专题02 集合的运算（4个考点梳理，10题型解读+提升训练）（期中知识清单）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题02 集合的运算 【清单01】交集 1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B. 2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 3.图示： 4.性质与结论：A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A. 【清单02】并集 1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B 2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 3.图示： 4.性质与结论：A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B 【清单03】补集 1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. 3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 4.图示： 5.拓广解读： (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． 【清单4】集合中元素的个数 【考点题型一】交集运算 【例1】（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（河北省保定市2022-2023学年高一上学期期末调研考试数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·福建泉州·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】根据交集运算结果求集合或参数 【例2】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知集合，若为单元素集合时，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）设集合，若，则（    ） A． B．0 C．2 D． 【变式2-2】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）设集合，，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）若集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-4】（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）已知集合，若，则m的取值范围是 . 【考点题型三】并集运算 【例3】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三上·湖南永州·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·四川·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】根据并集运算结果求集合或参数 【例4】（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）已知集合或，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）设集合，．若；则a= ． 【变式4-4】（24-25高三上·辽宁·开学考试）设，若，则实数的取值集合为 . 【考点题型五】补集运算 【例5】（2024·广东珠海·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高三下·北京·开学考试）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 【考点题型六】根据补集运算结果求集合或参数 【例6】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则 . 【变式6-1】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【变式6-3】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . 【变式6-4】（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设全集，集合，若，则实数 ． 【考点题型七】交集、并集、补集的综合运算 【例7】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，或，当时.求： (1)； (2). 【变式7-1】（24-25高三上·河北·开学考试）设全集是实数集，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·浙江·开学考试）设集合，求，. 【变式7-3】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，求，，． 【变式7-4】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 【考点题型八】根据集合的运算求参数 【例8】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)已知全集，若，求实数的取值范围. 【变式8-1】（2024·贵州贵阳·二模）设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，且，，，则 . 【变式8-4】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【考点题型九】集合运算中元素的个数问题 【例9】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24高一上·吉林·期末）集合，，则中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 【变式9-3】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 【变式9-4】（23-24高一上·重庆南岸·期中）重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ． 【考点题型十】集合新定义问题 【例10】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 【变式10-1】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】（多选）（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【变式10-3】（多选）（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【变式10-4】（24-25高一上·广西·开学考试）定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合的运算 【清单01】交集 1.定义：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B. 2.符号：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 3.图示： 4.性质与结论：A∩A＝A；A∩∅＝∅；A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B；A∩B＝B⇔B⊆A. 【清单02】并集 1.定义：一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B 2.符号：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 3.图示： 4.性质与结论：A∪A＝A；A∪∅＝A；A∪B＝B∪A；A⊆(A∪B)；B⊆(A∪B)；A∪B＝B⇔A⊆B 【清单03】补集 1.全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集. 2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA. 3.符号：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}. 4.图示： 5.拓广解读： (1)简单地说，∁UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合． (2)性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． (3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的图示． 【清单4】集合中元素的个数 【考点题型一】交集运算 【例1】（24-25高三上·四川绵阳·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果. 【详解】解不等式可得， 又可得只有当时，的取值分别为在集合中， 所以. 故选：C 【变式1-1】（23-24高三下·四川德阳·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合交集运算求解即可. 【详解】, 故选：C. 【变式1-2】（河北省保定市2022-2023学年高一上学期期末调研考试数学试题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集的概念计算即可. 【详解】根据交集的概念可知。 故选：C 【变式1-3】（2024·福建泉州·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、根式不等式 【分析】应用排除法或先求集合A,再结合集合的交集判断求解. 【详解】解法一：（排除法）因符合题意，排除D；因为符合题意，排除； 解法二：因为，所以， 故选:C. 【变式1-4】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解出集合，再利用交集含义即可得到答案. 【详解】， 而，则. 故选：A. 【考点题型二】根据交集运算结果求集合或参数 【例2】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知集合，若为单元素集合时，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可； 【详解】因为集合，若为单元素集合， 则方程组只有唯一解， 所以，整理可得， 当时，方程变为，此时，符合题意； 当时，， 所以或， 故选：C. 【变式2-1】（24-25高三上·陕西安康·开学考试）设集合，若，则（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得. 【详解】集合，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C 【变式2-2】（24-25高三上·广东汕头·开学考试）设集合，，若，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】将代入方程求出，再求集合即可. 【详解】由可知， 当时，，解得：或，即. 故选：B 【变式2-3】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）若集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案． 【详解】因为，所以， 即或者，解之可得或或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。 所以实数a的个数为2个. 故选：B 【变式2-4】（河北省部分地区2025届高三上学期9月摸底考试数学试卷）已知集合，若，则m的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】化简集合,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解. 【详解】 因为 所以或 解得：或 故答案为：或 【考点题型三】并集运算 【例3】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出集合，再求出. 【详解】由， 则， 故选：B. 【变式3-1】（24-25高三上·黑龙江伊春·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集运算求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高三上·湖南永州·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到或，所以， 又由，得到，所以，得到， 故选：A. 【变式3-3】（2023·四川·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解不等式求集合M，进而根据并集运算求解. 【详解】因为，解得，即， 且，所以． 故选：C． 【变式3-4】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】解一元二次不等式求出集合，然后由并集运算可得. 【详解】解不等式得，即， 又，所以. 故选：A 【考点题型四】根据并集运算结果求集合或参数 【例4】（24-25高三上·河南·开学考试）已知集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、公式法解绝对值不等式 【分析】求出集合，根据集合的包含关系列不等式组求解可得. 【详解】因为，所以， 当时，，不满足题意； 当时，由解得， 依题意有，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 【变式4-1】（2024高一·全国·专题练习）已知集合或，.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】利用给定条件建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】依题意得解得. 故选：B 【变式4-2】（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 【变式4-3】（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）设集合，．若；则a= ． 【答案】2 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】先化简，再利用集合的性质，以及集合的计算求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以是整数，且，再由集合中元素的互异性知，，． 所以a是整数，且，，，得． 当时，，，故，满足条件． 故答案为：2． 【变式4-4】（24-25高三上·辽宁·开学考试）设，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】化简集合，即可根据分别求解. 【详解】由可得, 由于,故, 因此， ， ， 故实数的取值集合为， 故答案为： 【考点题型五】补集运算 【例5】（2024·广东珠海·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算 【分析】由条件，结合补集的运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B. 【变式5-1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】利用补集的概念进行求解. 【详解】. 故选：C 【变式5-2】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，进而根据补集的定义求得. 【详解】因为， 所以， 故选：A. 【变式5-3】（23-24高三下·北京·开学考试）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先用列举法表示集合A，再求补集即可. 【详解】因为, 所以, 因为, 所以, 所以. 故选：B. 【变式5-4】（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）已知全集，，则 ． 【答案】 【知识点】补集的概念及运算 【分析】化简集合，再求补集. 【详解】，且， 当时，，故． 故答案为： 【考点题型六】根据补集运算结果求集合或参数 【例6】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知全集，集合，且，则 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】由题设知，应用分类讨论求参数值. 【详解】由题设知：， 若；若无解； 所以. 故答案为： 【变式6-1】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】利用集合的补集概念即得. 【详解】依题，由可得，. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知全集，，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集的定义求出，从而求出、的值，即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以，所以. 故选：C 【变式6-3】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）设集合，，，若，则 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】根据补集的运算可得，即可列等式求解. 【详解】由可得，由于，所以，所以，解得， 故答案为： 【变式6-4】（22-23高一上·黑龙江哈尔滨·开学考试）设全集，集合，若，则实数 ． 【答案】－3 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、补集的概念及运算 【分析】由题意确定，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 【考点题型七】交集、并集、补集的综合运算 【例7】（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，或，当时.求： (1)； (2). 【答案】(1)或 (2) 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】（1）求出集合A，再根据交集运算即可； （2）先求实数上B的补集，再求并集运算即可. 【详解】（1）当时，， 或， 或； （2）或， ， . 【变式7-1】（24-25高三上·河北·开学考试）设全集是实数集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、公式法解绝对值不等式 【分析】化简集合，再利用补集、交集的定义直接求解即得. 【详解】依题意，，则，又， 所以. 故选：B 【变式7-2】（24-25高一下·浙江·开学考试）设集合，求，. 【答案】，，. 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】根据给定条件，利用交集、并集、补集的定义求解即得. 【详解】集合， 所以，， 或，则. 【变式7-3】（23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、交并补混合运算 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 【变式7-4】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，.求： (1)集合； (2)集合； (3)集合，. 【答案】(1)或. (2)或. (3)，或. 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、补集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数 【分析】（1）由补集的定义求解即可； （2）由补集和交集的定义求解即可； （3）由交集和并集的定义求解即可. 【详解】（1）借助数轴可得    ∴或. （2）∵，    ∴＝或.    或. （3），    或. 【考点题型八】根据集合的运算求参数 【例8】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)已知全集，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据补集运算确定集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）先求集合，再结合集合的交集运算求解即可； （2）根据题意分析可知，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）由题意可得：，， 当时，因为， 所以. （2）由（1）可得：，， 因为，则，可知， 则或，解得或， 所以实数a的取值范围为. 【变式8-1】（2024·贵州贵阳·二模）设全集，集合满足，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、补集的概念及运算 【分析】根据补集的含义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：A. 【变式8-2】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得，得到，结合题意得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，， 可得， 因为，所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：C. 【变式8-3】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知，且，，，则 . 【答案】 【知识点】利用Venn图求集合、根据补集运算确定集合或参数、根据并集结果求集合或参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】根据集合间的运算结果推出，并画出韦恩图验证，得到答案. 【详解】由题意得， 又，故， 又，故，且，， 因为，故，， 因为，故，， 综上：，画出韦恩图如下： 故答案为： 【变式8-4】（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解； （2）分类讨论，利用补集和并集的定义可求得结果. 【详解】（1）集合，，， 则由交集的定义可知，且，解得. （2）当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，或， 若，则，解得， 综上，实数的取值范围是. 【考点题型九】集合运算中元素的个数问题 【例9】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有人听了数学讲座，人听了历史讲座，人听了音乐讲座，记 是听了数学讲座的学生，是听了历史讲座的学生，是听了音乐讲座的学生.用来表示有限集合中元素的个数，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据交集结果求集合元素个数、根据并集结果求集合元素个数、利用Venn图求集合 【分析】将已知条件用Venn图表示出来，然后逐项求解即可判断. 【详解】将已知条件用Venn图表示出来如下图， 对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误； 故选：B.    【变式9-1】（23-24高一上·吉林·期末）集合，，则中元素的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合元素个数 【分析】先解不等式，求出集合，然后得到，即可求解. 【详解】解不等式可得：， 因为,所以集合, 又， 所以， 所以中元素的个数为. 故选：. 【变式9-2】（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知集合，则的元素个数为（    ） A．8 B．7 C．5 D．2 【答案】A 【知识点】根据并集结果求集合元素个数、解不含参数的一元二次不等式、并集的概念及运算 【分析】化简集合即得解. 【详解】解：解不等式，得，则， 因为， 所以. 所以的元素个数为8个. 故选：A 【变式9-3】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）为丰富学生的课外活动，学校开展了“数学建模选修课”和“语文素养选修课”，两项选修课都参与的有30人，两项选修课都没有参与的有20人，全校共有317人.问只参与一项活动的同学有多少人？（    ） A．237 B．297 C．277 D．267 【答案】D 【知识点】容斥原理的应用、根据交集结果求集合元素个数、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据补集运算确定集合或参数 【分析】应用Venn图求解即可. 【详解】画出Venn图.全集表示全校学生， 分别用集合表示参与“数学建模选修课”和“语文素养选修课”的学生， 则表示两项选修课都参与的学生， 表示两项选修课都没有参与的学生则可用表示，即. 由题意可知，全集元素的个数为317，元素的个数为30， 元素的个数为20， 则阴影部分表示只参与一项活动的学生，设有人， 则， 故只参与一项活动的学生数为, 故选：D. 【变式9-4】（23-24高一上·重庆南岸·期中）重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是 ． 【答案】 【知识点】集合的应用 【分析】根据集合的知识求得正确答案. 【详解】设只喜欢“大阅读”的有人，两者都喜欢的有人，只喜欢“科技嘉年华”的有人， 则，解得. 故答案为： 【考点题型十】集合新定义问题 【例10】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）当时， 定义运算: 当时， ；当时，； 当或时，； 当时，； 当时，．在此定义下， 若集合， 则中元素的个数为 ． 【答案】14 【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义 【分析】根据定义运算，分成五类情况分别列举符合条件的元素，合并即得集合. 【详解】①当时，，所以或或； ②当时，，所以或或； ③当或时，， 所以或或或或或； ④当时，； ⑤当时，． 所以， ，共14个元素． 故答案为：14. 【变式10-1】（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）定义集合的一种运算：，若，则中的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】计算可求得，可得结论. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 故中的元素个数为3. 故选：C. 【变式10-2】（多选）（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、集合新定义 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 【变式10-3】（多选）（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABCD 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、集合新定义 【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，若，则，， 要证，只需要证，即证， 即证，即证，即证， 因为，，所以上式成立，所以，故D正确. 故选：ABCD. 【变式10-4】（24-25高一上·广西·开学考试）定义集合运算：.已知集合，则集合有 个真子集. 【答案】15 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据题中定义，结合集合真子集个数公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以，则集合有个真子集. 故答案为：15 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$