期中真题重组卷（广东深圳专用，新教材北师大版九上1-2章：特殊平行四边形+一元二次方程）九年级数学上学期

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~2章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，只含一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，符合题意； B．，是一元一次方程，不符合题意； C．，是分式方程，不是整式方程，不符合定义，不符合题意； D．，含有两个未知数，不符合定义，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设、是关于的一元二次方程的两个实数根， 则菱形的两条对角线的长为、， ，， 根据菱形的面积为可得：， ， 菱形的对角线互相垂直平分， 菱形的边长为： ， ． 故选：C． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 4．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 5．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 【答案】C 【详解】解：A、当时，是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，故此选项错误； B、当时，是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误； C、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，推出，判定平行四边形是菱形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得；故此选项正确； D、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，因此，判定平行四边形是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误． 6．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 【答案】A 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 7．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形的对角线，交于点．若，，则长为（ ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】B 【详解】解：矩形的对角线，交于点， ，， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 8．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过作轴于H，连接， ∵将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转， ∴每6次一个循环， ∵， ∵四边形是菱形，B的坐标是，， ∴，， ∴， ∴， ∴的坐标为， 由题意得，与关于x轴对称，与B关于x轴对称，与关于原点对称， ∴的坐标为， ∴旋转第次得到的点的坐标为． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出满足条件的整数______．（一个即可） 【答案】1（不唯一） 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，， ∵， ∴ ，即 ． 又因为 ，且 为整数， 所以 可取 1， 2， 3， 等正整数． 故答案为 1（不唯一）． 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 【答案】 【详解】根据题意可知，长方形菜园平行于墙的边长为，即，可得 整理，得 故答案为： 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 【答案】 【详解】解：如图，连接，， E，F，G，H分别为，，，的中点， ，，，， 四边形为平行四边形， 要使四边形为菱形，则， ， 与应满足的条件是． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A，B，作轴，轴于点D，E， ， 在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形， ，， ， ， ，， 点横坐标为， ， ， 点坐标为， 故答案为： 13．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接，交于点M，连接，．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的__________（填写编号，不写编号不得分） 【答案】①②③ 【详解】解：矩形中，， , 点是中点， , ， ， ， 故①正确； 矩形中，，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ,， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，， 是等边三角形， ， ， 垂直平分线段， 故③正确； ，， ， ， ，， ， ， , 故④不正确； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为①②③． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（6分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）解方程： (1) (2) 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 整理得， ∴， ，；······（3分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ，．······（3分） 15．（7分）（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，······（2分） 解得；······（1分） （2）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，······（2分） ∵， ∴，······（1分） 解得．······（1分） 16．（8分）（25-26八年级下·四川南充·期中）菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． (1)菱形的周长为________； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，是的中点，， ∴，， ∴菱形的周长为；······（1分） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，即点是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，······（1分） ∵，， ∴，······（1分） ∴四边形是平行四边形，······（1分） 又∵， ∴四边形是矩形；······（1分） （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴，······（1分） ∵四边形是菱形， ∴， ∴，······（1分） ∵， ∴， ∴．······（1分） 17．（8分）（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 【详解】（1）解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：，······（1分） 解得， ······（1分） 所以······（1分） 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本；······（1分） （2）解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：，······（1分） 整理可得：， 解得：，，······（1分） 采购单价不超过20元， ．······（1分） 答：科普类资料的采购单价为18元．······（1分） 18．（10分）（26-27九年级上·福建泉州·期中）已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． (1)求t的取值范围； (2)若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； (3)若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 【详解】（1）解：解方程得， ∵方程①的解为非正数， ∴，解得， ∵方程②是关于的一元二次方程， ∴，即， 综上，的取值范围是且；······（2分） （2）∵， ∴； ∵， ∴； 将，代入方程②， 整理得， 因式分解得， ∴方程的根为，，······（1分） ∵方程②的根为负整数，已是负整数， ∴为负整数， 化简得. ∵为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∵且， ∴当时，，此时，为正整数，不符合题意，舍去；······（0.5分） 当时，，此时，为负整数，符合题意，；······（0.5分） 当时，，不符合，舍去；······（0.5分） 当时，，此时，为负整数，符合题意，；······（0.5分） 综上，整数的值为或．······（1分） （3）成立，证明如下：······（1分） ∵为正整数，且满足，， ∴， 将代入方程②，得， ∴，······（1分） 将代入已知等式， 左边 ， ∴，即.······（1分） ∵方程②有两个实数根， ∴判别式， 化简得， 将代入上式，得， 移项整理得， 故成立．······（1分） 19．（10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程 的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ；······（1分） （2）解：方程， ∴，······（1分） ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数，······（1分） ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去），······（1分） ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是；······（1分） （3）解：根据题意得， ， ∴，······（1分） ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴，······（1分） ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ，······（1分） ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或．······（2分） 20．（12分）（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在边长是的正方形中，点在上，连接，分别过点，作的垂线，垂足分别是，，点是对角线的中点，连接，． (1)求证：； (2)请判断的形状，并说明理由； (3)若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积是，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，······（2分） ∴；······（1分） （2）是等腰直角三角形，理由如下：······（1分） 如图，连接， ∵点是正方形对角线的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，······（2分） ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形；······（1分） （3）解：如图，连接，······（1分） 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵正方形的边长是， ∴， ∴在中，， ∴，······（1分） ∵的面积是， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴，······（1分） ∴， ∴，······（1分） ∵点在线段上运动（不包括端点）， ∴， ∴关于的函数解析式为（）．······（1分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A D C A B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．1（不唯一） 10． 11． 12． 13． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（6分）【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 整理得， ∴， ，；······（3分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ，．······（3分） 15．（7分）【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，······（2分） 解得；······（1分） （2）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，······（2分） ∵， ∴，······（1分） 解得．······（1分） 16．（8分）【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，是的中点，， ∴，， ∴菱形的周长为；······（1分） （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，即点是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，······（1分） ∵，， ∴，······（1分） ∴四边形是平行四边形，······（1分） 又∵， ∴四边形是矩形；······（1分） （3）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴，······（1分） ∵四边形是菱形， ∴， ∴，······（1分） ∵， ∴， ∴．······（1分） 17．（8分）【详解】（1）解：设艺术类资料采购x本，科普类资料采购本， 由题意得：，······（1分） 解得， ······（1分） 所以······（1分） 答：第一批采购的艺术类资料200本，科普类资料800本；······（1分） （2）解：设科普类资料采购单价为a元， 由题意得：，······（1分） 整理可得：， 解得：，，······（1分） 采购单价不超过20元， ．······（1分） 答：科普类资料的采购单价为18元．······（1分） 18．（10分）【详解】（1）解：解方程得， ∵方程①的解为非正数， ∴，解得， ∵方程②是关于的一元二次方程， ∴，即， 综上，的取值范围是且；······（2分） （2）∵， ∴； ∵， ∴； 将，代入方程②， 整理得， 因式分解得， ∴方程的根为，，······（1分） ∵方程②的根为负整数，已是负整数， ∴为负整数， 化简得. ∵为整数，为整数， ∴是的约数，即， ∵且， ∴当时，，此时，为正整数，不符合题意，舍去；······（0.5分） 当时，，此时，为负整数，符合题意，；······（0.5分） 当时，，不符合，舍去；······（0.5分） 当时，，此时，为负整数，符合题意，；······（0.5分） 综上，整数的值为或．······（1分） （3）成立，证明如下：······（1分） ∵为正整数，且满足，， ∴， 将代入方程②，得， ∴，······（1分） 将代入已知等式， 左边 ， ∴，即.······（1分） ∵方程②有两个实数根， ∴判别式， 化简得， 将代入上式，得， 移项整理得， 故成立．······（1分） 19．（10分）【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ；······（1分） （2）解：方程， ∴，······（1分） ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数，······（1分） ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去），······（1分） ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是；······（1分） （3）解：根据题意得， ， ∴，······（1分） ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴，······（1分） ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ，······（1分） ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或．······（2分） 20．（12分）【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，······（2分） ∴；······（1分） （2）是等腰直角三角形，理由如下：······（1分） 如图，连接， ∵点是正方形对角线的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴，······（2分） ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形；······（1分） （3）解：如图，连接，······（1分） 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵正方形的边长是， ∴， ∴在中，， ∴，······（1分） ∵的面积是， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴，······（1分） ∴， ∴，······（1分） ∵点在线段上运动（不包括端点）， ∴， ∴关于的函数解析式为（）．······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版九年级数学上册第1~2章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26九年级上·广东深圳·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 5．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 6．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 7．（25-26九年级上·广东梅州·期中）如图，矩形的对角线，交于点．若，，则长为（ ） A．3 B．4 C．6 D． 8．（26-27九年级上·四川·期中）雪花也称银粟，是天空中的水汽经凝华而来的固态降水，多呈六角形，是一种美丽的结晶．美术课要求绘制雪花，小华利用数学知识作出如下操作：建立如图所示的平面直角坐标系，绘制菱形，且顶点B的坐标为，点A在第一象限，，将菱形绕原点O沿顺时针方向旋转，每次旋转，旋转第一次得到四边形（点与点A重合），则旋转第次得到的点的坐标（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出满足条件的整数______．（一个即可） 10．（25-26九年级上·广东江门·期中）用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形菜园，使菜园的面积为，并且在平行于墙的一边开一个长的小门（该门用其他材料），若墙长足够长，设该长方形菜园垂直于墙的边长为，则列方程为_____． 11．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，顺次连接四边形各边中点得四边形，要使四边形为菱形，与应满足的条件是_____ 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中放置了一个边长为的正方形，点O为坐标原点，已知B点横坐标为，则A点坐标为______ ． 13．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，连接，交于点M，连接，．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④．其中正确结论的__________（填写编号，不写编号不得分） 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（6分）（25-26九年级上·广东深圳·期中）解方程： (1) (2) 15．（7分）（25-26九年级上·广东广州·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 16．（8分）（25-26八年级下·四川南充·期中）菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． (1)菱形的周长为________； (2)求证：四边形是矩形； (3)若，求的长． 17．（8分）（26-27九年级上·重庆·期中）某社区为推进终身学习，分两批采购科普类和艺术类学习资料．第一批采购时，科普类资料订购量比艺术类资料的3倍多200本，科普类资料单价为12元，艺术类资料单价为20元，总计支出13600元． (1)求第一批采购的艺术类资料和科普类资料各多少本？ (2)第二批采购时，正值“全民学习月”活动，科普类资料需求增加，单价有所上涨．社区决定，若科普类资料单价每上涨2元，采购数量就比第一批减少40本．艺术类资料单价不变，采购数量比第一批增加，最终第二批采购总资金比第一批增加了4640元，且科普类资料采购单价不超过20元，求科普类资料的采购单价为多少元？ 18．（10分）（26-27九年级上·福建泉州·期中）已知方程①：，方程①的解为非正数；方程②：是关于y的一元二次方程． (1)求t的取值范围； (2)若方程②的根为负整数，满足，，且t是整数，求整数p的值； (3)若方程②有两个实数根，满足，且t为正整数，判断是否成立，并说明理由． 19．（10分）（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程 的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 20．（12分）（24-25八年级下·四川南充·期中）如图，在边长是的正方形中，点在上，连接，分别过点，作的垂线，垂足分别是，，点是对角线的中点，连接，． (1)求证：； (2)请判断的形状，并说明理由； (3)若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积是，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $