期中真题重组卷（广东深圳专用，新教材北师大版八上1-3章：勾股定理+实数+位置与坐标）八年级数学上学期

2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 C D A C A C D C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9． 10． 11． 12．3 13． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（6分）【详解】（1）解： ；······（3分） （2）解： ······（3分） 15．（7分）【详解】（1）解：如图所示： ······（2分） （2）解：根据题意得，，，，关于轴对称， 则点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 因此点，，的坐标为：、、， 故答案为：、、；······（3分） （3）解： 故答案为：．······（2分） 16．（8分）【详解】（1）解：∵，，， ∴ ，······（2分） ∴梯子底端B到墙角O的距离为：．······（2分） （2）解：∵，，， ∴，······（2分） ∴．······（1分） ∴梯子底端 B 将向外移动．······（1分） 17．（8分）【详解】（1）解：，，而， ， 的整数部分是5，小数部分为， 故答案为：5，；······（4分） （2）解：．理由：······（1分） ． 又，且， ．······（1分） ， 即．······（1分） ．······（1分） 18．（10分）【详解】（1）解：的算术平方根是， ，即， ；······（1.5分） 的立方根是， ， 把代入得：，即， ；······（1.5分） c是的倒数， ，······（1.5分） 综上，，，；······（1.5分） （2）解：把，，代入， ，······（2分） ， 的算术平方根是，······（1分） 即的算术平方根是．······（1分） 19．（10分）【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为2．······（2分） （2）解：∵点是“完美点”， ∴，······（2分） ∴或，······（1分） 解得或.······（1分） （3）解：∵点的长距为4，且点C在第四象限内， ∴， 解得，······（1分） ∴， ∴点D的坐标为，······（1分） ∴点D到x轴、y轴的距离都是5，······（1分） ∴点D是“完美点”．······（1分） 20．（12分）【详解】小试牛刀：证明：（1）， ， ······（1分） ， 且， ，······（1分） 整理得：；······（1分） 知识运用： 解：（2）设， ， ．······（1分） 到两个城市的距离相等， ，即， 在Rt中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，······（1分） ，， ， 解得：．······（1分） 即应建在离点千米处；······（1分） 知识迁移： 解：（3），为线段上一点，，作点关于的对称点，连接，交于点，过点作的延长线于点， 则，，，······（1分） ，， 即，······（1分） 就是代数式的最小值，······（1分） 代数式的最小值为．······（1分） 如图， 最小值为20······（1分） 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学上册第1~3章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列数中是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是分数，为有理数； B、是整数，为有理数； C、是无限不循环小数，为无理数 D、 是分数，为有理数 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； B、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．5， 12， 13 B．7， 14， 16 C．6， 8， 12 D．9， 15， 18 【答案】A 【详解】解：A：∵，， ∴，能构成直角三角形． B：∵，， ∴，不能构成直角三角形． C：∵，， ∴，不能构成直角三角形． D：∵，， ∴，不能构成直角三角形． ∴能构成直角三角形的只有A． 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．点在x轴上 B．点在第二象限 C．若，则点在第一或第三象限 D．点到x轴的距离是2 【答案】C 【详解】解：∵点的y坐标不为0，∴点P不在x轴上，A错误； ∵点的纵坐标为0，∴点Q在x轴上，不在任何象限，B错误； ∵，∴a和b同号，点在第一或第三象限，C正确； ∵点到x轴的距离为，∴D错误． 故选：C． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， A、可知，又，（负值已舍），故选项A正确，符合题目要求， B、可知，故选项B错误，不符合题目要求， C、可知，故选项C错误，不符合题目要求， D、可知，故选项D错误，不符合题目要求． 故选：A． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点，的坐标分别为，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 点C的坐标为， 故选C． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴的点在轴的正半轴上（为正整数），且这一系列的点中相邻两点之间的距离为2， ∵， ∴在轴的正半轴上， ∴的横坐标为， ∴的坐标为， 故选：C． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）点在轴上，则___________． 【答案】 【详解】解：∵点在轴上， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若，则 ______． 【答案】 【详解】解：∵，且，， ∴且， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________． 【答案】 【详解】解：如图所示，根据题意可知正方形可以由四个全等的直角三角形拼接而成，其中中间的四边形也是正方形， ∴，， ∴． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点恰好落到边的点处．如果，，那么_______． 【答案】3 【详解】解：设线段的长度为， 是直角三角形，，， ， 根据折叠，可知， ， 在中，由勾股定理可知， 解得， 线段的长度为． 故答案为：3． 13．（25-26八年级上·广东深圳·期中）中，______． 【答案】 【详解】解：如图，过作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设，则， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（6分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2) 【详解】（1）解： ；······（3分） （2）解： ······（3分） 15．（7分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)直接写出，，的坐标：______，______，______； (3)的面积为______． 【详解】（1）解：如图所示： ······（2分） （2）解：根据题意得，，，，关于轴对称， 则点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 因此点，，的坐标为：、、， 故答案为：、、；······（3分） （3）解： 故答案为：．······（2分） 16．（8分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ，······（2分） ∴梯子底端B到墙角O的距离为：．······（2分） （2）解：∵，，， ∴，······（2分） ∴．······（1分） ∴梯子底端 B 将向外移动．······（1分） 17．（8分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 【详解】（1）解：，，而， ， 的整数部分是5，小数部分为， 故答案为：5，；······（4分） （2）解：．理由：······（1分） ． 又，且， ．······（1分） ， 即．······（1分） ．······（1分） 18．（10分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 【详解】（1）解：的算术平方根是， ，即， ；······（1.5分） 的立方根是， ， 把代入得：，即， ；······（1.5分） c是的倒数， ，······（1.5分） 综上，，，；······（1.5分） （2）解：把，，代入， ，······（2分） ， 的算术平方根是，······（1分） 即的算术平方根是．······（1分） 19．（10分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为2，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为2．······（2分） （2）解：∵点是“完美点”， ∴，······（2分） ∴或，······（1分） 解得或.······（1分） （3）解：∵点的长距为4，且点C在第四象限内， ∴， 解得，······（1分） ∴， ∴点D的坐标为，······（1分） ∴点D到x轴、y轴的距离都是5，······（1分） ∴点D是“完美点”．······（1分） 20．（12分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 【详解】小试牛刀：证明：（1）， ， ······（1分） ， 且， ，······（1分） 整理得：；······（1分） 知识运用： 解：（2）设， ， ．······（1分） 到两个城市的距离相等， ，即， 在Rt中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：，······（1分） ，， ， 解得：．······（1分） 即应建在离点千米处；······（1分） 知识迁移： 解：（3），为线段上一点，，作点关于的对称点，连接，交于点，过点作的延长线于点， 则，，，······（1分） ，， 即，······（1分） 就是代数式的最小值，······（1分） 代数式的最小值为．······（1分） 如图， 最小值为20······（1分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北师大版八年级数学上册第1~3章。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列数中是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列计算正确的是（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．5， 12， 13 B．7， 14， 16 C．6， 8， 12 D．9， 15， 18 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列说法正确的是（　　） A．点在x轴上 B．点在第二象限 C．若，则点在第一或第三象限 D．点到x轴的距离是2 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，以点为圆心，以长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，，，，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）点在轴上，则___________． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若，则 ______． 11．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，尝试解决如下问题：如图2，正方形中，，则的面积是___________． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点恰好落到边的点处．如果，，那么_______． 13．（25-26八年级上·广东深圳·期中）中，______． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（6分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2) 15．（7分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于y轴对称的； (2)直接写出，，的坐标：______，______，______； (3)的面积为______． 16．（8分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，一架梯子 长 ，斜靠在一竖直的墙上，此时梯子顶端 A到地面的距离为． (1)求梯子底端B到墙角O的距离； (2)如果梯子的顶端 A沿墙下滑，那么梯子底端 B 将向外移动多少米？ 17．（8分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）我们知道，是一个无理数，将这个数减去它的整数部分，差就是该数的小数部分，即的整数部分是1，小数部分是 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)数学中常用“比差法”比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ，又， ， 请利用上述“比差法”，比较与3的大小． 18．（10分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是，c是的倒数． (1)求a，b，c的值； (2)求的算术平方根． 19．（10分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”． (1)点的“长距”为___________； (2)若点是“完美点”，求的值； (3)若点的长距为4，且点在第四象限内，点的坐标为，试说明点是“完美点”． 20．（12分）（25-26八年级上·广东深圳·期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们始终对它充满兴趣，不断探索其证明方法，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，试证明． 【知识运用】（2）如图2所示，表示一条铁路，是两个城市，它们到铁路所在直线的垂直距离分别为千米，千米，且千米，现要在之间设一个中转站，求出应建在离点多少千米处，才能使它到两个城市的距离相等． 【知识迁移】（3）借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式的最小值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $