特称命题的否定为全称命题可写出否定，并转化为对任意恒成立即可求解； （2）命题为真，则，命题为真，则，利用、有且只有一个为真时，求解的取值范围. 【详解】（1）由题意，的否定为， 若的否定为真命题，则对任意恒成立， 所以只需，解得； （2）由（1）可得，当的否定为真命题时，，所以当为真命题时，. 若为真命题，则对于任意的，恒成立， 因此只需，解得. 因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况： 若为真命题，为假命题，则有或，解得； 若为假命题，为真命题，则有，解得. 综上可知，实数的取值范围是或. 【变式7-1】（2022秋·湖北黄冈·高一校考阶段练习）已知命题p：x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，若是真命题，则实数a的取值范围是（    ） A．a<1 B．a>3 C．a≤3 D．a≥3 【答案】D 【分析】根据给定条件写出命题，再由全称量词命题是真命题即可得解. 【详解】因命题p：∃x∈{x|1<x<3}，x-a≥0，则有命题：x∈{x|1<x<3}，x-a<0， 又是真命题，即x∈{x|1<x<3}，a>x恒成立，于是得a≥3， 所以实数a的取值范围是a≥3. 故选：D 【变式7-2】（23-24高一上·河南新乡·阶段练习）命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】是假命题，则为真命题，即有实数根，分类讨论与时的情况即可. 【详解】当时，即有实数根，解得，故符合要求； 当时，即有，解得且； 综上所述，. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高一上·全国·课前预习）已知命题p：，都有，且¬p是假命题，求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据或且非的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】¬p是假命题，则p是真命题，利用集合的包含关系列不等式求实数a的取值范围． 【详解】因为¬p是假命题，所以p是真命题， 又，都有， 所以， 则，解得， 即实数a的取值范围是． 【变式7-4】（18-19高一·全国·课后作业）已知命题p：“至少存在一个实数，使不等式成立”的否定为假命题，试求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用、根据全称或特称命题的真假判断复合命题的真假 【分析】先判断原命题的真假，根据二次函数的在区间上存在着使函数值大于零的，列出不等式求解出参数的范围即可. 【详解】由题意知，命题p为真命题，即在上有解， 令，所以，又因为最大值在或时取到， ∴只需或时，即可， ∴或，解得或， 即． 故实数a的取值范围为． 【考点题型八】判断命题成立的条件 【例8】（23-24高一·上海·课堂例题）下列各组中，是的什么条件？ (1)：四边形ABCD的四条边等长，：四边形ABCD是正方形； (2)：与全等，：与的周长相等； (3)：x是2的倍数，：x是6的倍数； (4)：集合，，，：集合； (5)：，：． 【答案】(1)是的必要不充分条件； (2)是的充分不必要条件； (3)是的必要不充分条件； (4)是的充要条件； (5)是的必要不充分条件. 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】（1）举出菱形则正向无法推出，根据正方形性质可知反向可以推出，则得到与的关系； （2）根据全等的定义则得到正向可以推出，反向无法推出，则得到与的关系； （3）根据数的性质即可判断出与的关系； （4）根据集合之间的关系和充要条件的判断即可得到答案； （5）根据交集含义即可判断出与的关系. 【详解】（1）若四边形的四条边等长，四边形不一定是正方形，如菱形； 反之，若四边形是正方形，则其四条边等长，故是的必要不充分条件； （2）若与全等，则与的周长相等， 反之，若与的周长相等，两个三角形不一定全等； 故是的充分不必要条件； （3）若是2的倍数，则不一定是6的倍数，如； 反之，若是6的倍数，则一定是2的倍数，故是的必要不充分条件； （4）若，则，又由，则， 同理可得：，则有； 反之，若，一定有，，故是的充要条件； （5）当且时，有，但与不一定相等， 反之，若，一定有，故是的必要不充分条件. 【变式8-1】（24-25高二上·安徽·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的性质化简，即可根据逻辑关系求解. 【详解】由可得， 由可得或， 故能得到，同时也无法推出， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式8-2】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）给出下列四个结论： ①“”是“”的充分不必要条件； ②若命题，则； ③若，则是的充分不必要条件； ④若命题q：对于任意为真命题，则 其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据全称命题的真假求参数、特称命题的否定及其真假判断 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断①③；利用存在量词命题的否定判断②；利用全称量词为真求出的范围判断④即可得解. 【详解】对于①，不能推出，“”不是“”的充分不必要条件，①错误； 对于②，，②错误； 对于③，若，则且，反之，，， 成立， 因此是的充分不必要条件，③正确； 对于④，，而，则，④正确， 所以正确结论的个数为2. 故选：B 【变式8-3】（多选）（23-24高一上·湖北恩施·期中）下列说法中正确的是（    ） A．“四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件 B．“”的一个必要不充分条件是“” C．“是实数”的一个充分不必要条件是“是有理数” D．“”是“”的充要条件 【答案】ABC 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、探求命题为真的充要条件 【分析】根据充分、必要条件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A：由“四边形是正方形”可推出“四边形是菱形”，反之不一定成立，故A选项正确； B：方程，解或， 所以，“”的一个必要不充分条件是“”，故B选项正确； C：“是有理数”可以推出“是实数”，反之不一定成立，故C选项正确； D：解方程，得，则“”是“”必要不充分条件，故D选项错误. 故选：ABC 【变式8-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）下列所给的各组中，p是q的什么条件（“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”）？ (1)p：，q：； (2)p：，q：且； (3)p：，q：； (4)p：a是自然数；q：a是正数． 【答案】(1)p是q的充分而不必要条件 (2)p是q的充要条件 (3)p是q的必要而不充分条件 (4)p是q的既不充分又不必要条件． 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【分析】（1）（3）求解方程结合代值到方程中检验判断即可. （2）利用不等式的性质判断即可. （4）举反例判断即可. 【详解】（1）当时，成立； 当时，或． 所以p是q的充分而不必要条件． （2）由，即为且，所以p是q的充要条件． （3）由，得，且， 则，不一定有， 故p是q的必要而不充分条件． （4）0是自然数，但0不是正数，故不可推出； 又是正数，但不是自然数，故不可推出， 故p是q的既不充分又不必要条件． 【考点题型九】充分条件、必要条件的探求与应用 【例9】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 【变式9-1】（21-22高一上·云南临沧·期末）二次函数的图象与x轴没有交点的充要条件是（    ） A． B． C． D．， 【答案】B 【知识点】探求命题为真的充要条件、二次函数的图象分析与判断 【分析】运用二次函数与一元二次方程知识，首先根据题意由二次函数的图象与x轴没有交点，解得可进一步求范围. 【详解】由二次函数的图象与x轴没有交点， 故，得， 故答案为：B 【变式9-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式9-3】（多选）（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）下列是“不等式成立”的必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】先化简不等式，进而根据集合间的关系求解. 【详解】由可得， 设，则其必要不充分条件对应集合，则有是的真子集， 则BD选项符合． 故选：BD． 【变式9-4】（多选）（24-25高三上·甘肃兰州·开学考试）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断命题的必要不充分条件、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】参变分离可得，令，，结合二次函数的性质求出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，，则， 令，， 因为， 所以在上单调递增，所以的最大值是， 故，则的一个必要不充分条件是，故D正确； 、、均为命题“，”为真命题的一个充分不必要条件，故A、B、C错误. 故选：D． 【考点题型十】根据命题成立的条件求参数（范围） 【例10】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意可知， 又，当时，，解得， 当时，，或，解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式10-1】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 【变式10-2】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知，，且p是q的必要不充分条件，则a的取值范围为（    ） A．(−∞,−3] B．(−∞,−3) C．[3,+∞) D．(3,+∞) 【答案】A 【知识点】根据必要不充分条件求参数、公式法解绝对值不等式 【分析】由题意可得，求解即可. 【详解】由，解得， 由是的必要不充分条件，所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 【变式10-3】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】根据充要条件求参数 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【变式10-4】（22-23高一上·甘肃临夏·阶段练习）已知条件集合，条件非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围． (2)若是的必要条件，求实数的取值范围． (3)否存在实数，使是的充要条件． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在. 【分析】（1）根据必要条件的定义可得，进而可得，即得； （2）根据补集的定义及必要条件的定义可得，进而即得； （3）根据充要条件的概念可得，进而即得. 【详解】（1）因为是的必要条件， 所以，又，， 所以， 解得， 即实数的取值范围是； （2）若是的必要条件，则⇒， 所以， 又或，或， 所以， 解得， 故实数的取值范围； （3）若是的充要条件，则， 所以， 方程组无解， 故不存在实数，使是的充要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$