专题04 二次函数常考几何问题14大题型56题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题04 二次函数常考几何问题（14大题型56题） 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题 题型2 二次函数的面积问题 题型3 二次函数的平移问题 题型4 二次函数的倍角问题 题型5 二次函数的45°角问题 题型6 二次函数的旋转问题 题型7 二次函数的翻折问题 题型8 二次函数与线段交点问题 题型9 二次函数与图形交点问题 题型10 二次函数的最值问题 题型11 二次函数的存在性问题 题型12 二次函数的新定义问题 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题（共3小题） 【易错】易忽略二次项系数不为 0；区间约束下最值不一定在顶点，临界端点取值需单独检验，漏情况 1．（26-27九年级上·北京·期中）二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 题型2 二次函数的面积问题（共3小题） 【易错】坐标转线段忘记绝对值；割补容易重复、漏算面积，动点位置多样，分类讨论不完整易丢解 4．（26-27九年级上·北京·期中）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点、、坐标； (2)点是抛物线上一动点，当的面积为时，求所有符合条件的点的坐标． 5．（26-27九年级上·北京·期中）抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中为顶点．利用图象解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围 ； (3)若点为抛物线上的一点，且的面积为16，求点的坐标． 6．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点位于点的左侧）． (1)直接写出点、的横坐标：_____，_____； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，线段的长为_____； ②在点从运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 题型3 二次函数的平移问题（共6小题） 【易错】左加右减仅针对 x；平移前后 a 不变，混淆图像平移和点平移，直接对整体式子加减出错 7．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D． 8．（2026·山东泰安·三模）已知抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴的一个交点是，则的值是__________． 9．（25-26九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A的坐标为___． （2）求抛物线的解析式（化为一般式）； （3）若将抛物线沿x轴方向平移个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题： ①若向左平移，则n的取值范围是______． ②若向右平移，则n的取值范围是______．    题型4 二次函数的倍角问题（共3小题） 【易错】倍角存在多种位置，极易漏解；构造辅助线缺少画图，求出的解不检验，得到不符合题意的根。 10．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 11．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标． 12．（2026·河南·模拟预测）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 题型5 二次函数的45°角问题（共3小题） 【易错】45° 角分直线两侧，存在双解；坐标计算符号易出错，求得点坐标后代入验证步骤常省略 13．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 14．（24-25九年级上·天津河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 15．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 题型6 二次函数的旋转问题（共3小题） 【易错】旋转分顺时针、逆时针，容易漏掉其中一种；旋转求点坐标时符号运算失误，忘记检验。 16．（24-25九年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（   ） A．2，，11 B．2，，5 C．，，11 D．，8，5 17．（25-26九年级上·北京·期中）小明在学习时遇到这样一个问题： 如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试证明经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”． 18．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面坐标系中，点A的坐标为，点的横坐标为，将点绕点旋转，使它的对应点恰好落在轴上（不与点重合）；再将点绕点逆时针旋转得到点 (1)画出图形（保留作图痕迹），直接写出点和点的坐标； (2)求经过三点的抛物线的表达式. (3)将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 个单位时，所得到的新的函数图象与轴的两个交点之间的距离为 题型7 二次函数的翻折问题（共3小题） 【易错】翻折后是分段函数，容易忽略分段范围；对称点性质运用错误，忽视翻折后图像的限制条件 19．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图所示，拋物线与轴交于点和点，将拋物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，顶点落在点处． (1)求点和点的坐标； (2)学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点作轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线以上的部分去掉，设计成一个“W”形图案．请你计算这个“W”形图案的高与宽的比； (3)现有直线：与（2）中这个“W”形图案有且只有一个交点，请求出的取值范围． 20．（24-25九年级上·北京·期中）【问题背景】解方程：； 【解决方法】建立函数， (1)求：该函数与轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线的轴下部分沿轴翻折得到该函数，由图象可知，当的取值范围是_________时问题方程有个不同根的时候，所有根的和为_________． 21．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型8 二次函数与线段交点问题（共3小题） 【易错】混淆直线与线段；交点必须落在线段两个端点之间，经常忽略端点范围，造成参数范围偏大。 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是______________． 23．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 24．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，函数过点． (1)的坐标是________，的坐标是________； (2)当，且时，函数有最小值为2，求a的值； (3)若函数的图象与线段有且仅有一个交点，求a的取值范围． 题型9 二次函数与图形交点问题（共3小题） 【易错】图形有边界，不是无限延伸；只算联立方程，遗漏顶点相切、边界相交，分类不全漏解 25．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线的函数表达式为，点、均在抛物线上，横坐标分别为、． (1)在下面的平面直角坐标系中，画出抛物线的函数图象； (2)当时，点与点纵坐标的差为__________； (3)当时，连接，过线段的中点作轴的垂线，当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，记为点，当连接点、、能构成三角形时，若抛物线的图象在内部（不包括边界）随着的增大而增大或随着的增大而减小，则请直接写出的取值范围． 26．（26-27九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，若的顶点坐标为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是_____． 27．（2026·河北沧州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴、轴分别交于，两点，顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)将抛物线绕点旋转，得到抛物线，求抛物线的解析式（用表示）； (3)在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①求的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出的取值范围； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，，，为线段的三等分点时，直接写出的值． 题型10 二次函数的最值问题（共3小题） 【易错】顶点不一定在自变量取值区间；最大、最小值分开判断，容易搞错对称轴两侧增减性 28．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中，．直线经过B，C两点．    (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使最小，直接写出点M的坐标； (3)连接，求的面积． 29．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 30．（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 题型11 二次函数的存在性问题（共3小题） 【易错】存在性问题多解常见，容易漏情况；求出坐标后不检验，得到不符合图形条件的增根 31．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 32．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 33．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 题型12 二次函数的新定义问题（共3小题） 【易错】凭旧经验做题，不严格遵守题干新定义；忽略定义附带限制条件，未验证结果是否满足规则。 34．（2026·山东济南·二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 35．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 36．（25-26九年级上·上海·单元复习）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练（共10小题） 37．（26-27九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．记． (1)若，求a的值； (2)h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值；若不存在，说明理由． 38．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 39．（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 40．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 41．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 42．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 43．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 44．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 45．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 46．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练（共10小题） 47．（26-27九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较，的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； (3)若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 48．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含有的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求的取值范围． 49．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 50．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点M、N，抛物线经过点M． (1)将点N向右平移5个单位长度，得到点P．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． (2)已知，和是抛物线上的三点．当时，都有，求a的取值范围． (3)过点．作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，记点E与点F间的距离为d，当E与F重合时，．若对于，都有，求a的取值范围． 51．（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移6个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式（用含a的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点D，过点D作y轴的垂线，将抛物线在直线左侧的部分沿直线翻折，过点B作x轴的垂线，将抛物线在直线右侧的部分沿直线翻折，与抛物线的其他部分组成新的图形G．点，是图形G上的两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求a的取值范围． 52．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知过作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若当从点运动到点过程中，线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围． 53．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知抛物线，为平面直角坐标系原点，点坐标为． (1)如图，若抛物线过点，与轴的一个交点为，顶点为，直线与轴的交点为． ①求该抛物线的关系式； ②求的面积； ③当时，函数的最大值为，最小值为，求的值． (2)若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 54．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． (1)求点的坐标，并用含的式子表示； (2)将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称． ①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由； ②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 55．（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． (1)用含的式子表示，并求的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 56．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数常考几何问题（14大题型56题） 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题 题型2 二次函数的面积问题 题型3 二次函数的平移问题 题型4 二次函数的倍角问题 题型5 二次函数的45°角问题 题型6 二次函数的旋转问题 题型7 二次函数的翻折问题 题型8 二次函数与线段交点问题 题型9 二次函数与图形交点问题 题型10 二次函数的最值问题 题型11 二次函数的存在性问题 题型12 二次函数的新定义问题 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的图象与性质含参问题（共3小题） 【易错】易忽略二次项系数不为 0；区间约束下最值不一定在顶点，临界端点取值需单独检验，漏情况 1．（26-27九年级上·北京·期中）二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可，注意一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， ∵且， ∴，分两种情况讨论： ①当时，当时，y取最小值，则，解得：或（均不合题意，舍去）； ②当时，则当时，y取最小值，则，解得：， 当时，y取最大值，则，解得：，（不合题意，舍去）， 综上，， ∴． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知二次函数当时，y随x的增大而增大．当时，函数的最大值是5，最小值是，则k的值可能是（    ） A．10 B．9 C．7 D．5 【答案】D 【分析】先对二次函数配方得到对称轴，再根据给定区间的增减性确定开口方向，最后根据最值条件确定k的取值范围，选出符合条件的选项． 【详解】解：对二次函数配方得：， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． ∵当时，随的增大而增大，且，说明对称轴左侧随增大而增大， ∴抛物线开口向下，即． 当时，代入得， 关于对称轴的对称点为， 即时． ∵开口向下时，点离对称轴越远函数值越小，且时，函数最大值为，最小值为， ∴， 观察选项，只有在范围内． 3．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 题型2 二次函数的面积问题（共3小题） 【易错】坐标转线段忘记绝对值；割补容易重复、漏算面积，动点位置多样，分类讨论不完整易丢解 4．（26-27九年级上·北京·期中）如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求点、、坐标； (2)点是抛物线上一动点，当的面积为时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得关于的一元二次方程，解方程，可得点与点的坐标，根据顶点式可得点的坐标； （2）设点的坐标为，由，求出的值，代入方程中解，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：当时，，解得， 由图知，点在轴左侧，点在轴右侧，所以． 由知，点的坐标为． （2）设点的坐标为， 的面积为， ， 又，． 点在抛物线上， ， 解得． 符合条件的点的坐标为． 5．（26-27九年级上·北京·期中）抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中为顶点．利用图象解答下列问题： (1)求此抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围 ； (3)若点为抛物线上的一点，且的面积为16，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将点代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出当和时的值，再结合函数图象即可得出结果； （3）求出，从而可得，设，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，，当时，， 结合函数图象可得，当时，的取值范围； （3）解：在中，令，则， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∵点为抛物线上的一点， ∴设， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∴或， 当时，解得，此时点的坐标为或， 当时，即，此时无实数解，不符合题意， 综上所述，点的坐标为或． 6．（25-26九年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点位于点的左侧）． (1)直接写出点、的横坐标：_____，_____； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，线段的长为_____； ②在点从运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)0；2 (2)①1；②且 【分析】（1）令整理后解方程即可； （2）分和两种情况讨论画出图形解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 解得或2， ∵点位于点的左侧， ∴，； （2）①解：若，，则，， ； ②解：由（1）得，， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． 当时，如图 ， ， 当时，最大， ∵点从运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如图 的面积随的长的增大而增大， 综上，且． 题型3 二次函数的平移问题（共6小题） 【易错】左加右减仅针对 x；平移前后 a 不变，混淆图像平移和点平移，直接对整体式子加减出错 7．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，点，将抛物线向上平移个单位，使得平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为（    ）    A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）．当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，此时抛物线顶点的纵坐标等于点A，点B的纵坐标，据此可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段有交点，而当抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，把点代入函数，可求得m的值．将抛物线向上继续平移，抛物线与线段没有交点．综上可得的取值范围． 【详解】将抛物线向上平移个单位长度，得到抛物线为（）， 如下图，当平移后抛物线的顶点在线段上时，抛物线开始与线段有交点，    ∵抛物线的顶点坐标为，且， ∴，解得； 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段有交点，如下图    抛物线经过点B时，抛物线最后与线段有交点，如下图，    把点代入函数，得 ，解得， 将抛物线向上继续平移，即时，抛物线与线段没有交点． 综上所述，平移后的抛物线与线段有公共点，则的取值范围为． 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的平移与交点问题，采用数形结合思想是解题的关键． 8．（2026·山东泰安·三模）已知抛物线与轴有两个交点，抛物线与轴的一个交点是，则的值是__________． 【答案】5或1/1或5 【分析】抛物线通过左右平移可得抛物线，分点与为对应点，点与为对应点两种情况，分别求解即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， 当点与为对应点时，由于， 抛物线是由抛物线向右平移5个单位得到， ； 当点与为对应点时，由于， 抛物线是由抛物线向右平移1个单位得到， ， 综上的值是5或1． 故答案为：5或1． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握平移的规律，注意分情况讨论． 9．（25-26九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，． （1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A的坐标为___． （2）求抛物线的解析式（化为一般式）； （3）若将抛物线沿x轴方向平移个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题： ①若向左平移，则n的取值范围是______． ②若向右平移，则n的取值范围是______．    【答案】（1），；（2）；（3）①，② 【分析】（1）由对称轴为直线x=-，可求解； （2）将点B坐标代入可求解； （3）设向左平移后的解析式为：y=（x+1+n）2-4，设向右平移后的解析式为：y=（x+1-n）2-4，利用特殊点代入可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线y=mx2+2mx-3的对称轴为直线x==-1，AB=4， ∴点A（-3，0），点B（1，0）， 故答案为：x=-1，（-3，0）； （2）∵抛物线y=mx2+2mx-3过点B（1，0）， ∴0=m+2m-3， ∴m=1， ∴抛物线的解析式：y=x2+2x-3， （3）如图，    ∵y=x2+2x-3=（x+1）2-4， ∴设向左平移后的解析式为：y=（x+1+n）2-4， 把x=-3，y=0代入解析式可得：0=（-3+1+n）2-4， ∴n=0（舍去），n=4， ∴向左平移，则n的取值范围是0＜n≤4； 设向右平移后的解析式为：y=（x+1-n）2-4， 把x=0，y=-3代入解析式可得：-3=（1-n）2-4， ∴n=0（舍去），n=2， ∴向右平移，则n的取值范围是0＜n≤2， 故答案为：0＜n≤4；0＜n≤2． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 题型4 二次函数的倍角问题（共3小题） 【易错】倍角存在多种位置，极易漏解；构造辅助线缺少画图，求出的解不检验，得到不符合题意的根。 10．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，如图． ①求的面积； ②点在抛物线上，点在线段上（不与端点，重合），若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，求抛物线与坐标轴的交点，角度问题； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）①分别令求得的坐标，根据三角形的面积公式，即可求解； ②先求出点坐标，当点在线段上时:是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：①在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：， ∴，则 ∴ ②∵点在抛物线上 ∴ ∴点坐标 设所在直线解析式为，其过点、 有， 解得 ∴所在直线的解析式为： 当点在线段上时，设 而 ∴ ∴ ，， ∴ 解得：， 所以点的坐标为: 11．（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点坐标为，与y轴交于点．在直线上方的抛物线上存在点Q，使得，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求解析式，角度问题是解题的关键． 先利用待定系数法求解析式，再根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则△是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； 【详解】解：将，代入， 得， 解得：， 抛物线解析式为； 对于，令，则 解得：， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， ， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， △是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得：（舍去）或， ． 12．（2026·河南·模拟预测）如图，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m． ①当点P在第一象限时，过点P作轴，交BC于点D，过点D作轴，垂足为E，连接，当和相似时，求点P的坐标； ②请直接写出使的点P的坐标． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或． 【分析】（1）将、两点坐标代入抛物线，列出关于a和b的方程组求解即可；（2）①设，由点和点可得的表达式，分两种情况：当时和当时根据相似三角形的性质求解即可； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，在x轴的下方作，设点M的坐标为，求出点M的坐标，得出直线的解析式，联立方程，求出点P的坐标，同理可得点． 【详解】（1）解：将、两点坐标代入抛物线解析式， 可得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）①设， 由点和点可得的表达式：， 则， ， 轴，轴， ， （Ⅰ）当时，， 则， ， ； （Ⅱ）当时， ， 则， ， ， ∴当与相似时，点的坐标为或； ②如图，过点B作的角平分线分别交y轴、抛物线于点M、P，过作交于，在x轴的下方作，设点M的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点M的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴点P的坐标为， 由作图可知，M与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 同理可得点的坐标为， 综上点P的坐标为或． 题型5 二次函数的45°角问题（共3小题） 【易错】45° 角分直线两侧，存在双解；坐标计算符号易出错，求得点坐标后代入验证步骤常省略 13．（26-27九年级上·北京东城·期中）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，求得得到点P在x轴的上方，过A作交于M，过作轴于N，证明得到，，进而可得，利用待定系数法求得直线的函数表达式为，和抛物线联立方程组求解即可； （3）利用待定系数法分别求得直线、直线和直线的函数表达式，设，，易求得，利用中点坐标公式求得，代入直线的函数解析式中求得m值即可解答； （4）过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则四边形是矩形，根据题意设，，证明得到，，，，根据坐标与图形的性质可求得，，由列方程求得n值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于、两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，当时，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P在x轴的上方，如图，，过A作交于M，过作轴于N，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解 得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得，， ∴点P的坐标为； （3）解：设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，， ∵， ∴直线的函数表达式为， 将D坐标代入，得，解得， ∴， ∵为线段的中点时， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点N在直线上， ∴， 解得，， ∴点D坐标为； （4）解：过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点． ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴，，， 同理，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，则， ∴， ∵四边形为的面积为， ∴由得 整理，得， 解得，（舍去）， ∴，， ∴点G坐标为． 14．（24-25九年级上·天津河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）与x轴交于、B，与y轴交于点C，点P是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及点P的坐标； (2)已知点Q是对称轴右侧抛物线上的一点． ①当时，求点Q的坐标； ②过点P作，交x轴于点H，当时，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）把代入抛物线中得：，解方程可得m的值，从而得抛物线的解析式，配方成顶点式可得点P的坐标； （2）①令，可计算C，分两种情况：当点Q在x轴的上方时，如图1，连接，证明是等腰直角三角形，即可得点Q的坐标为；当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E，设，根据，列方程即可解答； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N，设点Q的坐标为，证明，得，即可解答． 【详解】（1）解：把代入抛物线中得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：， ∵， ∴P的坐标为； （2）①当时，， ∴C， 分两种情况： 当点Q在x轴的上方时，如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则当点Q与C重合时，， 此时Q的坐标为； 当点Q在x轴的下方时，如图2，过点Q作轴于E， 设 ∵点Q是对称轴右侧抛物线上的一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， 当时，， ∴Q的坐标为， 综上，点Q的坐标是或； ②如图3，过点P作轴，过点H作于M，过点Q作于N， 设点Q的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到的考点有：二次函数解析式的确定，二次函数的性质，三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的判定及性质等知识，对学生综合运用知识的能力要求较高． 15．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作于T，根据列式求解即可； （3）取，连接，，证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解∶如图所示，过点P作于T， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，取，连接，， ∵、，， ∴，，， ∴， ∴线段与抛物线的交点即为所求； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 如图所示，取，连接，， 同理可得， ∴直线与抛物线的交点即为所求； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴； 综上所述，符合题意的点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理等知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解． 题型6 二次函数的旋转问题（共3小题） 【易错】旋转分顺时针、逆时针，容易漏掉其中一种；旋转求点坐标时符号运算失误，忘记检验。 16．（24-25九年级上·江西九江·期中）在平面直角坐标系中，将抛物线绕顶点旋转得到新抛物线，再将新抛物线沿轴翻折得到抛物线，则，，的值分别是（   ） A．2，，11 B．2，，5 C．，，11 D．，8，5 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与几何变换，由题意得出，结合题意得出抛物线的顶点坐标为，求出点关于轴对称的点的坐标为，结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数关于轴对称的图象，再绕图象的顶点旋转，所得抛物线与抛物线的开口方向相同， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵点关于轴对称的点的坐标为， ∴最后得到的抛物线的解析式为， ∴． 故选：A． 17．（25-26九年级上·北京·期中）小明在学习时遇到这样一个问题： 如果二次函数（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”． 小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”． 请参考小明的方法解决下面的问题： (1)写出函数的“旋转函数”； (2)若函数与互为“旋转函数”，求的值； (3)已知函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点，，关于原点的对称点分别是，，，试证明经过点，，的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【答案】(1) (2)1 (3) 证明：∵当时，解得， ∴． 当时，，即． 由点A，B，C关于原点的对称点分别是，得． 设过点的二次函数，将代入，得 ， 解得， 过点的二次函数． 函数可知，，． 由，得． 的“旋转函数”为． ∴经过点的二次函数与函数互为“旋转函数”． 【分析】（1）根据 “旋转函数”的定义，可得，，，可得旋转函数； （2）根据 “旋转函数”满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得，，，根据负数偶数次幂是正数，可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得，，，根据待定系数法，可得函数解析式；根据 “旋转函数”满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得，，，可得旋转函数． 【详解】（1）由函数可知． 由，得 ． 函数的“旋转函数”为； （2）由与互为“旋转函数“，得 ，． 解得． 当时，； （3）略 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用（，，，是常数）与（，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”得出，，是解题关键． 18．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）如图，在平面坐标系中，点A的坐标为，点的横坐标为，将点绕点旋转，使它的对应点恰好落在轴上（不与点重合）；再将点绕点逆时针旋转得到点 (1)画出图形（保留作图痕迹），直接写出点和点的坐标； (2)求经过三点的抛物线的表达式. (3)将这个二次函数的图象沿y轴向下平移，请回答：当向下平移 个单位时，所得到的新的函数图象与轴的两个交点之间的距离为 【答案】(1)画图见解析；， (2) (3) 【分析】（1）根据题意画图，可得点和点的坐标； （2）用交点法设抛物线解析式为将的坐标代入可得抛物线的解析式； （3）根据题意得出平移后的函数解析式，然后判断平移方式即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点的横坐标为，， ∴点的坐标为， ∵将点绕点逆时针旋转得到点， ∴点的坐标为 如图所示：点的坐标为，点的坐标为； （2）设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （3）将原图像向下平移，则对称轴不变，对称轴为：直线， ∵新的函数图象与x轴的两个交点的距离为4， ∴新函数图像经过点， ∴平移后得解析式为：， 则由向下平移个单位得到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标和图形的特征、待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的平移、旋转的性质，根据旋转的性质进行画图是关键． 题型7 二次函数的翻折问题（共3小题） 【易错】翻折后是分段函数，容易忽略分段范围；对称点性质运用错误，忽视翻折后图像的限制条件 19．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图所示，拋物线与轴交于点和点，将拋物线在轴下方的部分沿轴向上翻折，顶点落在点处． (1)求点和点的坐标； (2)学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点作轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线以上的部分去掉，设计成一个“W”形图案．请你计算这个“W”形图案的高与宽的比； (3)现有直线：与（2）中这个“W”形图案有且只有一个交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）根据，解方程求解即可； （2）根据题意，得“W”形图案的高为3，解方程，求得的长，求解即可； （3）先确定翻折的抛物线的解析式，根据图案，结合要求，分析求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得， 由点A在原点的左边， ． （2）解：根据题意，得， ， 解得， ， ， “W”形图案的高为3， “W”形图案的高与宽的比为． （3）解：根据题意，得，，，， 翻折的抛物线解析式为，如图： 当直线经过点时，符合题意， 将代入，则，解得； 当直线经过点时，此时与这个“W”形图案有个交点， 则，解得， ∴， 当直线经过点时，则，解得 ∴时，符合题意； 当直线与抛物线相切时，则， 整理，得， ， 解得， ∴； 当直线经过点时，，解得， ∴时符合题意； 综上所述，符合要求的b的取值范围是或或． 20．（24-25九年级上·北京·期中）【问题背景】解方程：； 【解决方法】建立函数， (1)求：该函数与轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线的轴下部分沿轴翻折得到该函数，由图象可知，当的取值范围是_________时问题方程有个不同根的时候，所有根的和为_________． 【答案】(1)该函数与轴的交点坐标为：，；顶点坐标为：， (2)，4． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图象和性质求解即可． （1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与轴的交点坐标． （2）画出函数图像可求解，根据函数图象可求解． 【详解】（1）解：， ∴该函数的顶点坐标为：， 令，则， 即， 解得：，， ∴该函数与轴的交点坐标为：，． （2）∵，则可以通过将抛物线在轴下部分沿轴翻折得到该函数，如下图： ∵， ∴函数的顶点坐标为：，对称轴， ∴翻折后的顶点坐标变成， 令，根据函数与坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图象可知当时，方程有个实数根． 由图象可知，当问题方程有个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，个不同根的和为， 故答案为：，4． 21．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分不变，即得到的图象．根据图象，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，关键是数形结合思想的应用．把关于x的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：若关于x的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，k的取值范围是， 故选：A． 题型8 二次函数与线段交点问题（共3小题） 【易错】混淆直线与线段；交点必须落在线段两个端点之间，经常忽略端点范围，造成参数范围偏大。 22．（2024九年级·全国·竞赛）已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是______________． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数与线段交点问题，解题关键是掌握二次函数性质与判别式，通过数形结合的方法求解． 分两种情况：当抛物线顶点落在线段上时，当抛物线顶点落在x轴下方时，分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， 当抛物线顶点落在线段上时，如图， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴， 解得：； 当抛物线顶点落在x轴下方时， 当时，， 当时，， ∵抛物线与线段有且只有一个交点， ∴ 或， 解得：， 综上，k的取值范围是或． 故答案为：或． 23．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点 (1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式； (2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值； (3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围． 【答案】(1) (2)S取得最大值， (3)或或 【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标，可设二次函数为，再利用待定系数法解答，即可得解； （2）依据题意可得，从而抛物线为，可求出另一交点B的坐标为，与y轴交点C的坐标，进而的面积，结合在内，进而可以判断得解； （3）依据题意可得抛物线为，再求出线段所在直线的解析式，又联立两函数解析式，可得，故，从而当判别式时， 可得，此时二次函数与线段只有一个交点，再由当方程在内仅有一根，可得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：∵该二次函数图象的顶点坐标为 ∴设二次函数为， 又∵抛物线过点， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即； （2）解：由题意，，且抛物线过点， ， ， ∴抛物线为， ∴对称轴是直线，与y轴交点C的坐标为， ∴另一交点B的横坐标，即坐标为， 的面积， 在内，当时，S取得最大值； （3）解：由题意，，且抛物线过点， ， ∴抛物线为， ∵点，， 线段所在直线为， 联立方程， ， ∴当判别式时，， 解得， 此时二次函数与线段只有一个交点， 当时，， 当时，， 又∵当方程在内仅有一根， ， 或， 综上，b的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 24．（2026·山东临沂·二模）在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，函数过点． (1)的坐标是________，的坐标是________； (2)当，且时，函数有最小值为2，求a的值； (3)若函数的图象与线段有且仅有一个交点，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）轴上点纵坐标，轴上点横坐标，分别代入直线解析式求解； （2）抛物线对称轴在区间内部，分（开口向上，顶点取最小值）、（开口向下，区间端点取最小值）两类讨论； （3）线段，联立抛物线与直线方程，转化为方程在内有且仅有一个解的问题，结合抛物线开口方向、根的分布、相切分类讨论． 【详解】（1）解：当时，，解得， ， 当时，， ． （2）解：根据题意得， ， ， ， ， 顶点为， ①当时，顶点处为最低点， 当时，， 函数有最小值为2， ； ②当时，， 当时，， 函数有最小值为2， ， 即（舍）， 综上所述：． （3）解：由（2）可得函数， ①当时，函数的图象是开口向下的抛物线，其顶点为最高点在第四象限，与线段无交点，不符合题意； ②当时，，与线段的交点是，符合题意； ③当时，函数的图象是开口向上的抛物线，其顶点为， 对称轴与线段的交点为， （Ⅰ）当顶点在直线下方，即：时，函数图象的对称轴右侧与线段有1个交点， 当对称轴左侧的图象与y轴交点在N点的下方时，函数的图象与线段有且仅有一个交点， 即：， 解得：， ； （Ⅱ）当顶点在直线上或上方，即：时， 函数的图象与线段有且仅有一个交点 有两个相等的实数根， ， 即：， 解得，（舍） 综上可知，或． 题型9 二次函数与图形交点问题（共3小题） 【易错】图形有边界，不是无限延伸；只算联立方程，遗漏顶点相切、边界相交，分类不全漏解 25．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点．抛物线的函数表达式为，点、均在抛物线上，横坐标分别为、． (1)在下面的平面直角坐标系中，画出抛物线的函数图象； (2)当时，点与点纵坐标的差为__________； (3)当时，连接，过线段的中点作轴的垂线，当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，求的取值范围； (4)作点关于点的对称点，记为点，当连接点、、能构成三角形时，若抛物线的图象在内部（不包括边界）随着的增大而增大或随着的增大而减小，则请直接写出的取值范围． 【答案】(1) 解：对于， 列表： …… 对于， 列表： …… …… 描点，连线，如图， (2) (3) (4)或或 【分析】（1）利用描点法绘制函数图象，注意顶点及与坐标轴的交点； （2）把代入函数解析式求得函数值，最后作差即可： （3）根据的正负分情况讨论中点纵坐标的取值范围即可； （4）结合图象找到不同情况下对应的个点的位置，逐一分析是否符合题目要求，即可找到取值范围． 【详解】（1）略； （2）解：把代入，得，， 把代入，得， ∴. 故答案为：； （3）解：当时； ∴， ∵过线段的中点作轴的垂线， ∴， 由图可知，当时；图象最高点为， 当时：图象最低点为， ∴当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴ 由图可知，当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，， ∴解得：， ∴ 综上所述：当直线与抛物线的函数图象有三个交点时，； （4）解：当时； ∵， ∴， ∴直线必过点； 当时， ∵， ∴ ∴直线必过点； 当或时，在同一直线上，无法构成三角形， 结合下图分析： ∵抛物线的图象在内部（不包括边界）随着的增大而增大或随着的增大而减小， ∴或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的画法、二次函数的最值，及二次函数与其他问题的结合；关键是灵活熟练应用知识点解题． 26．（26-27九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数，若的顶点坐标为、、，且此函数图象与只有两个交点，则的取值范围是_____． 【答案】或 【分析】先求出二次函数对称轴，得的顶点在对称轴上，、关于对称轴对称，分顶点在三角形内部和顶点在三角形下方两种情况讨论，计算得到的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． ∵，，， ∴，关于直线对称，在直线上，在对称轴上的范围是． 二次函数开口向上，分情况讨论： 1. 当顶点在内部时，抛物线与、各有1个交点，共2个交点，满足条件． 此时满足， 解得， 解得， 即． 2. 当顶点在下方时，即，得． 若抛物线恰好过、两点，此时交点只有、两个，满足条件． 将代入解析式得：， 解得． 验证得时，抛物线与只有两个交点、，符合条件． 当时，抛物线与共4个交点，不符合；当时，抛物线与无交点，不符合． 综上，的取值范围是或． 27．（2026·河北沧州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴、轴分别交于，两点，顶点为． (1)求点和点的坐标； (2)将抛物线绕点旋转，得到抛物线，求抛物线的解析式（用表示）； (3)在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①求的最大值和的最小值； ②在的图象上有、两点，当，时，总有，直接写出的取值范围； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，，，为线段的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为 (2) (3)①的最大值为，的最小值为；②的取值范围是；③的值为或 【分析】（1）由配方法可解得顶点的坐标，令，，可解得抛物线在轴正半轴的交点； （2）由旋转的性质可知点绕点旋转的对称点，由抛物线的顶点式方程即可求解； （3）①由函数图象可得的最大值和的最小值； ②的图象上有、两点，当，总有，而，由图象可知且即可求解； ③为线段的三等分点，则或，点在抛物线的图象上，列方程解得的值，再求解的值． 【详解】（1）解：， ∴顶点的坐标为， 令 ，解得，， ∵点在轴正半轴， ∴点的坐标为； （2）解：由已知得点关于的对称点为， ∴； （3）解：①令， 解得，， 当时，， 当时，， ∴抛物线和的交点坐标为，， 结合图象可得的最大值为，的最小值为； ②如图，设抛物线与轴的交点为， 令，解得，则点的坐标为． 过抛物线和左边的交点，作一条平行于轴的直线，点也在该直线上， 抛物线的对称轴为， 利用抛物线的对称性可得该直线与的另一个交点为． 的图象上有、两点，当，时，总有， 由图象可得，且， 解得； ③设， 抛物线的对称轴为， 则． ∵为线段的三等分点， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或 ∴或． ∵点在抛物线的图象上， ∴或， 解得，（舍去），或，（舍去）． 当时，， 当时，． 题型10 二次函数的最值问题（共3小题） 【易错】顶点不一定在自变量取值区间；最大、最小值分开判断，容易搞错对称轴两侧增减性 28．（25-26九年级上·北京西城·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，顶点为D，其中，．直线经过B，C两点．    (1)求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线对称轴上找一点M，使最小，直接写出点M的坐标； (3)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、最短路径问题、三角形的面积． （1）根据抛物线与x轴交于，与y轴交于C点，可以求得该抛物线的解析式，然后即可求得点B的坐标，再根据点B和点C的坐标，即可求得直线的解析式； （2）根据两点之间线段最短和二次函数图象具有对称性，可以找到点M所在的位置，然后求出点M的坐标即可； （3）根据点D和点M的坐标，可以求得的长，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积． 【详解】（1）将点，代入， 得 解这个方程组，得 抛物线的解析式为. 当时，， 解得， ∴点B的坐标为， ∵直线经过B，C两点， ∴， 解得， ∴直线解析式为； （2）∵点A和点B关于对称轴对称， ∴当点M是直线和对称轴的交点时，取得最小值，    ∵抛物线， ∴点D的坐标为，对称轴为直线， 将代入直线，得：， ∴点M的坐标为； （3）∵点，点， ∴， ∵点， ∴， ∴． 29．（2026·山东临沂·模拟预测）如图，A，B，C是平面直角坐标系轴上的三个点，直线与抛物线交于B，C两点，，抛物线经过A，B，C三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点N是抛物线上的一动点且位于直线的上方，试求的最大面积． 【答案】(1) (2)存在，M的坐标是或 (3) 【分析】（1）利用直线的解析式，先求出B，C的坐标，根据确定A的坐标，再用待定系数法求解析式即可； （2）分别以B，C为直角顶点，作的垂线，垂线与抛物线的交点即为点M； （3）利用铅锤法，设出点N的坐标，作x轴的垂线，得到与的交点，用参数表示这段距离，构建的面积的二次函数求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 令，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线， 代入，得，， ∴； （2）解：存在． 设， ⅰ）当以C为直角顶点时，如图，过点C作，交抛物线于点．过点作y轴的垂线，垂足是E，则， ． 由，，得， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得（舍去），． ∴， ∴． ⅱ）当以B为直角顶点时，如图，过点B作，交抛物线于点，交y轴于点G．过点作y轴的垂线，垂足是F，则，轴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，即轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 综上所述，M的坐标是或； （3）解：如图3，过点N作轴交直线于点P， 设，则， ∴， ∵轴， ∴点C到的距离为，点B到的距离为， ∴， ∴当时，的面积最大，为． 30．（25-26八年级下·北京·期末）已知抛物线C：（）． (1)直接写出抛物线C的对称轴； (2)若点和均在抛物线C上，且，直接写出n的取值范围； (3)将抛物线C在y轴右侧的部分关于直线翻折，y轴及左侧部分保持不变，得到新图象G．已知点和均在图象G上，求的最小值． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)解：， 则抛物线的顶点坐标为， 根据翻折规则可得，当时，设原抛物线上一点， 则翻折后点的纵坐标为， 则， 则图象G的解析式为， ∵， ∴，， 又∵点和均在图象G上， ∴， ， ∴， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，最小值为． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）先求得点关于对称轴的对称点，根据可得，开口方向向下，离对称轴越近函数值越大，再根据确定出的取值范围即可； （3）先求抛物线C的顶点坐标，根据翻折规则，求得翻折后的图象解析式，然后根据的横坐标确定出的位置，从而求出，表示出，利用二次函数的性质，求得最小值即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的对称轴公式可得， 抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得，对称轴为， 则点关于对称轴的对称点为， 由可得，抛物线开口向下， 根据二次函数的性质可得，离对称轴越远，函数值越小， 由可得，到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 可得或； （3）略 题型11 二次函数的存在性问题（共3小题） 【易错】存在性问题多解常见，容易漏情况；求出坐标后不检验，得到不符合图形条件的增根 31．（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图所示．抛物线经过点和点． (1)求抛物线解析式和顶点D的坐标； (2)若直线与抛物线交于点A，C，点P在抛物线上，过点P作x轴的垂线，交直线于E，抛物线的对称轴与直线交于F． ①设点P的横坐标为m，当以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值； ②在直线上方的抛物线上是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，顶点； (2)①或或；②存在，． 【分析】（1）把和点代入求解即可； （2）①先求出，，则，由P的横坐标为m可知，，即，根据平行四边形的判定定理可知当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，即，求解即可； ②过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，可知是等腰直角三角形，证明，得到，进而得到，求出直线解析式为，求解即可． 【详解】（1）解：把和点代入得： ， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点； （2）解：①如图： 由得或， ∴， 由（1）知，对称轴为直线， 在中，令得， ∴， ∴， ∵P的横坐标为m， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，以点P，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形， 即， 解得或（与D重合，舍去）或或； ∴或或； ②在直线上方的抛物线上存在点P，满足，． 过A作交延长线于K，过K作轴于T，过C作轴于R，如图： 是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 由，得， 解得：， ∴直线解析式为， 解得或， ∴． 32．（2026·安徽合肥·三模）定义：若点P为抛物线上一点，轴交抛物线于另一点Q，则称的长为点P关于抛物线的开口宽，记为．根据定义解决如下问题： (1)抛物线：与y轴交于点C，则______； (2)抛物线：的顶点为D，与x轴交于点A、B（A在B的左侧）． ①若为等腰直角三角形，，求a的值； ②将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到新抛物线，其顶点为E，始终经过点D，对称轴交于F，若为等腰直角三角形，，求a的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）首先确定该抛物线的对称轴，然后根据“开口宽”的定义确定答案即可； （2）①首先确定该抛物线的顶点D的坐标，结合可得，然后根据等腰直角三角形的性质计算的值即可；②过点作于点，根据平移的性质确定点E的坐标，进而可得抛物线的解析式，根据等腰直角三角形的性质可得，进一步解得，并结合始终经过点D，进一步求解即可． 【详解】（1）解：对于抛物线：， 其对称轴为， ∴； （2）①∵， ∴其顶点D的坐标为， ∵， ∴， 当时，是等腰直角三角形， ∴，解得； ②如下图，过点作于点， 由抛物线向右平移m个单位，向下平移n个单位，得到新抛物线，其顶点为E， 则点E的坐标为， ∴抛物线的解析式为：， ∵为等腰直角三角形，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，解得， ∴解析式为：， ∵始终经过点D， ∴，解得． 33．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）根据对称轴，求出，把点代入函数解析式，求出，即可得到函数解析式； （2）令，得，求出，设直线的解析式为：，根据待定系数法，求出函数解析式，设，则，得到 ，，，分类讨论：①当为边时，，②当为对角线时，，求出，即可得到菱形的边长． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，即． ． 将代入，得， 解得． 抛物线的函数表达式为． （2）解：存在． 令，得， ， 设直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 直线的函数表达式为， 设，则， ，，， 当以，，，为顶点的四边形是菱形时，分为以下两种情况： ①当为边时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，，即， 解得（不合题意，舍去），， 此时菱形的边长为， 综上所述，存在以，，，为顶点的四边形是菱形，边长为或． 题型12 二次函数的新定义问题（共3小题） 【易错】凭旧经验做题，不严格遵守题干新定义；忽略定义附带限制条件，未验证结果是否满足规则。 34．（2026·山东济南·二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为，则称这个点为“和谐点”．若二次函数（为常数）在的图象上存在两个“和谐点”，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次函数的性质，由一个点的横纵坐标之和为，可得“和谐点”在直线上，由可得“和谐点”所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得“和谐点”所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即， 抛物线与直线有两个交点， ， 解得 当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ， 故选：． 35．（2025·辽宁丹东·模拟预测）【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)函数的“最优值”为3； (3) ①证明：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②的值为或； ③的值为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可； （2）根据“最优值”的定义计算即可； （3）①根据“最优值”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值； ③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为． （2）解：函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优值”为3； （3）解：①略 ②∵， ∴当时，有最大值5， 当时，， 解得或（舍）； 当时，， 解得（舍）或； 综上，的值为或； ③∵， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，取得最大值， ∵当时，， ∴， ∵点与点到直线的距离相等， ∴点与点关于直线对称或， 当点与点关于直线对称时，，即， 解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 36．（25-26九年级上·上海·单元复习）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、． ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，， 【分析】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题． （1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【详解】（1）解：， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）解：①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，过点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点和的坐标分别为：,． 综上，，，的坐标分别为：,,． 提升·进阶突破 题型13 二次函数常考几何问题进阶练（共10小题） 37．（26-27九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．记． (1)若，求a的值； (2)h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，h有最小值 【分析】（1）当且得出，从而判定A、B关于对称轴对称，然后根据对称轴公式求解即可； （2）先求出h关于a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：抛物线对称轴为直线 ， 且   又抛物线（）经过点和点 与关于直线对称           （2）解：当时，；当时，       是关于a的二次函数，且开口向上，对称轴为直线（满足的条件）， ∴当时，h有最小值 38．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 39．（2026·黑龙江·三模）如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 40．（25-26九年级下·山东日照·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 41．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线， (2)①；②或 【分析】（1）直接根据抛物线的对称轴为直线，求出其对称轴，再将点代入解析式求解，即可解题； （2）①根据，得到点，抛物线为，直线为，结合题意求出点M的坐标与点N的坐标，进而即可得到的长； ②根据点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，分两种情况：当M在N的上方时，当M在N的下方时，利用解析式表示出的长，再结合二次函数增减性建立不等式求解，即可解题． 解题关键在于运用分类讨论的思想分析问题． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，且抛物线的对称轴为直线， ； （2）解：①若，， 则点，抛物线为，直线为， 过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， 又， 点M的坐标为，点N的坐标为， ； ②抛物线为，直线为， M，N不重合， 当M在N的上方时， ， ， 的长在直线左侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得， 故无解； 当M在N的下方时， ， ， 的长在直线右侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得或， 综上或． 42．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若抛物线与轴的两个交点分别为点，（点在点左侧），与轴交于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当，时，直接写出的长； ②已知点从点运动到点的过程中，的长随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】()将代入抛物线解析式，即可获得答案； ()①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案； ②由()及已知得，然后分情况分析：时，当时，分别作出相应图象，然后结合二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）①当，时，， ∴ 当时，， 解得：， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴， 此时点P与点A重合， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ②根据题意得：， 当时，， 解得：， 当时，， ∴， 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∴， ∴； 当时， ∴， 同理得：直线的函数解析式为， ∵点从点运动到点， ∴， ∴， ∴， 对称轴为，开口向下， ∵的长随的增大而减小， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 对称轴为，开口向上， ∵的长随的增大而减小， ∴不符合题意，舍去； 综上：或． 43．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，抛物线，经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点．①若，则_____； ②已知点，，在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①1；②或或 【分析】（1）将点代入，即可求解； （2）①根据得出，，，进而得出的纵坐标为，的纵坐标为，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况，当时，当时，求得的解析式，根据二次函数式的性质，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线，经过点， ． ． （2）解：①∵ ∴， ∴， 当时，， 即的纵坐标为，的纵坐标为 ∴； ②过点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线于点， ． 分两种情况： 情况1：当时， 当时， 解得：或； （i）当时， ． 函数的图象开口向下，对称轴为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ， 当时符合题意，时不符合题意． ． （ii）当时，， ． 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 时符合题意． ． 情况2：当时， ， ． ， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 当时，即的长随的长的增大而增大． 当时符合题意． 综上所述，的取值范围是或或 44．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点坐标，进而可得，易知；设点，则，，若以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似，则有或，进而可得或，然后分别代入数值求解即可． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）存在，理由如下： 对于抛物线，当时可得， ∴点， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， 以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似， 则或， 或， 或， 当时，可得， 整理得，， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， 整理得，，解得或（舍去）． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为：． 45．（2026九年级下·海南海口·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 46．（25-26九年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知抛物线 (1)求抛物线的顶点的坐标；（要有过程） (2)若直线与抛物线的一个交点的横坐标为4，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①当时，求的长． ②当点在点的下方，且线段的长随的长的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①10；② 【分析】（1）一般式化成顶点式，根据顶点式，直接写出顶点坐标即可； （2）①求出点坐标，进而求出抛物线的解析式，求出的坐标，进而求出的长即可；②根据点在点的下方，求出，根据，结合二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∴顶点的坐标为； （2）解：①当时，， ∴， 把代入，得，解得， ∴， 由题意，，， 当时，，， ∴； ②由①知：，，抛物线的解析式为， 当时，解得或， ∵点在点的下方， ∴， ∴，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵线段的长随的长的增大而减小，即线段的长随的增大而减小，， ∴． 拔高·压轴破难 题型14 二次函数常考几何问题压轴练（共10小题） 47．（26-27九年级上·北京东城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较，的大小，并说明理由； (2)若抛物线与轴交于，两点，且长度大于，直接写出的取值范围； (3)若抛物线，当时，总满足，求的取值范围． 【答案】(1)，理由如下： 当时，抛物线， 将代入得，， 将代入得，， ∴； (2) (3) 【分析】（1）当时，，然后分别将，代入求解比较即可； （2）首先根据判别式得到或，设，两点的横坐标分别为，，利用根与系数的关系得到，，然后表示出，根据长度大于4求解即可； （3）令整理得到，设，求出抛物线开口向上，对称轴为直线，然后根据题意得到与轴没有交点，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴或， 当时，， 设，两点的横坐标分别为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵长度大于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵或， ∴． （3）解：令得，， 整理得，， 设， ∵二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，总满足， ∴与轴没有交点， ∴， ∴． 48．（26-27九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含有的式子表示，并求抛物线的对称轴． (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求的取值范围． 【答案】(1)；对称轴为 (2)①的长度为；②或 【分析】（1）将点和点代入抛物线方程即可得与的关系，再由求解对称轴即可； （2）①根据，，可将点与点的坐标求解出来，再求解长度即可；②先将点与点的坐标表示出来，再表示的长，根据二次函数的对称轴求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，即， ∴； ∴对称轴为； （2）解：①若，，则点，，； ∴抛物线为，直线， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴当时，，即点， 当时，，即点， ∴的长度为； ②∵，， ∴抛物线为， ∵点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴当时，，即点， 当时，，即点， ∴， ∴对称轴为， 令可得，解得或； 如图， ∵点从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，由图象得： ∴或， 即或， ∴或． 49．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 50．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点M、N，抛物线经过点M． (1)将点N向右平移5个单位长度，得到点P．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． (2)已知，和是抛物线上的三点．当时，都有，求a的取值范围． (3)过点．作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，记点E与点F间的距离为d，当E与F重合时，．若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1) 或 或 (2) 或 (3) 或 【分析】（1）求出点M，N的坐标，再根据平移的性质可得点P的坐标，再把点M的坐标代入抛物线解析式可得，然后分三种情况：当时；当时；当抛物线的顶点在线段上时，结合函数图象解答即可； （2）由（1）得：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时；当时，结合二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意可得点，，从而得到，再结合二次函数的性质可得当时，取得最小值，最小值为，此时，从而得到，根据对于，都有，可得，即可求解． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴点，， ∵将点N向右平移5个单位长度，得到点P． ∴点，线段所在直线为， ∵抛物线经过点M． ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，，当时，， 如图，当时， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴，解得：， 此时a的取值范围为； 如图，当时， ∵抛物线与线段恰有一个公共点， ∴，解得：， 此时a的取值范围为； 当抛物线的顶点在线段上时， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴， ∴； 综上所述，a的取值范围为 或 或 ； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，此时当时，y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴点和在对称轴的右侧，点在对称轴的左侧， ∵点关于直线的对称点为， ∵当时，都有， ∴，解得：； 当时，抛物线开口向下，此时当时，y随x的增大而增大，且离对称轴越远，函数值越小， ∴， ∴点在对称轴的左侧， ∵点关于直线的对称点为， ∵当时，都有， ∴，解得：； 综上所述，a的取值范围为 或 （3）解：∵过点．作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F， ∴点，， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为，此时， ∵， ∴当时，，当时，，当时，， ∴， ∵对于，都有， ∴， 解得： 或 ， 即a的取值范围为 或 ． 51．（2026·北京西城·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移6个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式（用含a的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点D，过点D作y轴的垂线，将抛物线在直线左侧的部分沿直线翻折，过点B作x轴的垂线，将抛物线在直线右侧的部分沿直线翻折，与抛物线的其他部分组成新的图形G．点，是图形G上的两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）先求出A、B坐标，利用B在抛物线上代入求出b的值，即可得到抛物线解析式． （2）先分析翻折后图形G各段的增减性，根据题干要求，分情况讨论范围端点位置，验证是否满足条件即可得到a的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点A， 令，得， 所以． 将A向右平移6个单位得B， 所以． 因为B在抛物线上， 代入抛物线方程得： 整理得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）解：化为顶点式得， ∴对称轴为， ∵， ∴开口向上． 抛物线在部分沿直线翻折， 翻折后解析式为， 该抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随增大而增大， 部分为原抛物线， ∴随增大而减小，，随增大而增大． ∵抛物线在部分沿直线翻折，且， ∴翻折后的顶点为， ∴翻折后解析式为， ∴该抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小． ∴Ｇ解析式为． ∵当时，对任意，总存在满足，， 分情况讨论： ①当时，所有满足的数都小于1，函数G随x的增大而增大． 符合题意． ②当时，取值范围里包含，且最大的数a不超过5， 在满足的所有数中函数的最大值出现在， 对应的函数值为， 当时，把代入函数，得， 当时，把代入函数，得， 但不在范围内． 取， 只要数字满足，对应的函数值都有， 不满足． ③当时， 把代入函数，此时， 在满足的所有数里，越靠近a，函数值越大，且最大能超过． 随便取一个满足的数，总能找到比大、同时小于a的数，让对应的函数值更大， 符合题意． ④当时， 取值范围里包含数字6， 对应的函数值是； 比6大、同时小于a的数对应的函数值会越来越小． 我们取，找不到比6大且小于a的数，能让函数值比更小， 不满足题意． 综合四种情况，a的取值范围是或． 52．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)已知过作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若当从点运动到点过程中，线段的长度随的长度增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过计算可得值和用含的式子表示； （2）首先根据（1）的结果化简抛物线解析式；然后分别求出点、的纵坐标，进而得到的长度关于的表达式；接着分和两种情况，结合二次函数的增减性与对称轴，分析随长度的变化规律，最终确定的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴，， ，整理得， ∴； （2）解：由（1）得：，， ∴抛物线， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点， ∴，， ∴， 若，点在轴右侧，当即时如左图，当即时如右图， 或 令，即， 解得或， 当时，有，其对应图象开口向下，对称轴为直线， 若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得； 若，即点在轴左侧，如下图， 当时，有，其对应图象开口向上，对称轴为直线， 若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 显然当，的长随的减小而减小，故不符合题意， 综上，的取值范围是． 53．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知抛物线，为平面直角坐标系原点，点坐标为． (1)如图，若抛物线过点，与轴的一个交点为，顶点为，直线与轴的交点为． ①求该抛物线的关系式； ②求的面积； ③当时，函数的最大值为，最小值为，求的值． (2)若抛物线与线段只有一个交点，求的取值范围． 【答案】(1)①，②，③ (2)或 【分析】（1）①利用待定系数法求得解析式为，②分别求解，，，再进一步利用面积公式求解；③当时，由开口方向和对称轴知函数最小值取在当时， 再分别求出当时的函数值，确定最大值即可； （2）根据题意得的解析式为，，顶点为，分两种情况：当时，方程有两个相等的解，当时，原点在上方，顶点在线段下方，进一步即可求解． 【详解】（1）解：①将代入， 得， 解得， 即：抛物线的解析式为：， ②∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 当时，， 解得：，， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，则， 解得：，即， ∴的面积为：. ③∵且对称轴为直线， ∴当时，函数最小值取在当时，为， 当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， 当时，，当时，， 则当时函数的最大值为， 即：，， ； （2）解：点坐标为， 的解析式为，如图，当时， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴有两个相等的解， ∴有两个相等的解，且该解在0到4之间， ， ∴， 解得：， 又，则， ， ； 如图，当时， ，则顶点为， 若，则，若，则， 当时，原点在上方，顶点在线段下方， ∵抛物线与线段只有一个交点， ∴在上方， ， 解得； 综上，抛物线与线段只有一个交点时，或． 54．（2026·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移个单位长度，得到点，点在抛物线上． (1)求点的坐标，并用含的式子表示； (2)将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称． ①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由； ②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①3个，理由如下： ∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴点的坐标为， ∵抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的解析式为，即， ∴图形的解析式为， 当时， ∴， 如图， 将代入，得， ， 解得或， ∵， ∴图形在轴右侧与线段有2个公共点； 将代入，得， ， 解得或（正值，舍去）， ∵， ∴图形在轴左侧与线段有1个公共点； 综上所述，图形与线段共有3个公共点． ②或 【分析】（1）先求出点的坐标，结合平移可得点，代入可得； （2）①先求出翻折后的解析式，分别求出两段抛物线与轴的交点坐标，并判断是否在线段上即可； ②分两类讨论，当公共点在轴的右侧时，需满足方程的或，但只有一根在内，同时方程的或，但根都不在内，求解不等式并取公共部分；当公共点在轴的左侧时，同样的方法计算即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵点由点向右平移个单位长度得到， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， ∴； （2）解：①略； ②由①可知，， （Ⅰ）当图形与线段的公共点在轴的右侧时， 将代入，得， ， ∵图形与线段只有1个公共点， ∴或，但只有一根在内， 当时， ∴， ∵， ∴，此时，符合题意； 当时， ∴，解得或， ， 解得， ∵两根关于直线对称，且只有一根落在， ∴只需满足，即， ∴，解得，满足， 将代入，得， ∴， ∵左侧部分无公共点， ∴或，但根都不在内， 当时， ，解得， 当时， 解得， 由对称性可知，只需满足或，解得， 综上，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的右侧； （Ⅱ）当图形与线段的一个公共点在轴的左侧时， 将代入，得， ∴， ∵图形与线段只有1个公共点， ∴或，但只有一根在内， 当时， ∴， 解得（舍去），此时，不符合题意， 当时， ∴，解得或， ， 解得（正根，舍去）， ∴，即， ∴，解得，满足， 将代入，得， ∴， ∵右侧部分无公共点， ∴或，但根不在内， 同理（Ⅰ）可得，或， 综上，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的左侧； 综上所述，当或时，图形与线段只有一个公共点． 55．（2026·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，抛物线（）的顶点坐标是． (1)用含的式子表示，并求的值； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，过点作轴的垂线，交直线于点．记点，之间的距离为，当点，重合时，． ①当时，直接写出的值； ②在点从点运动到点的过程中，对于的每一个值，至多有两个不同的值与之对应，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或6；②且 【分析】（1）抛物线顶点式：，顶点，根据题意顶点为，先写出顶点式再展开对比一般式，即可求出、； （2）①先梳理点、坐标，写出的表达式，把代入的表达式求解； ②写出的表达式，根据不同值分情况讨论． 【详解】（1）解：依据题意，设抛物线的表达式为， 即， 又抛物线表达式可以表达为， ． （2）解：①设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， ， 根据题意，则有， 情况1：， ， 因式分解：， 得， 情况2:， ， 判别式，无实数根， 综上，或． ②设点， 依据题意，得， ， ， ， ， ， 当时，， 当或时，． 当时，， ． 函数的图象开口向下， 对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小； 当或时，， ． 函数的图象开口向上， 对称轴为， :当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而增大． I．当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； Ⅱ．当时，有， （i）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t都有一个值与之对应． ； （ii）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iii）当时，有， 当时，d随t的增大而增大， 当时，d随t的增大而减小， 当时，d随t的增大而增大， 且当时，， ，即， 点从点运动到点的过程中，对于d的每一个值，t至多有两个值与之对应． ； （iv）当时，有， 点从点运动到点的过程中，存在d的值，t有三个值与之对应， 不合题意， 综上所述：且． 56．（2026·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，最大值为 (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据题意得到，根据等边三角形的性质得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设点，根据点的C的位置，分类讨论：当时；当时；当时；结合图形，表示出的面积，根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，，结合（2）得到，过点P作，使得，连接，得到当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，证明，得到，由两点之间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O， ∴，，，， 如图所示，过点作于点E， ∴，， ∴， ∴， 把点的坐标，代入二次函数解析式得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：存在，最大值为，理由如下， ，，， ∴，， ∴点是线段的中点，则，即， 设点， 如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∴，，，，， ∴ ， 当时， ①式 ， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示， ∴，，，，， ∴ ， ∵， ∴该情况不符合题意； ∵， ∴面积的最大值是； （3）解：存在，最小值为，理由如下， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， 设，则，则， ∴， 如图所示， ∵轴于点， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作，使得，连接， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象与几何图形面积的计算方法，二次函数与线段最值得计算方法，相似三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $