精品解析：广东深圳市2026—2027学年第一学期九年级数学期中试题

深圳市2026 — 2027学年第一学期学科素养期中诊断九年级数学（第一单元 ～ 第三单元） 全卷共5页，满分100分，考试时长90分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 正方形具有而矩形不具有的性质是（　　） A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形、矩形的性质即可判断． 【详解】解：因为正方形的对角相等，对角线相等、垂直、且互相平分，矩形的对角相等，对角线相等，互相平分， 所以正方形具有而矩形不具有的性质是对角线互相垂直． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的性质等知识，记住正方形、矩形的性质是解题的关键． 2. 如图，菱形的边长为10，对角线，点、分别是边、的中点连接并延长与的延长线相交于点，则长为（ ） A. 13 B. 10 C. 5 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．如图所示，连接交于O，利用菱形的性质和勾股定理先求出，再证明是的中位线，得到，进而证明四边形是平行四边形，则． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形，且边长为10， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选D． 3. 如图， 在中，， D为的中点， ， ，则四边形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线的性质得出得出四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵D为的中点， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∴菱形的周长为， 故选：D． 4. 若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 5. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，需熟练掌握化简步骤，确保方程为标准形式． 将原方程通过去括号、移项和合并同类项化为一般形式． 【详解】解：∵原方程为， 去括号：， 合并同类项：， 移项：， 乘以（使二次项系数为正）：， ∴一般形式为， 故选：C． 6. 如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是相似三角形的判定和勾股定理，首先根据小正方形的长为1，利用勾股定理求出每个阴影部分的边长，然后用三边对应成比例的两三角形相似来判定，掌握利用勾股定理求出三边，然后利用三边对应成比例来判定两个三角形相似是解决此题的关键． 【详解】由图中各正方形的边长均为，根据勾股定理，可得出 ①图中阴影三角形的边长分别为：，，； ②图中阴影三角形的边长分别为：，，； ③图中阴影三角形的边长分别为：，，； ④图中阴影三角形的边长分别为：，，； 可以得出①②两个阴影三角形的边长比， 图①②两个阴影三角形相似； 故答案为：A. 7. 两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（），光屏在距小孔处，小宇测得蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图像，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列比例式即可求出光屏上火焰所成像的高度． 【详解】解：如图，设蜡烛的高度为线段，蜡烛的像为，于C，于，则，． 由题知， ， ， ， ， 解得， 即光屏上火焰所成像的高度为． 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题．熟练掌握这一性质是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，点E、F、G、H分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点A、点B重合于点M．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点C、点D重合于点N．若，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和折叠的性质得，再根据“角边角”证明，可得，然后设，可得，接下来说明，可得，最后解方程得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵将分别沿着折叠，折叠后点A，点B重合于点M， ∴， ∴． 同理，得， ∴． ∵， ∴． ∵， 同理，得． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立，得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，根据矩形翻折性质得到，，进而求出的长，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵是翻折得到的， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为3． 10. 按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 11. 如图，在长为，宽为的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为______． 【答案】27 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 设留下的矩形的宽为x，则长为，再根据相似多边形的性质求得x的值，然后运用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：设留下的矩形的宽为x，则长为， ∵留下的矩形与原矩形相似， ∴，解得：． ∴留下的矩形面积为． 故答案为：27． 12. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数为几．日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制数，而计算机程序处理中使用的是只有0和1的二进制数．例如：，，，．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． 根据题意，可得关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判断和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 设，则，设，则，，证明，得出比例线段求出，从而可求得求出，再证明得到，进而得到，，再推出，进而得解． 【详解】解：设，则，设，则， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 解得， 设与交于点， 由全等可知， ， ，， ， ， ， ∴， ， ， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法和公式法解一元二次方程成为解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 或， 解得：，； 【小问2详解】 即 或 解得，． 15. 已知关于的方程． （1）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； （2）若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 【答案】（1） （2）等腰三角形的周长为或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的意义，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）利用公式法进行求解一元二次方程，得出，，再利用两根异号，且正根的绝对值较大，得出，即可求解； （2）当边长为3的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得m的值，再解方程，确定出三边长；当边长为3的边为腰时，则可知方程有一个根为3，代入可求得m的值，则可求得方程的另一根，进而求得周长，注意根据三角形的三边关系定理判断是否成立． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵两根异号，且正根的绝对值较大， ∴， ∴整数的值为； 【小问2详解】 解：①当为底边长时，， ， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为； ②当为腰长时，将代入原方程，得：， 解得：， 此时原方程为， 解得：． 、、能组成三角形， 三角形的周长为， 综上所述：等腰三角形的周长为或． 16. 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交于点E，连接，点D是的中点，连接并延长至点F，使． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则由三角形中位线定理可得，据此可证明四边形是平行四边形，再根据含30度角的直角三角形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半得，进而可证明四边形是菱形； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得，，进而可求、，再根据菱形的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 17. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． （1）求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； （2）3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】（1）第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个 （2）甲款头盔的单价上涨了5元 【解析】 【分析】（1）设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.，根据费用和为元建立一元一次方程求解； （2）设甲款头盔的单价上涨了元，根据题意建立一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第一批购入乙款头盔的数量为x个，则第一批购入甲款头盔的数量为个.， 由题意得， 解得， 则甲款头盔的数量为， 答：第一批购入甲款头盔350个，购入乙款头盔150个； 【小问2详解】 解：设甲款头盔的单价上涨了元， 由题意得，， 整理得，， 解得或， 由题意得，， ∴舍去， 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 18. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵正方形， ∴， 又， ∴， ∴； （2） 证明：∵正方形， ∴， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定． （1）证明，即可； （2）根据平行得到，再根据，即可得证． 掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 19. 探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （1）如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： （2）若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 【答案】（1）①； ②为定值，理由如下： 由题意可得：，，， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）①根据中心数的特点可得；②根据中心数的特点分别表示，，，再进一步求解即可； （2）先解方程，再结合中心数的特点可得答案． 【小问1详解】 解：①由题意可得：； ②略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得：，， ∵为九宫格的中心数， ∴不符合题意， ∴中心数为， ∴九宫格中最大的数为． 20. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且．则的值为___________． （2）如图2，在矩形中，，点是边上的一点，连接．当时，则的值为___________． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，求的长度； 【拓展延伸】 （4）如图4，在四边形中，，中，，点分别在边上，连接，且．求的值． 【答案】（1）1；（2；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据“”，易证，得，计算即可求解； （2）根据“”，易证，得，计算即可求解． （3）过点作，交的延长线于点，根据“”，易证，得，从而得，再根据“三个角是直角的四边形是矩形”判定四边形为矩形，求得和，最后利用三角函数，计算即可求解； （4）连接交于点，过点C作于点，根据“”，易证，得，从而垂直平分，进而，根据正切函数和面积相等，求出，，，，最后根据“”，易证，得，计算即可求解． 【详解】解：（1）1； 正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1； （2）； 矩形，， ，，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）（方法不唯一，正确即可得分） 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，， ， ， （4）连接交于点，过点C作于点， ， 和是直角三角形， ， ， ， 垂直平分， ， 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查矩形和正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，面积相等求线段长，解直角三角形等，正确掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市2026 — 2027学年第一学期学科素养期中诊断九年级数学（第一单元 ～ 第三单元） 全卷共5页，满分100分，考试时长90分钟． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 正方形具有而矩形不具有的性质是（　　） A. 对角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 2. 如图，菱形的边长为10，对角线，点、分别是边、的中点连接并延长与的延长线相交于点，则长为（ ） A. 13 B. 10 C. 5 D. 12 3. 如图， 在中，， D为的中点， ， ，则四边形的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 将一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如下图，各正方形的边长均为，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 7. 两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他们的做法是：在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小宇在学习了小孔成像的原理后，利用如图所示装置来观察小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔（），光屏在距小孔处，小宇测得蜡烛的火焰高度为，则光屏上火焰所成像的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，点E、F、G、H分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点A、点B重合于点M．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点C、点D重合于点N．若，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则 _____． 10. 按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 11. 如图，在长为，宽为的矩形中，截取一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，则留下的矩形面积为______． 12. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说：“逢几进一”就是几进制，几进制的基数为几．日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制数，而计算机程序处理中使用的是只有0和1的二进制数．例如：，，，．若，则________． 13. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形点分别在，上，满足，若，则_____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 解方程 （1） （2） 15. 已知关于的方程． （1）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值； （2）若等腰的一边长为，另两边的长恰好是方程的两个根，求的周长 16. 如图，在中，，，分别以A，C为圆心，大于线段一半的长为半径画弧，相交于M，N两点，过M，N作直线交于点E，连接，点D是的中点，连接并延长至点F，使． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 17. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”，某电动车用品批发店准备在2月和3月分两次购入甲、乙两款头盔．2月购入了第一批，购入甲款头盔的数量是购入乙款头盔数量的2倍还多50，甲、乙两种头盔的购入单价分别为40元和60元，共用去资金23000元． （1）求第一批购入甲、乙两款头盔的数量； （2）3月恰逢开学季，随着家长接送孩子，头盔需求量增加．甲款头盔单价有所上涨（涨价金额为正数，涨幅不超过）．批发店决定，若甲款头盔的单价每上涨1元，则购入数量就比第一批甲款头盔的数量减少2个．因乙款头盔单价与第一批相同，所以乙款头盔的购入数量在第一批乙款头盔数量的基础上增加，最终花费的总资金比第一批增加了3100元，求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 18. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接．求证： （1）； （2）． 19. 探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意框出的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 （1）如图，若九宫格的中心数为，四个角的数字分别是、、、． ①用含的式子表示； ②探究是否为定值，请证明： （2）若框选出的九宫格的中心数是方程的根，求九宫格中最大的数． 20. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，在正方形中，点分别是上的两点，连接，且．则的值为___________． （2）如图2，在矩形中，，点是边上的一点，连接．当时，则的值为___________． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，若，求的长度； 【拓展延伸】 （4）如图4，在四边形中，，中，，点分别在边上，连接，且．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $