专题02 相似三角形经典模型17大题型65题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北京版

专题02 相似三角形常考经典模型（17大题型65题） 基础·固本强基 题型1 A字型相似 题型2 8字型相似 题型3 AX字型相似 题型4 母子型相似 题型5 三角形内接矩形相似 题型6 射影定理相似 题型7 旋转相似 题型8 折叠相似 题型9 一线三等角型相似 题型10 手拉手型相似 题型11 动态相似 题型12 k字型相似 题型13 关系型相似（如倒数型、系数型） 题型14 角平分线型相似 题型15 重心相关相似 提升·进阶突破 题型16 相似三角形的模型进阶练 拔高·压轴破难 题型17 相似三角形的模型压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 A字型相似（共3小题） 【易错】平行截三角得 A 形相似，平行证等角，对应边成比例。易错：顶点对应别写反，比例线段不能交叉。 1．（26-27九年级上·北京·期中）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 2．（26-27九年级上·北京门头沟·期中）如图，在中，，为的三等分点，交于点，平分交于点，若，，则的长为_________． 3．（26-27九年级上·北京西城·期中）在中，，．菱形的三个顶点、、分别在边、、上． (1)求菱形的周长． (2)若，直接写出菱形的面积． 题型2 8字型相似（共3小题） 【易错】对顶角搭配内错角，构成 8 字双三角。利用两组等角证相似，关键找准对应顶点，顶点顺序写错，比例列式直接出错丢分。 4．（26-27九年级上·北京海淀·期中）如图，，如果，那么_____． 5．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平行四边形中，连接为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 6．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型3 AX字型相似（共6小题） 【易错】A 字与 8 字组合图形，同一条线段衍生两组相似。解题拆分图形，传递线段比例；易错点是只发现一组相似，漏掉第二个相似三角形。 7．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，是中线，E是的中点，过点A作交的延长线于F，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)已知与交于点O，则与的面积比是多少？ 8．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：． (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 9．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，矩形是黄金矩形（即宽与长的比是），对角线交于点，点在上且，为中点．若，求该黄金矩形长边的长为________． 题型4 母子型相似（共3小题） 【易错】两三角形共公共角，大三角内含小三角。用公共角 + 一组等角 AA 证相似；易错：公共边为对应边，列式时极易把比例前后颠倒。 10．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，，，则_____________ 11．（26-27九年级上·山东菏泽·期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：． 12．（26-27九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 题型5 三角形内接矩形相似（共3小题） 【易错】矩形内接三角形，上方小三角形与原图相似。设边长，高之比等于相似比列方程；注意相似高要减去矩形高度，不要误用三角形总高。 13．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 14．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 15．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 题型6 射影定理相似（共3小题） 【易错】直角三角形斜边作高，分出两个小直角三角形，三者两两相似。熟记三组等积式；不能死记公式，需先证相似，线段乘积顺序不可颠倒。 16．（24-25九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 17．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 18．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 题型7 旋转相似（共3小题） 【易错】共顶点三角形，两边成比例，旋转后夹角相等。依靠 SAS 判定相似；易错：看清是相似不是全等，旋转角相等，角度传递时不要混淆边角。 19．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 20．（24-25九年级上·河南郑州·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 21．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合）将绕点A按顺时针方向旋转，得到．连接，交于点，交于点． (1)______； (2)如果，求证：； (3)交点，若，则______（直接写答案、用含的代数式表示）． 题型8 折叠相似（共3小题） 【易错】折叠得到等角、等线段，利用相等角构造相似三角形。通过折叠性质找等角，用 AA 证明相似；容易忽略隐藏直角，漏看图形中角度条件。 22．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． (1)猜想四边形的形状是 ，并加以证明； (2)若，，求的值． 23．（2026·广东东莞·二模）如图，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，将矩形沿着折叠，使点A、B分别落在E、F处，且点F在线段上（不与两端点重合），与交于点G，过点M作于点H，连接分别与、交于点K、P． (1)请写出三个与相似的三角形，并从中任选一个证明它与相似； (2)求的值． 24．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 题型9 一线三等角型相似（共3小题） 【易错】同一直线上存在三个相等角，推导得到两组等角，AA 证相似。三个角未必是直角；动点题型要分类讨论，极易漏掉其中一种情况。 25．（26-27九年级上·山东菏泽·期中）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 26．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 27．（25-26九年级上·广西柳州·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 题型10 手拉手型相似（共3小题） 【易错】共顶点顶角相等，夹边对应成比例。顶角同加减得到夹角相等，SAS 证相似；分清手拉手相似与全等，全等要求对应边长完全相等。 28．（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 29．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 30．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 题型11 动态相似（共3小题） 【易错】点在线段上运动，特定时刻两三角形相似。设动点时间 t，分类讨论顶点对应关系列比例；这类题常有多解，很容易漏掉其中一组解。 31．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，E是的中点，M，N分别是和边上的动点，连接，，已知，当______时，与以M，N，D为顶点的三角形相似． 32．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为，连接、、．当时，求的值． 33．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． (3)求出图2中，的值． 题型12 k字型相似（共3小题） 【易错】一线上三个直角，左右两个直角三角形互余等角，AA 相似。属于一线三等角特例；斜置图形要主动作垂线构造 K 型，识别模型。 34．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于(     ) A． B． C． D． 35．（26-27九年级上·浙江金华·期中）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 36．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时绘出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角”模型，如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是________________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则__________． 题型13 关系型相似（如倒数型、系数型）（共3小题） 【易错】由相似推导线段倒数或倍数关系式。先证三角形相似，转化比例变形得到等式；难点是代数变形，容易在分式换算时出现计算失误。 37．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 38．（2026·山东临沂·一模）已知中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠使点B落在点F处． (1)如图1，当且点F落在点A的位置时，和的关系是_______； (2)如图2，当点E为的中点时，观察发现点F落在上，连接，猜想和有什么位置关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长度； (4)如图3，若，F在上，，直接写出的值．（结果用含k的代数式表示） 39．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F．         (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 题型14 角平分线型相似（共3小题） 【易错】角平分线分出等角，搭配另一组等角构造相似三角形。用等角条件 AA 证明相似；注意区分角平分线定理和相似结论，不要混用两个公式。 40．（2026·吉林长春·模拟预测）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 证明角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作．交的延长线于E．… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)结论应用：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是_________； (3)如图4，已知四边形，，，，，对角线相交于点E，则的周长是_________． 41．（2026·湖南益阳·二模）如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 42．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，是的角平分线，点在上，交于点．若，且，则的长为_____． 题型15 重心相关相似（共3小题） 【易错】三角形重心分中线 2:1，常结合平行线构造相似。利用重心线段比例解题；易错：记错重心分割比例，分不清重心、外心、内心性质。 43．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 44．（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 45．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ (1)【解决问题】若的面积为6，______，______． (2)【解决问题】求的值． (3)【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 提升·进阶突破 题型16 相似三角形的模型进阶练（共10小题） 46．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，已知（     ） A．3 B．12 C．6 D．9 47．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明做了一个风筝支架，可抽象成如图所示的示意图，已知，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 49．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 50．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则________． 51．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，已知，，则的长为________． 52．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为______． 53．（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 54．（26-27九年级上·上海虹口·期中）已知中，，的平分线交于点（如图）；点在边的延长线上，过点作，交边于点，连接． (1)如果，求证：； (2)如果，求证：； (3)如果四边形是菱形，求证：． 55．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在正方形中，，点在边上，，与对角线相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 拔高·压轴破难 题型17 相似三角形的模型压轴练（共10小题） 56．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 57．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 58．（26-27九年级上·河南南阳·期中）如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 59．（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点D的坐标是__________． 60．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则的长是______． 61．（26-27九年级上·上海·期中）中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 62．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 63．（26-27九年级上·湖南永州·期中）解答下列问题 (1)如图①，中，点为边的中点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，则______． (2)如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； (3)如图③，中，，，，若分别是边的中点，连接，点是边上任意一点，连接分别交于点，求周长的最小值． 64．（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）已知，连接，，． (1)如图①，将沿折叠，点A的对应点落在点M处，交于点P． ①求证：； ②求的面积； (2)若点E在边上，如图②，作交于点F，将沿折叠，使点A的对应点N落在边上，求的长． 65．（26-27九年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形常考经典模型（17大题型65题） 基础·固本强基 题型1 A字型相似 题型2 8字型相似 题型3 AX字型相似 题型4 母子型相似 题型5 三角形内接矩形相似 题型6 射影定理相似 题型7 旋转相似 题型8 折叠相似 题型9 一线三等角型相似 题型10 手拉手型相似 题型11 动态相似 题型12 k字型相似 题型13 关系型相似（如倒数型、系数型） 题型14 角平分线型相似 题型15 重心相关相似 提升·进阶突破 题型16 相似三角形的模型进阶练 拔高·压轴破难 题型17 相似三角形的模型压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 A字型相似（共3小题） 【易错】平行截三角得 A 形相似，平行证等角，对应边成比例。易错：顶点对应别写反，比例线段不能交叉。 1．（26-27九年级上·北京·期中）如图，点、分别在的边、上，若，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，， ∴ 又， ∴（两角对应相等的两个三角形相似） (2) 【分析】（1）根据两组对应角相等，证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，即， ∴． 2．（26-27九年级上·北京门头沟·期中）如图，在中，，为的三等分点，交于点，平分交于点，若，，则的长为_________． 【答案】7 【分析】根据勾股定理可知的长度，根据平行线可知，进而根据三等分点可知的长度，根据角平分线以及平行可知，根据等腰三角形即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴, ∵， ∴， ∴ ∵为的三等分点， ∴，， ∴， ∴, ∵平分 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 3．（26-27九年级上·北京西城·期中）在中，，．菱形的三个顶点、、分别在边、、上． (1)求菱形的周长． (2)若，直接写出菱形的面积． 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）设，则，证明得到，解方程即可得到答案； （2）过点E作于点H，则，求出，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴菱形的周长； （2）解：如图所示，过点E作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型2 8字型相似（共3小题） 【易错】对顶角搭配内错角，构成 8 字双三角。利用两组等角证相似，关键找准对应顶点，顶点顺序写错，比例列式直接出错丢分。 4．（26-27九年级上·北京海淀·期中）如图，，如果，那么_____． 【答案】8 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，先求出的长，再代入数据计算即可． 【详解】解： ∵， ∴． ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 5．（26-27九年级上·上海浦东新·期中）如图，在平行四边形中，连接为边上一点，连接并延长交的延长线于点，交于点，过点作交于点，． (1)若，求的长； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，则，据此可得答案； （2）根据（1）和平行四边形的性质可推出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三等分点得到线段比例，利用两边成比例且夹角相等证明，推出；再证，得到，设，根据列方程求解． 【详解】解：D、F、E、G分别为，的三等分点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则，， 由，得， ， ． 题型3 AX字型相似（共6小题） 【易错】A 字与 8 字组合图形，同一条线段衍生两组相似。解题拆分图形，传递线段比例；易错点是只发现一组相似，漏掉第二个相似三角形。 7．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，是中线，E是的中点，过点A作交的延长线于F，连接． (1)求证：； (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)已知与交于点O，则与的面积比是多少？ 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，是中线， ∴， ∴； (2)解：四边形是正方形，理由如下： 当时，四边形是正方形． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中线， ∴， ∵， ∴四边形是正方形． (3) 【分析】（1）先证明，即可得，又由在中，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得，即可解答； （2）当时，四边形是正方形．由，可证得：四边形是平行四边形，又由，根据三线合一的性质，可得，，继而可得四边形是正方形． （3）先推导出，再根据，得到，则可求出，继而推导出，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图 ∵，， ，即， ， ， ， 与以为顶点，底边在同一条直线上，两个三角形同高， ． 答：与的面积比是． 8．（26-27九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：． (2)若的面积为4，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ∴， ∴． (2)21 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，即可证得结论． （2）根据平行四边形的性质可证得，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，结合可求得，进而根据面积和差关系即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为4，，即， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 9．（26-27九年级上·四川成都·期中）如图，矩形是黄金矩形（即宽与长的比是），对角线交于点，点在上且，为中点．若，求该黄金矩形长边的长为________． 【答案】/ 【分析】先根据矩形的对角线互相平分，得出是的中位线，则，再利用黄金分割比，结合二次根式分母有理化求解即可． 【详解】解：矩形是黄金矩形，对角线交于点， ，， 为中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ． 题型4 母子型相似（共3小题） 【易错】两三角形共公共角，大三角内含小三角。用公共角 + 一组等角 AA 证相似；易错：公共边为对应边，列式时极易把比例前后颠倒。 10．（26-27九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，，，则_____________ 【答案】 【分析】先求出，，得到，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， ， ， ，即， ． 11．（26-27九年级上·山东菏泽·期中）如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，，， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， 又， ， ， ， . 【分析】由四边形是正方形，得，，然后通过“”证明 ；由四边形是正方形，得，所以，由全等三角形性质可得，，故有，然后证明，得，即，所以． 【详解】略 12．（26-27九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 【答案】(1)或或（填一个即可） (2)①②6 (3)证明：∵， ∴，， ∴，． ∴； (4) 【分析】（1）依据题意，根据相似三角形的判定，结合图形可以判断得解； （2）①依据题意，由，则，结合，从而可以计算得解； ②依据题意，由，则，结合，可得，则，从而计算可以得解； （3）通过已知，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等，推导出且，从而证明； （4）通过作辅助线构造直角三角形和相似三角形，利用角度关系和勾股定理，逐步推导得出的长度． 【详解】（1）解：或或．理由如下： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴． （2）解：①由题意，∵， ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴四边形的面积的面积； （3）略 （4）解：如图，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 题型5 三角形内接矩形相似（共3小题） 【易错】矩形内接三角形，上方小三角形与原图相似。设边长，高之比等于相似比列方程；注意相似高要减去矩形高度，不要误用三角形总高。 13．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ． 是的中点， 是的中位线， ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ， ∴四边形是矩形； (2) 【分析】（1）利用菱形的性质可得，从而得是的中位线，推出，又由平行四边形的定义可得四边形是平行四边形，利用一个角是直角证明矩形． （2）证明，即可由对应线段成比例求出的长，进而得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，即，， 由（1）知四边形是矩形， ． ， ， ． 即， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理．熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理，证明四边形为矩形是解题的关键． 14．（2026·浙江宁波·二模）如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ． 四边形为矩形， ， ． ， (2) 【分析】（1）找直角相等，根据平行线找角相等，根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）由勾股定理计算的长，再根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，， 在中，， 由（1）得，， ∴，即， 解得：． 15．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处到地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若的长度是9米，则车宽的长度为___________米. 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 题型6 射影定理相似（共3小题） 【易错】直角三角形斜边作高，分出两个小直角三角形，三者两两相似。熟记三组等积式；不能死记公式，需先证相似，线段乘积顺序不可颠倒。 16．（24-25九年级上·山西长治·期中）阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）略 （3）略 17．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用三角形相似证明结论； （2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：设长为x，则， 根据射影定理可知， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 又∵， ∴． 18．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ∴， ， ． (2)6 (3) 【分析】（1）根据两角相等即可证明两三角形相似； （2）由（1）中两三角形相似得对应边成比例即可求解； （3）根据题意说明，再由对应边成比例求解． 【详解】（1）略； （2）解：由， 得， 即 ， ． （3）解：，， ， ， 即 ， ． 题型7 旋转相似（共3小题） 【易错】共顶点三角形，两边成比例，旋转后夹角相等。依靠 SAS 判定相似；易错：看清是相似不是全等，旋转角相等，角度传递时不要混淆边角。 19．（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】(1) 证明： 将绕点旋转得到，点的对应点在边上， ∴，，， ，， (2) (3)1 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可知是直角三角形，根据旋转的性质可知，使用勾股定理计算即可； （3）根据旋转可构造角度相等，证明，可知． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， 在中，， ， （3）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 20．（24-25九年级上·河南郑州·期末）【问题情境】 如图1，正方形和正方形按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到，与的夹角为； 将正方形绕点旋转，如图2，连接．我们利用旋转的性质，通过证明，仍然可以得到，与的夹角为． 【变式思考】 如图3，将正方形绕点旋转，连接． （1）用等式表示线段与之间的数量关系为______，直线与的夹角为______； （2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论； 【拓展运用】 （3）在图2的基础上，若，连接，在正方形绕点旋转一周的过程中，请直接写出的最小值是______． 【答案】（1），； （2）证明：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为； （3） 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （2）连接，延长交于点，证明，即可得到线段与之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线与的夹角； （3）根据当三点共线，且点在线段上时，最小，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点， 四边形和四边形为正方形， 为等腰直角三角形， ，, ，即， ， , ， , ， 直线与的夹角为， 故答案为：；； （2）略； （3）， ，， 正方形绕点旋转一周， 当三点共线，且点在线段上时，最小， 此时， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合）将绕点A按顺时针方向旋转，得到．连接，交于点，交于点． (1)______； (2)如果，求证：； (3)交点，若，则______（直接写答案、用含的代数式表示）． 【答案】(1)90 (2) 证明：由旋转知，， ， ， ， ∴， ∴， 又， ∴， ， ∴． ∵，， ； (3) 【分析】（1）由旋转知； （2）由题意可得，，即可证，即可证； （3）过点M作交于点F，得，由旋转可设，可得，，即得． 【详解】（1）解：∵绕点A按顺时针方向旋转， ∴． 故答案为：90； （2）略 （3）如图，过点M作交于点F， 则，， ∴，， 由旋转知，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构建相似三角形，综合运用相关知识是解本题的关键． 题型8 折叠相似（共3小题） 【易错】折叠得到等角、等线段，利用相等角构造相似三角形。通过折叠性质找等角，用 AA 证明相似；容易忽略隐藏直角，漏看图形中角度条件。 22．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）如图，将矩形纸片（）折叠，使点C刚好落在线段上，记作点G，点D经折叠后的点记作点H，且折痕分别与边、边交于点E、点F，连结． (1)猜想四边形的形状是 ，并加以证明； (2)若，，求的值． 【答案】(1)菱形 证明：（方法不唯一，合理即可） 将矩形纸片沿着折叠，点对应点 即 ， 由折叠的性质得， ∴四边形是平行四边形 又（或者写） 平行四边形是菱形 (2) 【分析】（1）根据折叠的性质和平行四边形的性质即可解答； （2）连接交于点，根据菱形和矩形的性质，证，再依据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接交于点， 平行四边形是菱形 ，， 四边形是矩形 ，，， ，， ，， ∴， ， ． 23．（2026·广东东莞·二模）如图，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，将矩形沿着折叠，使点A、B分别落在E、F处，且点F在线段上（不与两端点重合），与交于点G，过点M作于点H，连接分别与、交于点K、P． (1)请写出三个与相似的三角形，并从中任选一个证明它与相似； (2)求的值． 【答案】(1) 解：，，，，（写出3个即可）； 选择证明． 证明：在矩形中，． ， ． ，． 由折叠可知，， ． ． ． ． 选择证明： ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ． 选择证明： ， ． 由折叠可知，， ． ， ， ， ， ． 选择证明： ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ． 选择证明： ， ， 由折叠可知，，， ， ， ． (2) 【分析】（1）利用矩形和折叠的性质，得出两组相等的角，即可证明全等； （2）证明四边形为矩形，由（1）得，利用对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 四边形为矩形． ，． 由（1）得， ． ． 【点睛】本题考查的是矩形性质、折叠性质、相似三角形的判定和性质，解题关键是熟练运用性质解决问题． 24．（25-26九年级上·河南洛阳·期末）如图，中，，，，点D、E分别是、边上的动点，折叠得到，且点落在边上，若恰好与相似，的长为 ____________________ ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠问题，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设，则，由折叠的性质得，分两种情况：分为和两种情况，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，即可解决问题． 【详解】解：设， ∴， ∵折叠得到， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∴长是或． 故答案为：或． 题型9 一线三等角型相似（共3小题） 【易错】同一直线上存在三个相等角，推导得到两组等角，AA 证相似。三个角未必是直角；动点题型要分类讨论，极易漏掉其中一种情况。 25．（26-27九年级上·山东菏泽·期中）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）作辅助线构造平行线，可得，，，再根据三角形外角的性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． （2）略 （3）解：连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 26．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ∵，， ∴， ∴． (3) ∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 27．（25-26九年级上·广西柳州·期中）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 题型10 手拉手型相似（共3小题） 【易错】共顶点顶角相等，夹边对应成比例。顶角同加减得到夹角相等，SAS 证相似；分清手拉手相似与全等，全等要求对应边长完全相等。 28．（25-26九年级上·广东佛山·期中）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 【答案】(1) 解：，理由如下： ∵四边形，为正方形 ，， ， 在与中 ， ； (2) ①解：，理由如下： 连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， 同理，在中， 四边形为正方形， ， ， ，即； ② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可； （2）①连接，在中，由勾股定理得到，同理，，然后证明，即可求解； ②先求出，然后在中，运用勾股定理求解； （3）连接，先证明，再证明，然后由勾股定理求解得到，同理，则，那么，，，最后在中，由勾股定理建立方程 ，再解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②， 在中，； （3）解：如图，连接， ∵四边形和均为矩形， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 在中，， 解得或（舍） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点． 29．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）综合与实践 “手拉手”模型是初中几何图形的一种全等变形的重要模型，可以借助旋转和全等形的相关知识结合勾股定理等，来解决有关线段的长、角的度数等问题，在学习和生活中应用广泛，有着十分重要的地位和作用． 某校数学活动小组进行了有关旋转的系列探究： 如图①，已知和均是等腰直角三角形，，且，，易证：，． 深入探究： （1）如图②，将图①中绕点A逆时针旋转，连接、，并延长分别与、相交于点、，求证：，． 解决问题： （2）如图③，将图①中绕点逆时针旋转，使与重合，其他条件不变，若，，则_______，_______． 拓展应用： （3）如图④，将图①中绕点逆时针旋转，连接、，若，，，则______，______．（提示：求时，可过点作于点） 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． （2），； （3）， 【分析】（1）只需要利用SAS证明即可得到，，再证，即可推出即可证明，． （2）同理可证△ABD≌△ACE，则CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3，可以推出BE=6利用勾股定理求出，证明△AEC∽△FEB，求出，则； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H，求出，则，利用勾股定理即可求出；求出，证明∠CBE=90°，则，同理可证△ACE≌△ABD，则． 【详解】（1）略 （2）同理可证△ABD≌△ACE， ∴CE=BD，∠ACE=∠ABD，AE=AD=3， ∴BE=6 ∵∠BAD=90°，AD=3，AB=6， ∴， 又∵∠AEC=∠BEF， ∴△AEC∽△FEB， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点E作EH⊥AB于H， ∵∠ABE=45°， ∴∠HEB=45°=∠HBE， ∴BH=EH， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°，， ∴∠CBE=90°， ∴， 同理可证△ACE≌△ABD， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟练掌握全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 30．（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期中）某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放．连接，，延长交于点，连接，保持不动，将绕点旋转． 【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请写出，，之间的数量关系并加以证明： 【深入探究】（2）如图1，当点，不重合时，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接，，延长交于点，连接，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图，在中，若．连接，、延长交于点，连接，请直接写出，，之间的数量关系：________． 【答案】（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质； （1）证即可求解； （2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解； （3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解； （4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 题型11 动态相似（共3小题） 【易错】点在线段上运动，特定时刻两三角形相似。设动点时间 t，分类讨论顶点对应关系列比例；这类题常有多解，很容易漏掉其中一组解。 31．（26-27九年级上·全国·期中）如图，在正方形中，E是的中点，M，N分别是和边上的动点，连接，，已知，当______时，与以M，N，D为顶点的三角形相似． 【答案】2或1 【分析】与以M，N，D为顶点的三角形相似，分两种情况讨论：①与是对应边时，②与是对应边时，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：是的中点，， ． 又与以M，N，D为顶点的三角形相似： ①与是对应边时，， ，即，解得（负值舍去）； ②与是对应边时，， ，即，解得． 综上所述，当为2或1时，与以M，N，D为顶点的三角形相似． 32．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以的速度向点匀速运动，运动时间为，连接、、．当时，求的值． 【答案】 【分析】过点作于点，设、交于点．证明，得到，，；证明，得到，列式计算即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，设、交于点． 在中，，，， ． 由题意，得，． ，， ， ，即， ，， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ，解得（舍去）或， 故的值为． 33．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图1，在中，，．动点从点出发，沿方向以1的速度运动；同时，动点从点出发，沿方向以3的速度运动．当点到达终点时，点也停止运动．设动点运动的时间为，的长为，与的函数关系如图2所示，其中点为图象最低点．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________； (2)当以，，为顶点的三角形与相似时，_________． (3)求出图2中，的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)， 【分析】（1）由图2中关键点和可知，； （2）以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况分别进行讨论，再根据相似三角形对应边成比例建立方程，解方程即可； （3）在中，根据勾股定理表示出，再由图像可知：当时取最小值，即可求解，的值． 【详解】（1）解：由图2中关键点和可知： 当时，点从点出发，点从点出发， ∴，， 当时，点到达终点， ∴； （2）以，，为顶点的三角形与相似，则分两种情况： 情况一： 此时， ∴，即， 解得， 情况二 此时， ∴，即， 解得， 综上可得，当以，，为顶点的三角形与相似时，或； （3）∵在中，有， ∴， 由图像可知：当时取最小值，最小值为， ∴点的坐标对应当时取最小值， ∴，． 题型12 k字型相似（共3小题） 【易错】一线上三个直角，左右两个直角三角形互余等角，AA 相似。属于一线三等角特例；斜置图形要主动作垂线构造 K 型，识别模型。 34．（26-27九年级上·湖南永州·期中）如图，边长为的正方形中，有一个小正方形，其中E、F、G分别在、、上，若，则小正方形的面积等于(     ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在正方形中，由，可得的长；再由“一线三等角”，证得，从而推得；由相似三角形的性质，可得的长，从而根据勾股定理可得的值，进而求出小正方形的面积． 【详解】解：正方形的边长为，， ， 四边形和均为正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ∴在中，， ∴． 35．（26-27九年级上·浙江金华·期中）在矩形中，点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P、H分别为、的中点时，求与的数量关系． 【答案】(1)证明：如图，四边形是矩形， ∴， ， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴， ∴， ， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形与折叠的性质，确定两组角相等，进而证明相似； （2）设，利用勾股定理列方程，求出，则，再利用相似三角形对应边成比例，求出，即可得解； （3）延长、交于M点，连接，设，证明，推出，再利用勾股定理求出，，再证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵P为的中点， ∴， ∵折叠， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 如图，延长、交于M点，连接， ∵点E、F分别在边、上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上， ∴垂直平分， ∴， ∵P为中点， ∴设， ∴， ∵H为中点 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ，即， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 36．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时绘出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角”模型，如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是________________； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，则__________． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得、，进而证明，然后利用全等三角形的性质即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，利用相似三角形的性质列比例式可求得，则，然后运用三角形的面积公式求解即可； （3）如图：过点N作于点M，证明得出，证明，设，则，代入比例式可得，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． ∴、， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∴． （3）解：如图：过点N作于点M， ∵，， ∴， ∴，即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴， ∴． 题型13 关系型相似（如倒数型、系数型）（共3小题） 【易错】由相似推导线段倒数或倍数关系式。先证三角形相似，转化比例变形得到等式；难点是代数变形，容易在分式换算时出现计算失误。 37．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ (2)①；② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到； （2）①证明，即可得到答案；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；即． ②在中，∵，，， ∴， 由①得四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴ 38．（2026·山东临沂·一模）已知中，，D是的中点，E是上一动点，将沿折叠使点B落在点F处． (1)如图1，当且点F落在点A的位置时，和的关系是_______； (2)如图2，当点E为的中点时，观察发现点F落在上，连接，猜想和有什么位置关系？并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长度； (4)如图3，若，F在上，，直接写出的值．（结果用含k的代数式表示） 【答案】(1)且 (2)，见解析 (3) (4) 【分析】（1）由折叠的性质可得，易证；进而证明，推出，结合点D是的中点，即可得出结论； （2）先证明是的中位线，得到，由折叠的性质可得，即可得出结论； （3）由（2）知是的中位线，求出，，，设，则，利用勾股定理求出，证明，即可求解； （4）由折叠的性质得，证明，从而证明，推出点E是的中点，再证明，得到，根据，求出，，即可求解． 【详解】（1）解：将沿折叠使点B落在点F处，且点F落在点A的位置， ∴， ∵，即， ∴； ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴，即； （2）解：猜想，理由： ∵点D是的中点，点E为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； （3）解：由（2）知是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵点D是的中点，点E为的中点，， ∴，， ∵，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； （4）解：由折叠的性质得， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 39．（2026·四川眉山·中考真题）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接， ，与 交于点F．         (1)【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与的数量关系，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． (3)【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】(1) ，理由如下： 由旋转得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ； (2) (3) 【分析】（1）证明即可得证； （2）先由勾股定理求解，然后根据等腰直角三角形求解，再证明得到即可； （3）证明即可得到，则，从而得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ∴ ∴， 在 中， ， ∴， ∴， 同理可求 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 解得； （3）解：由（1）可得， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 题型14 角平分线型相似（共3小题） 【易错】角平分线分出等角，搭配另一组等角构造相似三角形。用等角条件 AA 证明相似；注意区分角平分线定理和相似结论，不要混用两个公式。 40．（2026·吉林长春·模拟预测）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 证明角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作．交的延长线于E．… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： (2)结论应用：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是_________； (3)如图4，已知四边形，，，，，对角线相交于点E，则的周长是_________． 【答案】(1)∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）先推导出，，得到，求出，再根据平行线，得到，即可解答． （2）由勾股定理，得到，根据角平分线定理，得，求出，再根据勾股定理，求出，进而根据三角形的周长公式求解即可． （3）先推导出点A、B、C、D四点共圆，且为圆的直径，得到，即平分，再由角平分线定理，得到，求出过点A作于点F，根据三角形的面积求出，继而根据勾股定理，求出， ，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，，， 由勾股定理：， 平分， ∴根据角平分线定理，得， ∴， 在中，， 的周长：； （3）解：， ∴，四边形对角互补，点A、B、C、D四点共圆，且为圆的直径，如图， ， ∴， ∴，即平分， 在中，由角平分线定理，得 ， ∴， 过点A作于点F，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 41．（2026·湖南益阳·二模）如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，． （1）若，，则______； （2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号） ①若，则； ②若，则； ③若，，则． 【答案】 ①② 【分析】（1）证明，推出，据此计算即可； （2）①先证明，据此计算即可求解；②利用平行线分线段成比例求解即可；③设，证明是等腰直角三角形，求得，，，证明，据此计算即可判断． 【详解】解：（1）记与交于点， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴，故①说法正确； ②∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，故②说法正确； ③∵，，， 设， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，故③说法错误； 综上，正确的有①②． 42．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，是的角平分线，点在上，交于点．若，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】在上截取，使，连接，根据是的角平分线，证得，从而推得，再结合证明，进而得，代入相关数值即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ∴的长为． 题型15 重心相关相似（共3小题） 【易错】三角形重心分中线 2:1，常结合平行线构造相似。利用重心线段比例解题；易错：记错重心分割比例，分不清重心、外心、内心性质。 43．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点．若四边形的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．连接，根据三角形重心的性质可知：在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接． ∵点是的重心，点是边的中点， ∴在上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的面积为，则的面积为，的面积为， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴的面积为， ∴的面积是． 故选：C． 44．（25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质． 已知，点O是重心． 【探究】 （1）如图1，若的面积为m，则___________，___________； （2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由． 【应用】 （3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积． （4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）， （2），，，理由： 由（1）知三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 则， ∵两个三角形高相等， ∴， ∴， 同理可得：，； （3）12（4）72 【分析】本题主要考查三角形重心的性质，三角形中线与三角形面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）设，，，根据题意可得，，即可得到,三条中线分成的六个三角形面积相等，从而可得到答案； （2）由（1）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出，同理可得，； （3）求出，，根据可求解； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，从而可求出面积的最大值． 【详解】解：（1）设，，， ∵是的中点， ∴， ∵，，， 同理：，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， ∴，； 故答案为：；； （2）略 （3）∵点O是重心， 由（1）、（2）可知：，， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ， 则，         ∴； （4）设交于重心，则，, 当时，面积最大，最大为, ∴的最大面积． 45．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）【探究课题】三角形重心性质的探究． 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一个三角架从重心O处将三角形平稳支撑起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ (1)【解决问题】若的面积为6，______，______． (2)【解决问题】求的值． (3)【拓展应用】如图2，在中，点是的重心，连接，并延长，分别交边，于点，．若，，，直接利用上面的结论，求四边形的面积． 【答案】(1)3；6 (2) (3)4 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出答案； （2）根据，即可得出答案； （3）点是的重心，类比（1），（2）可知，，，求得，，，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，，， ， ； （2）解：∵，， ∴． （3）解：点为的重心，类比（1），（2）可知，，， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴，， 则， ∴． 提升·进阶突破 题型16 相似三角形的模型进阶练（共10小题） 46．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，直线，已知（     ） A．3 B．12 C．6 D．9 【答案】D 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在矩形纸片中，点在边上，连接，点在线段上，且，折叠矩形纸片使点恰好落在点处，折痕为，若，则折痕的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造辅助线充分利用的条件，再结合利用相似三角形列方程． 【详解】 过点F作，交、于点M、N， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由可得四边形为矩形， ∴， ∴，， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，解得， ∴在中，由勾股定理得，即． 48．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明做了一个风筝支架，可抽象成如图所示的示意图，已知，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的长，证明得到，据此代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴． 49．（26-27九年级上·全国·单元测试）如图，将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得，由勾股定理求得，再证明，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由折叠知， 在矩形，， ， ． ∵， ，， ． 又， ， ∴， ． 50．（26-27九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，点为上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则________． 【答案】 【分析】设，根据平行四边形的性质以及三角形的面积公式推出，，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出，即可求解． 【详解】解：设， 在平行四边形中，点为上一点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 51．（26-27九年级上·上海闵行·期中）如图，已知，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由 可得对应线段成比例，即 ，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴． 52．（26-27九年级上·四川达州·期中）如图，在矩形中，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．已知，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用三角形中位线定理求出及的长，再通过两组相似三角形和分别求出和的长，最后相加即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， 在矩形中，，， 为中点， ， 在中，， 为中点，， 为的中位线， ， ∵，， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 53．（26-27九年级上·上海·期中）如图，在中，，是边上的高，，，则等于_____． 【答案】 【分析】利用直角三角形斜边上的高将原三角形分为两个相似三角形，通过对应边成比例建立等式求解． 【详解】解： ∵是边上的高 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∴． 54．（26-27九年级上·上海虹口·期中）已知中，，的平分线交于点（如图）；点在边的延长线上，过点作，交边于点，连接． (1)如果，求证：； (2)如果，求证：； (3)如果四边形是菱形，求证：． 【答案】(1)证明：， 四边形是平行四边形， ， ，平分， 是中点， 又，即， 由平行线分线段成比例定理，，， 是中点，，， ，即为中点 是的中位线 ， ， ． (2)证明：取中点，连接． 是中点，是中点， 是的中位线， ， ，为中点， ， 已知，所以， ， ， 平分， ， ， ， ， （等角对等边）， ， ，即是中点． 是中点，是中点， 是的中位线， ，即． (3)证明： 四边形是菱形，， 由第 (1) 问结论：， ， ，平分， ，即，是直角三角形． 取斜边的中点，连接． 中，是斜边中点， ． 又， ． 是等边三角形． ． 在中，， ． 【分析】（1）由两组对边平行证四边形 是平行四边形得到，利用等腰三角形三线合一得到 是 中点，结合得到 是中位线，，等量代换证得． （2）取 中点，构造中位线，结合、平行线与角平分线推出，得到 是 中点， 为中位线，得到，即． （3）由菱形性质得，结合 (1) 结论，得；利用等腰三角形三线合一证，得到是直角三角形。取中点，连接，由直角三角形斜边中线定理得，推出，为等边三角形，，再由直角三角形两锐角互余算出． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 55．（26-27九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在正方形中，，点在边上，，与对角线相交于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，即． ∴，， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）先利用正方形和平行线的性质证明，再利用相似三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）结合已知条件可得，再利用正方形的性质、勾股定理可得，进而完成解答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得 ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 拔高·压轴破难 题型17 相似三角形的模型压轴练（共10小题） 56．（26-27九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点在边上，且．点在边上，且，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形外角性质结合已知条件证得，结合证明，利用相似三角形对应边成比例求出的长，进而求得． 【详解】解：∵， ， ，，且， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 57．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 58．（26-27九年级上·河南南阳·期中）如图，中，为对角线上一点，过点的直线分别交边，于点，交射线于点．若，则的值为___________． 【答案】 10 【分析】根据平行四边形的性质，可得，再由平行线分线段成比例可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 59．（26-27九年级上·河南郑州·期中）如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点D的坐标是__________． 【答案】 【分析】由平移性质及判定四边形为矩形，得出及；构造一线三直角模型，证明，利用相似比求出和的长，结合点坐标即可求解． 【详解】解：过点作轴于点 线段平移得到线段 ， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 ， ， ， 在中， 轴 即 ， 点在第四象限 点的横坐标为 点坐标为，点在点下方 点的纵坐标为 点的坐标是． 60．（26-27九年级上·山东青岛·期中）如图，矩形中，，，E为的中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，则的长是______． 【答案】 【分析】连接，由折叠得，证平分；推导，证明求出，再在中勾股计算． 【详解】解：连接． 四边形为矩形， ，，． 为中点， ． 由翻折知，， ，，． ，，． 平分， ． ，， ． ， ， ， ． ． 又， ． ． 在中， ． ，解得． 在中， ， ， ． 61．（26-27九年级上·上海·期中）中，，是边上的高且，分别是边上的点，是上的点，连接，交于．若四边形是正方形，则的长__________． 【答案】 【分析】先证明与相似，列出两个相似三角形的边长比例等式，即可求出正方形边长，也就是的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设， ∴原等式为，解得， ∴正方形边长为， 即的长度为． 62．（26-27九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，点E的运动速度为．若D，E两点同时出发，则当以A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为__________． 【答案】或 【分析】设运动时间为，用表示、的长度；为公共角，分两组相似对应情况列比例方程求解． 【详解】解：设运动时间为． 由题意得，， 则． 是公共角，分两种情况讨论： ①当时， 解得． ②当时， ， ， 解得． 综上所述，当运动时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 63．（26-27九年级上·湖南永州·期中）解答下列问题 (1)如图①，中，点为边的中点，过点作交边于点，点在边上，直线交于点，交于点．若，，则______． (2)如图②，中，点在的延长线上，直线交于点交于点．求证：； (3)如图③，中，，，，若分别是边的中点，连接，点是边上任意一点，连接分别交于点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)证明：四边形是平行四边形， ，， ，，，， ， ， ，， ， ， ； (3) 【分析】（1）连接，交于点，通过证明，得到是的中位线，是的中点，根据，得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，进而根据对应线段成比例和等量代换即可得到答案； （3）以所在直线为对称轴作点的对称点，连接、连接交于点，通过证明为的中位线，得到，连接，即当三点共线时，此时周长最小，根据勾股定理和的直角三角形的性质得到，进而得到周长最小值． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， 是的中点， ， 是的中位线，是的中点， ， ， ， ， ； （2）略； （3）解：如图，以所在直线为对称轴作点的对称点，连接、连接交于点， ， ，且分别是边的中点， 由（1）可知，是的中点， 为的中位线， ， ， ， 连接，即当三点共线时，此时与的交点形成的的周长最小， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，， 的最小值为：． 64．（26-27九年级上·辽宁丹东·期中）已知，连接，，． (1)如图①，将沿折叠，点A的对应点落在点M处，交于点P． ①求证：； ②求的面积； (2)若点E在边上，如图②，作交于点F，将沿折叠，使点A的对应点N落在边上，求的长． 【答案】(1)①证明：由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①证明即可； ②过点作于点，过点作于点，证明求解，再由勾股定理求解，即可求解面积； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点,先由勾股定理求解，然后由面积法求解，即可通过勾股定理求解，然后证明，，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①略 ②由， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，则，    ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴     ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，    由翻折的性质得， ∵ ∴ 同（1）可得， ∴， ∴， 即， 得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 65．（26-27九年级上·上海·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（） 【初步感知】 (1)如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，求的值； 【深入探究】 (2)如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 (3)在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，构成以为直角边的直角三角形时，直接写出线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似得，即可得出答案； （2）先延长交于点H，连接交于点M，由（1）得，即可得出，再根据“角边角”证明，即可说明四边形是矩形，可得，然后说明，可得，接下来证明，可得，最后根据勾股定理求出，进而得出答案； （3）当时，作，作，可得四边形是矩形，再设，再说明，可表示出，然后根据勾股定理求出答案； 当时，作，可得四边形是矩形，再根据勾股定理求出． 【详解】（1）解：∵， 根据勾股定理得， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：如图所示，延长交于点H，连接交于点M， 由（1）得， ∴． ∵是的中线，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ∴； （3）解：如图，当时，过点B作于点Q，过点D作于点P，则， ∴四边形是矩形， ∴． 设， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得（负值舍去）， 所以； ②如图所示，，过点B作于点Q，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $