期中真题重组卷（广东广州专用，新教材人教版八上第13～15章：三角形+全等三角形+轴对称）八年级数学上学期

2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级数学上册第13~15章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点B，D，C在一条直线上， ，点A和点C，点B和点E是对应顶点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 7．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列条件中，不能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C． D．12 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，连接、、、、，则______ 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 16．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，点在上，且满足，求证：． 18．（6分）（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别在边长为1的格点上． (1)作出关于y轴的对称图形，并写出点，，的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置． 19．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于E，交于D；（要求：不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 20．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）小赵在物理课上学习了发声物体的振动实验后作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个可以自由摆动的小球A，如图1是小球静止时的状态．当发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中各点在同一平面上），过点C作于点E，测得， (1)求证：； (2)求的长． 21．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 22．（10分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． (1)如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； (2)在（1）的条件下，证明你的结论； (3)若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 23．（12分）（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 24．（14分）（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：； 【类比应用】 （2）如图2，和都是等边三角形，且满足D，B，C三点在同一条直线上，已知点M是的中点，点N是的中点，点P在线段上且满足是等边三角形，探究与之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，P是线段的中点，，在的上方作等边（P，M，N三点按顺时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当取得最小值时，求等边边长的最小值． 25．（14分）（25-26八年级上·广东广州·期中）请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足 ． (1)如图2，已知，，求证：平分； (2)如图4，已知，，，．若，则______； (3)利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间的距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级数学上册第13~15章。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，于点C，于点D，，，，则点C到的距离是（   ） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，则点C到的距离是． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，故A、C、D均不符合题意； B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意． 3．（25-26八年级上·广东广州·期中）点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点关于轴对称， 对称点的横坐标为，纵坐标为， 即． 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，点B，D，C在一条直线上， ，点A和点C，点B和点E是对应顶点，则下列结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：≌， ， ， ， ， 故B不符合题意； ≌， ，， 和不一定相等， 故A、C不符合题意，D符合题意； 故选：． 5．（25-26八年级上·广东广州·期中）在下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 三角形内角和为， A. ，, ∴, 故为直角三角形，该选项不符合题意； B. ∵, ∴, ∴, 故为直角三角形，该选项不符合题意； C. 恒成立，不能推出直角，如等边三角形，该选项符合题意； D. ∵, ∴ ， ∴, 故为直角三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 6．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数 B．等边三角形是锐角三角形 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 【答案】D 【详解】解：A.原命题“如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数”的逆命题是“如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数”． ∵两个负数的积也为正数（如）， ∴逆命题不成立． B.原命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”． ∵锐角三角形只需三个角均为锐角（如，，的三角形），不一定等边， ∴逆命题不成立． C.原命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么它们是直角”． ∵相等的角可以是任意度数（如），不一定是直角， ∴逆命题不成立． D.原命题“角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”的逆命题是“如果点在角的平分线上，那么它到角的两边距离相等”． ∵根据角平分线性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴逆命题成立． 故选：D 7．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列条件中，不能判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：A、由于，，，则可根据判定 ，所以该选项不符合题意；   B、由于，， ，则可根据判定  ，所以该选项不符合题意；   C、由于，，，则可根据判定   ，所以该选项不符合题意； D、由于，， ，不能判定与全等，所以该选项符合题意． 故选：D． 8．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故A、B、D选项正确， 不一定成立，故C选项错误， 所以，不一定正确的是C． 故选：C． 10．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长度是（   ） A．5 B．6 C． D．12 【答案】B 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，，，共线，，若，，则的判断依据是___________． 【答案】 【详解】解： ， 在和中，， ， 判断的依据是． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时30海里的速度向正北方向航行，3小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_________海里． 【答案】90 【详解】由题可得：海里， 点在灯塔P的南偏东方向处，点位于灯塔P的北偏东处， ，， 是等腰三角形， 海里； 故答案是． 13．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 【答案】6 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：6． 14．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，连接、、、、，则______ 【答案】/180度 【详解】解：设和交于点F，和交于点G， ∴是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∵中，， ∴． 故答案为：． 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线轴于点．点B从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，同时点C从点A出发在射线上运动，速度为每秒3个单位长度，点B运动到点O时同时停止．点D在y轴正半轴上，若与全等，则的长度为_____． 【答案】4或 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 当时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可知：或4． 故答案为：或4． 16．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的有______．（请填写序号） ①若，则；②；③；④． 【答案】①③④ 【详解】解：①， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②如图所示，延长交于点， ∵平分，， ，， 在和中， ， ， ； 假设，则， ，， ， ， ， ，与矛盾， 假设不成立，即， ，故结论②错误，不符合题意； ③如图，在上截取，连接； 平分，平分，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④如图，过点作于点，过点作于点， ，，， ， ，， ， ，， ，， ， 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为：①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，点在上，且满足，求证：． 【详解】证明：∵， ∴，······（1分） ∵， ∴，即，······（1分） 在和中， ， ∴，······（2分） ∴．······（2分） 18．（6分）（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别在边长为1的格点上． (1)作出关于y轴的对称图形，并写出点，，的坐标； (2)若在x轴上有一点P，使得线段的值最小，请你在图中标出点P的位置． 【详解】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为······（3分） （2）解：如图，点P即为所求． ······（3分） 19．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，已知． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于E，交于D；（要求：不写作法，但要保留作图痕迹）； (2)若，，求的度数． 【详解】（1）解：如下图，的垂直平分线即为所求作； ······（3分） （2）解：连接，······（1分） 垂直平分， ，······（1分） ， ， ， 设， 则，······（1分） ， ，······（1分） 解得：， ．······（1分） 20．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）小赵在物理课上学习了发声物体的振动实验后作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个可以自由摆动的小球A，如图1是小球静止时的状态．当发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图2中各点在同一平面上），过点C作于点E，测得， (1)求证：； (2)求的长． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， ∴，······（1分） ∵，， ∴， ∴，······（1分） 在和中， ， ∴，······（2分） ∴．······（1分） （2）解：由（1）可知，， ∴，······（1分） ∴，······（1分） 即的长为．······（1分） 21．（8分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知：如图中，O是的中点，D是的角平分线上一点，且，过D作于E点，于F点． (1)连接，求证：所在直线是的垂直平分线； (2)求证：； (3)判断之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）证明：O是的中点， ， ， ，······（1分） ， ， ， 所在直线是的垂直平分线；······（1分） （2）证明：D是的角平分线上一点，，， ， ， ，······（1分） ， ，······（1分） ；······（1分） （3）······（1分） 证明：， ， ， ，······（1分） ， ．······（1分） 22．（10分）（25-26八年级上·广东广州·期中）已知，，，垂足为点A，射线，垂足为点B． (1)如图1，若点E在线段上，点D在射线上，，请你添加一个条件：______，使得，判定全等的依据是：______； (2)在（1）的条件下，证明你的结论； (3)若点E从A点出发以的速度沿射线运动，点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒，则当以点B、D、E组成的三角形与全等时，求t的值． 【详解】（1）解：添加一个条件：，使得，判定全等的依据是：． 故答案为：，(答案不唯一)．······（2分） （2）证明：∵，， ∴， ∴······（1分） ∵， ∴， ∴，······（1分） ∵， ∴．······（1分） （3）∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；······（1分） 若， ∴， ∴， ∴（舍去），······（1分） 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴，······（1分） 若， ∴， ∵， ∴，······（1分） ∴当或7或10秒时，与全等． 答：t的值为3或7或10．······（1分） 23．（12分）（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 (1)如图1，是 的中线，且，延长至点，使，连接 ，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为 ．               【应用】 (2)提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是 的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 (3)根据以上经验，如图3，，，，连接 、 ，是的中点，证明：． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴选B ······（2分） （2）解：如图2，是 的中线，，，延长至点，使，连接，则， 在和中， ∴，······（2分） ∴， ∵， ∴在，根据三角形三边关系得， ∴，······（1分） ∴， ∴， ∵， ∴．······（1分） （3）证明：如图3，是的中点，延长至点，使，连接， ∴， 在和中， ∴，······（2分） ∴，， ∵， ∴， 在中，根据三角形内角和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴，······（2分） ∴， ∵， ∴．······（2分） 24．（14分）（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究发现】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：； 【类比应用】 （2）如图2，和都是等边三角形，且满足D，B，C三点在同一条直线上，已知点M是的中点，点N是的中点，点P在线段上且满足是等边三角形，探究与之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，P是线段的中点，，在的上方作等边（P，M，N三点按顺时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当取得最小值时，求等边边长的最小值． 【详解】（1） 证明：∵和都是等边三角形， ，······（1分） ， ，······（1分） 在和中， ， ；······（2分） （2） ，理由如下：······（1分） 在上取点，使得，连接， 和都是等边三角形， ， 是等边三角形，······（1分） ， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ，······（1分） ， ， 为的中点，点为的中点， ， 设，则， ，······（1分） ， ．······（1分） （3）解：作，使，连接，······（1分） 是等边三角形， ， ， ，······（2分） ， ， 当点在线段上时，的值最小，此时的值最小，······（1分） ， ， 在中，， 即当的值最小时，边长的最小值为．······（1分） 25．（14分）（25-26八年级上·广东广州·期中）请阅读以下材料，并解决问题： 探索角平分仪 素材1 图1是一个平分角的仪器，其中，．将点放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线． 素材2 图3是一个借鉴素材1制作的“三等分角仪”，它由四根棒组成，中间两根棒带有凹槽．四根棒在处相连并可绕点转动，点，，，固定，点，可以在凹槽处滑动，且，，，． 图5中的“三等分角仪”满足 ． (1)如图2，已知，，求证：平分； (2)如图4，已知，，，．若，则______； (3)利用图5“三等分角仪”进行三等分角实验，操作中发现点与点之间的距离等于时，可求得的度数．在图6中，已知，且点与点之间的距离等于，请求出的度数． 【详解】（1）证明：，，， ，······（2分） ，······（1分） 即平分；······（1分） （2），，， ， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：；······（3分） （3）如图， ······（1分） 由（2）得， 设 ， ， ，······（1分） ， ，······（1分） ， ······（1分） ， ， ， ，······（1分） 又， ， 解得：，······（1分） ．······（1分） 29 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 5 6 7 8 9 10 A B A D D D C C B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分) 11.HL 12.90 13.6 14.180/180度 .15 15.4或2 16.①③④ 三、解答题（本大题共9小题，满分86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）加步骤分值 17.(6分)【详解】证明：：AB‖DE, .∠A=∠EDF,…(1分) .AD=CF .AD+DC=CF+DC,即AC=DF,.(1分) 在△ABC和△乙中， t, .△ABC2△SAS,…(2分) .∠B=∠E.…(2分) 18.(6分)【详解】(1)点A1的坐标为4,3，点B的坐标为-3,0，点C1的坐标为2,5引·(3分) (2)解：如图，点P即为所求. 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 (3分) 19.(8分)【详解】(1)解：如下图，AB的垂直平分线DE即为所求作； E D …(3分) (2)解：连接AD,…(1分) E .DE垂直平分AB, .AD=BD,…(1分) .BD=AC, ∴.AD=BD=AC, ∴.∠BAD=∠B,∠ADC=∠C, 设∠BAD=∠B=X°， 则∠ADC=X°+X°=2X°=∠C,·(1分) .∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=63°， .∴.X+2x+63=180,…(1分) 解得：X=39, ∴.∠C=2x°=78°..(1分) 20.(8分)【详解】(1)证明：由题意可知，OB=OC,OB⊥OC, .∠BOD+∠COE=90°，…(1分) 2/10 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE⊥OA,BD⊥OA, .∠BOD+∠B=90°， .∠COE=∠B,…(1分) 在△OBD和△COE中， 6, △OBD2△COEAAS,·(2分) .∠BOD=∠C.…(1分) (2)解：由(1)可知，△OBD≌△COE, .OE=BD=12cm,…(1分) ∴.AE=OA-OE=20-12=8cm,·(1分) 即AE的长为8cm.…(1分) 21.(8分)【详解】(1)证明：.0是BC的中点， ..OB=OC, DB=DC,OD=OD. ∴.△OBD≌△OCD SSS,…(1分) ∴.∠BOD=∠COD, .∠BOD+∠COD=180°， ∴.∠BOD=∠COD=90°， ∴.OD所在直线是BC的垂直平分线：…(1分) (2)证明：.'D是∠BAC的角平分线上一点，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.DE=DF, DB=DC, ∴.Rt△BED≌Rt△CFD HL,·(I分) ∴.∠BDE=∠FDC, ∴.∠BDE+∠EDC=∠FDC+∠EDC,.(1分) ..∠BDC=∠FDE;…(1分) (3)AB=AC+2CF.·(1分) 证明：，Rt△BED≌Rt△CFD, ∴BE=CF, AD=AD,DE=DF, 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.Rt△AED≌Rt△AFD HL,·(1分) ∴.AE=AF, ∴.AB=AE+BE=AE+CF=AF+CF=AC+CF+CF=AC+2CF.·(1分) 22.(10分)【详解】(1)解：添加一个条件：ED=CB,使得△ABC≌△BDE,判定全等的依据是： AAS. 故答案为：ED=CB,AAS(答案不唯一).…(2分) (2)证明：CA⊥AB,BM⊥AB .∠CAB=∠DBE=90°， ∠DBC+∠CBA=90。.(1分) CB⊥DE, .∠DBC+∠BDE=180°-90°=90°， .∠CBA=∠BDE,.(1分) ..ED=CB .Rt△DEB≌Rt△BCAAAS.·(1分) (3)CA⊥AB,BM⊥AB, ∴.∠CAB=∠DBE=90°， .ED=CB. 当E在线段AB上时， 若BE=AC, .Rt△DEB≌Rt△BCA HL, .AE=3tcm, ∴.BE=AB-AE=15-3tcm, ∴.15-3t=6, .t=3:…(1分) 若BE=AB, .Rt△DEB≌Rt△CBA HL, .AE=0, t=0(舍去)，…(1分) 当E在线段AB延长线上时， 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若BE=AC, .Rt△DEB≌Rt△BCA|HL, .AE=3t=AB+BE=15+6=21cm, .t=7,…(1分) 若BE=AB .Rt△DEB≌Rt△CBA|HL, .AE=3t=AB+BE=15+15=30cm, .t=10,…(1分) ∴.当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等. 答：t的值为3或7或10.…(1分) 23.(12分)【详解】(1)解：，AD是△ABC的中线， .BD=CD 在△ADC和△EDB中， i ∴.△ADC≌△EDB SAS, .选B…（2分) (2)解：如图2，EP是△U的中线，EF=8,DE=6,延长EP至点Q,使EP=PQ,连接FQ,则 QE=2EP, p D 图2 在△EDP和△QFP中， ∴.△EDP≌△QFP SAS,·(2分) ..DE=FQ=6. ,EF=8, ∴，在△EFQ,根据三角形三边关系得， ∴.EF+FQ=8+6=14>EQ,…(1分) ∴.EF-FQ=8-6=2<EQ, 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.2<EQ<14, .QE=2EP, .2<2EP<14..(1分) (3)证明：如图3，E是AC的中点，延长OE至点H,使EH=OE=号HO,连接CH, 2 D H B 图3 ..AE=CE, 在△OEA和△HEC中， ∴.△OEA≌△HEC SAS,·(2分) .OA=HC,∠EOA=∠EHC, .OA=OB, ..HC=OB, 在△OCH中，根据三角形内角和180°， ∴.∠HOC+∠OHC+∠HCO=180°， .∠HOC+∠EOA+∠HCO=180°， ,∠HOC+∠EOA=∠COA, ∴.∠COA+∠HC0=180°， .∠AOB+∠COD=180°，∠COA+∠DOB+∠AOB+∠COD=360°， .COA+∠DOB=180°， ∴.∠HCO=∠DOB, OC=OD. ∴.在△HCO和△BOD中， b, ∴.△HCO≌△BOD SAS,.(2分) ∴.HO=BD, 6/10 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EM=0E-0, 6OE三BD.2分） 24.(14分)【详解】(1)证明：，△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴.∠ABC=∠DBE=60°，AB=AC,BD=BE,·(1分) ∴.∠ABC-∠ABE=∠DBE-∠ABE, ∴.∠ABD=∠CBE,…(1分) 在△ABD和△CBE中， b, ∴.△ABD≌△CBE SAS;·(2分) (2)DP=CP,理由如下：…(1分) 在BC上取点K,使得BK=BN,连接KN, B P 图2 .'△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴.∠ABC=60°，BA=BC,BE=BD ∴.△BNK是等边三角形，…(1分) ∴.BN=NK=BK,∠BNK=60°， .'△MPN是等边三角形， .∴.MN=PN,∠PNM=60°， .∴.∠PNM=∠NB, ∴.∠PNM-∠BNP=∠KNB-∠BNP, 即∠BNM=∠KNP, 在△BMN和△KNP中， , ∴.△BMN≌△KPN|SAS,…(1分) ∴BM=KP, 7/10 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'BN=BK=BP+KP=BP+BM, ,M为BE的中点，点N为AC的中点， .BE=BD=2BM,AB=BC=2BN, 设BP=x,BM=y,则BK=x+y,BD=2y, ∴.BC=2BK=2X+2y,DP=BP+BD=X+2y,·(1分) ∴.CP=BC-BP=X+2y, ∴.DP=CP.…(1分) (3)解：作∠GPQ=60°，使PQ=PG,连接GQ,QB,QN,…(1分) H 图3 .'△PMN是等边三角形， .∴.PM=PN,∠MPN=60°， '.∠GPM=∠QPN, ∴.△GPM≌△QPN SAS,.(2分) ∴.GM=QN, .∴.GM+HN=QN+HN, 当点N在线段QH上时，GM+HN的值最小，此时PN⊥BQ,PN的值最小，·(1分) PQ=PG=PH, .∴.∠PHQ=∠PQH=30°， 在Rt△PNH中，PN=PH=GH=5 4 2 即当GM+HN的值最小时，△PMN边长的最小值为 ，…(1分) 25.(14分)【详解】(1)证明：.AB=AD,BC=DC,AC=AC, .∴.△ADC≌△ABC SSS,…(2分) ∴.∠DAC=∠BAC,…(1分) 即AE平分∠BAD;…(1分) (2).OA=OC,AE=CE,OE=OE, 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.△OCE≌△OAE SSS, ∴.∠AOE=∠COE, .OB=OD,BF=DF,OF=OF, ∴.△ODF≌△OBF SSS, ∴.∠DOF=∠BOF, .∠A0D=120°， .∠D0C=∠E0F=∠A0E=号∠A0D=号×120°=40°， 3 3 故答案为：40°；…(3分) (3)如图， …（1分) 由(2)得∠DOC=∠EOF=∠AOE, 设∠DOC=∠EOF=∠AOE=x OC=CE, ∴.∠CEO=∠COE=X, .∴.∠FCE=∠COE+∠CEO=2x,.(1分) 'EF=CE, ∴.∠CFE=∠FCE=2X,.(1分) OB=BF, ∠BF0=∠BOF=x…(1分) BF=EF, ∴.∠FEB=∠FBE, ∴.∠FEB=∠FBE=∠BOF+∠BFO=2X, .∴.∠FEC=∠FEB-∠CEO=X,…(1分) 又∠FOE+∠CFE+∠BEF=180°， 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x+2x+2x=180°， 解得：X=36°，…(1分) .∠AOD=3X=108°.…(1分) 10/10