精品解析：广东省广州市第七中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年（上）期中考试初三年级数学科试卷（问卷） （考试时间120分钟 满分120） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是对的．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （ ） A. B. C. D. 5. 有5人患了流感，经过两轮传染后，共有245人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 6. 如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 当时， 8. 如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 若抛物线（为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（ ） ①关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则a的范围为_______. 12. 已知和是一元二次方程的两个实数根，则______． 13. 已知点与点关于原点对称，则的值等于______． 14. 如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则_______． 15. 函数，当时，用去截取两个函数图象，并且与二次函数和一次函数分别交于和两个点，当时，则_____． 16. 如图，E是边长为3的等边内一动点，且满足，点E在内运动的过程中的最小值为______． 三、解答题：（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： 18. 如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． （1）在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； （2）在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求． 20. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，已知，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）D为抛物线的顶点，求的面积． 22. 一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． （1）求图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； （3）将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 23. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 24. 已知二次函数． （1）证明该二次函数过一定点． （2）当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． （3）过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 25. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． （1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________； （2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值； （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年（上）期中考试初三年级数学科试卷（问卷） （考试时间120分钟 满分120） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是对的．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟知二次函数图象平移的法则． 根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度， 得到的抛物线的函数表达式为：， 故选：D． 4. 如图，将绕点逆时针旋转，若点的对应点恰好落在线段的延长线上大小为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求解是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：， ． 故选：D． 5. 有5人患了流感，经过两轮传染后，共有245人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均每人传染了x个人，则第一轮新增感染人，第二轮新增感染人，根据经过两轮传染后，共有245人患了流感建立方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x个人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染了6个人， 故选：C． 6. 如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的运用以及翻折变换的性质，解题的关键在于作出辅助线利用数形结合解答．连接，过点O作于点，交于点，由折叠的性质得：，在中，利用勾股定理可得，再由垂径定理可知，从而求得答案． 【详解】解：连接，过点O作于点，交于点， 将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O， ， ， ， 在中，，， ， ， 故选：C． 7. 已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论不正确的是（ ） A. 图象开口向上 B. 图象的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，以及顶点坐标，据此可得答案． 【详解】解：将点代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，的值随值的增大而减小，离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴当时，， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意， 故选：D． 8. 如图，在中，点是的中点，垂直平分半径，，则该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，等边三角形的判定和性质，勾股定理等，连接，由线段垂直平分线的性质和弧弦圆心角的关系可得，即得和是等边三角形，可得，再利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵垂直平分半径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴和是等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，即圆的半径为， 故选：． 9. 若抛物线（为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（ ） ①关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、平移的性质等知识点依次对各结论进行分析判断即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）． ∴抛物线与x轴另一个交点在和之间（不包含和）， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， ∴，解得：，故②正确； ③∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故③正确； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：，即，故④错误； ⑤当时，，的值不一定是正值， 故⑤错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、二次函数函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B是直线上任意一点，连接，将线段绕点O顺时针旋转得到线段．点D是y轴上一个动点，连接，，．当的周长最小时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点B的坐标为（），先根据图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质，求得，求得点C在直线上，分别作点A关于y轴和直线的对称点和，根据轴对称的性质，进一步推得当点C，D都在线段上时，的周长最小，再求出直线的解析式，即可求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：分别过点B，C两点作轴于点G，轴于点H， ， ， 线段绕点O顺时针旋转得到线段， ，， ， ， ， ，， 当点B在第二象限时，设点B的坐标为（）， 则，， ，， ， 令， 消去m，得， 点C在直线上， 令，则， 所以直线与y轴的交点为， 令，则， 解得， 所以直线与x轴的交点为， ， ， ， 分别作点A关于y轴和直线的对称点和，连结，，， 则，，，，， ， ，， ， ， 的周长， 当点C，D都在线段上时，取得最小值，此时的周长最小，且点C即为直线与直线的交点， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得， 所以点C的坐标为． 故选：D． 【点睛】本题考查了几何最值问题，图形旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，求出动点的运动路径是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则a的范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据二次项系数非零可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知和是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 13. 已知点与点关于原点对称，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横，纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征列出关于a，b，k的方程组，进而求出的值． 【详解】∵点与点关于原点对称， ∴， 由，得， 将其代入，得， 整理得， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则_______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 点为劣弧的中点，， ， 为的直径， ， ， 故答案为：． 15. 函数，当时，用去截取两个函数图象，并且与二次函数和一次函数分别交于和两个点，当时，则_____． 【答案】0或1 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题． 本题先根据求出的取值范围，再根据列出关于的方程，最后求解方程得到的值． 【详解】解：已知，当时，可得：， ， 当时，，且， ， ，即，即． 解得或， 故答案为：0或1． 16. 如图，E是边长为3的等边内一动点，且满足，点E在内运动的过程中的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点C逆时针旋转得△，连接，求得，从而得出点在以等边的顶点O为圆心，半径为3的圆的（端点除外）上，连接交于G，当点E 在上时，此时最小，则，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，将绕点C逆时针旋转得△，连接， 由旋转可得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ， ， ， ， ∵E是边长为3的等边内一动点， 点在以等边的顶点O为圆心，半径为3的圆的（端点除外）上，如图， 连接交于G，当点E 在上时，此时最小，则， ∵， ∴垂直平分， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理及其逆定理，最短距离问题，旋转的性质．利用旋转变换作图，证明，从而得出点在以等边的顶点O为圆心，半径为3的圆的（端点除外）上是解题的关键． 三、解答题：（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程： 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再由因式分解法解方程即可． 【详解】解：原方程变形为：， 即：， 或， ∴，． 18. 如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影． （1）在①网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形； （2）在②网格图中涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形． 【答案】（1） 解：图形如图①所示（答案不唯一） （2） 解：图形如图②所示（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查作图——利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案； （1）如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，设计轴对称图形之前要确定对称轴，根据对称轴来画图即可，对称轴不同所设计的图案就不同，所以答案不唯一； （2）在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，设计中心对称图形之前要确定对称中心，对称中心不同所设计的图案就不同，所以答案不唯一. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等实数根时来确定参数的取值范围； （2）运用一元二次方程根与系数的关系，即一元二次方程的两根，，满足，，结合分式的运算来求解的值． 【小问1详解】 解：对于， ， 解得． 【小问2详解】 解：当时，方程为， 根据一元二次方程根与系数的关系，，， ． 20. 如图是小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度直尺在给定网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． （1）如图1，将绕点O逆时针旋转得，画出； （2）如图2，请画出的角平分线，交于点D． 【答案】（1） 如图1，即为所作； （2） 如图，射线即为所作. 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换，角平分线的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先连接、、，再将、、分别旋转得到、、，最后依次连接、、，即可求解； （2）先过O点作，交于D点，作射线，则射线即为的角平分线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，已知，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）D为抛物线的顶点，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）依据题意，根据直线经过B、C两点，可以求得直线的解析式，根据抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C和点B、点C的坐标可以求得抛物线的解析式； （2）依据题意，结合（1）将抛物线化为顶点式，即可得到点D的坐标，再根据题意和图形，可知的面积的面积的面积，然后求出的长度，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：由题意，∵直线经过B、C两点，且点B的坐标为，点C的坐标为， ∴． ∴． ∴直线的解析式是． 又∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为， ∴． ∴． ∴抛物线为． 【小问2详解】 解：由题意，结合（1）， ∴该抛物线顶点D的坐标为． 设直线与抛物线对称轴交于点E， ∵点D的坐标为， ∴点E的横坐标为． ∴将代入直线，得， ∴， ∴的面积是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 一天放学后，妈妈带淇淇到面馆吃面，爱思考的淇淇仔细观察盛面汤的碗，发现汤碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），是抛物线的顶点，碗底高，碗口宽，与碗底宽平行．当碗中装满面汤时，面汤的最大深度．以为原点，水平线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． （1）求图2中抛物线的解析式； （2）喝掉部分面汤后，汤的表面（后面简称“汤面”）下降了至处，求此时汤面的长； （3）将面汤碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，求此时汤面的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，含度角的直角三角形的性质，待定系数法确定函数的解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）依题意，，，设抛物线解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解； （3）作出线段，设与轴的交点为．由（1）知，，进而求得，得出直线的解析式为．联立抛物线解析式，进而求得，进而根据勾股定理求两点距离，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，， 设抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵汤面下降了 ∴此时汤面与碗底距离为，即． 令， 解得（舍去）， ∴汤面的宽度为． 【小问3详解】 ∵ ∴． 如解图，作出线段，设与轴的交点为． 由（1）知，， ∴． ∵， ∵ ∴， ∴． 设直线的解析式为．将分别代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 令， 解得或 （舍去） ∴， ∴． 23. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：点F为弦的中点， ， 是的垂直平分线， （2） ①证明：点F为弦的中点， ， ， 又是的直径， ， ， ， ， 由得， 是等腰三角形， 点F为的中点， 平分， ， 的半径为 【解析】 【分析】由垂径定理得出，则是的垂直平分线，则可得出结论； ① 证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质得出结论； ②连接，则，求出设的半径为r，则，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ① ②解：连接，则，如图所示， ， ， 由①得， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， 整理得， 解得，不符合题意，舍去， 的半径为 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键． 24. 已知二次函数． （1）证明该二次函数过一定点． （2）当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． （3）过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】（1） 函数与轴的交点为， ∴函数必过点； （2）的范围为； （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． 【小问3详解】 解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 25. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”． （1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________； （2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值； （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，此时；当时，此时． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可； （2）由旋转的性质可得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解； （3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，然后由题意可根据图象来进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得： 通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能绕点A进行旋转得到； 故答案为； （2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正半轴上时，如图所示： 设与y轴的交点为D，连接，易得轴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点A在y轴的正半轴上时，如图所示： 同理可得此时的， ∴； （3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的运动轨迹，如图所示： 由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径， ∴， ∴， ∴； 由以上情况可知当点三点共线时，OA的值为最大，最大值为2，如图所示： 连接，过点作于点P， ∴， 设，则有， ∴由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述：当时，此时；当时，此时． 【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $