精品解析：四川省资阳市安岳中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题（强基班）

安岳中学高2024级第三学期强基班10月月考 数 学 试 卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为计算即可. 【详解】因为，可得， 即，解之可得. 故选：D 2. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直线的斜率定义即可求得m值. 【详解】由题知，，解得. 故选：A. 3. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则的周长为. 故选：A. 4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 5. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 6. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对奖券编号，用列举汪写出样本点，计数后由概率公式计算可得. 【详解】设没有奖品的4张抽奖券分别为，有奖品的3张抽奖券分别为.随机抽出2张，所有可能的结果为 ，共21种， 而小李获得奖品的结果为，，共15种， 故小李能获得奖品的概率为. 故选：C. 7. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，设弦的中点为，则，由弦的值求出，即可得到点在以为圆心，1为半径的圆上，从而求出的最小值，即可得解. 【详解】圆，即，圆心，半径, 设弦的中点为，则,，且， 所以， 所以点在以为圆心，1为半径的圆上，所以， 所以的最小值为. 故选：A． 8. 设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，设点，结合椭圆对称性求出点的坐标，再利用向量共线的坐标表示求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，设， 由，得，于是，， 而，则，由三点共线，得， 于是，解得，此时或符合题意， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ） A. 两两共面，但不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：ACD. 10. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时，点到平面的距离为 D. 当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由三棱锥的体积公式直接求出A正确；建立如图所示空间坐标系，求出平面的法向量，利用两向量的数量积不为零得到与不垂直可得B错误；求出平面的法向量，利用点到面的距离公式可得C正确；当的正切值为2时，不变得到点的轨迹，再求其长度可得D正确； 【详解】 对于A，如图1，因，故A正确； 对于B，如图2建立空间直角坐标系，则， 于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 由知与不垂直， 故直线与平面不平行，故B错误； 对于C，由上图建系，设P的坐标为， 当，有，则，设平面的法向量， 则，故． 取平面一点A与点E构成， 所以点E到平面的距离，故C正确； 对于D，因为P为底面正方形的动点，当的正切值为2时，不变，由圆锥性质可知，动点P的运动轨迹是以为高，为母线的圆锥的底面圆周， 此时为底面半径r，又因为P在正方形内运动，所以P的轨迹是底面圆周的；当的正切值为，则为，所以P的轨迹长为，故D正确，故选：ACD． 11. 设椭圆的右焦点为，点为左顶点，点为上顶点，直线过原点且与椭圆交于，两点（在第一象限），则以下命题正确的有（ ） A. B. 时，三角形面积为 C. 直线与直线的斜率之积是定值 D. 当与平行时，四边形的面积最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意和椭圆的性质，结合直线的特点，可较易判断A选项；对于B选项我们可以巧妙利用椭圆的对称性，将所求三角形转化为面积相同且较易求面积的三角形，利用三角形相关的性质，即可判断；对于C选项，按照选项内容建立起直线和直线的斜率的积的关系式，通过对式子的变形整理，看式子中是否含有变量，如果有变量，则不是定值，如果没有变量，则是定值；对于D选项，我们可以将四边形的面积分解为几个易于计算的小三角形的面积，这样有利于我们更好的建立四边形面积的表达式，从而根据表达式得出面积最大时，和的位置关系. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，焦距为， 则由题意可知，，，，， ∴，，，直线过原点，且在第一象限， ∴设直线的方程为：，， ∵经过原点，∴，即：， ∴，即：，故A正确； 如图所示： 设椭圆的左焦点为，连接，，，，由对称性可知：四边形是平行四边形， 又：，， 设，，， 由余弦定理可知：， 即：， 即：，解得：，∴， 又：，∴，， ∴ ， ∴，故B正确； 设：，点在第一象限，∴，由对称性知：， ∴，， ∴， 又：在椭圆上，∴，∴， 即有：， 直线与直线的斜率之积与直线的斜率有关，不是定值，故C错误； 如图所示： ， 当且仅当：，即：，，时等号成立， 而，此时， ∴当与平行时，四边形的面积最大，最大面积为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 关于这类以椭圆为基础的综合性问题，要注意以下几个点： （1）根据题意和题设条件得到较为标准的草图，这可以帮助我们更好的发现一些细节； （2）辨析椭圆中包含的原点弦，焦点弦，过焦点三角形，过顶点三角形，线段的垂直、平行，特殊角，特别注意三角相关知识点的应用； （3）利用椭圆的性质，特别是椭圆的对称性，可以引出点的对称，直线的对称，一些几何图形的对称； （4）椭圆中解题的关键是建立正确的关系.这个关系有联立方程组得到或的二次式，进而得到根与系数的关系，也有几何关系、不等关系、甚至运动关系，数形结合、转化是主要思维方法； （5）解析几何对计算要求较高，应特别注意多项运算，负号运算. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果． 【详解】，，即， 当时，与重合，不合题意，， 所以两直线方程为与， 与间的距离． 故答案为：. 13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】可以通过向量的加法将表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式来求解. 【详解】根据向量加法三角形法则得到，， 即，即，展开得到， ， 运用数量积公式计算得到. 因为，所以. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由椭圆方程求出坐标，结合椭圆定义将转化为，即只需求的最大值，即求的最大值，结合图形求得其最大值，即可求得答案. 【详解】由椭圆可知，， 椭圆在圆内，而圆的圆心为，半径为， 易知，所以椭圆与圆相离， 而，故， 要求的最大值，只需求的最大值， 而Q在圆上， 只需求的最大值，当共线时（如图），最大， 此时，即为的最大值， 则的最大值为， 则的最大值为， 故答案为：12 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【小问1详解】 联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为. 16. 已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 【答案】（1）或 （2）6 【解析】 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，再由弦长公式求得结果； （2）由切线长公式可知当最小，计算可得的最小值. 【小问1详解】 圆的标准方程为. ①当斜率不存在时，直线的方程为， 直线截圆所得弦长为，符合题意； ②当斜率存在时，设直线， 圆心到直线的距离为 根据垂径定理可得，即，解得. 即直线的方程为或 【小问2详解】 圆心. 因为与圆相切，所以. 当最小，所以. 可得 17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. （1）求的值； （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由概率乘法公式列出等式求解即可. （2）记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为，从而得到不低于8分的事件为，再结合概率加法、乘法公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 解得. 【小问2详解】 比赛结束后，甲､乙个人得分可能为. 记甲得分为i分的事件为，乙得分为i分的事件为， 相互独立， 记两轮投篮后甲总得分不低于8分为事件E， 则，且彼此互斥. 易得. ， 所以 所以两轮投篮后，甲总得分不低于8分的概率为. 18. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 【答案】（1） 连接，取线段的中点，连接， 在Rt中，， ， 在中，， 由余弦定理可得：， 在中， ， 又平面， 平面， 又平面 ∴平面平面， 在中，， ∵平面平面平面， 平面. （2）存在，点是线段的中点 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，，从而得到线面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性质得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，设出的坐标，求出平面的法向量，从而列出方程，求出的值，确定点位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 平面的法向量， 在平面直角坐标系中，直线的方程为， 设的坐标为， 则， 设平面的法向量为， ， 所以， 令，则， 由已知， 解之得：或9（舍去）， 所以点是线段的中点. 19. 已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． （1）求椭圆E的方程． （2）设M为椭圆E上一动点，求的最大值． （3）过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设M点坐标为，运用两点间距离求出，结合和二次函数最值求出即可. （3）设直线方程为：，，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，，， 故， 故，所以，，故椭圆方程为：． 【小问2详解】 设M点坐标为，满足，又C点坐标为， 所以：，其中 所以当时，有最大值，所以的最大值为． 【小问3详解】 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要用合适的参数表示目标代数式，表示过程中需要借助韦达定理，此时注意直线方程的合理假设. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2024级第三学期强基班10月月考 数 学 试 卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 设向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角为，则实数m值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左右焦点分别为、，过左焦点，作直线交椭圆于、两点，则三角形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 某商场举办有奖促销活动，在抽奖盒中放有7张抽奖券，其中3张抽奖券有奖品，若小李从中一次性随机抽出2张抽奖券，则小李能获得奖品的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，是圆上的一条动弦，且，为坐标原点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左顶点为A，右焦点为F，点P在直线上但不同于右顶点.连接FP交椭圆于点Q，且.连接QO（O为坐标原点）交椭圆于另一点且A，，P三点共线，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（ ） A. 两两共面，但不可能共面 B. 有且仅有一对实数，使得 C. 对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D. ，，一定能构成空间的另一个基底 10. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，为底面正方形内（含边界）的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线平面 C. 当时，点到平面的距离为 D. 当的正切值为2时，动点P的轨迹长度为 11. 设椭圆的右焦点为，点为左顶点，点为上顶点，直线过原点且与椭圆交于，两点（在第一象限），则以下命题正确的有（ ） A. B. 时，三角形面积为 C. 直线与直线的斜率之积是定值 D. 当与平行时，四边形的面积最大 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线：与直线：平行，则与间的距离为______． 13. 如图所示，在棱长均为2的平行六面体中，，点M为与的交点，则的长为___________. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一个动点，Q为圆上一个动点，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知两直线. （1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； （2）已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 16. 已知圆的方程为. （1）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； （2）过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值. 17. 某校为了厚植文化自信､增强学生的爱国情怀，特举办“中国诗词精髓”知识竞赛活动，比赛中只有两道题目，比赛按先题后题的答题顺序各答1次，答对题得2分，答对题得3分，答错得0分.已知学生甲答对题的概率为，答对题的概率为，其中，学生乙答对题的概率为，答对题的概率为，且甲乙各自在答两题的结果互不影响.已知甲比赛后得5分的概率为，得3分的概率为. （1）求的值； （2）求比赛后，甲乙总得分不低于8分的概率. 18. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 19. 已知椭圆椭圆的离心率．左顶点为A，下顶点为，是线段的中点，其中． （1）求椭圆E的方程． （2）设M为椭圆E上一动点，求的最大值． （3）过点的动直线与椭圆E有两个交点，．在轴上是否存在点使得恒成立．若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $