第1章·勾股定理·期中综合复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年北师大版八年级数学上册

第1章·勾股定理·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理及其逆定理，能灵活运用勾股定理求线段长与证明 · 能解决折叠问题，利用折叠前后对应边相等结合勾股定理列方程 · 能将立体图形展开，求最短路径问题（蚂蚁爬行、缠绕等） · 理解勾股定理的多种证明方法（赵爽弦图、面积法），能求网格中三角形面积与高 · 能运用勾股定理解决实际问题（台风、旗杆、拉杆箱等） 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 勾股定理用于求线段长、证明平方关系、构造直角三角形 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，求斜边c 答案：c=10 解析：由勾股定理c====10。 ☆ 2.勾股定理与折叠问题 折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线 折叠问题常设未知数，利用勾股定理在直角三角形中列方程 矩形折叠：注意折叠后点的位置可能在矩形内部或外部，需分类讨论 折叠+角度：利用折叠前后角相等，结合三角形内角和求角度 概念辨析例题：矩形ABCD中，AB=8，BC=10，沿AE折叠使D落在BC上的F处，求DE 答案：DE=5 解析：由折叠知AF=AD=10，在Rt△ABF中BF=6，FC=4。设DE=x，则EF=x，EC=8-x，在Rt△EFC中用勾股定理求解。 ☆ 3.最短路径问题（展开图） 立体图形上两点最短路径：将立体图形侧面展开为平面，用两点之间线段最短 圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行路径用勾股定理求斜边 长方体表面最短路径：分三种展开方式，取最小值 缠绕问题：彩带绕侧面n圈时，展开图中水平距离为底面周长×n 概念辨析例题：圆柱高12cm，底面半径2cm，蚂蚁从下底A到上底相对B点，求最短路径 答案：约13.6cm 解析：展开图为矩形，高12cm，宽为底面半周长=2π，路径为斜边=≈13.6cm。 ☆ 4.勾股定理的证明与面积法 赵爽弦图：四个全等直角三角形围成大正方形，中间小正方形，利用面积关系证明 面积法：以直角三角形三边为边向外作正方形，两小正方形面积之和等于大正方形面积 网格中求三角形面积：用割补法（矩形面积减去周围直角三角形面积） 网格中求高：先用面积法求面积，再用面积=底×高÷2求高 概念辨析例题：3×3网格中△ABC三顶点在格点上，求点C到AB的距离 答案：根据面积法求解 解析：先用割补法求△ABC面积，再求AB长，由面积=×AB×高求高。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 勾股定理 a²+b²=c² 仅适用于直角三角形 逆定理 a²+b²=c²→直角三角形 先找最长边c 折叠问题 对应边相等+勾股定理列方程 注意点的位置分类讨论 最短路径 展开图+两点之间线段最短 长方体分三种展开取最小 面积法 S₁+S₂=S₃ 两小正方形面积和=大正方形面积 网格求高 面积=底×高÷2 先用割补法求面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理与折叠问题（第1-8题） · 折叠前后对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 矩形折叠注意点的位置可能在内部或外部，需分类讨论 · 折叠+角度：利用角相等结合三角形内角和 · 两次折叠：注意每次折叠的对应关系 1．（2026·河南·模拟预测）如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，．为射线上一点，把沿折叠，点落在直线上的点处，则的长为___________． 【答案】5或20 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，解题关键是正确识别图形，注意利用分类讨论的数学思想解决问题． 分两种情况进行讨论：①当点在线段上时；②当点在射线上时，分别画出图形，设，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：①当点在线段上时，如图1所示： 设， ， ， 由折叠可知：， ， ， ， 在中，， ， 解得：； ②当点在射线上时，如图2所示： 由折叠可知：， 设，则， ， ， ， 即， 解得：， ∴的长为5或20． 故答案为：5或20． 5．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在中，，，，点是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点，当为直角三角形时，_____． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】当时，根据等面积法得出，由勾股定理可求得，，然后继续利用勾股定理求解即可；当时，连接，延长交于点G，过点A作，然后证明，设，则，建立方程即可求解；根据题意得出，确定，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， 情况1：当时，如图所示， ∴， ∴即， 解得：， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，即； 情况2：当时，连接，延长交于点G，过点A作，如图所示， 由第一种情况得：， ∴， ∵折叠， ∴, ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即； ∵， ∴， 综上可得：或． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 【答案】(1)； (2) ①证明：∵和关于成轴对称， ∴， ∴，， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②的最大值为． 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）利用勾股定理和三角形的面积公式解答即可； （2）①利用轴对称的性质得到，，利用三角形的外角的性质和等式的性质解答即可； ②利用轴对称的性质和全等三角形的判定与性质得到，利用垂线段最短的性质得到当最小时，取得最大值，即点G与点D重合时，取得最小值为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）①略 ②解：∵， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时，取得最大值， ∵G为上一点， ∴点G与点D重合时，取得最小值为， ∴FG的最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理及其推论，垂线段最短的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 8．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，长方形，，点是线段上一动点（不与，重合），点是线段延长线上一动点，连接，，，交于点．设，，已知与之间的函数解析式如图2所示． (1)与之间的函数关系式 ，边的长为 ； (2)小黄认为：“的度数不会随着点的运动而发生变化”．你同意小黄的观点吗？请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) 同意，理由如下： ∵四边形是长方形，， ∴，，， ∵，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数不会随着点的运动而发生变化， ∴小黄的说法正确； (3)存在， 【知识点】一次函数与几何综合、等边对等角、利用勾股定理的逆定理求解、矩形性质理解 【分析】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出的长； （2）根据勾股定理定理表示出、、，再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数； （3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可； 【详解】（1）解：设与的函数表达式为，图像经过、， ∴， 解得：， ∴与的函数表达式为， 当时，得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数关系式，边的长为， 故答案为：；； （2）略． （3）设存在的值，使得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 在中，， ∴， 解得：， ∴存在，使得． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键． 【考点2】最短路径问题（展开图）（第9-17题） · 圆柱侧面展开为矩形，路径为矩形对角线 · 长方体表面最短路径分三种展开方式，取最小值 · 缠绕n圈时水平距离=底面周长×n · 木块遮挡问题：将路径分段计算 9．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，有一棱长为厘米的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需线绳的长至少为（     ）厘米． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】把经过的四个面按箭头方向依次展开到同一平面，用两点之间线段最短求最短绳长． 【详解】解：将正方体经过的四个面 、、、 按箭头方向依次展开到同一平面内， 展开后点 与点 之间的水平距离为 （厘米），竖直距离为 （厘米）， ∴最短绳长为 （厘米）， ∴所需线绳的长至少为 厘米， 故选：C． 10．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求展开图上两点折叠后的距离、最短路径问题、用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 【答案】D 【知识点】几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查平面展开—最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确利用立体图形中的最短距离、通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 将墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，米，点P到的距离是3米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：D． 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 14．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点．则，从而将的长度转化成求的长度，进而得出当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将点向右平移至点，使的长等于河宽米，将点向上平移至点，使的长等于河宽米，连接，，延长、交于点． 则， 由平移作图易得，，， 当、、、四点共线时，有最小值，即此时的路程最短为． 由题意得，米，米， 米，米， 米， 的最短距离为米． 15．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的直径是．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是______． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】如图把圆柱体展开，连接，根据题意可得，进而可由两点之间，线段最短可知的长． 【详解】解：把圆柱体展开，连接，如图所示，    ∵圆柱的高等于，底面上圆的周长等于， ∴， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是． 16．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据三种平面展开图，利用勾股定理计算的长度，再比较即可求解． 【详解】解：情况一：米，米， 米； 情况二：米，米， 米； 情况三：米，米， 米； ， 这根软管的最短长度是米． 17．（25-26八年级上·陕西西安·期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 【答案】 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设，则cm，由题可得，，cm，；利用勾股定理可得、，即可得到，再求解可得，即；从而得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：设，则cm， 由题可得，，cm，， ∴在中，，在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴拉杆把手离地面的距离为． 【考点3】勾股定理的证明与面积法（第18-26题） · 赵爽弦图：面积关系证明勾股定理 · 以三边为边作正方形，两小面积和=大面积 · 网格中用割补法求三角形面积 · 面积法求高：面积=底×高÷2 18．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，若，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．点为中点 【答案】C 【知识点】全等三角形综合问题、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】过点作，交延长线于点，延长交于点，点是延长线上的以点，证明，，进而依据“”判定和全等得，证明，进而依据“”判定和全等得，，则，证明和全等得点为中点． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理可得，即，故A正确； 过点作，交延长线于点，延长交于点，点是延长线上的点，如图所示： ， 四边形是正方形， ，，， 在中，， ，， 点，，共线， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，故B正确； ， 在中，， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ，， ， ，， 点为中点，故D正确； ， ，故C错误． 19．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理、图形的变化规律，根据勾股定理、正方形的面积公式得出所有正方形的面积和的变化规律是解题的关键．根据勾股定理求出， 再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【详解】解：， 图1中正方形的面积和为： ， 图2中所有正方形的面积和为： ， 图3中所有正方形面积和为： ， …… …… 图11中所有正方形的面积为． 故选：C 20．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 21．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题关键． 根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵空白部分的面积为， ∴， ， ， ， ， 阴影部分面积为 ， 故选：D． 22．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论： ． 过点作于点，延长交于点，则平分．若，则．其中错误的结论有(   )    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】全等三角形综合问题、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定；过点作交延长线于点，证明得出，进而得出；过点作交的延长线于点，过点作，证明，，进而得出，，根据，不能得出，，即可判断②；根据全等三角的性质得出，得出，同理解得，进而即可判断③． 【详解】解：如图所示，过点作交延长线于点，   ， ， 又，， ， ， ， 即，故①正确 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作   ， ， 又， ， 同理可证，， 若 ， ，则平分． 而，则， 不平分，故②错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得 ，故③正确 故错误的有1个，   故选：B． 23．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为________． 【答案】24 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明、完全平方公式与图形面积；先根据面积大小得出，再利用完全平方公式可得，利用平方根解方程可得，由此即可得． 【详解】解：五边形的面积等于一个边长为c的正方形的面积与两个直角边长分别为a、b的直角三角形的面积之和， 由勾股定理得：， 则五边形的面积为； 图中阴影部分的面积为， ∴图中空白部分的面积为， ∵图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 又∵， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为5， 五边形的周长为， 故答案为：24． 24．（24-25八年级上·四川成都·期中）构图法是解决数学问题的一种常见的方法．比如：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．可以先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．试运用构图法求的最小值为_____． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理和完全平方公式的应用，以及三角形三边关系的应用，根据完全平方公式可见已知化简为，进一步构造两直角边为和1的和两直角边为和5的，且点P在线段上，利用勾股定理和三角形三边关系找到最小值计算即可． 【详解】解： 则可构造两直角边为和1的和两直角边为和5的，且点P在线段上，如图， 则，， 连接，则， 即的最小值为线段的长， 过点B作，交的延长线于点E，则四边形是长方形，，， 在中，， 由勾股定理，得 那么，的最小值为， 故答案为∶ ． 25．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 【答案】证明：如图． 由两个全等的直角三角形，得． ， ， ， ， ． 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】先说明，由图形可知，然后运用三角形的面积公式化简整理即可证明结论． 【详解】证明：略． 26．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）在数学活动课上，小华同学将四个如图1所示的直角三角形纸片拼成了如图2所示的图形．小刘同学根据面积法得到了一个关于的三条边的等式，即．    请解决下列问题： (1)请你利用面积法，求证：； (2)如图3，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点，可得，求边上的高； (3)如图4，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，．由于某种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），新修一条最短的路．现测得千米，千米，千米，求最短的路的长． 【答案】(1) 证明：由题意知，，，． 因为， ∴，即； (2)边上的高为； (3)千米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所给图形的面积的不同表示方法得到勾股定理是解决本题的关键． （1）从整体和整体的组成分别得到各个图形中最大图形的面积，整理后可得勾股定理； （2）利用割补法和等积法求解即可； （3）过点作，设千米，则千米，在和中，利用勾股定理列式求得，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，过点作，    由网格图知，． 因为，所以， 解得，故边上的高为； （3）解：如图2，过点作，则．    由垂线段最短可知，即为最短的路． 设千米，则千米． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 所以，即， 解得，即千米， 所以（千米）． 【考点4】勾股定理与网格、动点最值（第27-35题） · 网格中用勾股定理求线段长 · 动点最值：利用对称转化为两点之间线段最短 · 角平分线+动点：作对称点求最短路径 · 全等+勾股：构造全等转化线段 27．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，，则，，从而可得，当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为，再结合轴对称的性质和勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图所示：作点D关于的对称点，作点G关于的对称点，连接，，， 则，， ∴， 当，E，F，在同一直线上时，的值最小，最小值为， 根据对称的性质可知：，，，，， ∴，， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 28．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】最短路径问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点B作，且使，点F与点A在的两侧，连接， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点F，E，A共线时，为最小，最小值是， 的最小值是 故选：B． 29．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 【答案】 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， ∵， ∴． 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， 的最小值为． 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作且使，连接，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 31．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为_________． 【答案】/ 【知识点】垂线段最短、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】延长交于，过点作，证明和全等，得，则，由得，则，进而得当面积的最大值，则的面积为最大，即为最大，根据“垂线段最短”得，即，由此得的最大值为5，此时与重合，即，然后由勾股定理求出，据此可得的长． 【详解】解：延长交于，过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴当面积的最大值，则的面积为最大， ， 根据“垂线段最短”得：，即， ∴的最大值为5， ∴的最大值为5， ∴面积最大为， 当面积的取最大值时，与重合，即， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积，垂线的性质，角平分线，熟练掌握三角形的面积，垂线的性质，角平分线是解决问题的关键，理解垂线段最短，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 32．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在等腰直角中，． (1)如图1，为等腰直角三角形，，求证：． (2)如图2，为内的一点，连接，，．若，，． ①求的度数． ②求的面积． 【答案】(1) 证明：是等腰直角三角形，， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ； (2)    【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】（1）由是等腰直角三角形可得，由为等腰直角三角形可得，由，可得，进而可得，于是可得，然后利用即可得出结论； （2）①作并使得，连接，，则为等腰直角三角形，由（1）得，由全等三角形的性质可得，，，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由勾股定理可得，在中，可得，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，，然后根据即可求出的度数；②由，可得，则，，三点共线，由勾股定理可得，，即，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，作并使得，连接，， 则为等腰直角三角形， 由（1）得：， ，，， ，， ， ， 在中， ，， ， 为直角三角形，， ； ②，， ， ，，三点共线， ， ， ，， ，即， ， 的面积为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 33．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个与全等，且顶点都在格点上的三角形．要求： (1)在图①中，所作三角形与只有一个公共顶点； (2)在图②中，所作三角形与只有一条公共边． 【答案】(1) 如下图三角形即为所求： (2) 如下图即为所求． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据勾股定理和作图即可； （2）根据勾股定理和作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 34．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) ∵，，， ∴； ， ∵，， ∴； (2) ．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； (3)21 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）根据两个三角形全等的判定定理得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ∵，， ，， ， ， （2）略 （3）解：延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：21． 35．（25-26八年级上·广东佛山·期末）   【问题背景】（1）如图1，点E是线段的中点，连接，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在中，，，点P为内一点，连接并延长至点Q，使得，连接．当时，请判断线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点D为中点，点M在线段上（点M不与点C，点D重合），连接，过点B作于点N，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵E为的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： 如图1，连接，    ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：， ∵，， ∴． （3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键： （1）证明，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，根据勾股定理结合等量变换，即可得出结论； （3）延长到H，使得，连接，延长交于点G，证明，得到，，再证明，得到，，进而求出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2，延长到H，使得，连接，延长交于点G，    ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 【考点5】勾股定理逆定理与实际应用（第36-43题） · 逆定理判断直角三角形：找最长边验证 · 实际问题：建立直角三角形模型，用勾股定理求解 · 台风影响问题：计算距离与风圈半径比较 · 测量高度问题：设未知数利用勾股定理列方程 36．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 根据“倍长三角形”的定义和直角三角形勾股定理，分三种倍长关系情况讨论，结合一边长为1，求解较长直角边的所有可能取值，共有5种不同值． 【详解】解：设较长直角边为 ，较短直角边为 ，斜边为 ，则 ，倍长关系有三种情况：；；； 又有一条边长为 1，分别讨论： 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，； 较长直角边可能为； 当，则， 若，则； 若，则； 若，则，， 较长直角边可能为； 当时，不符合三角形三边关系，不符合题意， 综上，较长直角边所有可能取值为 ，共 5 种． 故选：B． 37．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，， ，则的长为 _____ 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得过B作交的延长线于H，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：将沿折叠至所在平面内，得到，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过B作交的延长线于H， ， ， 设，则， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换(折叠问题)全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 38．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形，，分别是以的三边为一边的正方形，过点C作的垂线，交于点D，交于点G，连接，．则下列结论：①；②；③；④ ；⑤．正确的有________．（填序号） 【答案】①③④ 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，平行线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，平行线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据平行线的性质可得，根据勾股定理可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵四边形都是正方形， ∴， ∴，即， ∴，故①正确； ∴， 在正方形中，，则根据平行线间的距离都相等可知：的面积以为底，高就是线段， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 同理可得：， ∴，故③正确； ∵，且， ∴， ∴，故②错误； 在中，由勾股定理可得：，即， ∴，故④正确； ∵， ∴在中，由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∵， ∴，故⑤错误； 综上所述：正确的有①③④； 故答案为①③④． 39．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为__________． 【答案】72 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题 【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查了三角形中位线定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：72． 40．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点． (1)请在图中找出与相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） (2)已知，， ①当时，求的面积； ②连接，当为直角三角形时，求的长； ③当将分成的两部分的面积之比为时，请直接写出值． 【答案】(1) (2)①；②的值等于4或；③的值等于或． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）与为两个等腰三角形，得到，从而推算出从而证明； （2）①根据勾股定理算出，证明，根据相似比分别求出，计算出面积，再利用三角形的相似比计算出的面积； ②当时，证明得出计算出；当证明，根据相似比计算出． ③证明和，由推出，得到，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴； （2）解：①如图2，连接，在菱形中，与互相垂直平分， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 得， ∴． ∵， ∴， ∴； ②如下图所示, 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵ ∴． 如下图所示，当时，延长交于H， 设，则． ∵ ∴． ∵ ∴， ∴ ∴ 解得 ∵ 当时 ∴的情况不存在 综上所述，的值等于4或； ③∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上所述，的值等于或． 【点睛】本题考查菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形的相关知识． 41．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【答案】(1) 解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； (2)或或 (3)或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可； （2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； （3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可； 【详解】（1）略 （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 42．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,已知中，，，，求的长． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】过点作，垂足为，得到，设，则，在中,由勾股定理列方程求出，最后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作，垂足为． ， ． ． 设，则， 在中,由勾股定理,得， 即， 整理得， ，， 在中,由勾股定理得或， 的长为或． 43．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，中，，于点O，，． (1)则___________； (2)若点D是射线上的一个动点，作于点E，连接． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设延长线或线段交直线于点F，连接，若，则的长为 （直接写出结果） 【答案】(1) (2)①的长为2或②或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键． （1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长； （2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题； ②分两种情况： i）当D在线段上时，如图3，过B作于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得 ，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论； ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，同i）计算可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，； 故答案为：； （2）解：①分两种情况： i）当时，过O作于N，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ii）当时，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或； ②分两种情况： i）当D在线段上时，过B作于G，如图3所示： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，如图4所示： 同理得：， ∵， ∴， 同理得：是等腰三角形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记勾股定理公式，判断直角三角形先找最长边 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 最短路径问题先展开立体图形，再用两点之间线段最短 · 网格中求面积用割补法，求高用面积法 · 实际问题先建立直角三角形模型，再用勾股定理求解 【作业1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】根据平方和为零的性质，每一项必须为零，从而得出边的关系和角的关系． 本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理的逆定理，正确根据题目已知条件找到、、之间的关系即可判断三角形的形状，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质． 【详解】解：∵ ， ∴ 且 ， ∴ 即 ， 且 即 ， ∴ △ABC 是等腰三角形（）且直角三角形（）， 故为等腰直角三角形． 故选：D． 【作业2】．（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知， ，， 由勾股定理可得， （）． 【作业3】．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，则点到边的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】根据网格结构，利用勾股定理求出三角形各边长，利用割补法求出三角形面积，最后利用等面积法求出点到边的距离即可． 【详解】解：由网格图可知，，，． ． 设点到边的距离为， 则由面积公式得：， 即， 解得． 【作业4】．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】在上取一点，使得，连接，则，得到，因此，的最小值为的长．过点C作于点H，则当点与点H重合时，取得最小值，为的长．根据勾股定理求出，再利用的面积即可求解． 【详解】解：在上取一点，使得，连接，， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为的长． 过点C作于点H，则当点与点H重合时，取得最小值，为的长． ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为． 【作业5】．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知线段，，从，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么，，是某直角三角形三边的长度的概率是________． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、根据概率公式计算概率 【分析】分类讨论，根据勾股定理求得的值，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段a，b，c组成直角三角形时， 当为斜边时， 当为斜边时， ∴，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，，，是某直角三角形三边的长度的概率是． 【作业6】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，则________． 【答案】 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了构造全等三角形解决问题，解题关键在于辅助线的添加． 作，连接，延长交于点F，构造旋转全等，再结合勾股定理求解． 【详解】解：作，连接，延长交于点F ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，中，有， 解得：，∴， ， ∴在中，， 故答案为：． 【作业7】．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 【答案】 【知识点】负整数指数幂、用勾股定理解三角形 【分析】解题的关键是掌握从特殊到一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题．根据是边长为1的等腰直角三角形分别求出、、的面积，找出规律 即可． 【详解】解：∵是边长为1的等腰直角三角形， ∴第1个等腰三角形的面积：， ∴，； ∴第2个等腰三角形的面积：， 第3个等腰三角形的面积：， 以此类推，第n个等腰直角三角形的面积：， ∴第2026个等腰直角三角形的面积是． 【作业8】．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为_____． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、最短路径问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题以及平行线的性质，三角形三边关系，勾股定理，过点作得平行四边形，知，，作点关于对称点，连接，则，连接，当，，三点共线时，的值最小为，得到最小为，在中由勾股定理可得，从而可求出结论，熟练掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解: 过点作交于点，则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 作点关于对称点，连接，则，， ∴， ∴， 当，，三点共线时，的值最小，为， ∴的最小值为， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：. 【作业9】．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，，则的值为______． 【答案】25 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】过点C作于点D，先求出，进而求得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作交延长线于点D， 由题意可得：， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 【作业10】．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是_______． 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 【详解】解：如图作，使得．作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 【作业11】．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】首先利用网格结构和勾股定理计算出边的长度，然后利用割补法（即矩形面积减去周围三个直角三角形面积）计算出的面积，最后根据三角形面积公式求出边上的高． 【详解】解：由图可知，点A、B、C均在格点上，设边上的高为， 根据勾股定理得：， ， ， ， 解得：， 即边上的高是． 【作业12】．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕，其中，， (1)求证：． (2)你认为和相似吗？如果相似，给出证明，如果不相似，请说明理由． (3)如图（3），沿折叠，使点E落在上为点H，连结交于F，求（已知：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 【答案】(1) 证明：过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上， ∴， ∵矩形对边平行， ∴ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，， ∴； (2) 解：和相似； 证明：∵， ∴， ∵矩形纸片上下对折，折痕为， ∴， ∴即， 又∵， ∴； (3) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用折叠中重合的角相等以及直角三角形两锐角互余转化角的关系得出，利用两角分别相等的两个三角形相似即可求证； （2）利用上一个问题中的结论得出，利用等量代换与变形进一步得出，再利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求证； （3）先构造的中点，证明是等边三角形，再利用含的直角三角形的性质与勾股定理求出，得到，最后利用相似三角形得出即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：取的中点O，连结， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，∵， ∴， ∵，， ∴， 可得 在中，∴ 由勾股定理可得：∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，主要涉及全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是找到图中的等量关系和作辅助线构造相似三角形，本题属于压轴题，运用了数形结合与转化的思想方法． 【作业13】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1) 观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 【作业14】．（23-24八年级上·四川成都·期中）折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 【答案】（1）（2）①② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质得到 ，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （2）①根据折叠的性质得到，求得，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论； ②如图，根据全等三角形的判定和性质定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵将长方形纸片沿折叠， ， ∵ 解得 （2）①：将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2，    ∵， ∴， ∴， 有 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 【作业15】．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）八年级“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；②某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得绳子端点到地面 的距离为1米(即米)，到旗杆的距离为9米(如图)， 于点．根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】13米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】设米，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设米，根据题意得： 在中，， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为13米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章·勾股定理·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理及其逆定理，能灵活运用勾股定理求线段长与证明 · 能解决折叠问题，利用折叠前后对应边相等结合勾股定理列方程 · 能将立体图形展开，求最短路径问题（蚂蚁爬行、缠绕等） · 理解勾股定理的多种证明方法（赵爽弦图、面积法），能求网格中三角形面积与高 · 能运用勾股定理解决实际问题（台风、旗杆、拉杆箱等） 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c² 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25 勾股定理用于求线段长、证明平方关系、构造直角三角形 概念辨析例题：Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，b=8，求斜边c 答案：c=10 解析：由勾股定理c====10。 ☆ 2.勾股定理与折叠问题 折叠前后对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线 折叠问题常设未知数，利用勾股定理在直角三角形中列方程 矩形折叠：注意折叠后点的位置可能在矩形内部或外部，需分类讨论 折叠+角度：利用折叠前后角相等，结合三角形内角和求角度 概念辨析例题：矩形ABCD中，AB=8，BC=10，沿AE折叠使D落在BC上的F处，求DE 答案：DE=5 解析：由折叠知AF=AD=10，在Rt△ABF中BF=6，FC=4。设DE=x，则EF=x，EC=8-x，在Rt△EFC中用勾股定理求解。 ☆ 3.最短路径问题（展开图） 立体图形上两点最短路径：将立体图形侧面展开为平面，用两点之间线段最短 圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行路径用勾股定理求斜边 长方体表面最短路径：分三种展开方式，取最小值 缠绕问题：彩带绕侧面n圈时，展开图中水平距离为底面周长×n 概念辨析例题：圆柱高12cm，底面半径2cm，蚂蚁从下底A到上底相对B点，求最短路径 答案：约13.6cm 解析：展开图为矩形，高12cm，宽为底面半周长=2π，路径为斜边=≈13.6cm。 ☆ 4.勾股定理的证明与面积法 赵爽弦图：四个全等直角三角形围成大正方形，中间小正方形，利用面积关系证明 面积法：以直角三角形三边为边向外作正方形，两小正方形面积之和等于大正方形面积 网格中求三角形面积：用割补法（矩形面积减去周围直角三角形面积） 网格中求高：先用面积法求面积，再用面积=底×高÷2求高 概念辨析例题：3×3网格中△ABC三顶点在格点上，求点C到AB的距离 答案：根据面积法求解 解析：先用割补法求△ABC面积，再求AB长，由面积=×AB×高求高。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 勾股定理 a²+b²=c² 仅适用于直角三角形 逆定理 a²+b²=c²→直角三角形 先找最长边c 折叠问题 对应边相等+勾股定理列方程 注意点的位置分类讨论 最短路径 展开图+两点之间线段最短 长方体分三种展开取最小 面积法 S₁+S₂=S₃ 两小正方形面积和=大正方形面积 网格求高 面积=底×高÷2 先用割补法求面积 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理与折叠问题（第1-8题） · 折叠前后对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 矩形折叠注意点的位置可能在内部或外部，需分类讨论 · 折叠+角度：利用角相等结合三角形内角和 · 两次折叠：注意每次折叠的对应关系 1．（2026·河南·模拟预测）如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，．为射线上一点，把沿折叠，点落在直线上的点处，则的长为___________． 5．（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，在中，，，，点是上的一动点，将沿折叠得到，设与相交于点，当为直角三角形时，_____． 6．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，，是边上的高． (1)求的长； (2)①如图2，点E是线段上的一点（不包括点A和点D），和关于成轴对称，交边于点G．求证：； ②如图3，在①的条件下，直线交边于点H，求的最大值． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 8．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图1，长方形，，点是线段上一动点（不与，重合），点是线段延长线上一动点，连接，，，交于点．设，，已知与之间的函数解析式如图2所示． (1)与之间的函数关系式 ，边的长为 ； (2)小黄认为：“的度数不会随着点的运动而发生变化”．你同意小黄的观点吗？请说明理由． (3)是否存在的值，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【考点2】最短路径问题（展开图）（第9-17题） · 圆柱侧面展开为矩形，路径为矩形对角线 · 长方体表面最短路径分三种展开方式，取最小值 · 缠绕n圈时水平距离=底面周长×n · 木块遮挡问题：将路径分段计算 9．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，有一棱长为厘米的正方体盒子，现要按图中箭头所指方向从点到点拉一条线绳，使线绳经过、、、四个面，则所需线绳的长至少为（     ）厘米． A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一只小蚂蚁在墙面上的点P处，若米，米，点P到的距离是3米，蚂蚁从点P爬到点B的最短行程是（    ）（墙面与地面垂直） A．米 B．米 C．5米 D．米 12．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，某公园内有一条“型”景观水道，，水道的宽度为米，水道分为东西方向和南北方向两段．两个凉亭分别位于，两点，其中位于南北方向水道的西侧，位于东西方向水道的南侧，已知，两点在东西方向上的水平距离为米，在南北方向上的竖直距离为米．现要建造两座与水道垂直的景观桥和（桥长均为米），使得从处到处的游览路径最短，则最短路径的长为______米． 15．（25-26八年级下·云南昭通·期末）如图，一个圆柱的高是，底面圆的直径是．在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是______． 16．（25-26八年级下·广东阳江·期末）如图，某市某海鲜配送站有一个长方体保温箱，长米，宽米，高米．工作人员要从箱底的点沿箱体表面，拉一根保温软管到箱顶的点，用来输送冷气．则这根软管的最短长度是________米． 17．（25-26八年级上·陕西西安·期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，已知某种拉杆箱箱体长，拉杆最大伸长距离，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的处，点到地面的距离保持拉杆把手（大小忽略不计）的位置不变，当滚轮圆心位于点处时，拉杆全部缩进箱体（即），此时，过点作于点，延长交于点，点，，在同一条直线上，点，，在同一条直线上，，图中所有的点在同一平面内，求拉杆把手离地面的距离．（图中，） 【考点3】勾股定理的证明与面积法（第18-26题） · 赵爽弦图：面积关系证明勾股定理 · 以三边为边作正方形，两小面积和=大面积 · 网格中用割补法求三角形面积 · 面积法求高：面积=底×高÷2 18．（25-26八年级下·安徽六安·期末）如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，交于点，连接，若，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D．点为中点 19．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图1，在中，．以这个直角三角形的三边为边分别向外作正方形．图2由图1的两个小正方形分别向外作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边向外作正方形，…，按此规律，则图11中所有正方形的面积之和为（   ） A．400 B．350 C．300 D．250 20．（2026·浙江温州·三模）如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 21．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（   ） A． B．12 C．15 D．17 22．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论： ． 过点作于点，延长交于点，则平分．若，则．其中错误的结论有(   )    A．个 B．个 C．个 D．个 23．（25-26八年级上·重庆·阶段检测）勾股定理神秘而美妙，它的证明方法多样，其巧妙各有不同．用4个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放（直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为）．若图中空白部分的面积是13，五边形的面积是37，则五边形的周长为________． 24．（24-25八年级上·四川成都·期中）构图法是解决数学问题的一种常见的方法．比如：在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．可以先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需求的高，借用网格就能计算出它的面积．试运用构图法求的最小值为_____． 25．（25-26八年级下·北京昌平·期中）如图，两个全等的直角三角形与一个小直角梯形恰好拼成一个大直角梯形，请你利用此图证明勾股定理． 26．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）在数学活动课上，小华同学将四个如图1所示的直角三角形纸片拼成了如图2所示的图形．小刘同学根据面积法得到了一个关于的三条边的等式，即．    请解决下列问题： (1)请你利用面积法，求证：； (2)如图3，在的网格中，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点，可得，求边上的高； (3)如图4，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，．由于某种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点，，在一条直线上），新修一条最短的路．现测得千米，千米，千米，求最短的路的长． 【考点4】勾股定理与网格、动点最值（第27-35题） · 网格中用勾股定理求线段长 · 动点最值：利用对称转化为两点之间线段最短 · 角平分线+动点：作对称点求最短路径 · 全等+勾股：构造全等转化线段 27．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，E，F分别是射线，上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．13 28．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 29．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，在中，是的平分线．若P、Q分别是，上的动点，则的最小值是___________． 30．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为_______． 31．（23-24八年级下·贵州贵阳·期末）如图，点A，C分别是两边上的动点，平分，于点D，，当面积最大时，的长为_________． 32．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在等腰直角中，． (1)如图1，为等腰直角三角形，，求证：． (2)如图2，为内的一点，连接，，．若，，． ①求的度数． ②求的面积． 33．（25-26八年级上·吉林长春·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作一个与全等，且顶点都在格点上的三角形．要求： (1)在图①中，所作三角形与只有一个公共顶点； (2)在图②中，所作三角形与只有一条公共边． 34．（24-25七年级下·河南郑州·期中）【材料阅读】小芳在学习完全等三角形后，她尝试用三种不同方式摆放一副三角板．如图：在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． (1)图1中，，，求的长．请补充小芳的过程． ， ， ∵，， ，， ， ， …… （补充小芳的过程） (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，请直接写出的面积． 35．（25-26八年级上·广东佛山·期末）   【问题背景】（1）如图1，点E是线段的中点，连接，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，在中，，，点P为内一点，连接并延长至点Q，使得，连接．当时，请判断线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，点D为中点，点M在线段上（点M不与点C，点D重合），连接，过点B作于点N，连接，若，，求的长． 【考点5】勾股定理逆定理与实际应用（第36-43题） · 逆定理判断直角三角形：找最长边验证 · 实际问题：建立直角三角形模型，用勾股定理求解 · 台风影响问题：计算距离与风圈半径比较 · 测量高度问题：设未知数利用勾股定理列方程 36．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有一条边的长度为1，则它的较长直角边的长度所有可能取值有（   ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 37．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，D为边上一点，连接，将△ABD沿折叠至所在平面内，得到，与交于点F，连接，若，， ，则的长为 _____ 38．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形，，分别是以的三边为一边的正方形，过点C作的垂线，交于点D，交于点G，连接，．则下列结论：①；②；③；④ ；⑤．正确的有________．（填序号） 39．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为__________． 40．（24-25九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在菱形中，点为对角线上的动点，连接，将绕点按逆时针方向旋转至，使，与交于点． (1)请在图中找出与相似的三角形是___________；（在不添加任何辅助线条件下） (2)已知，， ①当时，求的面积； ②连接，当为直角三角形时，求的长； ③当将分成的两部分的面积之比为时，请直接写出值． 41．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 42．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图,已知中，，，，求的长． 43．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，中，，于点O，，． (1)则___________； (2)若点D是射线上的一个动点，作于点E，连接． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设延长线或线段交直线于点F，连接，若，则的长为 （直接写出结果） 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记勾股定理公式，判断直角三角形先找最长边 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数用勾股定理列方程 · 最短路径问题先展开立体图形，再用两点之间线段最短 · 网格中求面积用割补法，求高用面积法 · 实际问题先建立直角三角形模型，再用勾股定理求解 【作业1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若的三边长，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【作业2】．（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（     ） A． B． C． D． 由题意可知， ，， 【作业3】．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点都在格点上，则点到边的距离是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在中，，，，平分交于点，、分别是，上的动点，则的最小值为(     ) A． B． C． D． 【作业5】．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知线段，，从，，，，5这五个数中任意选取一个数作为线段c的长度，那么，，是某直角三角形三边的长度的概率是________． 【作业6】．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在四边形中，，则________． 【作业7】．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第一个等腰，再以的斜边为直角边，画第二个等腰，……，依此类推，第2026个等腰直角三角形的面积是_____________． 【作业8】．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，点在上，且，点和点为边上的两个动点，且，则的最小值为_____． 【作业9】．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图，在中，，，，则的值为______． 【作业10】．（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是_______． 【作业11】．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 【作业12】．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点B叠在折痕线上，得到．过点B向右折纸片，使D、Q、A三点仍保持在一条直线上，得折痕，其中，， (1)求证：． (2)你认为和相似吗？如果相似，给出证明，如果不相似，请说明理由． (3)如图（3），沿折叠，使点E落在上为点H，连结交于F，求（已知：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 【作业13】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【作业14】．（23-24八年级上·四川成都·期中）折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 【作业15】．（25-26八年级下·陕西商洛·阶段检测）八年级“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米；②某队员手抓绳子的一端，将绳子拉直时，测得绳子端点到地面 的距离为1米(即米)，到旗杆的距离为9米(如图)， 于点．根据以上信息，求旗杆的高度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $