专题06 函数的单调性与奇偶性（5个考点梳理，10题型解读+提升训练）（期中知识清单）高一数学上学期人教B版2019必修第一册

专题06 函数的单调性与奇偶性 【清单01】单调性的定义与证明 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．证明函数单调性的定义法： 【清单02】函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 【清单03】函数的平均变化率 1.函数单调性与平均变化率 2.利用平均变化率证明单调性 （1）∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． （2）步骤：设元--算差--求比--定号--结论 【清单04】函数的奇偶性 .1.函数的奇偶性及函数图像的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 【清单05】函数奇偶性的应用 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. 2.提醒：函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【考点题型一】判断、证明函数的单调性 【例1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【变式1-1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 【变式1-4】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【考点题型二】求函数的单调区间 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【变式2-1】（23-24高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 【变式2-2】（23-24高一·上海·课堂例题）试讨论函数的单调性. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，,根据图象写出它的单调区间． 【变式2-4】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知定义域为的函数满足： ①对任意；②当时，. (1)求在实数集上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象； (3)写出的单调递增区间. 【考点题型三】根据函数的单调性求参数 【例3】（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为 . 【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）若函数在上是减函数，则（    ）. A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【考点题型四】应用函数单调性解不等式、比较大小 【例4】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【变式4-1】（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 【变式4-4】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【考点题型五】应用函数单调性求最值 【例5】（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【变式5-1】（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 . 【变式5-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式5-3】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【变式5-4】（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【考点题型六】函数奇偶性的判断 【例6】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【变式6-1】（23-24高一上·天津·期中）下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【变式6-4】（多选）（2023秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】由函数的奇偶性求函数值、解析式 【例7】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【变式7-1】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，则 【变式7-2】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则 . 【变式7-3】（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则 . 【变式7-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【考点题型八】抽象函数的奇偶性问题 【例8】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【变式8-1】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【变式8-2】（多选）（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【变式8-4】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【考点题型九】由函数的奇偶性求参数 【例9】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数是实数集R上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论. 【变式9-1】（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式9-2】（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式9-4】（23-24高一上·天津·期中）若函数为奇函数,则 【考点题型十】函数性质的综合应用 【例10】（23-24高一上·天津·期中）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，. (1)证明：为奇函数. (2)解不等式. (3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【变式10-1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（19-20高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的单调递减的，且函数是偶函数，那么（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【变式10-4】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数的单调性与奇偶性 【清单01】单调性的定义与证明 1.单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数 单调区间 I是y＝f(x)的增区间 I是y＝f(x)的减区间 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 2．证明函数单调性的定义法： 【清单02】函数的最值 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为； 设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的 ，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为 【清单03】函数的平均变化率 1.函数单调性与平均变化率 2.利用平均变化率证明单调性 （1）∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． （2）步骤：设元--算差--求比--定号--结论 【清单04】函数的奇偶性 .1.函数的奇偶性及函数图像的对称性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有 并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 2.提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． (2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： ①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔. ②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔. 【清单05】函数奇偶性的应用 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”. 2.提醒：函数奇偶性的四个重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)． 【考点题型一】判断、证明函数的单调性 【例1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 【知识点】已知f（g（x））求解析式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为， 所以. （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 【变式1-1】（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用函数单调性定义可判断得结果. 【详解】选项A：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确； 选项B：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误； 选项C：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误； 选项D：任取，则， 又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误； 故选：A. 【变式1-2】（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据单调函数的定义，结合反比例函数、一次函数、二次函数和对勾函数的性质依次判断即可. 【详解】 因为“对于任意，都有”，所以在上单调递增. A：反比例函数在和上单调递减，故A不符合题意； B：一次函数在上单调递减，故B不符合题意； C：二次函数的对称轴为，开口向上， 所以该函数在上单调递增，故C符合题意； D：对勾函数在和上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 【变式1-3】（多选）（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则或 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域为 【答案】AD 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的值域或最值、分段函数的单调性 【分析】根据分段函数的定义及性质依次判断各选项即可. 【详解】对A，，故A正确； 对B，由，若，则，解得，不合题意， 若，则，解得，故B错误； 对C，当时，单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，的值域是， 当时，的值域为， 所以函数在上的值域为，故D正确. 故选：AD. 【变式1-4】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数. (1)证明:函数在区间上单调递减; (2)当时，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可. （2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域. 【详解】（1）函数，， 则， 当时，，则，即， 所以函数在区间上单调递减. （2）由（1）知，函数在上单调递减，则， 而，所以函数的值域为. 【考点题型二】求函数的单调区间 【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知函数，． (1)判断函数的单调性，并利用定义证明； (2)求在上的值域 【答案】(1)在上单调递减；证明见解析 (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据条件，利用单调性的定义即可证明结果； （2）利用单调性求最值，即可得到值域. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 故在上单调递减. （2）在上单调递减，所以 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 故值域为. 【变式2-1】（23-24高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为 【答案】和 【知识点】求函数的单调区间 【分析】分离常数即可求解. 【详解】， 所以的单调递增区间为和 故答案为：和 【变式2-2】（23-24高一·上海·课堂例题）试讨论函数的单调性. 【答案】函数在，，上单调递增. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】先确定函数的定义域，然后根据函数的单调性定义讨论即可. 【详解】函数的定义域为， 任取，则 , 当时，得，，，， 所以， 即，所以在上单调递增. 当时，得，，，， 所以， 即，所以在上单调递增. 当时，得，，，， 所以， 即，所以在上单调递增. 综上：函数在，，上单调递增. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知函数，,根据图象写出它的单调区间．． 【答案】单调递增区间为，单调递减区间为． 【知识点】求函数的单调区间、函数图象的应用 【分析】根据二次函数的性质作出函数图象，即可根据图象求解单调区间. 【详解】 函数图象如图所示． 由图象可知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式2-4】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知定义域为的函数满足： ①对任意；②当时，. (1)求在实数集上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象； (3)写出的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)、 【知识点】求函数的单调区间、由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象 【分析】（1）令，则有，即可结合函数性质计算出时解析式，再计算出即可得； （2）结合所得解析式即可画出； （3）由图象结合二次函数的性质即可得. 【详解】（1）当时，有，则， 又对任意，则， 即当时，， 有，故， 即； （2）如图： （3）由图象结合二次函数的性质可得， 该函数的单调递增区间为：、. 【考点题型三】根据函数的单调性求参数 【例3】（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据对勾函数的性质可得的单调性，则，解之即可求解. 【详解】由对勾函数的性质知在内为单调递增函数. 要使在内为单调递增函数，则，即， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 【变式3-1】（23-24高一下·全国·课后作业）若函数在上是减函数，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数是减函数，求解参数范围. 【详解】因为在上是减函数， 则，即. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数单调性的定义，可判断在单调递减， 再根据反比例函数的性质即可得到或，从而求出的取值范围. 【详解】由任意，都有，知在单调递减， 要使 在单调递减，则或，即或. 故选：A. 【变式3-3】（22-23高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可知函数在R上递减，结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数满足对任意实数，都有 成立， 不妨假设，则，可得，即， 可知函数在R上递减， 则，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式3-4】（22-23高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、二次函数的图象分析与判断、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数的对称性得出对称轴与的关系即可求解. 【详解】因为函数的对称轴为，图象开口向上， 所以函数在上单调递增， 因为函数在区间上单调递增， 所以， 解得. 故答案为：. 【考点题型四】应用函数单调性解不等式、比较大小 【例4】（23-24高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】解分段函数不等式 【分析】分，和进行不等式求解. 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-1】（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性得到，从而得到，即可求解. 【详解】因为为上的增函数， 所以由，得：， 即，即，解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小. 【详解】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 【变式4-3】（22-23高一上·北京·期中）已知函数，若，比较： （填“=、>、<、、”） 【答案】 【分析】法一：利用作差法即可得解； 法二：利用函数的单调性亦可得解. 【详解】法一：因为， 所以， 因为，所以， 所以，即. 法二：因为， 所以在上单调递减， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式4-4】（23-24高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】由题意易知函数在上单调递减，讨论与大小关系，再结合，利用单调性即可列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为对任意给定的实数，均有恒成立， 所以函数在上单调递减，又， 又不等式， 所以当，即时 ，， 则，解得，故； 当，即时 ，， 则，解得，故； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 【考点题型五】应用函数单调性求最值 【例5】（23-24高一上·河南安阳·期末）已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式5-1】（23-24高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值 【分析】首先将函数化简，利用对勾函数的单调性，即可求函数的最值. 【详解】， 设，而在上单调递增， 所以，当且仅当时等号成立， 则. 所以函数的最大值为. 故答案为： 【变式5-2】（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)单调递增；证明见解析 (2)最大值；最小值 【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明函数的单调性，从而可求解； （2）根据（1）中结论，从而可求出在区间上的最大值和最小值，从而求解. 【详解】（1）函数在区间上单调递增，证明如下： 由题意知的定义域为，，且，则， ， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知在上为增函数，所以在区间上， 当时，， 当时，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为. 【变式5-3】（23-24高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先转化，判断其单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证； （2）利用（1）中结论即可得解. 【详解】（1）因为， 因为在单调递减， 所以在单调递增. 定义法证明如下： 任取，，则， ， 所以，故在单调递增. （2）由（1）得在区间上单调递增， 所以，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 【变式5-4】（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、画出具体函数图象、求二次函数的值域或最值、分段函数的值域或最值 【分析】（1）由二次函数的性质作出图象即可； （2）由二次函数的性质得到分段函数的单调区间即可； （3）由分段函数的单调性和图象可得； 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 【考点题型六】函数奇偶性的判断 【例6】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性 (1) (2) (3) (4)， (5) (6)； (7) (8) 【答案】(1)奇函数 (2)偶函数 (3)非奇非偶函数 (4)非奇非偶函数 (5)非奇非偶函数 (6)奇函数 (7)偶函数 (8)非奇非偶函数 【分析】利用奇偶函数的定义逐个判断即可. 【详解】（1）的定义域为，它关于原点对称. ，故为奇函数. （2）的定义域为，它关于原点对称. ，故为偶函数. （3）的定义域为不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （4），的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （5）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数. （6）由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数. （7）对于函数，因为，所以， 其定义域为，关于原点对称.因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. （8）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 【变式6-1】（23-24高一上·天津·期中）下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数特征逐一判断即可. 【详解】对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误； 对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确； 对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误； 对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 【变式6-2】（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形得到，从而得到为奇函数，其他选项不合要求. 【详解】因为， 所以， 由于定义域为， 又， 故为奇函数，故为奇函数， 其他选项均不合要求. 故选：C． 【变式6-3】（23-24高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（    ） A．是奇函数， B．是奇函数， C．是偶函数， D．是偶函数， 【答案】C 【分析】 利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性，由解析式计算一一判定选项即可. 【详解】因为函数表达式为，定义域为， 所以，所以为偶函数； 又，所以C正确. 故选：C 【变式6-4】（多选）（2023秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据奇函数的定义逐个分析判断即可 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令， 对于A，的定义域为，因为， 所以是奇函数，所以A正确， 对于B，的定义域为，因为，所以为偶函数，所以B错误， 对于C，的定义域为，因为，所以，， 所以为非奇非偶函数，所以C错误， 对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数， 故选：AD 【考点题型七】由函数的奇偶性求函数值、解析式 【例7】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知函数类型求解析式、由奇偶性求函数解析式、求二次函数的解析式 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 【变式7-1】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，则 【答案】 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用 【分析】由题意计算可得，运算即可得解. 【详解】由题意可得， 即有 【变式7-2】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则 . 【答案】0 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据奇偶函数的性质求函数值即可. 【详解】因为是奇函数，所以. 因为为偶函数，所以. 取，得， 所以. 故答案为：0 【变式7-3】（24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则 . 【答案】 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数对称性的应用 【分析】结合题意计算可得函数的图象关于点成中心对称，利用函数对称性计算即可得解. 【详解】由且定义域为，则有， 则，故为奇函数， 故函数的图象关于点成中心对称， ， ， 又， . 故答案为：. 【变式7-4】（24-25高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据奇函数和偶函数的定义，通过解方程组进行求解即可. 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 【考点题型八】抽象函数的奇偶性问题 【例8】（23-24高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）利用赋值法结合已知条件可求解； （2）令，结合条件和函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）令，得， 令，得， 因为，所以，， 令，得，即， 因为，所以，所以. （2）为偶函数. 证明如下：令，得， 由（1）得， 即，又的定义域为，所以为偶函数. 【变式8-1】（23-24高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为，满足，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】通过对的赋值，结合奇函数、偶函数的概念逐项判断额. 【详解】由题意知，在函数中，2023， 当时，，解得， 若函数是上的奇函数，则该函数的图象必过原点，即有，故B错误. 当时，，解得， 无法得到，故A错误. 在函数中，， 所以是奇函数，故C错误，D正确. 故选：D. 【变式8-2】（多选）（23-24高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（   ） A． B．为奇函数 C．在R上单调递减 D．当时， 【答案】ABD 【知识点】求函数值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、比较函数值的大小关系 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得，， 又，故， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项，，， 又，故， 又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为 函数． 【答案】奇 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断 【详解】因为是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以， 所以为奇函数， 故答案为：奇. 【变式8-4】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)求，； (2)判断的奇偶性，并证明； 【答案】(1)，； (2)奇函数，证明见解析； 【分析】（1）利用赋值法即求； （2）由题可得，即证； 【详解】（1）取，得，即， 所以，因为， 又，得，可得； （2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称， 取，得，移项得， 所以函数是奇函数. 【考点题型九】由函数的奇偶性求参数 【例9】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数是实数集R上的奇函数. (1)求实数的值； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)函数是上的单调递减函数；证明见解析 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据题意，利用，求得，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）由（1）知，利用函数单调性的定义及判定方法，即可求解. 任取，且， 【详解】（1）解：因为函数是实数集R上的奇函数， 可得，解得，即， 可得， 所以，当函数为奇函数时，实数的值为. （2）解：由（1）知，函数， 任取，且， 则， 因为且，可得且， 所以，即， 所以函数是上的单调递减函数. 【变式9-1】（23-24高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】因为定义域为的奇函数，有,进而求解. 【详解】因为的定义域为, 所以, 解得, 经验证满足题意， 故选：B. 【变式9-2】（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 【变式9-3】（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 【变式9-4】（23-24高一上·天津·期中）若函数为奇函数,则 【答案】2 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】根据题目给出的函数为奇函数，运用奇函数的概念，由，即可求解. 【详解】由题意，函数为奇函数， 所以 恒成立，即，解得. 【考点题型十】函数性质的综合应用 【例10】（23-24高一上·天津·期中）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，. (1)证明：为奇函数. (2)解不等式. (3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）用赋值法先求出，再令即可得证； （2）先证明函数在上是减函数，再求得，最后将不等式转化为求解即可； （3）将题意转化为，恒成立即可. 【详解】（1）由题意函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，则，故. 令，则，故. 故为奇函数. （2）任取，且. 由题意，，， 故，即， 又，故在上为减函数. 因为，所以，， 故即， 即，化简可得，解得. （3）由（2）知在上为减函数，故在上最大值为. 要使对任意的，恒成立，则，即对任意恒成立. 又是关于的一次函数，故只需， 即，解得. 【变式10-1】（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先根据奇函数性质确认函数零点，再根据已知单调性可以求出函数在各个区间符号，由不等式性质可得解. 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且 又因，所以， 又因在为增函数，在上， 在上， 又因在为减函数，所以上， 综上，当时，，当时， 当时，则，所以，则， 当时，则，所以，则， 不等式可化简变形为， 综上所述可知当时，. 故选：D 【变式10-2】（19-20高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的单调递减的，且函数是偶函数，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是偶函数推出函数的单调性，结合的单调性可得在上单调递增，即可利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为是偶函数，所以， 所以函数图象的对称轴是直线，则， 因为在上是单调递减的且其图象关于直线对称， 所以在上单调递增，故. 故选：A 【变式10-3】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 【变式10-4】（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【知识点】由奇偶性求函数解析式、画出具体函数图象、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$