专题02 等式与不等式（期中知识清单）高一数学上学期人教B版

专题02 等式与不等式（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(7类) 公式清单(11类) 辨析清单(12类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 等式的性质与方程的解集 1.等式：用等号""连接的式子叫做等式． 2.等式的基本性质： 性质1，如果 ，那么 （两边同加同一个数或式子，等式仍成立）； 性质2，如果 ，那么 （两边同乘同一个数或式子，等式仍成立）； 性质3，如果 且 ，那么 （两边同除以一个不为 的数，等式仍成立）． 3.由性质1、2 还可以得到： 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ． 这正是解方程时"移项"的依据． 4.方程：含有未知数的等式叫做方程； 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（也叫做根）； 方程的所有解组成的集合叫做方程的解集． 5.一元一次方程 的解集： 当 时解集为 ； 当 时，若 则解集为 ， 若 则解集为 ． 特别提醒： 由 不能直接约去 得到 ，因为 可能为 ； 只有当 时，才能由 推出 ． 知识点02 一元二次方程及其根与系数的关系 1.一元二次方程的一般形式：（）． 2.判别式：． 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程没有实数根． 3.求根公式：当 时，． 4.因式分解法：把方程整理成一边为 ，另一边分解为两个一次因式的乘积，即化成 的形式，从而得两根 、． 5.根与系数的关系（韦达定理）：若 、 是一元二次方程 （）的两个根，则 ，． 6.常用变形：；；． 特别提醒： 韦达定理的前提是方程有实数根（）．使用前要先确认，否则会得到错误的结论． 知识点03 方程组的解集 1.二元一次方程组：由两个二元一次方程联立组成的方程组，它的解是一对有序实数，记作 ． 2.代入消元法：由一个方程解出某个未知数（用含另一个未知数的式子表示），代入另一个方程，消去一个未知数． 3.加减消元法：把两个方程适当变形后相加（减），消去一个未知数．同一未知数系数相同就相减，系数相反就相加． 4.方程组的解集用集合表示，如解集为 ． 特别提醒： 解方程组的基本思想是"消元"，消元后通常化为一元一次方程（或一元二次方程）再求解． 知识点04 不等式及其性质 1.不等式：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式． 2.不等式的基本性质： 性质1（对称性），； 性质2（传递性）， 且 ； 性质3（可加性），； 性质4（可乘性）， 且 ， 且 ． 3.由基本性质还可以得到： 且 （同向可加）； 且 （正数同向可乘）； （ 为正整数）． 4.比较大小的常用方法——作差法： ；；． 特别提醒： 不等式两边同乘（或同除以）一个负数，不等号的方向一定要改变，这是最容易出错的地方． 知识点05 一元二次不等式的解法 1.把不等式整理成一般形式 （或 、、）要先把二次项系数化为正数． 2.当 时，设方程 的两根为 （对应 ）： 对 ，解集为 或 （大于取两边）； 对 ，解集为 （小于取中间）． 3.当 时，（）的解集为 ， 的解集为 ． 4.当 时，（）的解集为 ， 的解集为 ． 5.解一元二次不等式的一般步骤："一看系数（化为正），二算判别式，三求根，四写解集"． 特别提醒： "大于取两边、小于取中间"的前提是二次项系数 ；若 ，要先把不等式两边同乘 并改变不等号方向． 知识点06 均值不等式及其应用 1.重要不等式：对任意实数 、，有 ，当且仅当 时取等号． 2.基本不等式（均值定理）：对任意正数 、，有 ，当且仅当 时取等号；其中 叫做 、 的算术平均数， 叫做 、 的几何平均数． 3.基本不等式的变形：；． 4.使用条件"一正、二定、三相等"：、 都必须是正数；和（或积）要为定值；等号必须能够取到．三者缺一不可． 5.常用结论：若 ，则 ，当且仅当 时取等号；若 、 且 （定值），则 ． 特别提醒： 用基本不等式求最值后，一定要验证等号能否取到；取不到等号时要改用单调性等其他方法． 知识点07 绝对值不等式与分式不等式 1.绝对值不等式： ； 或 （）． 解 先化为 再求解． 2.零点分段法：含多个绝对值（如 ）时，先求出各零点把数轴分段，再在每一段上去掉绝对值符号求解，最后取各段解的并集． 3.分式不等式： 与 同解；若带等号，还必须补上 ． 4.移项通分：解分式不等式要先移项化为"一边为 0"的标准形，再通分成一个分式，切忌两边同乘含 的式子（符号未知）． 5.特别提醒：一元二次不等式先看二次项系数的正负—— 时两边同乘 化为 ，不等号方向要改变． 考点01 等式的性质与方程的解集 考点内容：等式的三条基本性质；方程、方程的解与解集的概念；一元一次方程的求解；由方程的解求参数． 常见考法： ① 利用等式性质对方程进行变形 ② 解一元一次方程并写出解集 ③ 由方程的解（根）求参数的值 ④ 判断等式变形是否正确 ⑤ 讨论含参数方程解的情况 易错提醒：由 不能直接约去 ；只有 时才能由 推出 ． 考点02 一元二次方程及其根与系数的关系 考点内容：一元二次方程的一般形式；判别式；求根公式；因式分解法；根与系数的关系及其变形． 常见考法： ① 用因式分解法或求根公式解一元二次方程 ② 由判别式判断方程根的情况 ③ 用根与系数的关系求两根之和、之积 ④ 由根与系数的关系求对称式的值 ⑤ 由根的情况求参数的取值范围 易错提醒：使用韦达定理前必须先确认方程有实根（），否则会得到错误结论． 考点03 方程组的解集 考点内容：二元一次方程组；代入消元与加减消元；解集的有序数对表示． 常见考法： ① 用代入消元法解二元一次方程组 ② 用加减消元法解二元一次方程组 ③ 把方程组的解写成有序数对的集合 ④ 由方程组的解求参数 ⑤ 判断方程组解的情况 易错提醒：方程组的解是一对有序实数，写解集时不要漏掉括号与逗号． 考点04 不等式及其性质 考点内容：不等式的概念；不等式的基本性质；作差法比较大小；由性质进行推理． 常见考法： ① 判断不等式变形是否正确 ② 用不等式的性质比较式子的大小 ③ 由不等式性质判断命题的真假 ④ 利用作差法证明不等式 ⑤ 由不等式性质求代数式的取值范围 易错提醒：不等式两边同乘（除以）负数时，不等号方向必须改变． 考点05 一元二次不等式的解法 考点内容：一元二次不等式的概念；二次函数图象与不等式解集的关系；解集的书写． 常见考法： ① 解一元二次不等式并写出解集 ② 把解集用区间表示 ③ 由一元二次不等式的解集反求系数 ④ 解可化为一元二次不等式的分式不等式 ⑤ 求一元二次不等式在给定区间上的成立条件 易错提醒：解不等式前先看二次项系数的正负，"大于取两边、小于取中间"只在 时成立． 考点06 均值不等式及其应用 考点内容：均值不等式；基本不等式及其变形；使用条件；求最值与证明不等式． 常见考法： ① 直接用基本不等式求最值 ② 用配凑法（加项、拆项）求最值 ③ 用"乘 1 法"求最值 ④ 用基本不等式证明不等式 ⑤ 判断等号能否取到 易错提醒：使用基本不等式必须满足"一正、二定、三相等"，缺一不可． 考点07 绝对值不等式与分式不等式 考点内容：绝对值不等式的解法；零点分段法；分式不等式的解法；解集反求参数；含参数不等式的分类讨论． 常见考法： ① 解 或 型的不等式 ② 用零点分段法解含两个绝对值的不等式（或求其最小值） ③ 解分式不等式：移项通分后按符号规律转化为整式不等式 ④ 由不等式的解集反求参数的值或取值范围 ⑤ 含参数的一元二次不等式：按两根的大小分类讨论 易错提醒：分式不等式不能盲目去分母；写成区间时端点取不取到要逐点核对． 1 等式与方程 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 判别式 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根 2 求根公式 前提是 3 根与系数的关系 ， 用于 （），需 4 常用变形 2 不等式与均值定理 序号 名称 公式（符号语言） 说明 5 不等式的可乘性 ； 乘负数要变号 6 比较大小（作差法） 作差后分解因式或配方判断符号 7 一元二次不等式的解集 （）： 或 大于取两边、小于取中间 8 基本不等式 （，） 当且仅当 时取等号 9 绝对值不等式 ； 或 （） 口诀"小于取中间、大于取两边"； 先整体换元 10 分式不等式 先移项通分成标准形，且必须有 11 均值不等式链 （，） 当且仅当 时取等号；求最值要先凑出定值 辨析01 由 不能直接约去 由 得 ，即 ，故 或 ．只有当 时，才能由 推出 ．不少同学见到 就直接约去，恰好漏掉 的情形，这是等式变形最典型的错误． 辨析02 不等式两边同乘负数要变号 由 且 得 ，不等号方向要改变；同乘正数则方向不变．当乘除的式子正负未知时，必须按正、零、负分类讨论． 辨析03 韦达定理的前提是方程有实根 对 （），只有 时才有两根 、，此时才能用 、．若题目未说明有实根，应先由 求出参数范围． 辨析04 "大于取两边、小于取中间"的前提是 对 ，只有二次项系数 时解集才是"两边"；若 ，应先把不等式两边同乘 （并改变不等号方向），化为二次项系数为正再求解． 辨析05 判别式决定一元二次方程根的情况 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根．判断根的个数、求参数范围、讨论函数图象与 轴的交点，都以判别式为第一依据． 辨析06 基本不等式要满足"一正、二定、三相等" 用 求最值时：、 必须为正数；和（或积）要为定值；等号必须能取到．三者缺一，结论就可能出错． 辨析07 作差法比较大小要走完三步 比较 与 的大小：作差 ，因式分解（或配方），判断符号．最后一步的符号判断是关键，不要做完差就急着下结论． 辨析08 方程解集与不等式解集要分清 方程 的解集是若干个数（离散的点），用列举法表示；不等式 的解集是一段或几段区间，必须写成集合或区间的形式．两者形式完全不同． 辨析09 由 求 要讨论 的正负 解 时：若 则 ；若 则 ；若 ，再看 ， 时解集为 ， 时解集为 ．直接写 是不全面的． 辨析10 均值不等式的等号要验证 用基本不等式求得最值后，一定要回代验证等号能否取到．等号对应某个具体的值，若该值不在题目允许的范围内，则这个最值不能用基本不等式得到． 辨析11 分式不等式不能直接去分母 解 时，若两边同乘 ，就必须知道 的符号，而 含 时符号未知，直接乘会改变不等号方向或漏解．正确做法是先移项通分，化为"一个分式与 0 比较"的标准形，再利用"同号相除为正"转化为 求解，最后补上分母不为 0 的限制． 辨析12 含参数不等式讨论要按根的大小排序 解含参数的一元二次不等式（如 ）时，两根 与 1 的大小关系未知，必须按 、、 三类分别讨论，再各自写出解集；漏掉两根相等的情形（此时解集为空集或退化）是最常见的失分点． 【题型一】等式的性质与方程的解集 【例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）方程 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】移项得 ，即 ，故方程的解集为 ．故选 C． 【变式1-1】已知为实数，且，则下列不等式一定成立的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，，，选项A，，， ， A错误；选项B，，， ，B错误；选项C，，， ，根据不等式的加法性质，C正确.；选项D，，，，D错误.故选：C． 【变式1-2】已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知,不妨取则有,,故选项A,B错误;于选项C,不妨取,故选项C错误;关于选项D,,,故选项D正确.故选:D 【变式1-3】（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，当，，时，，故A错误；对于B，当，，时，，故B错误；对于C，因为，所以，故C正确；对于D，当，，时，，故D错误．故选：ABD. 【题型二】一元二次方程及其根与系数的关系 【例2-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）方程 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】因式分解得 ，故 或 ，解集为 ．故选 A． 【例2-2】（25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中）若关于x的方程的两根分别是，则（　　） A．6 　　B．7 　　C．8 　　D．9 【答案】C 【详解】因为是方程的两根，所以所以故选：C 【变式2-1】（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则（　　） A． 　　B． 　　C．5 　　D．7 【答案】A 【详解】因为不等式的解集为，所以，3是方程的根，根据韦达定理，得： ，所以.故选：A 【变式2-2】（25-26高一上·云南红河·期末）若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】因为m，n是关于的方程的两个正实数根，所以，所以，当且仅当时，等号成立．所以，所以的最小值为．故选：　　D． 【题型三】一元二次不等式的解法 【例3】（25-26高一上·广东广州·期中）不等式 的解集是（　　） A．　B． 或 　C．　D． 或 【答案】D 【详解】因式分解得 ．二次项系数为正，解集取"两边"，即 或 ． 故选 D． 【变式3-1】不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得或，所以不等式的解集为，故选：B. 【变式3-2】不等式的解集是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】由可得，解得，即不等式的解集是.故选：B. 【题型四】均值不等式及其应用 【例4】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】因为 ，所以 ．由基本不等式 ，当且仅当 即 时取等号，故最小值为 ．故选 C． 【变式4-1】已知，且，则的最小值为（　　） A．12　　 B．10　　 C．9　　 D．8 【答案】A 【详解】因为，所以，由，得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12.故选：A. 【变式4-2】已知，且，则的最小值为（　　） A．12 　　B．10 　　C．9 　　D．8 【答案】A 【详解】因为，所以，由，得，则 ，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为12.故选：A. 【题型一】等式变形时忽视"除以的式子是否为零" 【例1】若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】对于任意的，不等式恒成立，即恒成立，时，，当且仅当时取等号，所以，即实数的取值范围为．故选：A． 易错警示　 由""不能直接约去 得到 ，因为 可能为 ．应先把一边移到另一边、提取公因式，再分类判断，才不会漏解． 【变式1-1】若，不等式恒成立，则有（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】作出函数的图象，并截取在内的部分如图所示（实线部分），由图象知，当时，取得最小值，所以故选：A. 【变式1-2】（25-26高一上·辽宁七校协作体·期中）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（　　） A．1 　　B．2 　　C．3 　　D．4 【答案】D 【详解】因，则，等号成立时，因，则，即，解得，即，因不等式恒成立，则，故实数的最小值是.故选：D 【题型二】解一元二次不等式时忽视二次项系数的符号 【例2】（25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】当时，恒成立，当即时，不等式的解集为或，又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即；当即时，不等式的解集为或，又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即；当时，，而恒成立，此情况无解，综上，时，；时，，所以实数的取值范围是.故选：　　B. 易错警示　 不能由 直接开方得 （开方时要考虑负数的情况）．应先把不等式化为一边为 的形式，再因式分解求解． 【变式2-1】不等式的解集是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】解不等式可得：，故其解集为：.故选：C 【变式2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（　　） A． 　　B．3 　　C． 　　D．6 【答案】A 【详解】因为是不等式的解集，所以是方程的两个实数根且，所以，，所以，且，；所以，当且仅当时“”成立；所以的最小值为．故选：A． 【题型三】使用均值不等式时忽视"一正二定三相等" 【例3】（25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中）已知，，，则的最小值为（　　） A． 　　B．6 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】易知，当且仅当时，等号成立.故选：D 易错警示　 时 与 都是负数，不能直接用"和大于等于 倍根号积"．要先提取负号、把各项化为正数，再用基本不等式，最后把不等号方向还原． 【变式3-1】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知且，则的最小值为（　　） A．9 　　B．10 　　C． 　　D．8 【答案】A 【详解】 且， ，当且仅当时取等．故选：A． 【变式3-2】古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时，提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型.这类问题不仅是平面几何的重要延伸，也为后世代数最值求解提供了思想基础.现已知正实数，满足，则的最小值为（　　） A．2 　　B．3 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】由题意有：，当且仅当，即时，等号成立，故选：　　C. 【题型一】含参数的一元二次不等式与解集反求 【例1】关于的不等式的解集是或，则________. 【答案】 【详解】因为关于的不等式的解集是或，显然，故其对应二次方程的两根为或,则，解得，故.故答案为：. 【变式1-1】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，或，所以不等式的解集为.故选：. 【变式1-2】不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　C． 　　D． 【答案】A 【详解】，解得．所以不等式的解集为．故选：A. 【题型二】根与系数关系的综合应用 【例2】（24-25高一上·天津·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式 的解集（　　） A． 　　B． 　C． 　　D． 【答案】B 【详解】由题意得为方程的两根，且，由韦达定理得，故，故，等价于，解得，故不等式解集为.故选：B 【变式2-1】（25-26高一上·浙江·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　　C．或 　　D．或 【答案】C 【详解】由的解集为，可知，则由，可得：，故不等式解集为或.故选：　　C. 【变式2-2】（24-25高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】当时，，解得，不合题意；当时，，解得.故选：. 【题型三】均值不等式的配凑技巧 【例3】（25-26高一上·辽宁协作体·期中）已知是正数，且，则的最小值为（　　） A．1 　　B．2 　　C．3 　　D．4 【答案】D 【详解】由是正数，且，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：　　D. 【变式3-1】设正实数a，b满足，则的最小值为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．故选：　　C． 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知，，，则的最小值是（　　） A．4 　　B．6 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：A 【题型一】因式分解模型（解一元二次方程） 【模型解读】 解一元二次方程优先考虑因式分解：把方程整理成一边为 ，另一边分解成两个一次因式的乘积，再由"两个因式之积为 则至少一个为 "得出两根． 结论： 若能分解为 ，则 或 ；分解前必须先把方程化为一般形式，且不能两边同除以含 的式子． 【例1】（()）下面四个不等式中解集为空集的是（　　） A． 　　B． C． 　　D． 【答案】D 【详解】对于A选项，解不等式得，A不满足条件；对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件；对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件；对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件.故选：　　D. 【变式1-1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】由得，解得，故选：A 【变式1-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解为（　　） A． 　　B．或 　　C． 　　D．或 【答案】A 【详解】由原式得且，解得，即不等式的解集为.故选：A 【题型二】韦达定理模型（根与系数的关系） 【模型解读】 已知一元二次方程两根之间的关系，可直接用 、，不必求出具体的根． 结论：使用前先验证 ；求对称式的值时，先把目标式用 、 表示，再代入数值． 【例2】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】由题知，和是方程的两根，由韦达定理得，所以，即，所以等价于，因为，所以，即，所以关于的不等式的解集为.故选：　　D. 【变式2-1】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】因为关于不等式解集为，则有：当时，得，满足题意；当时，则，解得：，综上所述：的取值范围为.故选：A． 【变式2-2】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，是两个不相等的实数，满足，，，则（　　） A．2 　　B．3 　　C．4 　　D．5 【答案】A 【详解】根据题意可知，满足方程，即可得，是方程的两个不相等的实数根，即，可得；由根与系数关系可知，因此可得；又，即可得，解得.故选：A 【题型三】数轴标根模型（解一元二次不等式） 【模型解读】 把一元二次不等式化成 （）的形式后，在数轴上标出两根，大于取两边、小于取中间． 结论：二次项系数必须化为正； 时 的解集为 、 的解集为 ；端点是否取到由不等号是"严格"还是"非严格"决定． 【例3】已知，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，所以，故A错误；，故B错误，D正确；由于，，故C错误；故选：D 【变式3-1】（()）已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（　　） A． 　B． 　C． 　D． 【答案】C 【详解】由，得，因为不等式）的整数解恰有4个，则或，所以或．故选：． 【变式3-2】（()）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】正实数，满足，.当且仅当且，即，时取等号，存在，使不等式有解，，解可得或，即，故选：　　C. 【题型四】作差比较大小模型 【模型解读】 比较两个代数式（或两个数）的大小，作差后判断符号：差为正则前者大，差为负则前者小． 结论：比较大小"作差 → 因式分解或配方 → 判断符号"三步走完再下结论；含有字母且范围明确时，也可用特殊值法快速检验． 【例4】（24-25高一上·北京·期中）奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是（　　） A． 　　 B． C． 　　D． 【答案】C 【详解】当时，，由解得（负根舍去）当时，设，将代入得：，解得，所以，由，解得或.而、都是奇函数，图象关于原点对称，由此画出和的图象如下图所示，由图可知，不等式的解集是.故选：C 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又，当时，故A错误；当，时，，故B错误；当，时，，故C错误；由，所以，故D正确.故选：D 【变式4-2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知，，，则，的大小关系为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D．与的取值有关 【答案】C 【详解】已知，，，所以.故选：C 【题型五】均值不等式的配凑模型（求最值） 【模型解读】 用基本不等式求最值，关键是把式子"凑"出定值：缺项就加项补项，结构不符合就拆项、或用"乘 1 法"变换． 结论：常用技巧——加项减项凑定值；"乘 1 法"（如已知 ，把目标式乘 ）；求出最值后必须验证等号能否取到． 【例5】（24-25高三上·吉林·期末）已知正数满足，则的最大值为（　　） A．1 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】已知正数满足，则，当且仅当时取等号.故选：　　C. 【变式5-1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（　　） A．8 　　B．7 　　C．6 　　D．5 【答案】A 【详解】由题意得，则 ，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.故选：A 【变式5-2】如果，那么的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为4. 故选：C 【题型六】含参数不等式的分类讨论模型 【模型解读】 含参数的不等式，参数的取值会影响解集的形式，必须按参数分类讨论，再逐类求解． 结论：先确定分类标准（二次项系数是否为 、判别式 的符号、两根的大小关系），再逐类求解，最后汇总各类结果． 【例6】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】当即时，原不等式可化为，对任意实数恒成立，符合题意；当时，由二次不等式恒成立可知，，即，解得，综上，实数a取值范围.故选：B 【变式6-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】A 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设；若，因为不等式的解为空集，故，故，综上，，故选：A. 【变式6-2】（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C．或 　　D． 【答案】A 【详解】因为在上恒成立，当时，得，显然成立；当时，要使问题成立则，解得；综上，实数的取值范围为.故选：A. 【题型七】方程组的消元模型 【模型解读】 解方程组的基本思路是"消元"——代入消元或加减消元，把两个未知数化为一个未知数，转化成方程求解． 结论：代入消元适用于其中一个方程能方便地表示某个未知数；加减消元适用于同一未知数的系数相同或相反；方程组若有解，解是有序数对 ． 【例7】（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（　　） A． 　　B．或 　　C． 　　D． 【答案】C 【详解】由，解得，所以方程组的解集是或.故选：C 【变式7-1】若 且 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】两式相加得 ，即 ，故 ．故选 B． 【变式7-2】若 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由 ．故选 C． 技巧 一句话要点 等式变形——"除法先看分母" 由 得 是安全的（已保证 ）；由 得 前必须确认 ． 解一元二次方程——"先分解再求根" 整理成一边为 ，能因式分解就分解，不能分解再用求根公式． 判别式——"先算 再谈根" 讨论根的个数、求参数范围，第一步都算 ． 韦达定理——"用前先看 " 只有方程有实根时，才能用 、． 对称式——"化为和与积" ，． 解一元二次不等式——"一看系数二算 " 先把二次项系数化为正，再算判别式、求根、写解集． 一元二次不等式——"大于取两边、小于取中间" 前提是二次项系数为正，否则先变号再解． 方程与不等式要分清 方程的解集是若干个数，不等式的解集是区间（集合），形式不能混． 作差比较大小——"差后分解定符号" 作差 → 因式分解或配方 → 判断符号，三步走完再下结论． 不等式乘负数要变号 且 时 ，不等号方向改变． 基本不等式——"一正二定三相等" 都为正数、有定值、等号能取到，三者缺一不可． 求最值先凑定值 缺项补项、拆项，或用"乘 1 法"，凑出"和为定值"或"积为定值"． 基本不等式等号要验证 记下等号成立的条件（如 ），代回检验是否在取值范围内． 含参数不等式——"按标准分类讨论" 二次项系数是否为 、 的符号、两根大小，逐一讨论后汇总． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等式与不等式（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(7类) 考点清单(7类) 公式清单(11类) 辨析清单(12类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 等式的性质与方程的解集 1.等式：用等号""连接的式子叫做等式． 2.等式的基本性质： 性质1，如果 ，那么 （两边同加同一个数或式子，等式仍成立）； 性质2，如果 ，那么 （两边同乘同一个数或式子，等式仍成立）； 性质3，如果 且 ，那么 （两边同除以一个不为 的数，等式仍成立）． 3.由性质1、2 还可以得到： 如果 ，那么 ； 如果 ，那么 ． 这正是解方程时"移项"的依据． 4.方程：含有未知数的等式叫做方程； 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（也叫做根）； 方程的所有解组成的集合叫做方程的解集． 5.一元一次方程 的解集： 当 时解集为 ； 当 时，若 则解集为 ， 若 则解集为 ． 特别提醒： 由 不能直接约去 得到 ，因为 可能为 ； 只有当 时，才能由 推出 ． 知识点02 一元二次方程及其根与系数的关系 1.一元二次方程的一般形式：（）． 2.判别式：． 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； 当 时，方程没有实数根． 3.求根公式：当 时，． 4.因式分解法：把方程整理成一边为 ，另一边分解为两个一次因式的乘积，即化成 的形式，从而得两根 、． 5.根与系数的关系（韦达定理）：若 、 是一元二次方程 （）的两个根，则 ，． 6.常用变形：；；． 特别提醒： 韦达定理的前提是方程有实数根（）．使用前要先确认，否则会得到错误的结论． 知识点03 方程组的解集 1.二元一次方程组：由两个二元一次方程联立组成的方程组，它的解是一对有序实数，记作 ． 2.代入消元法：由一个方程解出某个未知数（用含另一个未知数的式子表示），代入另一个方程，消去一个未知数． 3.加减消元法：把两个方程适当变形后相加（减），消去一个未知数．同一未知数系数相同就相减，系数相反就相加． 4.方程组的解集用集合表示，如解集为 ． 特别提醒： 解方程组的基本思想是"消元"，消元后通常化为一元一次方程（或一元二次方程）再求解． 知识点04 不等式及其性质 1.不等式：用不等号（、、、、）连接的式子叫做不等式． 2.不等式的基本性质： 性质1（对称性），； 性质2（传递性）， 且 ； 性质3（可加性），； 性质4（可乘性）， 且 ， 且 ． 3.由基本性质还可以得到： 且 （同向可加）； 且 （正数同向可乘）； （ 为正整数）． 4.比较大小的常用方法——作差法： ；；． 特别提醒： 不等式两边同乘（或同除以）一个负数，不等号的方向一定要改变，这是最容易出错的地方． 知识点05 一元二次不等式的解法 1.把不等式整理成一般形式 （或 、、）要先把二次项系数化为正数． 2.当 时，设方程 的两根为 （对应 ）： 对 ，解集为 或 （大于取两边）； 对 ，解集为 （小于取中间）． 3.当 时，（）的解集为 ， 的解集为 ． 4.当 时，（）的解集为 ， 的解集为 ． 5.解一元二次不等式的一般步骤："一看系数（化为正），二算判别式，三求根，四写解集"． 特别提醒： "大于取两边、小于取中间"的前提是二次项系数 ；若 ，要先把不等式两边同乘 并改变不等号方向． 知识点06 均值不等式及其应用 1.重要不等式：对任意实数 、，有 ，当且仅当 时取等号． 2.基本不等式（均值定理）：对任意正数 、，有 ，当且仅当 时取等号；其中 叫做 、 的算术平均数， 叫做 、 的几何平均数． 3.基本不等式的变形：；． 4.使用条件"一正、二定、三相等"：、 都必须是正数；和（或积）要为定值；等号必须能够取到．三者缺一不可． 5.常用结论：若 ，则 ，当且仅当 时取等号；若 、 且 （定值），则 ． 特别提醒： 用基本不等式求最值后，一定要验证等号能否取到；取不到等号时要改用单调性等其他方法． 知识点07 绝对值不等式与分式不等式 1.绝对值不等式： ； 或 （）． 解 先化为 再求解． 2.零点分段法：含多个绝对值（如 ）时，先求出各零点把数轴分段，再在每一段上去掉绝对值符号求解，最后取各段解的并集． 3.分式不等式： 与 同解；若带等号，还必须补上 ． 4.移项通分：解分式不等式要先移项化为"一边为 0"的标准形，再通分成一个分式，切忌两边同乘含 的式子（符号未知）． 5.特别提醒：一元二次不等式先看二次项系数的正负—— 时两边同乘 化为 ，不等号方向要改变． 考点01 等式的性质与方程的解集 考点内容：等式的三条基本性质；方程、方程的解与解集的概念；一元一次方程的求解；由方程的解求参数． 常见考法： ① 利用等式性质对方程进行变形 ② 解一元一次方程并写出解集 ③ 由方程的解（根）求参数的值 ④ 判断等式变形是否正确 ⑤ 讨论含参数方程解的情况 易错提醒：由 不能直接约去 ；只有 时才能由 推出 ． 考点02 一元二次方程及其根与系数的关系 考点内容：一元二次方程的一般形式；判别式；求根公式；因式分解法；根与系数的关系及其变形． 常见考法： ① 用因式分解法或求根公式解一元二次方程 ② 由判别式判断方程根的情况 ③ 用根与系数的关系求两根之和、之积 ④ 由根与系数的关系求对称式的值 ⑤ 由根的情况求参数的取值范围 易错提醒：使用韦达定理前必须先确认方程有实根（），否则会得到错误结论． 考点03 方程组的解集 考点内容：二元一次方程组；代入消元与加减消元；解集的有序数对表示． 常见考法： ① 用代入消元法解二元一次方程组 ② 用加减消元法解二元一次方程组 ③ 把方程组的解写成有序数对的集合 ④ 由方程组的解求参数 ⑤ 判断方程组解的情况 易错提醒：方程组的解是一对有序实数，写解集时不要漏掉括号与逗号． 考点04 不等式及其性质 考点内容：不等式的概念；不等式的基本性质；作差法比较大小；由性质进行推理． 常见考法： ① 判断不等式变形是否正确 ② 用不等式的性质比较式子的大小 ③ 由不等式性质判断命题的真假 ④ 利用作差法证明不等式 ⑤ 由不等式性质求代数式的取值范围 易错提醒：不等式两边同乘（除以）负数时，不等号方向必须改变． 考点05 一元二次不等式的解法 考点内容：一元二次不等式的概念；二次函数图象与不等式解集的关系；解集的书写． 常见考法： ① 解一元二次不等式并写出解集 ② 把解集用区间表示 ③ 由一元二次不等式的解集反求系数 ④ 解可化为一元二次不等式的分式不等式 ⑤ 求一元二次不等式在给定区间上的成立条件 易错提醒：解不等式前先看二次项系数的正负，"大于取两边、小于取中间"只在 时成立． 考点06 均值不等式及其应用 考点内容：均值不等式；基本不等式及其变形；使用条件；求最值与证明不等式． 常见考法： ① 直接用基本不等式求最值 ② 用配凑法（加项、拆项）求最值 ③ 用"乘 1 法"求最值 ④ 用基本不等式证明不等式 ⑤ 判断等号能否取到 易错提醒：使用基本不等式必须满足"一正、二定、三相等"，缺一不可． 考点07 绝对值不等式与分式不等式 考点内容：绝对值不等式的解法；零点分段法；分式不等式的解法；解集反求参数；含参数不等式的分类讨论． 常见考法： ① 解 或 型的不等式 ② 用零点分段法解含两个绝对值的不等式（或求其最小值） ③ 解分式不等式：移项通分后按符号规律转化为整式不等式 ④ 由不等式的解集反求参数的值或取值范围 ⑤ 含参数的一元二次不等式：按两根的大小分类讨论 易错提醒：分式不等式不能盲目去分母；写成区间时端点取不取到要逐点核对． 1 等式与方程 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 判别式 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根 2 求根公式 前提是 3 根与系数的关系 ， 用于 （），需 4 常用变形 2 不等式与均值定理 序号 名称 公式（符号语言） 说明 5 不等式的可乘性 ； 乘负数要变号 6 比较大小（作差法） 作差后分解因式或配方判断符号 7 一元二次不等式的解集 （）： 或 大于取两边、小于取中间 8 基本不等式 （，） 当且仅当 时取等号 9 绝对值不等式 ； 或 （） 口诀"小于取中间、大于取两边"； 先整体换元 10 分式不等式 先移项通分成标准形，且必须有 11 均值不等式链 （，） 当且仅当 时取等号；求最值要先凑出定值 辨析01 由 不能直接约去 由 得 ，即 ，故 或 ．只有当 时，才能由 推出 ．不少同学见到 就直接约去，恰好漏掉 的情形，这是等式变形最典型的错误． 辨析02 不等式两边同乘负数要变号 由 且 得 ，不等号方向要改变；同乘正数则方向不变．当乘除的式子正负未知时，必须按正、零、负分类讨论． 辨析03 韦达定理的前提是方程有实根 对 （），只有 时才有两根 、，此时才能用 、．若题目未说明有实根，应先由 求出参数范围． 辨析04 "大于取两边、小于取中间"的前提是 对 ，只有二次项系数 时解集才是"两边"；若 ，应先把不等式两边同乘 （并改变不等号方向），化为二次项系数为正再求解． 辨析05 判别式决定一元二次方程根的情况 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根．判断根的个数、求参数范围、讨论函数图象与 轴的交点，都以判别式为第一依据． 辨析06 基本不等式要满足"一正、二定、三相等" 用 求最值时：、 必须为正数；和（或积）要为定值；等号必须能取到．三者缺一，结论就可能出错． 辨析07 作差法比较大小要走完三步 比较 与 的大小：作差 ，因式分解（或配方），判断符号．最后一步的符号判断是关键，不要做完差就急着下结论． 辨析08 方程解集与不等式解集要分清 方程 的解集是若干个数（离散的点），用列举法表示；不等式 的解集是一段或几段区间，必须写成集合或区间的形式．两者形式完全不同． 辨析09 由 求 要讨论 的正负 解 时：若 则 ；若 则 ；若 ，再看 ， 时解集为 ， 时解集为 ．直接写 是不全面的． 辨析10 均值不等式的等号要验证 用基本不等式求得最值后，一定要回代验证等号能否取到．等号对应某个具体的值，若该值不在题目允许的范围内，则这个最值不能用基本不等式得到． 辨析11 分式不等式不能直接去分母 解 时，若两边同乘 ，就必须知道 的符号，而 含 时符号未知，直接乘会改变不等号方向或漏解．正确做法是先移项通分，化为"一个分式与 0 比较"的标准形，再利用"同号相除为正"转化为 求解，最后补上分母不为 0 的限制． 辨析12 含参数不等式讨论要按根的大小排序 解含参数的一元二次不等式（如 ）时，两根 与 1 的大小关系未知，必须按 、、 三类分别讨论，再各自写出解集；漏掉两根相等的情形（此时解集为空集或退化）是最常见的失分点． 【题型一】等式的性质与方程的解集 【例1】（25-26高一上·山东青岛·期中）方程 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式1-1】已知为实数，且，则下列不等式一定成立的是（　　）． A． B． C． D． 【变式1-2】已知实数,若,则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）已知，则下列不等式不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】一元二次方程及其根与系数的关系 【例2-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）方程 的解集是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【例2-2】（25-26高一上·辽宁沈阳市养士堡中学·期中）若关于x的方程的两根分别是，则（　　） A．6 　　B．7 　　C．8 　　D．9 【变式2-1】（24-25高一上·河南信阳·阶段检测）若关于的不等式的解集为，则（　　） A． 　　B． 　　C．5 　　D．7 【变式2-2】（25-26高一上·云南红河·期末）若m，n是关于的方程的两个正实数根，则的最小值为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型三】一元二次不等式的解法 【例3】（25-26高一上·广东广州·期中）不等式 的解集是（　　） A．　B． 或 　C．　D． 或 【变式3-1】不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】不等式的解集是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型四】均值不等式及其应用 【例4】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知 ，则 的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式4-1】已知，且，则的最小值为（　　） A．12　　 B．10　　 C．9　　 D．8 【变式4-2】已知，且，则的最小值为（　　） A．12 　　B．10 　　C．9 　　D．8 【题型一】等式变形时忽视"除以的式子是否为零" 【例1】若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 易错警示　 由""不能直接约去 得到 ，因为 可能为 ．应先把一边移到另一边、提取公因式，再分类判断，才不会漏解． 【变式1-1】若，不等式恒成立，则有（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式1-2】（5-26高一上·辽宁七校协作体·期中）已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（　　） A．1 　　B．2 　　C．3 　　D．4 【题型二】解一元二次不等式时忽视二次项系数的符号 【例2】（25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 易错警示　 不能由 直接开方得 （开方时要考虑负数的情况）．应先把不等式化为一边为 的形式，再因式分解求解． 【变式2-1】不等式的解集是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（　　） A． 　　B．3 　　C． 　　D．6 【题型三】使用均值不等式时忽视"一正二定三相等" 【例3】（25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中）已知，，，则的最小值为（　　） A． 　　B．6 　　C． 　　D． 易错警示　 时 与 都是负数，不能直接用"和大于等于 倍根号积"．要先提取负号、把各项化为正数，再用基本不等式，最后把不等号方向还原． 【变式3-1】（24-25高三下·辽宁沈阳·开学考试）已知且，则的最小值为（　　） A．9 　　B．10 　　C． 　　D．8 【变式3-2】古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时，提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型.这类问题不仅是平面几何的重要延伸，也为后世代数最值求解提供了思想基础.现已知正实数，满足，则的最小值为（　　） A．2 　　B．3 　　C． 　　D． 【题型一】含参数的一元二次不等式与解集反求 【例1】关于的不等式的解集是或，则________. 【变式1-1】不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型二】根与系数关系的综合应用 【例2】（24-25高一上·天津·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式 的解集（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-1】（25-26高一上·浙江·期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　　C．或 　　D．或 【变式2-2】（24-25高一上·辽宁·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型三】均值不等式的配凑技巧 【例3】（25-26高一上·辽宁协作体·期中）已知是正数，且，则的最小值为（　　） A．1 　　B．2 　　C．3 　　D．4 【变式3-1】设正实数a，b满足，则的最小值为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式3-2】（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）已知，，，则的最小值是（　　） A．4 　　B．6 　　C． 　　D． 【题型一】因式分解模型（解一元二次方程） 【模型解读】 解一元二次方程优先考虑因式分解：把方程整理成一边为 ，另一边分解成两个一次因式的乘积，再由"两个因式之积为 则至少一个为 "得出两根． 结论： 若能分解为 ，则 或 ；分解前必须先把方程化为一般形式，且不能两边同除以含 的式子． 【例1】下面四个不等式中解集为空集的是（　　） A． 　B． 　C． 　D． 【变式1-1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式1-2】（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）不等式的解为（　　） A． 　　B．或 　　C． 　　D．或 【题型二】韦达定理模型（根与系数的关系） 【模型解读】 已知一元二次方程两根之间的关系，可直接用 、，不必求出具体的根． 结论：使用前先验证 ；求对称式的值时，先把目标式用 、 表示，再代入数值． 【例2】（24-25高一上·贵州六盘水·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-1】（25-26高一上·山东泰安·期中）已知关于不等式解集为，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-2】（24-25高一上·山东菏泽·期中）已知，是两个不相等的实数，满足，，，则（　　） A．2 　　B．3 　　C．4 　　D．5 【题型三】数轴标根模型（解一元二次不等式） 【模型解读】 把一元二次不等式化成 （）的形式后，在数轴上标出两根，大于取两边、小于取中间． 结论：二次项系数必须化为正； 时 的解集为 、 的解集为 ；端点是否取到由不等号是"严格"还是"非严格"决定． 【例3】已知，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（　　） A． 　B． 　C． 　D． 【变式3-2】若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【题型四】作差比较大小模型 【模型解读】 比较两个代数式（或两个数）的大小，作差后判断符号：差为正则前者大，差为负则前者小． 结论：比较大小"作差 → 因式分解或配方 → 判断符号"三步走完再下结论；含有字母且范围明确时，也可用特殊值法快速检验． 【例4】（24-25高一上·北京·期中）奇函数的定义域为，当时的图象为如图所示折线，则不等式的解集是（　　） A． 　　B． C． 　　 D． 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁朝阳市建平县实验中学·期中）已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式4-2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知，，，则，的大小关系为（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D．与的取值有关 【题型五】均值不等式的配凑模型（求最值） 【模型解读】 用基本不等式求最值，关键是把式子"凑"出定值：缺项就加项补项，结构不符合就拆项、或用"乘 1 法"变换． 结论：常用技巧——加项减项凑定值；"乘 1 法"（如已知 ，把目标式乘 ）；求出最值后必须验证等号能否取到． 【例5】（24-25高三上·吉林·期末）已知正数满足，则的最大值为（　　） A．1 　　B． 　　C． 　　D． 【变式5-1】（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（　　） A．8 　　B．7 　　C．6 　　D．5 【变式5-2】如果，那么的最小值为（　　） A． B． C． D． 【题型六】含参数不等式的分类讨论模型 【模型解读】 含参数的不等式，参数的取值会影响解集的形式，必须按参数分类讨论，再逐类求解． 结论：先确定分类标准（二次项系数是否为 、判别式 的符号、两根的大小关系），再逐类求解，最后汇总各类结果． 【例6】（24-25高一上·江苏连云港·阶段检测）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式6-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段检测）已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式6-2】（23-24高一上·青海西宁·期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C．或 　　D． 【题型七】方程组的消元模型 【模型解读】 解方程组的基本思路是"消元"——代入消元或加减消元，把两个未知数化为一个未知数，转化成方程求解． 结论：代入消元适用于其中一个方程能方便地表示某个未知数；加减消元适用于同一未知数的系数相同或相反；方程组若有解，解是有序数对 ． 【例7】（23-24高一上·上海嘉定·期中）方程组的解集是（　　） A． 　　B．或 　　C． 　　D． 【变式7-1】若 且 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式7-2】若 ，，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 技巧 一句话要点 等式变形——"除法先看分母" 由 得 是安全的（已保证 ）；由 得 前必须确认 ． 解一元二次方程——"先分解再求根" 整理成一边为 ，能因式分解就分解，不能分解再用求根公式． 判别式——"先算 再谈根" 讨论根的个数、求参数范围，第一步都算 ． 韦达定理——"用前先看 " 只有方程有实根时，才能用 、． 对称式——"化为和与积" ，． 解一元二次不等式——"一看系数二算 " 先把二次项系数化为正，再算判别式、求根、写解集． 一元二次不等式——"大于取两边、小于取中间" 前提是二次项系数为正，否则先变号再解． 方程与不等式要分清 方程的解集是若干个数，不等式的解集是区间（集合），形式不能混． 作差比较大小——"差后分解定符号" 作差 → 因式分解或配方 → 判断符号，三步走完再下结论． 不等式乘负数要变号 且 时 ，不等号方向改变． 基本不等式——"一正二定三相等" 都为正数、有定值、等号能取到，三者缺一不可． 求最值先凑定值 缺项补项、拆项，或用"乘 1 法"，凑出"和为定值"或"积为定值"． 基本不等式等号要验证 记下等号成立的条件（如 ），代回检验是否在取值范围内． 含参数不等式——"按标准分类讨论" 二次项系数是否为 、 的符号、两根大小，逐一讨论后汇总． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $