第三章函数（期中知识清单）高一数学上学期人教B版

第三章 函数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 函数及其表示方法 1.1 函数的定义 一般地，给定两个非空实数集 与 ，以及对应关系 ，如果对于集合 中的每一个实数 ，在集合 中都有唯一确定的实数 与 对应，则称 为定义在集合 上的一个函数，记作 , ，其中 称为自变量， 称为因变量，自变量取值的范围（即数集 ）称为这个函数的定义域，所有函数值组成的集合 称为函数的值域。 示例：, 中，集合 中的每一个实数 ，在 中都有唯一确定的实数 与它对应，因此 是定义在 上的一个函数。 注意：函数的这种定义强调的是”对应关系”，对应关系也可用其他小写英文字母如 ， 等表示。 1.2 同一个函数的判定 更一般地，如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同（即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等），则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数。例如 , 与 , 表示同一个函数。 示例： 与 ：前者定义域为 ，后者定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数。 注意：值得注意的是，这种函数的表示中，自变量与因变量用什么字母来表示是无关紧要的，例如函数 , 与 , 应该看成同一个函数。习惯上，人们总用 表示自变量， 表示因变量。 1.3 函数定义域的约定 在表示函数时，如果不会产生歧义，函数的定义域通常省略不写，此时就约定：函数的定义域就是使得这个函数有意义的所有实数组成的集合。 示例：在上述约定下，, 都可以表示函数 , 。 1.4 求函数定义域的依据 以下都是求函数定义域常用的依据： （1）分式中分母不能为零； （2）二次根式中的被开方数要大于或等于零。 示例： 有意义，要求 （被开方数大于或等于零，同时分母不为零），解得 ，所以函数的定义域为 。 1.5 函数的表示方法 前面我们所接触到的函数 中，绝大多数 都是用代数式（或解析式）来表示的，例如 ，这种表示函数的方法称为解析法。前面给出的关于中国创新指数的函数，实际上是用列表的形式给出了函数的对应关系，这种表示函数的方法称为列表法。前面给出的与心电图有关的函数，实际上是用图的形式给出了函数的对应关系，用函数的图像表示函数的方法称为图像法。 示例：中国创新指数的函数用列表法表示，可以看出 , ；若将其定义域记为 ，值域记为 ，则 。 1.6 函数的图像 一般地，将函数 , 中的自变量和对应的函数值 ，分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标，则满足条件的点 组成的集合 称为函数的图像，即 这就是说，如果 是函数 的图像，则图像上任意一点的坐标 都满足函数关系 ；反之，满足函数关系 的点 都在函数的图像 上。 示例：一次函数 的图像是一条直线，又易知图像过点 和 ，所以容易作出它的图像。 1.7 描点作图法 从理论上来说，要作出一个函数的图像，只需描出所有点即可。但是，很多函数的图像都由无穷多个点组成，描出所有点并不现实，因此，实际作图时，经常先描出函数图像上一些有代表性的点，然后再根据有关性质作出函数图像，这称为描点作图法。 示例：作函数 的图像，函数的定义域为 ，由 在 时有解可知函数的值域为 ，通过描点作图法可以作出它的图像。 1.8 分段函数 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数。 示例：阶梯水价问题中，年用水量 时， 则 ， 则 ， 是分段函数。 1.9 取整函数 设 为任意一个实数， 是不超过 的最大整数，例 5 中的函数通常称为取整函数，记作 ，其定义域是 ，值域是 。这个函数早在 18 世纪就被”数学王子”高斯提出，因此也被称为高斯取整函数。 图1：取整函数的图像 示例：, , , 。 1.10 常数函数 在以后的学习中，我们还会碰到值域只有一个元素的函数，这类函数通常称为常数函数，也就是说，常数函数中所有自变量对应的函数值都相等。例如 , 是一个常数函数，它的值域是 ，图像是一条垂直于 轴的直线。 示例：, 的值域为 ，是常数函数，其图像是 轴。 1.11 狄利克雷函数 函数 被称为狄利克雷函数。可以看出，狄利克雷函数的定义域为 ，值域为 ，但它的图像不能形象地展示出来。 示例：，所以 ；，所以 。 1.12 待定系数法 由上可以看出，函数可以通过多种方式表示，而且函数的解析式也具有多种形式，在确定函数的解析式时，可以借助方程或方程组的知识，使用待定系数法完成。 示例：已知二次函数的图像过点 , , ，设函数解析式为 ()，则 , , ，由此可解得 , , ，因此所求函数解析式为 。 2. 函数的单调性 2.1 增函数与减函数 一般地，设函数 的定义域为 ，且 ： （1）如果对任意 , ，当 时，都有 ，则称 在 上是增函数（也称在 上单调递增）； （2）如果对任意 , ，当 时，都有 ，则称 在 上是减函数（也称在 上单调递减）。 图2：增函数与减函数的示意图 示例：由增函数和减函数的定义可知， 在 上是增函数； 在 上是减函数，在 上也是减函数。 2.2 函数的单调性与单调区间 两种情况下，都称函数在 上具有单调性（当 为区间时，称 为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）。 示例： 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 2.3 函数的最大值与最小值 一般地，设函数 的定义域为 ，且 ：如果对任意 ，都有 ，则称 的最大值为 ，而 称为 的最大值点；如果对任意 ，都有 ，则称 的最小值为 ，而 称为 的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。 不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值。 示例：判断函数 , 的单调性，任取 , 且 ，则 ，所以这个函数是增函数，因此当 时，有 ，从而这个函数的最小值为 ，最大值为 。 2.4 直线的斜率 我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立。一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点 , ，当 时，称 为直线 的斜率；当 时，称直线 的斜率不存在。直线 的斜率反映了直线相对于 轴的倾斜程度。 示例：过点 , 的直线斜率为 ；过点 , 的直线斜率不存在。 2.5 三点共线的判定 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当其中任意两点确定的直线的斜率都相等或都不存在。 示例：, , 三点，, ，任意两点确定的直线斜率都相等，所以三点共线。 2.6 函数的平均变化率 若记 ，相应的 ，则当 时，斜率可记为 。 一般地，当 时，记 , , （即 ），称 为函数 在区间 （ 时）或 （ 时）上的平均变化率。 图3：函数图像上两点连线的斜率与平均变化率 示例：对于函数 ，对任意 , 且 ，有 ，因此 在 上是减函数。 2.7 单调性与平均变化率的关系 可以看出，函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于 ，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都小于 。 一般地，若 是函数 的定义域的子集，对任意 , 且 ，记 , ，则： （1） 在 上是增函数的充要条件是 在 上恒成立； （2） 在 上是减函数的充要条件是 在 上恒成立。 示例：求证：函数 在区间 和 上都是减函数。设 ，那么 ，如果 , ，则 ，此时 ，所以函数在 上是减函数；同理，函数在 上也是减函数。 2.8 一次函数的单调性与线性函数 因此，一次函数的单调性取决于 的符号：当 时，一次函数在 上是增函数；当 时，一次函数在 上是减函数。 例 4 说明，一次函数 () 的图像上任意两点确定的直线斜率均为 ，这实际上也说明了一次函数的图像一定是直线，不仅如此，此时从 还可以看出，，这就意味着在一次函数中， 与 成正比，且比例系数为 。特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大 个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质，事实上，如果 ，设 时函数值为 ，则 ，即 ，因此一定是一次函数，正因为如此，一次函数也经常被称为线性函数。 示例： 中 ，所以它在 上是减函数；自变量每增大 个单位，函数值减小 个单位。 2.9 二次函数的单调性 用类似的方法可以证明，二次函数 () 的单调性为： 的取值 单调递减区间 单调递增区间 最值情况 没有最大值，有最小值 没有最小值，有最大值 当然，这一结论也可以从二次函数的图像是关于 对称的抛物线与开口方向看出来。 示例：证明函数 在 上是减函数，在 上是增函数，并求这个函数的最值。设 ，则 。当 , 时，有 ，从而 ，因此 在 上是减函数；当 , 时，有 ，从而 ，因此 在 上是增函数。由函数的单调性可知函数没有最大值；而且，当 时，有 ，当 时，不等式也成立，因此 是函数的最小值。 3. 函数的奇偶性 3.1 偶函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ，且 则称 为偶函数。 图4：偶函数 与 的图像 示例：：因为函数的定义域为 ，所以 时，，又因为 ，所以函数 是偶函数。 3.2 偶函数图像的特征 我们知道，点 与 都是函数 图像上的点，按照偶函数的定义，点 又可以写成 ，因此点 和点 关于 轴对称，所以偶函数的图像关于 轴对称；反之，结论也成立，即图像关于 轴对称的函数一定是偶函数。 示例： 的图像关于 轴对称，因此 是偶函数。 3.3 奇函数 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对 内的任意一个 ，都有 ，且 则称 为奇函数。奇函数的图像关于原点对称。 图5：奇函数 与 的图像 示例：：因为函数的定义域为 ，所以 时，，又因为 ，所以函数 是奇函数。 3.4 奇函数图像的特征 奇函数的图像特征也可按照下述方式得到：点 与 都是函数 图像上的点，如果 是奇函数，则点 又可以写成 ，因此点 和点 关于原点对称，所以奇函数的图像关于原点对称；反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数。 示例： 的图像关于原点对称，因此 是奇函数。 3.5 函数的奇偶性 如果一个函数是偶函数或是奇函数，则称这个函数具有奇偶性。可以看出，当 是正整数时，函数 是偶函数，函数 是奇函数。 示例： 是偶函数， 是奇函数； 因为 , ， 且 ，既不是奇函数也不是偶函数（也可说成 是非奇非偶函数）。 3.6 定义域不关于原点对称与奇偶性 例 1（4）说明，设函数 的定义域为 ，如果存在 ，但 ，即函数 的定义域不关于原点对称，则 既不是奇函数也不是偶函数。 示例：, ：因为函数的定义域为 ，而 ，但 ，所以函数 , 是非奇非偶函数。 3.7 奇函数的性质 已知奇函数 的定义域为 ，且 ，则 。 示例：证明：因为 是奇函数，所以 ，即 ，所以 ，因此 。 3.8 函数奇偶性的应用 因为函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，所以利用函数的奇偶性能简化函数性质的研究。如果知道一个函数是奇函数或是偶函数，那么其定义域能分成关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像。 示例：已知函数 满足 ，如果 是偶函数，则 ；如果 是奇函数，则 。 3.9 奇偶性与单调性的关系 不难看出，如果 是偶函数，那么其在 与 时的单调性相反；如果 是奇函数，那么其在 与 时的单调性相同。 示例：偶函数 在 上单调递增，在 上单调递减，单调性相反；奇函数 在 与 上都单调递增，单调性相同。 4. 函数与方程、不等式之间的关系 4.1 函数的零点 一般地，如果函数 在实数 处的函数值等于零，即 ，则称 为函数 的零点。 示例： 的零点为 ，因为 。 4.2 零点与方程、不等式解集的关系 不难看出， 是函数 零点的充分必要条件是， 是函数图像与 轴的公共点，因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于 的方程的解集，以及函数值与 比较相对大小的不等式的解集。 依照零点的定义可知，求函数 的零点，实质上就是要解方程 ，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与 轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似 不等式的解集。 图6：由函数图像写方程、不等式的解集 示例：如图 6 所示是函数 的图像， 的解集为 ， 的解集为 ， 的解集为 。 4.3 二次函数的零点与判别式 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数 ()： 方程 的解集 零点情况 图像与 轴 有两个元素 , , 是 的两个零点 有两个公共点 , 只有一个元素 是 唯一的零点 有一个公共点 没有实数根 无零点 没有公共点 更进一步，可以由二次函数的图像得到对应的不等式的解集。 示例：利用函数求不等式 的解集：设 ，令 ，得 ，即 ，从而 或 。因此， 和 都是函数 的零点，从而 的图像与 轴相交于 和 ，又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图。由图可知，所求解集为 。 4.4 函数零点存在定理 函数零点存在定理：如果函数 在区间 上的图像是连续不断的，并且 （即在区间两个端点处的函数值异号），则函数 在区间 中至少有一个零点，即存在 , 。 示例：求证：函数 至少有一个零点。因为 , ，所以 ，因此 , ，即结论成立。 4.5 函数图像的连续性 一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的。需要注意的是，反比例函数 的图像不是连续不断的。 示例：一次函数、二次函数的图像都是连续不断的；反比例函数 的图像在 处断开，它的图像不是连续不断的。 4.6 二分法 上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法。在函数零点存在定理的条件满足时（即 在区间 上的图像是连续不断的，且 ），给定近似的精度 ，用二分法求零点 的近似值 ，使得 的一般步骤如下： 第一步 检查 是否成立，如果成立，取 ，计算结束；如果不成立，转到第二步。 第二步 计算区间 的中点 对应的函数值，若 ，取 ，计算结束；若 ，转到第三步。 第三步 若 ，将 的值赋给 （用 表示，下同），回到第一步；否则必有 ，将 的值赋给 ，回到第一步。 示例：求 在区间 中零点 的近似值，使误差小于 ：取区间 的中点作为 的近似值，误差小于 ；取 的中点 ，因为 且 ，零点所在区间为 ；取中点 ，因为 且 ，零点所在区间为 ，此时区间长度为 ，取 ，误差小于 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 抽象函数奇偶性的构造判定 设 的定义域关于原点对称，则 是偶函数， 是奇函数， 是偶函数。 1.2 奇函数在对称区间上的最值 若奇函数 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，则 在对称区间 上的最大值为 、最小值为 。 【使用提醒】两区间必须关于原点对称，且函数在这两个区间上都确实取得最值。 1.3 偶函数在对称区间上的最值 若偶函数 在区间 上的最大值为 、最小值为 ，则 在对称区间 上的最大值仍为 、最小值仍为 。 1.4 图像关于直线 对称的代数表征 对定义域内任意 成立，等价于函数图像关于直线 对称；更一般地， 等价于图像关于直线 对称。 1.5 图像关于点 对称的代数表征 对定义域内任意 成立，等价于函数图像关于点 对称。 1.6 轴对称与单调性的关系 若函数图像关于直线 对称，则函数在 与 上的单调性相反。 1.7 中心对称与单调性的关系 若函数图像关于点 对称，则函数在 与 上的单调性相同。 1.8 多项式函数的奇偶性与系数 定义域为 的多项式函数为偶函数，等价于所有奇次项系数都为 ；为奇函数，等价于所有偶次项系数与常数项都为 。 【使用提醒】仅对定义域为 的多项式函数直接适用；一般函数仍须用 与 的关系判断。 1.9 二次函数等值点与对称轴 二次函数 () 中，若 且 ，则 ，即 , 关于对称轴 对称。 1.10 由零点写二次函数的解析式 若二次函数 的两个零点为 , ，则可设 ()，再用其余条件求出 。 【使用提醒】只适用于二次函数；若题目只给出一个零点，需考虑重根（）情形。 1.11 零点存在定理的逆用与陷阱 连续函数在区间 上满足 ，则区间内至少有一个零点；但 时仍可能有零点（可能有 个），不能据此断定无零点。 1.12 奇函数与偶函数的和、积 奇函数与奇函数的积是偶函数，奇函数与偶函数的积是奇函数，偶函数与偶函数的积是偶函数；非零的奇函数与非零的偶函数的和既不是奇函数也不是偶函数。 1.13 取整函数的常用性质 ；（）；当 时 ，当 时 。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 求函数定义域三步法 先列约束条件（分式的分母不为零、偶次根式的被开方数大于或等于零等），再解不等式（组），最后把解集写成区间或集合的形式。如求 的定义域：由 得 ，所以定义域为 。 2.2 方程法求函数的值域 把值域中的元素 看作参数，令 ，把问题转化为”关于 的方程有解”的条件，由此得出 的取值范围。如求 的值域：令 ，则 或 ，解得 ，所以值域为 。 2.3 判断两个函数是否同一函数 先比较定义域，定义域不同可直接否定；定义域相同时，再化简解析式、比较对应关系，表示自变量的字母不影响判断。如 与 ：定义域虽然都是 ，但 ，当 时 ，对应关系不同，不是同一个函数。 2.4 用定义证明函数单调性的四步 取值（任取 , ，且 ）→ 作差（计算 ）→ 变形（因式分解、通分、配方，化为积或商的形式）→ 判号定论（根据符号与增减定义下结论）。如证明 在 上是增函数：，由 , 知 ，故 ，又 ，所以 ，得证。 2.5 图象法解不等式 与 先画出函数图像并标出零点，图像在 轴上方的部分对应 ，下方对应 ，与 轴的交点处 ，按段读出解集。如 的零点为 , , ，由示意图可得 的解集为 ， 的解集为 。 2.6 二次函数在闭区间上的最值 先算对称轴 ，再比较 与区间 的位置： 或 时，最值在区间端点处； 时，顶点处取得一个最值，另一个最值在离对称轴较远的端点处，实际比较 , , 即可。 2.7 由二次函数的单调性求参数范围 借助”含对称轴的不等式”列式： 时， 在 上递减等价于 ，在 上递增等价于 。如 在 上是减函数，则 ，解得 。 2.8 换元法求函数解析式 已知 求 ：令 ，反解出 ，代入得 ，再把字母改写为 ；若能看出 是 的表达式，可先用配凑法。如已知 ，令 ，则 ，，所以 。 2.9 用二分法求零点近似值的操作要点 先确认区间端点函数值异号且图像连续不断，然后循环执行：检查区间长度是否已达到精度、取中点并计算中点函数值、按端点符号把零点锁定在一半区间内。如求 零点的近似值：由 从区间 出发，逐次取中点 , , 缩半区间。 3. 函数性质运用小技巧 技巧 要点 示例 定义域先行 讨论任何函数性质前先求定义域， 是否有意义取决于 是否在定义域内 判定 是奇函数且 后，才得 奇函数过原点 定义域含 的奇函数，图像必过原点，可用于速判 的图像过点 同一函数三查 一查定义域、二查对应关系（先化简）、表示字母不影响判断 与 定义域不同，不是同一个函数 图像平移速判 的图像向左平移 个单位（）， 的图像向上平移 个单位 的图像由 向右平移 个单位得到 单调区间不能求并 相邻的单调区间之间不能用”“连接，应用逗号或”和”连接 的递减区间是 和 零点式设解析式 已知二次函数的两个零点，可设交点式简化待定系数 零点为 , 时设 奇偶性先看定义域 定义域不关于原点对称，直接判非奇非偶，不必算 , 是非奇非偶函数 取整放缩 用 估计含取整号的式子的范围，且 估计 4. 常见考试模型 4.1 分段函数与阶梯计价模型 公式：按用量分档，每一档内为一次函数 ，常写成 的形式。 限定：自变量的取值范围要与实际情境相符（如用水量非负），每档端点归属（开或闭）按题意确定。 示例：如阶梯水价： 时 ； 时 。 4.2 二次函数最值模型（利润、面积） 公式：设自变量列出二次函数 ，顶点 即为最大（小）值点；配方成 形式后可直接读出最值。 限定：顶点横坐标必须落在自变量允许的范围内，否则最值在区间端点处取得。 示例：如客房租金总收入 ，当每间房单价提高 个 元（即提到 元）时，每天租金总收入最高，为 元。 4.3 一次函数线性预测模型 公式：某一量每一期等量增加（减少）时，，其中 为经过的期数， 为每期的等量增减量， 为期初值。 限定：模型只在题设的预测范围内有效，向外推测需要说明理由。 示例：如城镇常住人口 年为 亿，每年等量增加， 年（第 年）为 亿，则 ，，估算 年（第 年）为 亿。 4.4 平均成本模型 公式：总成本 时，平均成本 （），当 , 时可用基本不等式求最小值， 时等号成立。 限定：需 ，且取等条件 必须落在实际允许的产量范围内。 示例：如 ，则 ，当 时等号成立，平均成本最小，最小值为 。 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：求定义域只列一个条件，漏掉”分母不为零” 典例：求函数 的定义域。 错解：由 得 ，所以函数的定义域为 。 正解：要使函数有意义，需同时满足 解得 且 ，所以函数的定义域为 。 原因：条件遗漏。求定义域时要同时列出解析式中的全部约束：二次根式要求被开方数大于或等于零，分式还要求分母不为零。学生只盯着”新出现”的根式条件列不等式，把分母当成了背景，漏掉了 。凡是解析式中同时出现根式与分式（或分母含有自变量），必须逐条列约束，再取交集。 易错点 2：判断同一函数只看化简后的解析式，漏掉定义域 典例：判断函数 与 是否为同一个函数。 错解：因为 ，两个函数的解析式相同，所以它们是同一个函数。 正解： 的定义域为 ， 的定义域为 ，两个函数的定义域不同，所以它们不是同一个函数。 原因：概念理解错误。学生把”化简后解析式相同”直接等同于”同一个函数”，忽略了定义域是函数本身的一部分。判断两个函数是否同一个函数，必须定义域与对应关系都相同，定义域不同时可直接否定，无需再比较解析式；表示自变量的字母不同则不影响判断。 易错点 3：用特殊值代替”任意”证明单调性 典例：求证：函数 在 上是增函数。 错解：因为 ，，，函数值越来越大，所以 在 上是增函数。 正解：任取 , ，且 ，则 由 , 且 ，得 ，，所以 ，从而 ，即 。因此 在 上是增函数。 原因：概念理解错误。增函数的定义是对区间内”任意”两个自变量都成立的全称命题，代入几个特殊值算出函数值增大，只是归纳了有限种情形，既覆盖不了区间内的所有数，也不构成证明。用定义证明单调性必须走完”取值—作差—变形—判号”四步，其中”任取”与”判号”两步不可省略；作差后必须把差变形到能确定符号的形式再下结论。 易错点 4：判断奇偶性漏看定义域是否关于原点对称 典例：判断函数 , 是否具有奇偶性。 错解：因为 ，所以 是偶函数。 正解：函数 的定义域为 ，取 ，但 ，定义域不关于原点对称，所以 既不是奇函数也不是偶函数。 原因：条件遗漏。判断奇偶性的第一步是检查定义域是否关于原点对称，只有定义域关于原点对称，才有必要继续计算 。学生把”验证 与 的关系”当成了全部流程，忽略了定义中”对 内的任意一个 ，都有 “这个大前提，属于跳步使用定义。 易错点 5：有奇偶性条件却按单调性比较函数值大小 典例：已知函数 是偶函数，且满足 ，比较 与 的大小。 错解：因为 ，所以 ，从而 。 正解：因为 是偶函数，所以 ，因此 ，，从而由条件 可知 。 原因：思维定势。学生看到”“就按增函数处理，默认 单调递增，既没有用到题设的”偶函数”条件，也与已知 自相矛盾。已知奇偶性比较函数值大小时，应先用 或 把负自变量转化到已知条件的一侧，再作比较；题目没有给出单调性时，不能由自变量的大小推断函数值的大小。 易错点 6：把零点存在定理当成充要条件使用 典例：判断命题的真假：若函数 的图像是连续不断的，且在区间 上有 ，则函数 在区间 中一定没有零点。 错解：真命题。因为 与 同号，函数值不会经过 ，所以区间内一定没有零点。 正解：假命题。例如函数 在 上的图像连续不断，且 ，，满足 ，但 ，在区间 中有两个零点。所以 时仍可能有零点。 原因：概念混淆。零点存在定理是由”端点异号”推出”至少有一个零点”，是充分条件而不是充要条件；端点同号时，函数图像仍可能与 轴相交两次（函数值正、负、正变化），零点个数为偶数。学生把定理逆过来当成判定工具，根源在于只记住了”异号有零点”的形式，没有理解定理的逻辑方向。 学科网（北京）股份有限公司 $