专题01 集合与常用逻辑用语（期中知识清单）高一数学上学期人教B版

专题01 集合与常用逻辑用语（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(5类) 公式清单(7类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(7类) 答题技巧清单 知识点01 集合的概念与表示方法 1.集合的概念：一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素． 2.元素与集合的关系：如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 ；如果 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作 ． 3.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，这是判断一组对象能否构成集合的唯一标准． 互异性：集合中的元素互不相同，相同的对象归入同一集合时只能算作一个元素． 无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要元素完全相同就是同一个集合． 4.常用数集及其记号：自然数集 ，正整数集 （或 ），整数集 ，有理数集 ，实数集 ． 5.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；不含任何元素的集合叫做空集，记作 ． 6.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，元素之间用逗号隔开，如 ． 7.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，一般形式为 或 ，其中竖线前是代表元素，竖线后是元素满足的条件． 8.区间表示：设 且 ，则闭区间 、开区间 、半开半闭区间 与 ；无穷区间记为 、、、． 9.Venn图：用一条封闭曲线（通常是圆或矩形）的内部表示集合，能直观显示集合之间的关系与运算． 10.特别提醒：用描述法表示集合时，一定要先看清代表元素的形式． 表示数集， 表示点集，二者完全不同． 知识点02 集合间的基本关系 1.子集：如果集合 的每一个元素都是集合 的元素，那么 叫做 的子集，记作 （或 ），读作" 包含于 "． 2.集合相等：如果 且 ，那么 ． 3.真子集：如果 且 ，那么 叫做 的真子集，记作 （或 ）． 4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．规定：空集是任何集合的子集，即 ；空集是任何非空集合的真子集． 5.子集个数：若集合 含有 个元素，则 有 个子集， 个真子集， 个非空真子集． 6.特别提醒：含参数的子集问题（如 ），一定要先考虑 的情形，再考虑 的情形，最后取并集． 知识点03 集合的基本运算 1.交集：由所有属于 且属于 的元素组成的集合，叫做 与 的交集，记作 ，即 且 ． 2.并集：由所有属于 或属于 的元素组成的集合，叫做 与 的并集，记作 ，即 或 ． 3.补集：设 是全集，由 中不属于 的所有元素组成的集合，叫做 在 中的补集，记作 ，即 且 ． 4.常用运算性质：，，，，，，． 5.德·摩根律：，． 6.运算与关系的转化：由 可得 ；由 可得 ． 7.特别提醒：在数轴上作区间运算时，实心点表示端点取到，空心圈表示端点不取到，含参数的端点必须逐点核对． 知识点04 充分条件与必要条件 1.如果 ，那么 是 的充分条件， 是 的必要条件． 2.如果 且 ，即 ，那么 是 的充分必要条件（简称充要条件）． 3.如果 但 ，那么 是 的充分不必要条件． 4.如果 但 ，那么 是 的必要不充分条件． 5.集合观点：设 ，．若 ，则 是 的充分条件；若 ，则 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件． 6.特别提醒：" 是 的充分条件"指的是 ，方向不能颠倒．判断时先写出推出方向，再对照定义下结论． 知识点05 全称量词与存在量词 1.全称量词："所有的""任意一个""一切""每一个"等叫作全称量词，用符号 表示；含有全称量词的命题叫做全称命题，形式为 ． 2.存在量词："存在一个""至少有一个""有些""有的"等叫作存在量词，用符号 表示；含有存在量词的命题叫做特称命题（存在性命题），形式为 ． 3.全称命题的否定： 的否定是 ． 4.特称命题的否定： 的否定是 ． 5.特别提醒：否定时"改量词、否结论"，但元素的取值范围 保持不变，这一点最容易写错． 考点01 集合的概念与表示方法 考点内容：集合与元素的概念；元素的三个特性；常用数集符号；列举法、描述法、区间与 Venn 图；有限集、无限集与空集． 常见考法： ① 判断一组对象能否构成集合（紧扣"确定性"） ② 判断元素与集合的关系，正确使用 与 ③ 用列举法或描述法表示集合，并识别代表元素是数还是点 ④ 把不等式（组）的解集用区间表示，注意端点的取与不取 ⑤ 由元素与集合的关系求参数的值，并检验互异性 易错提醒：描述法中代表元素一旦写错，数集与点集就会混淆；由元素与集合的关系求出参数后，必须代回原集合检验互异性． 考点02 集合间的基本关系 考点内容：子集、真子集、集合相等、空集；子集个数公式；含参数子集关系的分类讨论． 常见考法： ① 判断两个集合之间的关系，正确使用 、、 ② 求给定集合的子集、真子集、非空真子集个数 ③ 由 求参数的取值范围（务必讨论 ） ④ 借助 Venn 图或数轴分析集合之间的包含关系 ⑤ 由集合相等求参数，并检验元素的互异性 易错提醒：含参数的 必须分 与 两类讨论，漏掉空集是本章最常见的失分点． 考点03 集合的基本运算 考点内容：交集、并集、补集的定义与运算性质；德·摩根律；由运算结果反推集合的包含关系；容斥原理． 常见考法： ① 求两个（或三个）集合的交集、并集、补集 ② 在数轴上作区间运算，注意端点的"取"与"不取" ③ 由 （或 ）转化为包含关系求参数 ④ 用 Venn 图解决有限集合的元素个数（容斥）问题 ⑤ 由补集与全集的关系求参数，或判断运算结果是否正确 易错提醒：由运算结果转包含关系时不要搞反方向：，． 考点04 充分条件与必要条件 考点内容：充分条件、必要条件、充要条件的定义；用集合的包含关系判定；由条件类型求参数范围；充要条件的证明． 常见考法： ① 判断 是 的什么条件（充分不必要／必要不充分／充要／既不充分也不必要） ② 已知 是 的充分（必要）条件，求参数的取值范围 ③ 用定义法、集合法、传递法判定条件的类型 ④ 证明充要条件（分必要性、充分性两步书写） 易错提醒：先确定 的方向再作答，切勿把" 是 的充分条件"与" 是 的充分条件"混为一谈． 考点05 全称量词与存在量词 考点内容：全称量词与存在量词；全称命题与特称命题；含一个量词的命题的否定；由命题真假求参数范围． 常见考法： ① 识别全称命题与特称命题，写出对应的量词符号 ② 写出含一个量词命题的否定，并判断其真假 ③ 由全称命题为真（恒成立）求参数的取值范围 ④ 由特称命题为真（存在性）求参数的取值范围 ⑤ 结合充分必要条件综合考查量词命题 易错提醒：否定时量词"全变存、存变全"，结论取否定，但元素的取值范围 一定不能改动． 1 集合与元素、集合间的关系 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 元素与集合的关系 ； 只用于元素与集合之间，不能用于集合与集合之间 2 子集与真子集 ； 允许 ， 要求 3 空集与子集个数 ；子集 ，真子集 空集是任何集合的子集； 为集合中元素的个数 2 集合的运算与常用逻辑用语 序号 名称 公式（符号语言） 说明 4 交集 且 "且"对应交，公共部分 5 并集 或 "或"对应并，合并后的部分 6 补集与德·摩根律 ； 交的补等于补的并；并的补等于补的交 7 充要条件的集合判定 是 的充分条件； 是 的充要条件 ， 辨析01 能否构成集合，只看标准是否确定 构成集合的对象必须是确定的、可判定的．"个子高的同学""很大的数""漂亮的花"都没有明确标准，不能构成集合；"小于 10 的正整数""方程 的实数解"标准明确，可以构成集合．集合中元素的确定性，是判断能否构成集合的唯一门槛． 辨析02 集合中的元素互不相同（互异性） 集合中的元素互不相同，相同的对象归入同一集合时只算一个元素．由元素与集合的关系求出参数后，必须把每个参数值代回原集合检验，若出现重复元素，该参数值一律舍去．这是本章最高频的失分点． 辨析03 与 是两种不同的关系 表示元素与集合的属于关系，（）表示集合与集合的包含关系． 是错误的，应写 或 ；空集与任何集合之间用 ，不用 ． 辨析04 、 与 互不相同 是一个数； 是含有一个元素 的集合； 是不含任何元素的集合．三者的关系是 ，，而 ． 辨析05 空集是任何集合的子集 规定 对任意集合 都成立；当 时还有 ．解题时凡遇到 且 中含有参数，必须先考虑 的情形． 辨析06 含参数的子集问题要分空集与非空集讨论 解 时，若 由含参数的条件确定，须分两类：① （条件无解）；② （列不等式组并检验端点）．最后把两类的结果取并集，漏掉① 就是漏解． 辨析07 " 是 的充分条件"指的是 时， 是 的充分条件，同时 是 的必要条件，两句话说的是同一个推出方向．判断时先写出 与 的真假，再对照定义作答，切勿凭"范围大小"想当然． 辨析08 含一个量词的命题的否定只改量词与结论 的否定是 ； 的否定是 ．量词"全变存、存变全"，结论取否定，而取值范围 保持不变． 【题型一】集合的概念与表示 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列四组对象中，能构成集合的是（　　） A．高一（1）班个子较高的同学　　B．非常接近 1 的实数　　 C．小于 10 的所有正整数　　 D．校园里漂亮的花 【变式1-1】下列四个集合中，是空集的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】用列举法表示集合为________. 【变式1-3】（多选）已知集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】集合间的基本关系 【例2-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【例2-2】已知集合，，则A与B的关系是（　　） A． B． C． D．无法确认 【变式2-1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知集合，，若成立的一个充分条件是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型三】集合的基本运算 【例3】（25-26高一上·广东广州·期中）已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【变式3-1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中）某校高一（5）班有50名同学，其中参加科技兴趣小组的有22人，参加演讲兴趣小组的有35人，这两个兴趣小组都参加的有12人，则既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有（　　） A．7人 　　B．5人 　　C．4人 　　D．2人 【题型四】充分条件与必要条件的判定 【例4】（25-26高一上·浙江杭州·期中）""是""的（　　） A．必要不充分条件　B．充要条件　C．既不充分也不必要条件　D．充分不必要条件 【变式4-1】“我住在广西”是“我住在中国”的（　　） A．充要条件　　 B．充分不必要条件　　C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．充要条件　　C．必要不充分条件　　D．既不充分也不必要条件 【题型一】忽略集合中元素的互异性而致错 【例1】设集合，若，则________. 易错警示　 由""求出参数后，必须把每一个参数值代回原集合，检查元素是否互不相同；出现重复元素的解一律舍去．这一步最容易被忽略，是本章第一大失分点． 【变式1-1】已知集合满足，则集合的个数为（　　） A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 【变式1-2】（多选）若，，且满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【题型二】含参数的子集问题忽略空集而漏解 【例2】（25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中）已知集合，，若, 则a的值是 （　　） A．1 　　B． 　　C．1或 　　D．或 易错警示　 中含有参数且 时，必须先把 的情形单独讨论（此时 中方程无解）．只解 会漏掉 这一解． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下面四个说法中正确的是（　　） A．10以内的质数组成的集合是 　　B．由2，3组成的集合可表示为或 　　C．方程的所有解组成的集合是 　　D．0与表示同一个集合 【变式2-2】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【题型三】充分条件与必要条件的方向颠倒 【例3】已知，，则p是q的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分又不必要条件 易错警示　 判定条件类型时先写出推出方向． 说明 是 的必要条件；" 是 的什么条件"要对着 与 的位置读，切勿凭" 范围大"就想当然地答"充分条件"． 【变式3-1】甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（　　） A．充要条件　　 B．充分不必要条件　　C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】“，”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【题型一】含参数的集合运算与端点分析 【例1】（25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中）设集合，则，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式1-1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【题型二】由充分条件（必要条件）求参数的取值范围 【例2】（25-26高一上·辽宁辽阳市·期中）（多选）“，”的必要不充分条件可以是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式2-1】“”是“”的（　　）条件 A．充分不必要　　 B．必要不充分　　 C．充要　　 D．既不充分也不必要 【变式2-2】有下列几个命题：①“若p，则q”的否命题是“若，则”；②p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的必要不充分条件；③若“”为真命题，则命题p，q中至多有一个为真命题；④过点的直线和圆相切的充要条件是直线斜率为.其中为真命题的有（　　） A．①② 　　B．①②③ 　　C．①③④ 　　D．①②③④ 【题型三】量词命题的真假与参数范围 【例3】若“，”为假命题，则的取值可以是（　　） A．5 B．3 C．1 D． 【变式3-1】已知命题是假命题，则实数的取值范围是________. 【变式3-2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知命题“，使得”是___________命题（填“真”或“假”）； 【变式3-3】若存在，使，则实数的取值范围是___________． 【题型一】元素分析法（判断能否构成集合） 【模型解读】 判断一组对象能否构成集合，只需检查元素的确定性：能不能明确判定某个对象是否属于这个"整体"． 结论：标准明确、可判定的对象才能构成集合；含"高""大""接近""漂亮""很小"等模糊描述的对象一律不能构成集合． 【例1】下列对象能组成集合的是（　　） A．非常接近0的数　　 B．身高很高的人　　C．绝对值为5的数　　 D．著名的数学家 【变式1-1】若集合，，且，则实数a=（　　） A．5　　 B．4　　 C．1　　 D．8 【变式1-2】下列关系式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型二】互异性检验模型 【模型解读】 由"某元素属于集合"或"集合恰有几个元素"求出参数后，必须把每个参数值代回原集合，逐一检查元素是否互不相同． 结论：出现重复元素的参数值一律舍去；只有当所有元素互不相同时，该参数值才是所求．这是本章第一大失分点． 【例2】集合（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】集合的另一种表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】设，集合，集合，若，则的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【题型三】空集优先模型（含参数的子集问题） 【模型解读】 凡遇到 且 由含参数的条件给出，第一步就问" 会不会是空集"，再讨论非空情形，最后取并集． 结论：先解 （对应条件无解，如方程无解、区间左端不小于右端），再解 （列不等式组并检验端点），两类结果的并集即为所求． 【例3】若全集，，则集合A=（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】设集合，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知集合，，，则=（　　） A． B． C． D． 【题型四】数轴模型（区间运算与端点核对） 【模型解读】 把各集合对应的区间画在同一条数轴上，交集取公共部分，并集取合并后的部分，补集取剩余部分；含参数的端点单独核对． 结论：实心点表示端点取到，空心圈表示端点不取到．求参数时先由包含关系列端点不等式，再把端点值单独代回验证能否取到． 【例4】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中）设全集，则（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【变式4-2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【题型五】Venn 图模型（有限集合的运算与计数） 【模型解读】 元素个数较少的集合，把交、并、补画成 Venn 图最直观：先填重叠部分，再填"只属于某一个集合"的部分，最后核对总数． 结论（容斥原理）：；． 【例5】学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【变式5-1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【题型六】充要条件的判定 【模型解读】 判定 是 的什么条件，有两条通法：定义法（判断 与 的真假）与集合法（比较对应集合的包含关系）． 结论：记 ，，则 是 的充分条件； 是 的必要条件； 是 的充要条件． 【例6】（25-26高一上·辽宁辽阳市·期中）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件　　C．充要条件 　　D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中）“且”是“”的（　　） A．必要不充分条件 　　B．充分不必要条件　　C．充要条件 　　D．既不充分也不必要条件 【变式6-2】（23-24高一上·上海金山·期中）是______条件. 【题型七】量词命题的否定模型 【模型解读】 含一个量词的命题的否定，按"改量词、否结论、保范围"三步操作，一步都不能省． 结论： 的否定是 ； 的否定是 ．其中 与代表元素一律不变． 【例7】全称量词命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】命题“，”的否定形式为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 技巧 一句话要点 判断能否构成集合——"确定性检查法" 标准明确、可判定才能构成集合；含"高""大""接近""漂亮"等模糊描述的一律不能． 元素与集合的关系——"/ 二选一" 、 只用于元素与集合；集合与集合之间用 、． 求出参数后——"互异性回代检验" 把每个参数值代回原集合，出现重复元素立即舍去． 描述法先看代表元素 竖线前是 就是数集，是 就是点集，先看清楚再动笔． 含参子集——"空集优先" 遇 且 含参数，第一步先讨论 ． 子集个数直接用公式 含 个元素：子集 ，真子集 ，非空真子集 ． 区间运算画数轴 实心点取到、空心圈不取到，含参数的端点要单独代回验证． 有限集合计数用容斥 ． 运算结果转包含关系 ；． 判定条件类型先写方向 先判定 与 的真假，再对照定义作答． 充要条件用集合法 得 是 的充分条件； 得 是 的充要条件． 求参数范围用端点法 由包含关系列端点不等式，端点能否取到单独验证一次． 量词命题的否定三步 改量词（全↔存）、否结论、保范围 不变． 恒成立与存在性的转化 为真看最"严"的那个（最小的）， 为真看最"松"的那个（最大的）． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用逻辑用语（期中知识清单） 目 录 识记类 思维导图 知识清单(5类) 考点清单(5类) 公式清单(7类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(4类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 集合的概念与表示方法 1.集合的概念：一般地，把一些能够确定的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（简称集）．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素． 2.元素与集合的关系：如果 是集合 的元素，就说 属于 ，记作 ；如果 不是集合 的元素，就说 不属于 ，记作 ． 3.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． 确定性：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了，这是判断一组对象能否构成集合的唯一标准． 互异性：集合中的元素互不相同，相同的对象归入同一集合时只能算作一个元素． 无序性：集合中的元素没有先后顺序，只要元素完全相同就是同一个集合． 4.常用数集及其记号：自然数集 ，正整数集 （或 ），整数集 ，有理数集 ，实数集 ． 5.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集；不含任何元素的集合叫做空集，记作 ． 6.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，元素之间用逗号隔开，如 ． 7.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，一般形式为 或 ，其中竖线前是代表元素，竖线后是元素满足的条件． 8.区间表示：设 且 ，则闭区间 、开区间 、半开半闭区间 与 ；无穷区间记为 、、、． 9.Venn图：用一条封闭曲线（通常是圆或矩形）的内部表示集合，能直观显示集合之间的关系与运算． 10.特别提醒：用描述法表示集合时，一定要先看清代表元素的形式． 表示数集， 表示点集，二者完全不同． 知识点02 集合间的基本关系 1.子集：如果集合 的每一个元素都是集合 的元素，那么 叫做 的子集，记作 （或 ），读作" 包含于 "． 2.集合相等：如果 且 ，那么 ． 3.真子集：如果 且 ，那么 叫做 的真子集，记作 （或 ）． 4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作 ．规定：空集是任何集合的子集，即 ；空集是任何非空集合的真子集． 5.子集个数：若集合 含有 个元素，则 有 个子集， 个真子集， 个非空真子集． 6.特别提醒：含参数的子集问题（如 ），一定要先考虑 的情形，再考虑 的情形，最后取并集． 知识点03 集合的基本运算 1.交集：由所有属于 且属于 的元素组成的集合，叫做 与 的交集，记作 ，即 且 ． 2.并集：由所有属于 或属于 的元素组成的集合，叫做 与 的并集，记作 ，即 或 ． 3.补集：设 是全集，由 中不属于 的所有元素组成的集合，叫做 在 中的补集，记作 ，即 且 ． 4.常用运算性质：，，，，，，． 5.德·摩根律：，． 6.运算与关系的转化：由 可得 ；由 可得 ． 7.特别提醒：在数轴上作区间运算时，实心点表示端点取到，空心圈表示端点不取到，含参数的端点必须逐点核对． 知识点04 充分条件与必要条件 1.如果 ，那么 是 的充分条件， 是 的必要条件． 2.如果 且 ，即 ，那么 是 的充分必要条件（简称充要条件）． 3.如果 但 ，那么 是 的充分不必要条件． 4.如果 但 ，那么 是 的必要不充分条件． 5.集合观点：设 ，．若 ，则 是 的充分条件；若 ，则 是 的必要条件；若 ，则 是 的充要条件． 6.特别提醒：" 是 的充分条件"指的是 ，方向不能颠倒．判断时先写出推出方向，再对照定义下结论． 知识点05 全称量词与存在量词 1.全称量词："所有的""任意一个""一切""每一个"等叫作全称量词，用符号 表示；含有全称量词的命题叫做全称命题，形式为 ． 2.存在量词："存在一个""至少有一个""有些""有的"等叫作存在量词，用符号 表示；含有存在量词的命题叫做特称命题（存在性命题），形式为 ． 3.全称命题的否定： 的否定是 ． 4.特称命题的否定： 的否定是 ． 5.特别提醒：否定时"改量词、否结论"，但元素的取值范围 保持不变，这一点最容易写错． 考点01 集合的概念与表示方法 考点内容：集合与元素的概念；元素的三个特性；常用数集符号；列举法、描述法、区间与 Venn 图；有限集、无限集与空集． 常见考法： ① 判断一组对象能否构成集合（紧扣"确定性"） ② 判断元素与集合的关系，正确使用 与 ③ 用列举法或描述法表示集合，并识别代表元素是数还是点 ④ 把不等式（组）的解集用区间表示，注意端点的取与不取 ⑤ 由元素与集合的关系求参数的值，并检验互异性 易错提醒：描述法中代表元素一旦写错，数集与点集就会混淆；由元素与集合的关系求出参数后，必须代回原集合检验互异性． 考点02 集合间的基本关系 考点内容：子集、真子集、集合相等、空集；子集个数公式；含参数子集关系的分类讨论． 常见考法： ① 判断两个集合之间的关系，正确使用 、、 ② 求给定集合的子集、真子集、非空真子集个数 ③ 由 求参数的取值范围（务必讨论 ） ④ 借助 Venn 图或数轴分析集合之间的包含关系 ⑤ 由集合相等求参数，并检验元素的互异性 易错提醒：含参数的 必须分 与 两类讨论，漏掉空集是本章最常见的失分点． 考点03 集合的基本运算 考点内容：交集、并集、补集的定义与运算性质；德·摩根律；由运算结果反推集合的包含关系；容斥原理． 常见考法： ① 求两个（或三个）集合的交集、并集、补集 ② 在数轴上作区间运算，注意端点的"取"与"不取" ③ 由 （或 ）转化为包含关系求参数 ④ 用 Venn 图解决有限集合的元素个数（容斥）问题 ⑤ 由补集与全集的关系求参数，或判断运算结果是否正确 易错提醒：由运算结果转包含关系时不要搞反方向：，． 考点04 充分条件与必要条件 考点内容：充分条件、必要条件、充要条件的定义；用集合的包含关系判定；由条件类型求参数范围；充要条件的证明． 常见考法： ① 判断 是 的什么条件（充分不必要／必要不充分／充要／既不充分也不必要） ② 已知 是 的充分（必要）条件，求参数的取值范围 ③ 用定义法、集合法、传递法判定条件的类型 ④ 证明充要条件（分必要性、充分性两步书写） 易错提醒：先确定 的方向再作答，切勿把" 是 的充分条件"与" 是 的充分条件"混为一谈． 考点05 全称量词与存在量词 考点内容：全称量词与存在量词；全称命题与特称命题；含一个量词的命题的否定；由命题真假求参数范围． 常见考法： ① 识别全称命题与特称命题，写出对应的量词符号 ② 写出含一个量词命题的否定，并判断其真假 ③ 由全称命题为真（恒成立）求参数的取值范围 ④ 由特称命题为真（存在性）求参数的取值范围 ⑤ 结合充分必要条件综合考查量词命题 易错提醒：否定时量词"全变存、存变全"，结论取否定，但元素的取值范围 一定不能改动． 1 集合与元素、集合间的关系 序号 名称 公式（符号语言） 说明 1 元素与集合的关系 ； 只用于元素与集合之间，不能用于集合与集合之间 2 子集与真子集 ； 允许 ， 要求 3 空集与子集个数 ；子集 ，真子集 空集是任何集合的子集； 为集合中元素的个数 2 集合的运算与常用逻辑用语 序号 名称 公式（符号语言） 说明 4 交集 且 "且"对应交，公共部分 5 并集 或 "或"对应并，合并后的部分 6 补集与德·摩根律 ； 交的补等于补的并；并的补等于补的交 7 充要条件的集合判定 是 的充分条件； 是 的充要条件 ， 辨析01 能否构成集合，只看标准是否确定 构成集合的对象必须是确定的、可判定的．"个子高的同学""很大的数""漂亮的花"都没有明确标准，不能构成集合；"小于 10 的正整数""方程 的实数解"标准明确，可以构成集合．集合中元素的确定性，是判断能否构成集合的唯一门槛． 辨析02 集合中的元素互不相同（互异性） 集合中的元素互不相同，相同的对象归入同一集合时只算一个元素．由元素与集合的关系求出参数后，必须把每个参数值代回原集合检验，若出现重复元素，该参数值一律舍去．这是本章最高频的失分点． 辨析03 与 是两种不同的关系 表示元素与集合的属于关系，（）表示集合与集合的包含关系． 是错误的，应写 或 ；空集与任何集合之间用 ，不用 ． 辨析04 、 与 互不相同 是一个数； 是含有一个元素 的集合； 是不含任何元素的集合．三者的关系是 ，，而 ． 辨析05 空集是任何集合的子集 规定 对任意集合 都成立；当 时还有 ．解题时凡遇到 且 中含有参数，必须先考虑 的情形． 辨析06 含参数的子集问题要分空集与非空集讨论 解 时，若 由含参数的条件确定，须分两类：① （条件无解）；② （列不等式组并检验端点）．最后把两类的结果取并集，漏掉① 就是漏解． 辨析07 " 是 的充分条件"指的是 时， 是 的充分条件，同时 是 的必要条件，两句话说的是同一个推出方向．判断时先写出 与 的真假，再对照定义作答，切勿凭"范围大小"想当然． 辨析08 含一个量词的命题的否定只改量词与结论 的否定是 ； 的否定是 ．量词"全变存、存变全"，结论取否定，而取值范围 保持不变． 【题型一】集合的概念与表示 【例1】（25-26高一上·山东济南·期中）下列四组对象中，能构成集合的是（　　） A．高一（1）班个子较高的同学　　B．非常接近 1 的实数　　 C．小于 10 的所有正整数 　　D．校园里漂亮的花 【答案】C 【详解】判断一组对象能否构成集合，关键是看标准是否确定：元素必须是确定的、可判定的．"个子较高""非常接近 1""漂亮"都没有明确标准，不满足确定性，A 错、B 错、D 错；"小于 10 的正整数"标准明确，元素为 ，能构成集合，C 正确．故选 C． 【变式1-1】下列四个集合中，是空集的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，；选项B，；选项C，；选项D，，方程无解，.选:D. 【变式1-2】用列举法表示集合为________. 【答案】 【详解】因为表示自然数集，所以集合用列举法表示为， 故答案为：. 【变式1-3】（多选）已知集合，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，又，所以，且，故A正确，B错误；，，故C错误，D正确.故选：AD. 【题型二】集合间的基本关系 【例2-1】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合 ，则 的子集个数为（　　） A．2　　B．3　　C．4　　D．5 【答案】C 【详解】集合 含 2 个元素，其子集个数为 ，分别为 、、、．故选 C． 【例2-2】已知集合，，则A与B的关系是（　　） A． B． C． D．无法确认 【答案】A 【详解】集合，，所以，故选：A. 【变式2-1】集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据真子集的概念可知为的一个真子集． 【变式2-2】已知集合，，若成立的一个充分条件是，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合A可知，，因为成立的一个充分条件是，则，所以，即.故选：A 【题型三】集合的基本运算 【例3】（25-26高一上·广东广州·期中）已知全集 ，集合 ，，则 （　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】，又 ，故 ．故选 C． 【变式3-1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，，故选：C. 【变式3-2】已知集合（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B. 【变式3-3】已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，故选：B 【变式3-4】（25-26高一上·辽宁抚顺市清原满族自治县高级中学·期中）某校高一（5）班有50名同学，其中参加科技兴趣小组的有22人，参加演讲兴趣小组的有35人，这两个兴趣小组都参加的有12人，则既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有（　　） A．7人 　　B．5人 　　C．4人 　　D．2人 【答案】B 【详解】根据容斥原理得既没有参加科技兴趣小组也没有参加演讲兴趣小组的有：人.故选：B. 【题型四】充分条件与必要条件的判定 【例4】（25-26高一上·浙江杭州·期中）""是""的（　　） A．必要不充分条件　B．充要条件　C．既不充分也不必要条件　D．充分不必要条件 【答案】D 【详解】由 可推出 ，充分性成立；由 不能推出 （如 ），必要性不成立．故""是""的充分不必要条件．故选 D． 【变式4-1】“我住在广西”是“我住在中国”的（　　） A．充要条件　　 B．充分不必要条件　　C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B. 【变式4-2】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，可得或，所以，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选：A． 【变式4-3】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　B．充要条件　　C．必要不充分条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】不能推出，例如，满足，但是，所以充分性不成立；根据不等式的性质，若，则，所以必要性成立，所以，“”是“”的必要不充分条件，故选：C. 【题型一】忽略集合中元素的互异性而致错 【例1】设集合，若，则________. 【答案】 【详解】集合，若，则.故答案为： 易错警示　 由""求出参数后，必须把每一个参数值代回原集合，检查元素是否互不相同；出现重复元素的解一律舍去．这一步最容易被忽略，是本章第一大失分点． 【变式1-1】已知集合满足，则集合的个数为（　　） A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以必有，因此集合可以是，因此集合的个数为4，故选：D 【变式1-2】（多选）若，，且满足，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，所以；若，则，时，，不符合集合元素的互异性，舍去；时，，，满足，故A正确；若，则，时，，，满足，故B正确；时，，，满足，故C正确；若，则，不符合集合元素的互异性，舍去；若，则或0，时，，，满足；所以或或，故选：ABC. 【题型二】含参数的子集问题忽略空集而漏解 【例2】（25-26高一上·辽宁辽西重点高中·期中）已知集合，，若, 则的值是 （　　） A．1 　　B． 　　C．1或 　　D．或 【答案】D 【详解】由得,又，当时，，符合题意，当时，，则或，解得或，所以a的值是或，故选：D 易错警示　 中含有参数且 时，必须先把 的情形单独讨论（此时 中方程无解）．只解 会漏掉 这一解． 【变式2-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下面四个说法中正确的是（　　） A．10以内的质数组成的集合是 　　B．由2，3组成的集合可表示为或 　　C．方程的所有解组成的集合是 　　D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确；对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确；对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误；对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误.故选：AB. 【变式2-2】“”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A 【题型三】充分条件与必要条件的方向颠倒 【例3】已知，，则p是q的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】因，故由得不出，即p不是q的充分条件；而由可得，故必有成立，即p是q的必要条件，故p是q的必要不充分条件.故选：B. 易错警示　 判定条件类型时先写出推出方向． 说明 是 的必要条件；" 是 的什么条件"要对着 与 的位置读，切勿凭" 范围大"就想当然地答"充分条件"． 【变式3-1】甲、乙、丙三人进入某比赛的决赛，若该比赛的冠军只有1人，则“甲是冠军”是“乙不是冠军”的（　　） A．充要条件　　 B．充分不必要条件　　C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若甲是冠军，则乙不是冠军；若乙不是冠军，则甲是冠军或丙是冠军，所以“甲是冠军”是“乙不是冠军”的充分不必要条件.故选：B 【变式3-2】“，”是“”的（　　） A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】∵ “，”可推出“”，“”不能推出“，”，例如，时，，∴ “，”是“”的充分不必要条件.故选：A 【题型一】含参数的集合运算与端点分析 【例1】（25-26高一上·辽宁铁岭市部分校·期中）设集合，则，则实数的取值范围是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】∵，∴，①时，，解得；②时，，解得，∴实数的取值范围是．故选：　　B． 【变式1-1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解不等式得，故，所以.故选：　　C. 【变式1-2】设全集，集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，可得，又因为全集，所以，故选：D 【题型二】由充分条件（必要条件）求参数的取值范围 【例2】（25-26高一上·辽宁辽阳市·期中）（多选）“，”的必要不充分条件可以是（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】AC 【详解】由，，可得，解得，则是“，”的必要不充分条件，是“，”的充分不必要条件，是“，”的必要不充分条件，是“，”的充分不必要条件.故选：AC 【变式2-1】“”是“”的（　　）条件 A．充分不必要　　 B．必要不充分　　 C．充要　　 D．既不充分也不必要 【答案】B 【详解】若，则为假命题，所以“”是“”的不充分条件；若，则为真命题，所以“”是“”的必要条件；所以“”是“”的必要不充分条件；故选：B 【变式2-2】有下列几个命题：①“若p，则q”的否命题是“若，则”；②p是q的必要条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的必要不充分条件；③若“”为真命题，则命题p，q中至多有一个为真命题；④过点的直线和圆相切的充要条件是直线斜率为.其中为真命题的有（　　） A．①② 　　B．①②③ 　　C．①③④ 　　D．①②③④ 【答案】B 【详解】①由否命题定义可知①正确；②，，，是的必要不充分条件，②正确；③为真为假至少有一个假命题即至多有一个真命题，③正确；④当过点直线斜率不存在时，即直线方程为，此时直线与圆相切，④中所说充要条件不成立，④错误.故选： 【题型三】量词命题的真假与参数范围 【例3】若“，”为假命题，则的取值可以是（　　） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，因为，且，所以，所以的取值可以是5，故选：A. 【变式3-1】已知命题是假命题，则实数的取值范围是________. 【答案】 【详解】由题意，命题是真命题，所以，其中，当且仅当时，等号成立.故答案为：. 【变式3-2】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知命题“，使得”是___________命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】由题意可知，当时，，所以“，使得”是假命题． 【变式3-3】若存在，使，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题意可知，因为存在，使，所以存在，使，所以．所以实数的取值范围是． 【题型一】元素分析法（判断能否构成集合） 【模型解读】 判断一组对象能否构成集合，只需检查元素的确定性：能不能明确判定某个对象是否属于这个"整体"． 结论：标准明确、可判定的对象才能构成集合；含"高""大""接近""漂亮""很小"等模糊描述的对象一律不能构成集合． 【例1】下列对象能组成集合的是（　　） A．非常接近0的数　　 B．身高很高的人　　C．绝对值为5的数　　 D．著名的数学家 【答案】C 【详解】A、B、D选项都违背了集合中元素的确定性，故A、B、D错误；对C：绝对值为5的数有5或，符合集合的概念，故C正确.故选：　　C. 【变式1-1】若集合，，且，则实数a=（　　） A．5　　 B．4　　 C．1　　 D．8 【答案】A 【详解】由，可知且，故，故选：A 【变式1-2】下列关系式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，集合包含元素，空集没有任何元素，故A错误；对于B，元素与集合的关系是属于，，故B错误；对于C，集合，故C正确；对于D，集合是有理数集，是无理数，故D错误；故选：C 【题型二】互异性检验模型 【模型解读】 由"某元素属于集合"或"集合恰有几个元素"求出参数后，必须把每个参数值代回原集合，逐一检查元素是否互不相同． 结论：出现重复元素的参数值一律舍去；只有当所有元素互不相同时，该参数值才是所求．这是本章第一大失分点． 【例2】集合（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，又，所以集合.故选：C 【变式2-1】集合的另一种表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合的描述法知，，故选：C 【变式2-2】设，集合，集合，若，则的值为（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，，故，故选：C 【题型三】空集优先模型（含参数的子集问题） 【模型解读】 凡遇到 且 由含参数的条件给出，第一步就问" 会不会是空集"，再讨论非空情形，最后取并集． 结论：先解 （对应条件无解，如方程无解、区间左端不小于右端），再解 （列不等式组并检验端点），两类结果的并集即为所求． 【例3】若全集，，则集合A=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为全集，，故，故选：B 【变式3-1】设集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合中满足的元素有，所以，故选：B. 【变式3-2】已知集合，，，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以.故选：B. 【题型四】数轴模型（区间运算与端点核对） 【模型解读】 把各集合对应的区间画在同一条数轴上，交集取公共部分，并集取合并后的部分，补集取剩余部分；含参数的端点单独核对． 结论：实心点表示端点取到，空心圈表示端点不取到．求参数时先由包含关系列端点不等式，再把端点值单独代回验证能否取到． 【例4】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，，∴．故选：B 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中）设全集，则（　　） A． 　　B． 　　C． 　　D． 【答案】B 【详解】全集，则，.故选：B. 【变式4-2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以.故选：C 【题型五】Venn 图模型（有限集合的运算与计数） 【模型解读】 元素个数较少的集合，把交、并、补画成 Venn 图最直观：先填重叠部分，再填"只属于某一个集合"的部分，最后核对总数． 结论（容斥原理）：；． 【例5】学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【答案】3人,9人 【详解】解:如图.设同时参加田径和球类比赛的有x人,则,,即同时参加田径和球类比赛的有3人,而只参加游泳一项比赛的有(人). 【变式5-1】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设.故选：A 【变式5-2】已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，，所以．故选：D． 【题型六】充要条件的判定 【模型解读】 判定 是 的什么条件，有两条通法：定义法（判断 与 的真假）与集合法（比较对应集合的包含关系）． 结论：记 ，，则 是 的充分条件； 是 的必要条件； 是 的充要条件． 【例6】（25-26高一上·辽宁辽阳市·期中）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件　　C．充要条件 　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A 【变式6-1】（25-26高一上·辽宁辽西部分高中协作体·期中）“且”是“”的（　　） A．必要不充分条件 　　B．充分不必要条件　　C．充要条件 　　D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由且，则且，所以，即充分性成立；由推不出且，如，，满足，但是不成立，故必要性不成立；故“且”是“”的充分不必要条件；故选：B 【变式6-2】（23-24高一上·上海金山·期中）是______条件. 【答案】充分不必要 【详解】，解得.所以是的充分不必要条件.故答案为：充分不必要 【题型七】量词命题的否定模型 【模型解读】 含一个量词的命题的否定，按"改量词、否结论、保范围"三步操作，一步都不能省． 结论： 的否定是 ； 的否定是 ．其中 与代表元素一律不变． 【例7】全称量词命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】全称量词命题“”的否定是“”.故选：B 【变式7-1】命题“，”的否定形式为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】根据存在量词命题的否定，命题“，”的否定为：，. 故选：D. 【变式7-2】命题“”的否定是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是.故选：C． 技巧 一句话要点 判断能否构成集合——"确定性检查法" 标准明确、可判定才能构成集合；含"高""大""接近""漂亮"等模糊描述的一律不能． 元素与集合的关系——"/ 二选一" 、 只用于元素与集合；集合与集合之间用 、． 求出参数后——"互异性回代检验" 把每个参数值代回原集合，出现重复元素立即舍去． 描述法先看代表元素 竖线前是 就是数集，是 就是点集，先看清楚再动笔． 含参子集——"空集优先" 遇 且 含参数，第一步先讨论 ． 子集个数直接用公式 含 个元素：子集 ，真子集 ，非空真子集 ． 区间运算画数轴 实心点取到、空心圈不取到，含参数的端点要单独代回验证． 有限集合计数用容斥 ． 运算结果转包含关系 ；． 判定条件类型先写方向 先判定 与 的真假，再对照定义作答． 充要条件用集合法 得 是 的充分条件； 得 是 的充要条件． 求参数范围用端点法 由包含关系列端点不等式，端点能否取到单独验证一次． 量词命题的否定三步 改量词（全↔存）、否结论、保范围 不变． 恒成立与存在性的转化 为真看最"严"的那个（最小的）， 为真看最"松"的那个（最大的）． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $