四川省安岳中学2026-2027学年高二上学期第一次学情调研数学试卷

安岳中学高2025级第三学期第一次学情调研 数 学 试 卷 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2． 给出下列命题： ①若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可作为空间的一个基底； ②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底； ③A，B，M，N是空间四点，如果，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面； ④已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底．其中真命题的个数是(       ) A．1 B．2 C．3 D．4 3． 如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则等 于（    ） A． B． C． D． 4． 某公园有东、南、西、北共4个大门供游客出入，小军、小明从不同的大门进入公园游玩，游玩结束后，他们随机地从其中一个大门离开，则他们恰好从同一个大门出去的概率是（    ） A． B． C． D． 5． A、B两人进行一局围棋比赛，A获胜的概率为0.8，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计B获胜的概率.先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5,6,7表示A获胜；8,9表示B获胜，这样能体现A获胜的概率为0.8.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组. 例如，产生30组随机数：034  743  738  636  964  736  614  698  637  162  332  616  804  560  111  410  959  774  246762  428  114  572  042  533  237  322  707  360  751，据此估计B获胜的概率为（ ）． A． B． C． D 6． 一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　) 第6题图 第8题图 A． B． C． D． 7． 经过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8． 上图是一副直角三角板和，其中，现将三角板沿公共边翻折成右图的四面体，在翻折的过程中，下列叙述错误的是（   ） A．当四面体的体积最大时，若在内部，且，则点的轨迹长度为 B．异面直线与所成角的余弦值取值范围是 C．当直线与平面所成角相等时，四面体外接球的表面积为 D．为线段上的动点，则的最小值为 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，下列说法错误的是（    ） A．对于任意的空间向量，都有 B．若空间向量满足，则与的夹角为锐角 C．若是直线的方向向量，是平面的法向量，则 D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的充要条件 10．在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 11．在正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为1，则下列结论正确的是（   ） A．点B到平面的距离是 B．平面与平面垂直 C．记底面的中心为，则直线与直线所成角的余弦值为 D．若为线段的中点，点在正四棱柱表面上运动，若//平面，则点的轨迹是六边形 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．过两点、的直线的倾斜角是，则等于_____. 13．若A，B互为对立事件，，，且，，则的最小值是______. 14．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知，． （1）求；（2）求的值（3）若，求实数的值； 16．某市消防队为了提高市民对安全的重视及应对突发情况的能力，对本市市民组织了一次安全常识(综合安全事故、自然灾害等)网络测试，满分为分.测试完后抽取了份试卷，把分数按，，，依次分为第一至第六组(所有得分均满足)，其中与的人数均为，统计各组频数并计算相应频率，绘制出如图所示的频率分布直方图.同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，以频率估计概率，得出本次测试成绩的平均分为分. （1）求图中的值，并估计本次测试的及格率(“及格率”指得分为60分及以上的市民所占比例)； （2）根据频率分布直方图，用分层随机抽样的方法从，两个区间抽取出个分数，再从这个分数中随机抽取个分数，求选取的个分数都在内的概率； 17．如图，三棱柱的所有棱长都是，平面，分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求点到直线AE的距离； （3）求点到平面的距离． 18．2026年闽超足球比赛拉开帷幕．某商场为促进消费，组织一场“送足球挂件”项目．该项目由三个活动组成，每个活动各需参加一次且互不影响，连胜两个活动可以获得一样挂件，连胜三个活动可以获得两样挂件，活动规则如下：盒子中有五个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5． 活动一：取出一个小球，数字为偶数则获胜； 活动二：有放回地依次取出两个小球，数字之和为6则获胜； 活动三：不放回地依次取出两个小球，数字之和为奇数则获胜． （1）分别求出活动一，活动二获胜的概率； （2）一名顾客先参加了活动一，接下来该顾客应该先参加活动二还是先参加活动三能使获得挂件的概率更大？ 19．如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 高二（上）第一次学情调研 数学试卷 第2页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $