专题01 相似形29大题型87题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题01 相似形29大题型87题 基础·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割（重点） 题型3 相似多边形 题型4 平行线分线段成比例（重点） 题型5 相似三角形的判定（重点） 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型8 网格中的相似三角形 题型9 相似三角形的动点问题（重点） 题型10 图形的位似 题型11 重心的有关性质（重点） 题型12 用相似三角形解决问题 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（重点） 题型14 黄金分割综合（重点） 题型15 相似多边形的性质综合 题型16 相似形的判定综合（重点） 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（重点） 题型18 相似三角形的动点综合（重点） 题型19 相似三角形的综合问题 题型20 重心的有关性质（重点） 题型21 图形位似综合 题型22 相似三角形的实际问题综合（重点） 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（难点） 题型24 相似三角形与函数结合（难点） 题型25 相似三角形的旋转综合（难点） 题型26 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型27 相似三角形的最值问题（难点） 题型28 相似三角形的模型问题（难点） 题型29 相似三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 【易错】比例内项、外项易混淆，等积式化比例式容易写反；设参数求值时，忽略线段长度大于 0 的隐含限制 1．（25-26八年级下·北京西城·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 2．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知，且，求x，y，m的值． 题型2 黄金分割（共3小题） 【易错】一条线段有两个黄金分割点，常漏掉一个；分不清较长段、全段的比例关系，数值代换出错。 4．（26-27九年级上·北京顺义·期中）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）我们将宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 题型3 相似多边形（共6小题） 【易错】判定需要角相等且边成比例，只看边长判定；容易混淆相似比，面积比不是相似比本身。 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 8．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 9．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知四边形与四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点．已知． (1)求四边形与四边形的相似比； (2)求边的长度． 题型4 平行线分线段成比例（共3小题） 【易错】找错对应线段，上下线段不交叉列式；平行线未截两腰时不能套用定理，线段对应关系易混乱。 10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，，，，，则的长度是_______． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 12．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】SSA 不能判定相似；找角时误把非对应角当作等角，直角三角形相似判定条件容易记混。 13．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 【易错】忽略已有一组等角，添加边时必须是夹边；条件写为 SSA，忽略多种可行情况，答案写不全。 16．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 18．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 题型7 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 【易错】周长比等于相似比，面积比是相似比平方；经常直接用相似比当作面积比，对应边匹配错误。 19．（25-26九年级上·四川广元·期中）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 20．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，点在边上，满足， (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 题型8 网格中的相似三角形（共3小题） 【易错】计算边长时勾股定理算错；找对应角凭肉眼直观判断，未计算角度，对应顶点匹配出错。 22．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 23．（2026·四川南充·二模）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 24．（25-26九年级上·浙江金华·期末）在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． (2)在图2中的线段上作一点，使得． 题型9 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生多组相似，对应顶点不确定，分类不全；算出结果不检验，舍去不能构成三角形的解。 25．（26-27九年级上·北京顺义·期中）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 26．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 27．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 题型10 图形的位似（共3小题） 【易错】位似中心可在图形内外，常只考虑同侧；位似比与坐标缩放关系搞反，漏另一侧位似图形。 28．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 29．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 30．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 题型11 重心的有关性质（共3小题） 【易错】重心分中线为 2:1，易记成 1:2；混淆重心、垂心、外心概念，错把线段比例搞颠倒。 31．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 32．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在中，，，，是的重心． (1)求点到边中点的距离． (2)求点到直线的距离． 33．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 题型12 用相似三角形解决问题（共3小题） 【易错】建模时找错相似三角形；忽略实际场景，边长取值不符合现实，计算后缺少检验步骤。 34．（26-27九年级上·北京·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 35．（2026·山东青岛·三模）崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 36．（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·河北张家口·期中）已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． 38．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步 (1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 39．（25-26九年级上·全国·单元复习）求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”． 例：已知，求的值． 方法1：设，则，，．所以． 方法由，得，．代入，得． 方法取，，，则． 参考上面的资料解答下列问题：已知，，为的三条边，且，． (1)求，，的值； (2)判断的形状． 题型14 黄金分割综合（共3小题） 40．（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形． 41．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 42．（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 题型15 相似多边形的性质综合（共3小题） 43．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 44．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 45．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 题型16 相似形的判定综合（共3小题） 46．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 47．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 48．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（共3小题） 49．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 50．（24-25九年级上·北京海淀·期中）本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比． 如图，与位似，点A为它们的位似中心．A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线．且位似比． (1)试证明． (2)证明，且． (3)证明，且相似比为k． 51．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，E为边上一点，与相交于点F，且． (1)求与的周长比； (2)若的面积为，求平行四边形的面积． 题型18 相似三角形的动点综合（共3小题） 52．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 53．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 54．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型19 相似三角形的综合问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·广东佛山·期中）在正方形中，E、F分别是边、上一点，且，连接、交于点G． (1)判断线段、的位置关系并说明理由． (2)连接交于点H，连接，如图②； ①若点E是BC的中点，当时，求线段的长； ②当时，求的值． 56．（26-27九年级上·甘肃天水·期中）直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①   ②   ③   ④． (1)已知：在中，，是斜边上的高，求证：． (2)直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 57．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型20 重心的有关性质（共3小题） 58．（26-27八年级上·广东汕头·期中）如图，已知点为的重心，的面积为，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 59．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，D，E分别为边，的中点，连接，交于点F，则线段的长为（     ） A． B． C．2 D．3 60．（25-26八年级上·广东东莞·期末）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？    问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：_____（填＞、＜或＝）； （2）如图3，点O为的重心，若面积为a，求的面积；并求出的值． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，结合（2）的结论，四边形的面积为______． 探究2 莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？初初在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①如图5，四边形有重心，在其对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上． （4）请在图6中画出该图形重心所在的直线．（仅用直尺作图，保留作图痕迹）    题型21 图形位似综合（共3小题） 61．（26-27九年级上·广东佛山·期中）如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (3)在图3中的线段上画一个点P，使． 62．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 63．（26-27九年级上·山东济南·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； (3)在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 题型22 相似三角形的实际问题综合（共3小题） 64．（26-27九年级上·陕西西安·期中）【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 65．（26-27九年级上·河南驻马店·期中）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … (1)求该纪念碑的高度； (2)另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 66．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）图1是某兴趣小组探究凸透镜成像规律的装置图，图2是由图1抽象出的几何图形，蜡烛发出的一条平行于主光轴l的光线，经过凸透镜折射后过焦点，并与过凸透镜中心的光线相交于点，其中四边形是矩形，于点，于点． (1)将高为厘米的蜡烛进行移动，使物距为厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为厘米，求像的高度； (2)在（）的条件下，求凸透镜焦距的长． 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·北京·期中）如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得到，连接，，，在同一条直线上，以下结论正确的有（     ）个 ① ② ③平分 ④点到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 68．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，对角线、相交于点，是线段上一动点（不与点重合），过点分别作、的垂线交、边于点、．记的面积为，的面积为．当点在线段上运动的过程中，给出下列四个结论： ①点与点重合时，；②；③一定存在；④当是的中点时，．上述结论中，所有正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 69．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 题型24 相似三角形与函数结合（共3小题） 70．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 71．（2024·甘肃定西·二模）如图1，中，点P从点A出发，沿A﹣C﹣B匀速运动，过点P作，垂足为D，设点A到点D的距离为x，的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 72．（25-26八年级下·北京海淀·期中）正比例函数图象直线和一次函数图象直线都过点，，与轴围成的三角形面积为15，而，与轴围成的三角形面积为．    (1)求直线与的函数表达式； (2)求与相交所成的锐角的度数． 题型25 相似三角形的旋转综合（共3小题） 73．（24-25九年级上·北京·期中）已知，和都是等腰直角三角形，(如图1)，为的中点，连接，并延长交于点． (1)在图1中，按要求补全图形，并证明； (2)将图1中的绕点旋转，当落在图2所示的位置时，点，，恰好在同一条直线上．连接，交于点F．判断线段与的数量关系，并证明． 74．（24-25九年级下·北京·期中）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 75．（25-26九年级下·北京丰台·期中）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线、的交点，若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时， ；④在旋转过程中，的最大面积为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型26 相似三角形的判定与性质综合（共3小题） 76．（2026·上海奉贤·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 77．（2026·河北邯郸·三模）【操作发现】 (1)如图1，和是等边三角形，连接，交于点． ①的值为________；②的度数为________； (2)【类比探究】如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点．求的值及的度数； (3)【实际应用】在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长． 78．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 题型27 相似三角形的最值问题（共3小题） 79．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 80．（25-26九年级上·山东济南·期末）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 81．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 题型28 相似三角形的模型问题（共3小题） 82．（2026·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 83．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 84．（26-27九年级·全国·暑假作业）探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 题型29 相似三角形的新定义问题（共3小题） 85．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 86．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 87．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； (2)如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； (3)如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似形29大题型87题 基础·固本强基 题型1 比例线段 题型2 黄金分割（重点） 题型3 相似多边形 题型4 平行线分线段成比例（重点） 题型5 相似三角形的判定（重点） 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似 题型7 利用相似三角形的性质求解（重点） 题型8 网格中的相似三角形 题型9 相似三角形的动点问题（重点） 题型10 图形的位似 题型11 重心的有关性质（重点） 题型12 用相似三角形解决问题 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（重点） 题型14 黄金分割综合（重点） 题型15 相似多边形的性质综合 题型16 相似形的判定综合（重点） 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（重点） 题型18 相似三角形的动点综合（重点） 题型19 相似三角形的综合问题 题型20 重心的有关性质（重点） 题型21 图形位似综合 题型22 相似三角形的实际问题综合（重点） 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（难点） 题型24 相似三角形与函数结合（难点） 题型25 相似三角形的旋转综合（难点） 题型26 相似三角形的判定与性质综合（难点） 题型27 相似三角形的最值问题（难点） 题型28 相似三角形的模型问题（难点） 题型29 相似三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 比例线段（共3小题） 【易错】比例内项、外项易混淆，等积式化比例式容易写反；设参数求值时，忽略线段长度大于 0 的隐含限制 1．（25-26八年级下·北京西城·期末）四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 2．（25-26九年级上·北京朝阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 3．（25-26九年级上·北京昌平·期中）已知，且，求x，y，m的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质，设，，，根据得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，，， ， 解得， ，，. 题型2 黄金分割（共3小题） 【易错】一条线段有两个黄金分割点，常漏掉一个；分不清较长段、全段的比例关系，数值代换出错。 4．（26-27九年级上·北京顺义·期中）大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的意义，解答即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）我们将宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．如图，矩形为黄金矩形，在其内部作正方形，若矩形的边，那么的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用黄金矩形的定义求出线段的长，再利用矩形和正方形的性质得到的长度，从而解出答案． 【详解】解：∵矩形是黄金矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 则 6．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 【答案】(1)； (2)该雕像的下半身设计高度为． 【分析】本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（或）． （2）解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 题型3 相似多边形（共6小题） 【易错】判定需要角相等且边成比例，只看边长判定；容易混淆相似比，面积比不是相似比本身。 7．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 8．（24-25九年级上·北京海淀·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解题的关键． （1）根据相似多边形的性质得到，再由四边形内角和为360度可得答案； （2）根据相似多边形对应边成比例可得，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴． 9．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，已知四边形与四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点．已知． (1)求四边形与四边形的相似比； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握该知识点并找出对应边是解题的关键． （1）根据相似多边形的性质，相似比等于对应边的比，据此作答即可； （2）根据相似多边形的性质，对应边成比例，据此列出方程，解出答案即可． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形是相似的图形，点与点，点与点分别是对应顶点，， ∴四边形与四边形的相似比为：； （2）解：∵四边形与四边形是相似的图形，点与点，点与点，点与点，点与点分别是对应顶点， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型4 平行线分线段成比例（共3小题） 【易错】找错对应线段，上下线段不交叉列式；平行线未截两腰时不能套用定理，线段对应关系易混乱。 10．（2026·四川眉山·中考真题）如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】 15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 11．（25-26九年级下·山东烟台·期末）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 【答案】/厘米 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得， ∵相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， 故选：B ． 题型5 相似三角形的判定（共3小题） 【易错】SSA 不能判定相似；找角时误把非对应角当作等角，直角三角形相似判定条件容易记混。 13．（25-26九年级上·北京平谷·期末）如图，在中，，以为边作，过点E作．交的延长线于点D．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两个角对应相等的两三角形相似是解题的关键，根据题意得到，，即可求解． 【详解】略 14．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 15．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，点在上，且，交于点，且． (1)_____． (2)求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解决此题的关键． （1）根据，得到，结合，求出的长即可； （2）根据，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）得，． ． ． ∴ ∴． 题型6 选择或补充条件使两个三角形相似（共3小题） 【易错】忽略已有一组等角，添加边时必须是夹边；条件写为 SSA，忽略多种可行情况，答案写不全。 16．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，． (1)求证：； (2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵，． ∴； (2) 添加条件； ∵； ∴， ∴，即， ∵， ∴； 同理还可添加条件：或． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由得，结合已知条件，利用即可求证； （2）添加条件；由得，推出，即可求证； 【详解】（1）略 （2）略 17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 【答案】 使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； ②添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【详解】略 18．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②， 证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】略． 题型7 利用相似三角形的性质求解（共3小题） 【易错】周长比等于相似比，面积比是相似比平方；经常直接用相似比当作面积比，对应边匹配错误。 19．（25-26九年级上·四川广元·期中）如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 20．（25-26九年级上·北京·期中）如图，中，点在边上，满足， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键； （1）利用两角相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质可得，求出后再进一步求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．（2026·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 题型8 网格中的相似三角形（共3小题） 【易错】计算边长时勾股定理算错；找对应角凭肉眼直观判断，未计算角度，对应顶点匹配出错。 22．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 23．（2026·四川南充·二模）如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 24．（25-26九年级上·浙江金华·期末）在的方格纸中，请用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中画出与相似的三角形（全等三角形除外），且点，，都在格点上． (2)在图2中的线段上作一点，使得． 【答案】(1) 如图所示（答案不唯一）： (2)点即为所求： 【分析】本题考查直尺作图，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）相似三角形的对应边成比例，选进行作图即可； （2）在点左边两个单位取点，在点右边三个单位取点，连接，与的交点即为所求的点． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 连接交于点， 由图可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 题型9 相似三角形的动点问题（共3小题） 【易错】动点产生多组相似，对应顶点不确定，分类不全；算出结果不检验，舍去不能构成三角形的解。 25．（26-27九年级上·北京顺义·期中）如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【答案】或或 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 26．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 27．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点． (1)若与的周长比为，求的长． (2)点从点出发沿边以每秒个单位长度的速度向点移动，移动时间为秒．请通过计算说明：当为何值时，？ 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是矩形，，，则，又与的周长比为，则，然后代入即可求解； （）先证明，所以，则，解得即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵与的周长比为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即当时，． 题型10 图形的位似（共3小题） 【易错】位似中心可在图形内外，常只考虑同侧；位似比与坐标缩放关系搞反，漏另一侧位似图形。 28．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．请解答下列问题： (1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的图形，使与的相似比为； (2)直接写出点坐标 ；若线段上点D的坐标为，则其对应点的坐标 ； (3)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)； (3)14 【分析】（1）连接、、，并将其延长到原来的2倍，进而连接即可得到； （2）由图即可得点的坐标，根据位似的性质，结合点D的坐标即可得到点的坐标； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，点坐标为， 由位似的性质可得，线段上点的对应点的坐标为． （3）解：的面积为． 29．（25-26八年级下·重庆·期末）如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 30．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 题型11 重心的有关性质（共3小题） 【易错】重心分中线为 2:1，易记成 1:2；混淆重心、垂心、外心概念，错把线段比例搞颠倒。 31．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，中线相交于点G， (1)若，求的长； (2)若的面积为1，求的面积． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意可得点G是的重心，由重心的性质可得，据此求出的长即可得到答案； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由（1）得，据此可得． 【详解】（1）解：∵在中，中线相交于点G， ∴点G是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； 由（1）得， ∴， ∴． 32．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在中，，，，是的重心． (1)求点到边中点的距离． (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接并延长交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长，再根据重心的性质即可求解； （2）过点G作于点E，连接，先根据中线和重心的性质可得的面积，再根据三角形面积计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点， ∵是的重心， ∴是的中线， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴点到边中点的距离为． （2）解：如图，过点G作于点E，连接， 由题意得，， ∵是的中线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为． 33．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）如图（1），线段是的中位线，我们可以得到，． (1)如图（2），现将所在的直线平移至经过的重心G的位置，请问：与的值________（填相等或不相等），如果相等，那么等于________． (2)如图（3），已知点M为是中线AF上一点，且，现将所在的直线平移至经过点M的位置，请问：与的值还相等吗？如果相等，那么等于多少？并说明理由． 【答案】(1)相等，； (2) 解：与的值相等，等于， 理由是：∵， ∴， ∵， ∴， 即与的值相等，等于． 【分析】（1）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可； （2）利用三角形中位线的性质和三角形重心的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为，连接， ∵是的重心， ∴即， ∵， ∴ ∴， 即与的值相等，且都等于； （2）略 题型12 用相似三角形解决问题（共3小题） 【易错】建模时找错相似三角形；忽略实际场景，边长取值不符合现实，计算后缺少检验步骤。 34．（26-27九年级上·北京·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 【答案】 【分析】先根据光的反射定律，得出，再证明，结合两个三角形相似的性质，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角， ∴的余角等于的余角，即， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 同理，由光的反射定律可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∴． 35．（2026·山东青岛·三模）崂山太清宫的老子铜像是一座著名的文化地标，兼具艺术观赏与历史传承功能．数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量老子铜像的高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出老子铜像的高度约是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】延长、交于点，设，则，容易证明，则，求得，则，，由计算出即可． 【详解】解：如图，延长、交于点，设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 36．（25-26九年级下·宁夏吴忠·期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》．图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边缘，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边交于点H．图2中，四分仪为正方形，方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为1，为0.5，实地测得为2.5，求井深． 【答案】． 【分析】根据题意得出，代入数据即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为， ∴， 解得：， ∴． 提升·进阶突破 题型13 比例线段综合（共3小题） 37．（26-27九年级上·河北张家口·期中）已知； (1)求代数式的值； (2)当时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2) ，， 【分析】 （1）设比例系数，将，，用含的式子表示，代入代数式化简即可； （2）将用表示的，，代入已知等式，求出，即可得到，，的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 代入所求代数式，得 ； （2）解：设，则，，， 代入，得 ， 解得， 因此，，． 38．（25-26九年级上·河北唐山·期中）一道习题及其不完整的解答过程如下： 已知，求的值． 解：设， 则，， ① ，……第一步 ② ．……第二步 (1)第一步的①处应填________，第二步的②处应填________； (2)模仿上述解答过程，已知，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键． （1）根据比例的基本性质即可得到答案； （2）设，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第一步的①处应填，第二步的②处应填； 故答案为：，； （2）解：设， ， ． 39．（25-26九年级上·全国·单元复习）求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”． 例：已知，求的值． 方法1：设，则，，．所以． 方法由，得，．代入，得． 方法取，，，则． 参考上面的资料解答下列问题：已知，，为的三条边，且，． (1)求，，的值； (2)判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形， ，， ． 是直角三角形． 【分析】本题考查比例性质、勾股定理的逆定理，掌握比例的性质是解答的关键． （1）设，，，然后列方程组求得k值，进而求得a、b、c的值． （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：设，，， 则， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，，． （2）略 题型14 黄金分割综合（共3小题） 40．（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形． 【答案】(1)2 (2) 证明：根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【分析】（1）根据题意，，结合，解答即可； （2）根据定义证明即可． 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 【详解】（1）解：∵黄金矩形纸片，， ∴， ∴， 解得． （2）略 41．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)该矩形的长为 (2)该矩形的面积为 【分析】本题考查了矩形的周长，矩形的面积，黄金比，解分式方程，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可； （2）利用长乘以宽，直接计算出答案即可． 【详解】（1）解：设，那么， 经检验，是原方程的根， ， 答：矩形的长为． （2）解：由（1）可知，，， 矩形的面积为：（）． 答：该矩形的面积为． 42．（24-25九年级上·广东珠海·期中）小明同学进行探究学习以下内容：“一个点把一条线段分为两段，如果其中较长的一段与整个线段的比等于较短一段与较长一段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，较长的一段与整个线段的比值（或较短一段与较长一段的比值）叫做黄金分割数．” 探究发现：在现实生活中，黄金分割无处不在；如图1，我国国旗上的正五角星也存在黄金分割数，如：． 问题解决： (1)如图2，已知线段AB的长为1，线段AB上的点，满足关系式．请你计算的长度，并判断的长度是否为黄金分割数． (2)如图2，若在线段上再取一个点，满足；在线段上取一点，，……以此类推，在线段上取一点满足．请你直接写出的长度． 【答案】(1)的长度为黄金分割数 (2) 【分析】本题考查了黄金分割的定义； （1）设，根据题意列出方程，进而根据黄金分割数的定义，即可求解． （2）根据（1）可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵线段的长为1，线段上的点，满足关系式． 设，则， ∴， 解得：或（舍去）； ∴的长度为黄金分割数； （2）解：由（1）可得的长是的长的一个黄金分割数，即，的长是的长的一个黄金分割数，即， ……以此类推，， 由（1）可得， ∴． 题型15 相似多边形的性质综合（共3小题） 43．（25-26九年级上·浙江·单元复习）如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 【答案】 解：设运动时间能使矩形与矩形相似， 由题意或， 解得或． 当时，， ∵， ∵与都是矩形， ∴矩形与矩形相似． 同理可证当时矩形与矩形相似． 【分析】本题考查了相似多边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】略 44．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2) 解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）略 45．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1) 不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：略． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 题型16 相似形的判定综合（共3小题） 46．（25-26九年级上·辽宁锦州·期中）在中，点在边上，点在边上，与交于点．    (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵，点D是中点， ∴， ∴， ∵点F是中点，， ∴， ∴， ∴， (2)． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，中点的性质等知识点； （1）利用平行线截线段成比例定理和中点的性质得出，即可得解； （2）过点D作，利用平行线分线段成比例定理和已知得出，，代入计算即可得解； 【详解】（1）略 ∴； （2）过点D作交于点H，    ∵，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 47．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2) 解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 48．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，在矩形中，，．点、分别在边、上，且，过点作于点，连接、、，． (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1) 证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； (2)的长度为 【分析】（1）由矩形的性质，结合直角三角形两锐角互余及互余定义得到、，等量代换即可得到，结合“一线三垂直模型”，由两个三角形相似的判定即可得证； （2）由矩形性质，结合题意得到相关线段长度，再由（1）中，列比例式，代值求解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设， ，， ，， 由（1）知， ，即， 则，整理得， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的长度为． 【点睛】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定、矩形的判定、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟记矩形的判定与性质、掌握“一线三垂直模型”判定两个三角形相似是解决问题的关键． 题型17 利用相似三角形的性质求解综合（共3小题） 49．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）完成以下问题 (1)如图①，中，，，点D、E分别在、上，且，则与的关系为 ； (2)如图②，在平行四边形中，对角线、交于点O，M为中点，连接交于点N，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角形相似的判断推导即可； （2）证明，设，则，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：M为中点， ， 四边形是平行四边形， ，，，， ， ， ， ， 设，则， ， ，， ，解得， ． 50．（24-25九年级上·北京海淀·期中）本题旨在证明位似的三角形一定相似，且相似比等于位似比． 如图，与位似，点A为它们的位似中心．A，F，B共线，A，E，C共线，A，G，D共线．且位似比． (1)试证明． (2)证明，且． (3)证明，且相似比为k． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴； (2) 证明：∵，， ∴，， ∴； (3) 证明：∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据两边对应成比例及夹角相等的两三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，，即可证明； （3）同（1）证明，，得到，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 51．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，E为边上一点，与相交于点F，且． (1)求与的周长比； (2)若的面积为，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质． （1）先根据平行四边形的性质得到，再证明，则利用相似三角形的性质得到与的周长比； （2）根据相似三角形的性质得到，再求出．可得． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴， ∴与的周长比； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 题型18 相似三角形的动点综合（共3小题） 52．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点． (1)求点、的坐标； (2)如果点的坐标为，点为线段上一个动点，连接，是否存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出所有满足条件的点坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在；点的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式，分别令、，求得对应的、的值，可得点、的坐标； （2）确定是等腰直角三角形，过点作于点，确定是等腰直角三角形，然后分和两种情况讨论，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点， 当时，得：；当时，得：， ∴，； （2）存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似． 理由：∵，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ，，， ∴， 如图，过作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 当时， 则，即， ∴， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 当时， 则，即， 解得：， ∴， ∴， 此时点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得以点、、为顶点的三角形与相似；点的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的与坐标轴的交点，坐标与图形性质，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，利用分类讨论及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 53．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定； （1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度； （2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解. 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. 54．（24-25九年级上·广东河源·期中）如图，在四边形中，，，，，．动点从点开始沿边匀速运动，动点从点开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点和点同时出发，设运动的时间为． (1)请用含的代数式表示、； (2)请你求出为何值时，以点为顶点的三角形与相似； (3)是否存在的值使得的面积是面积的，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)或 (3) 的面积为， 的面积是面积的， ， 如图，过点作于点， ， ， ，即， 解得， ，即， 这个方程根的判别式为，没有实数根， 所以不存在的值使得的面积是面积的． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）过点作于点，先证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，，再证出垂直平分，从而可得，然后根据即可得； （2）分两种情况：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得； （3）先求出，再过点作于点，证出，根据相似三角形的性质可得，然后利用三角形的面积公式建立方程，利用一元二次方程根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 垂直平分， ， 由题意得：， ，． （2）解：①当时， 则，即， 解得； ②当时， 则，即， 解得， 综上，的值为或． （3）略 题型19 相似三角形的综合问题（共3小题） 55．（26-27九年级上·广东佛山·期中）在正方形中，E、F分别是边、上一点，且，连接、交于点G． (1)判断线段、的位置关系并说明理由． (2)连接交于点H，连接，如图②； ①若点E是BC的中点，当时，求线段的长； ②当时，求的值． 【答案】(1)线段、的位置关系：垂直，理由如下： ∵四边形是正方形，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段、的位置关系：垂直； (2)①；②的值为． 【分析】（1）垂直．证明，根据全等三角形的性质可得，从而得出，可得结论； （2）①证明，可得，再根据（1）的结论可得； ②设，则，可得，再设，，证明，求得，根据，可得，联立得，据此计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵点是的中点，， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴线段的长为； ②设，则， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， 联立，整理得， 两边同时除以，且设， 则， 解得或（舍去）， ∴的值为． 56．（26-27九年级上·甘肃天水·期中）直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①   ②   ③   ④． (1)已知：在中，，是斜边上的高，求证：． (2)直接运用：射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，是斜边上的高， ． （公共角）， ， （两角分别相等的两个三角形相似）． 根据相似三角形对应边成比例，可得：， 交叉相乘得：． (2) 【分析】（1）利用公共角和两个直角，证明与相似，根据相似三角形对应边成比例，交叉相乘证得． （2）设，结合，，，使用射影定理列出方程，求出，再用射影定理，代入数字算出． 【详解】（1）略． （2）解：设， 根据（1）问已证的射影定理结论． 已知，，且斜边，代入得： ， 整理为一元二次方程： 因式分解得： 解得，． 由于线段长度为正，舍去负根，得． 再根据射影定理结论，代入，： ， ， ． 57．（26-27九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 即， 又， ， ； (2) 【分析】（1）由，可得出，结合得出，可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出，结合，可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ． 题型20 重心的有关性质（共3小题） 58．（26-27八年级上·广东汕头·期中）如图，已知点为的重心，的面积为，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据重心的性质得到图形里的小三角形的面积之比，从而得到答案． 【详解】解：点为的重心， , , , , , , 所以, ． 59．（2026·安徽阜阳·三模）如图，在中，，，，D，E分别为边，的中点，连接，交于点F，则线段的长为（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】三角形三条中线的交点是重心，重心把每条中线分为两部分（重心到顶点的距离重心到对边中点的距离=），直角三角形中斜边中线等于斜边的一半． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， ∵D，E分别为边，的中点， ∴，为的两条中线， ∴点F是的重心， ∴， 即， ∵E为的中点， ∴， ∴． 60．（25-26八年级上·广东东莞·期末）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，我们知道三角形的重心在三角形的三条中线的交点处：重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？    问题探究 探究1 （1）如图2，是的中线，可以得到它们面积的大小关系为：_____（填＞、＜或＝）； （2）如图3，点O为的重心，若面积为a，求的面积；并求出的值． （3）如图4，在中，点是的重心．连接，并延长，分别交，于点，．若，，，结合（2）的结论，四边形的面积为______． 探究2 莞莞向初初提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？初初在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①如图5，四边形有重心，在其对角线的交点处；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心所连的直线上． （4）请在图6中画出该图形重心所在的直线．（仅用直尺作图，保留作图痕迹）    【答案】 （1）； （2）2； （3）； （4）如图所示，直线即为所求． 【分析】本题主要考查了三角形重心的性质、三角形中线与面积的关系、图形的拆分与重心确定，熟练掌握三角形重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为以及等底同高三角形面积相等是解题的关键． （1）根据三角形中线的性质，等底同高的三角形面积相等，据此判断与的关系． （2）利用三角形重心的性质依次进行解答即可． （3）先根据重心性质得出线段比例关系，再结合垂直条件求出相关三角形面积，进而推导出四边形的面积． （4）将图6的图形拆分为两个长方形，分别确定它们的重心，连接重心的直线即为该图形重心所在直线． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 又∵和同高， ∴， 故答案为：． （2）∵点为的重心， ∴， ∴，，，，，， ∴，则， 同理可得， ∴， ∵， ∴，即， （3）连接并延长交于点． ∵点是的重心， ∴由（2）得，， ∵，， ∴，；，． ∵， ∴．，，， ∵点是重心， ∴由（2）得， ∴． ∴， ∴四边形的面积为 故答案为：． （4）略 题型21 图形位似综合（共3小题） 61．（26-27九年级上·广东佛山·期中）如图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C，D均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的画图痕迹． (1)在图1中，画一个以为边的既是轴对称又是中心对称的四边形； (2)在图2中以点A为位似中心、以线段为边画一个，使它与位似； (3)在图3中的线段上画一个点P，使． 【答案】(1)如图，正方形即为所求； (2)如图，即为所求； (3)如图，点即为所求． 【分析】（1）取格点，连接，则四边形即为所求，根据勾股定理可求，若连接，则在中，由勾股定理逆定理可得，故四边形为正方形，故符合题意； （2）取格点E，连接，则即为所求，利用网格的特点和勾股定理可证明，则和是以点A为位似中心的位似三角形； （3）取格点C、D，连接交于点P，则点P即为所求，可证明，则． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 62．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，已知与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、，则点C的对应点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似比，解答即可． 【详解】解：根据题意，与关于坐标原点O位似，且点A与点对应，、、、， 故相似比为， 故把各坐标分别乘以得得到，，． 63．（26-27九年级上·山东济南·期中）在如图所示的方格纸中，与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标______． (2)以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似图形，使它与的相似比为； (3)在（2）的条件下，若点是线段上一点，则线段上点M的对应点的坐标为______． 【答案】(1)如图， (2)如图， (3) 【分析】（1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的坐标； （2）根据位似变换的知识，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变换的性质，即可求得的坐标． 【详解】（1）解：图略， （2）略 （3）解：以原点为位似中心，相似比为，在同一侧的位似点坐标规律：点，对应点坐标为． 题型22 相似三角形的实际问题综合（共3小题） 64．（26-27九年级上·陕西西安·期中）【情境】在学习完《相似》内容后，甲同学和乙同学在数学活动实践课上，对测量校园内的旗杆高度提出了两种不同的方案． 【思考】两个同学的测量方案如下： 甲同学方案 乙同学方案 测量过程及数据 如图，在距离旗杆底点米远的处竖立一根高米的标杆，甲同学在处站立，他的眼睛所在位置、标杆的顶端和旗杆顶端三点在一条直线上．已知甲同学的眼睛到地面的距离米，米，，，，点、、在同一直线上． 如图，乙同学拿着一根长为厘米的木棒站在离旗杆米的地方（即点到的距离为米），他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即点、、在一条直线上，点、、在一条直线上）时，已知点到木棒的距离为厘米． 示意图 选择一种正确的测量方案，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】过点作的垂线，垂足为，交于点，若选择甲同学方案，利用平行，易得，从而，代入计算即可；若选择乙同学方案，利用平行，易得，，从而可得，代入计算即可． 【详解】解：若选择甲同学方案， 如图，过点作的垂线，垂足为，交于点， 由题可知，，米，米，米，米，米，米， ，， ， ， ，即， 米， 米， 则旗杆的高度为米． 若选择乙同学方案， 如图，过点作，垂足为，交于点， 由题可知，，米，厘米米，厘米米， ， ，， ，， ，即， 米， 则旗杆的高度为米． 65．（26-27九年级上·河南驻马店·期中）张祥云烈士纪念碑位于温县城西8公里祥云镇广场东端，为纪念解放战争时期被国民党杀害的张祥云烈士而修建，已被列为县级重点文物保护单位（图1）．温县某数学兴趣小组参观该纪念碑时开展了测量纪念碑高度的活动，记录如下： 活动主题 测量纪念碑的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤一：如图2，把长为的标杆垂直立于地面点D处，碑的顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤二：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，碑的顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． … … (1)求该纪念碑的高度； (2)另外一个小组在实际测量时出现了误差，请提出一条减少误差的建议． 【答案】(1)纪念碑的高度为15米 (2)多次测量求平均值或选用刻度更精准的卷尺进行长度测量．（合理即可） 【分析】（1）设，，则有，，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解； （2）根据题意合理给出建议即可． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，，， ， ，解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：纪念碑的高度为15米． （2）略 66．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）图1是某兴趣小组探究凸透镜成像规律的装置图，图2是由图1抽象出的几何图形，蜡烛发出的一条平行于主光轴l的光线，经过凸透镜折射后过焦点，并与过凸透镜中心的光线相交于点，其中四边形是矩形，于点，于点． (1)将高为厘米的蜡烛进行移动，使物距为厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为厘米，求像的高度； (2)在（）的条件下，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)像的高度为； (2)凸透镜焦距的长为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （）由题意可得，，，，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴像的高度为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴，解得， ∴凸透镜焦距的长为． 拔高·压轴破难 题型23 相似三角形的多结论问题（共3小题） 67．（26-27九年级上·北京·期中）如图，在中，，，点是边上的中点，将沿翻折得到，连接，，，在同一条直线上，以下结论正确的有（     ）个 ① ② ③平分 ④点到的距离为 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】利用平行四边形性质和折叠性质推导角度和边长关系可判断①；证明可得，易得即可判断②；证明可得，如图：过点D作于M，设，则，利用勾股定理列方程可得，进而得到、；设点F到的距离为h，利用三角形的面积公式求得h，即可判断④；若平分，则点F到的距离相等，设其为d，结合已知条件可得，再证明可得，即，利用勾股定理逆定理得到，与矛盾，即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵A，F，E在同一条直线上， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即，解得， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：过点D作于M， 设，则． 在和中，， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， 设点F到的距离为h，则，即，解得：，故④正确； 若平分，则点F到的距离相等，设其为d， ∴， 又∵F是中点， ∴． ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 但在中，，即，与矛盾， ∴不平分 ，故③错误． 综上，正确的结论有①②④，共3个． 68．（2026·北京密云·一模）如图，在正方形中，对角线、相交于点，是线段上一动点（不与点重合），过点分别作、的垂线交、边于点、．记的面积为，的面积为．当点在线段上运动的过程中，给出下列四个结论： ①点与点重合时，；②；③一定存在；④当是的中点时，．上述结论中，所有正确结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，结合垂直定义，可知与都是等腰直角三角形，对于①，当点E与点O重合时，分别计算与即可判断；对于②，当点E与点O重合时，对比结论即可判断；对于③，需要，结合，即可判断；对于④，当是的中点时，求出与的相似比，进而求出面积比． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， 与都是等腰直角三角形， ，，， ①点与点重合时，，， ， ， ，故结论①正确； ②点与点重合时，，此时，故结论②错误； ③若，则， ，即， 又， 点必然在之间，故结论③正确； ④当是的中点时，， ， 设，则， ， ， 与都是等腰直角三角形， ， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 69．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，是正方形的对角线，分别是边的中点，作点关于的对称点，连接，交于点，延长交于点． 给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】证明，得由对称性得，可判断①正确；记交于点，由三角形内角和定理得可判断②正确；证明可得，可判断③；分别证明，，可判断④ 【详解】解：①四边形是正方形， 分别是边的中点， ， 点关于对称， ， ，故①正确； ②如图，记交于点， 由①知 ， ，故②正确； ③四边形是正方形， ， 是正方形的对角线， 关于对称， 三点共线， 是的中点， ，故③错误； ④如图，连接， 四边形是正方形， ， 又 ， ， 由①知 点关于对称， ， 又 ， ，故④正确， 综上所述，正确的结论序号为①②④． 题型24 相似三角形与函数结合（共3小题） 70．（25-26九年级下·北京·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①设点的坐标为，点的坐标为，分别用含a的式子得出，，，，再列式证明即可；②证明四边形是矩形，得出，结合由结论①，即可判断②是否正确；③由结论①正确得，得出，利用，即可证明；④连接，证明，得出，证明四边形和四边形都是平行四边形，得出，，即可证明． 【详解】①点，在函数的图象上， 设点的坐标为，点的坐标为， 轴于点，轴于点，与交于点， ，，，， ，， ，， ， 故结论①正确； ②轴于点，轴于点，与交于点， ， 四边形是矩形， ， ， 由结论①正确得：， 无法判定， 不一定成立， 故结论②不正确； ③， ，， 由结论①正确得：， ， ， ， 即， 故结论③正确； ④连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 由结论①正确得：， 在和中， ，， ， ， ， 即， 轴于点，轴于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论的序号是①③④． 71．（2024·甘肃定西·二模）如图1，中，点P从点A出发，沿A﹣C﹣B匀速运动，过点P作，垂足为D，设点A到点D的距离为x，的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键．当点P运动到点C处时，求出，再利用，求出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解∶如图，当点P运动到点C处时， 由图2得， ，． ． ， ． ． ， ． ． ，即． 解得 ． 故选∶C． 72．（25-26八年级下·北京海淀·期中）正比例函数图象直线和一次函数图象直线都过点，，与轴围成的三角形面积为15，而，与轴围成的三角形面积为．    (1)求直线与的函数表达式； (2)求与相交所成的锐角的度数． 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 【分析】（1）设直线的解析式为，直线的解析式为，再根据已知条件，分两咱情况讨论即可得出结果； （2）如图，过点作轴于点，过点作交直线于点，过点作轴于点，证明，即可得出结果． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，直线的解析式为， 经过点，得，解得，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 直线与轴，轴的交点分别为：， 当时，如图所示，   解得， 解得， ， 故此情况不成立，舍去； 当时，如图所示，   解得， 解得， ， 故此情况成立， 故直线的解析式为． （2）解：如图，过点作轴于点，过点作交直线于点，过点作轴于点，    由（1）中结论，直线的解析式为， 时，， 时，， ， ， ， ， ，， 设，， 直线的解析式为， 代入点，得， 直线的解析式为， 联立，解得，即， ， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形，即， 故与相交所成的锐角的度数为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键运用分类讨论的思想方法解决问题． 题型25 相似三角形的旋转综合（共3小题） 73．（24-25九年级上·北京·期中）已知，和都是等腰直角三角形，(如图1)，为的中点，连接，并延长交于点． (1)在图1中，按要求补全图形，并证明； (2)将图1中的绕点旋转，当落在图2所示的位置时，点，，恰好在同一条直线上．连接，交于点F．判断线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) 补全图形如图： 证明：是等腰直角三角形，为的中点， ， ， ， ， ； (2) ， 证明：延长至，使，连接，， 是等腰直角三角形，， ，， 为的中点， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【分析】（1）依题意补全图形，由是等腰直角三角形，为的中点，可得，故，又，从而可得； （2）延长至，使，连接，，证明，可得，，即知，有，可证，故，得，则，进而根据平行线分线段成比例得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质和判定，全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，旋转变换的性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是添加辅助线构造全等三角形． 74．（24-25九年级下·北京·期中）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1) 证明：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)①． 证明：如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， 旋转过程中的最小值为1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）略 （2）①略 ②∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 75．（25-26九年级下·北京丰台·期中）如图，和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把以A为中心顺时针旋转，点M为射线、的交点，若，，以下结论：①；②；③当点E在的延长线上时， ；④在旋转过程中，的最大面积为．其中正确结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题根据题意证明，可判断①，由三角形外角性质可判断②，证明，根据相似的性质算出，可判断③，以为圆心，为半径画圆，当点在的延长线上， 点在的延长线上，点与点重合时，、的值最大，根据三角形面积公式即可判断④． 【详解】解：和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ，，， ， ， ，， 故①正确； 设， ， ， ， ， ， ， 故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故③正确； 以为圆心，为半径画圆， 当点在的延长线上， 点在的延长线上，点与点重合时，如图所示， 这时、的值最大， 的最大面积为．    故④正确； 综上所述 ，其中正确结论有个， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的旋转问题，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，最大面积等知识，解题的关键是掌握旋转的性质. 题型26 相似三角形的判定与性质综合（共3小题） 76．（2026·上海奉贤·模拟预测）已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明： ∵， ∴， 即． ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． (2)证明： ∵线段满足， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由和公共角，可得；由和都是等腰三角形可得两三角形两腰分别相等，再由 与边、角、边对应相等可得，最后由全等三角形对应边相等从而得出结论． （2）先由推出（相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等），再结合第（1）问的全等结论，推导，从而证明平行四边形是菱形（菱形定义：邻边相等的平行四边形是菱形）． 【详解】（1）略 （2）略 77．（2026·河北邯郸·三模）【操作发现】 (1)如图1，和是等边三角形，连接，交于点． ①的值为________；②的度数为________； (2)【类比探究】如图2，在和中，，，，连接交的延长线于点．求的值及的度数； (3)【实际应用】在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，，所在直线交于点，若，，请直接写出当点与点重合时的长． 【答案】(1)①；② (2)的值为，的度数为 (3) 【分析】（1）根据证明，可得进而得到，再根据求得； （2）根据，证得，得到，再根据得到； （3）分两种情况讨论，可知点、重合时均为直角三角形，用勾股定理求出，再用（2）的相似比例算出． 【详解】（1）解：如图， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． （2）解：如图， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即，， ∴， ∴，， ∵， ∴． （3）解：如图，当点与重合时，， ∴， 由（2）知； 如图，当点与重合时，， 则， 同理可得， 综上，． 78．（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 题型27 相似三角形的最值问题（共3小题） 79．（25-26九年级上·安徽宣城·期中）如图矩形，是与边上动点，且交于点，，，求最小为（   ） A． B．9 C．10 D． 【答案】C 【分析】因与两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接 ，又因点在上是一动点，由边与边关系 ，只有当点在直线上时的 和最小，由平行四边形可知时可求的最小值． 【详解】解：设，则；过 点作，且 连接，当点、、 三点共线时，的最值小；如图： ∵ ∴四边形是平行四边形 由点、、三点共线， ∴ 由四边形是矩形 ∴ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵， 在 中，由勾股定理得： 又∵，则， ∴ 解得∶， ∴ 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，求的长时也可以用三角形的中位线求解，难点是作辅助线，三点共线时两条线段的和最小． 80．（25-26九年级上·山东济南·期末）【问题引入】 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，点是射线上的动点，且，连接，，求的最小值． 【问题解决】 （1）小明同学提出了以下思路：如图，延长至点，使得，连接，当，，三点共线时，最小． ①与的数量关系是____________． ②的最小值为____________． 【能力运用】 （2）小涵同学发现，若将题目中的“”改为“”，我们就可以求出的最小值，如图，请求出的最小值，并说明理由． 【挑战自我】 （3）小晴同学又发现，当点，在矩形的对角线上时，我们依旧可以用类似的方法，求出的最小值，如图，点，在对角线上，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①，②； （2）解：的最小值为． 理由：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∴的最小值为； （3） 【分析】（1）①根据矩形的性质证明即可； ②连接，由勾股定理求得，结合①的结论得，则当点，，共线时，取得最小值为； （2）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，当点，，共线时，取得最小值为，再由勾股定理求出即可； （3）延长至点，使得，连接，，证明得，继而得到，则当点，，三点共线时，取得最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； ②连接，如图， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， 在中，， ∵， ∴当点，，共线时，取得最小值为， 故答案为：； （2）略 （3）解：延长至点，使得，连接，，如图， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点，，三点共线时，取得最小值为， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是转化思想的运用． 81．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图①，已知四边形，请在四边形内找一点，使它到四边形四个顶点的距离之和最小． 问题探究 （2）如图②，在中，，点是边上一点．若，，，求证：． 问题解决 （3）如图③，在四边形中，，，，，．在矩形中，．求的最小值．（结果保留根号） 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）∵， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则； （3） 【分析】（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和，利用三角形三边关系可得和，即，结合即可证明点即为所求； （2）根据勾股定理求得和，可得，即可证明，则有； （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，根据四边形内角和定理求得和，求得和，及和，利用矩形的性质得和，可证明，有和，则化简为，当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值，再次利用勾股定理求得即可． 【详解】解：（1）连接和相交于点O，另取一点P，连接、、和， 在中，， 在中，， 则， ∵点到四边形四个顶点的距离之和为 ∴点即为所求； （2）略 （3）延长与相交于点M，过点C作于点N，连接和，如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 当点A、点E、点F和点C四点共线时取得最小值， ∵，， ∴， 则的最小值． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，勾股定理，相似三角形的判定和性质，四边形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质和等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和矩形的性质． 题型28 相似三角形的模型问题（共3小题） 82．（2026·浙江舟山·模拟预测）如图，在中，的平分线交于点，点分别是边上的点，若，则的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D． 【答案】C 【分析】延长交于点G，可证，得，得出，可证，求出，则的值可求． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 83．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 84．（26-27九年级·全国·暑假作业）探究下列问题： (1)【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接，，判断与的数量关系： ． (2)【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，写出与的数量关系： ． (3)【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且，连接，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明，即可得解． （2）根据等腰直角三角形的性质，直角边与斜边的关系，证明，再根据相似三角形的性质，对应边的比等于相似比，即可求解． （3）根据，，可证，可得 ，在中，求出，在中，求出，再证，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：∵和都是等腰直角三角形， 根据勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴或． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 设，， 在中，根据勾股定理得， 设，， 在中，根据勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型29 相似三角形的新定义问题（共3小题） 85．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)或 【分析】（1）先确认、是矩形一组邻边、的中点，再确认连接的顶点不在这组邻边上，最后验证直角恰好位于中点处，完全符合定义，即可得出结论； （2）先由和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明，得到；再结合、是中点的性质，将各边用、表示后代入相似比，化简后即可求出的值； （3）先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形；再通过作垂线构造相似三角形，利用的比例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边、，最终得到的值． 【详解】（1）解：是； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； （3）解：或．             ①如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 86．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）【定义新知】 定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． 【问题提出】    （1）如图1，若是比例三角形，且，，，则的长为 ； （2）如图2，在四边形中，，对角线平分，．求证：是比例三角形； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅有一块形如矩形的钢板，现要从钢板上切割出一个部件，其中点A在边上，连接，且，平分，需要知道与之间的比例关系，请你帮助李师傅求出的值． 【答案】（1）； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是比例三角形；． （3）． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）将，代入计算可得； （2）先证得，再由知即可得结论； （3）作，同（2）证明，，得到，再证得，即，结合知，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：（负值舍去）； 故答案为：； （2） 略 （3）解：如图，过点A作于点H，    ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴． 87．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）请阅读下面材料，并完成相关任务： 定义：点P是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点P是的“相似点”． 例：如图①，点P在的内部，，则，故点P为的“相似点”． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： (1)如图②，在中，，平分，求证：点P为的“相似点”； (2)如图③，若为锐角三角形，点E是的“相似点”，且点B与点A对应，点E在的平分线上，连接，若，求的值； (3)如图④，在菱形中，E是上一点，F是内一点，且，连接与交于点G，连接，若点G是的“相似点”，且，求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴点P为的“相似点” (2) (3) 证明：∵点G是的“相似点”，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 延长交于点，如图所示： 由题意得： ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ ∴ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解题意，找准相似三角形的对应关系是解题关键. （1）由条件可推出，证即可； （2）由题意得，可推出，再证即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，证即可； 【详解】（1）略 （2）解：由题意得： ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）略 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $