第2章·实数·期中综合复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年北师大版八年级数学上册

第2章·实数·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解实数的概念与分类，能判断无理数、比较实数大小 · 掌握平方根、算术平方根的概念与性质，能利用非负性求值 · 掌握二次根式的性质与化简，能进行二次根式的混合运算 · 能在数轴上表示实数，利用数形结合化简绝对值与根式 · 能解决新定义运算、规律探索等综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数；无理数是无限不循环小数 无理数常见类型：开方开不尽的数（、等）、含π的数、无限不循环小数 实数与数轴上的点一一对应 实数大小比较：正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小 概念辨析例题：下列各数中，哪些是无理数？3.14，，，π，，0.1010010001… 答案：，π，0.1010010001… 解析：=3是有理数；3.14和是有限小数或分数，均为有理数。 ☆ 2.平方根与算术平方根 平方根：若x²=a，则x叫a的平方根，记作±；正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根叫算术平方根，记作；≥0（非负性） 立方根：若x³=a，则x叫a的立方根，记作³；任何实数都有立方根 非负性应用：|a|≥0，≥0，a²≥0，若几个非负数之和为0，则每个都为0 概念辨析例题：已知+|b+3|=0，求(a+b)²⁰²⁶的值 答案：1 解析：由非负性得a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3，a+b=-1，(-1)²⁰²⁶=1。 ☆ 3.二次根式的性质与运算 二次根式：形如（a≥0）的式子；被开方数必须非负 性质：(²=a（a≥0）；=|a| 乘除：=（a≥0,b≥0）；=（a≥0,b>0） 加减：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；分母有理化 概念辨析例题：计算 - + 答案： 解析：=2，=，=3，原式=2=。 ☆ 4.实数与数轴、新定义问题 实数与数轴一一对应：数轴上的点表示实数，实数都可以用数轴上的点表示 利用数轴化简：根据点的位置判断绝对值内式子的正负，再去绝对值 新定义运算：读懂定义，将新运算转化为已学的实数运算 规律探索：观察数列或数阵的规律，用代数式表示第n项 概念辨析例题：实数a、b在数轴上的位置如图（a<0<b，|a|>|b|），化简|a+b|- 答案：-2a-b 解析：由a<0<b且|a|>|b|知a+b<0，故|a+b|=-(a+b)=-a-b；=|a|=-a；原式=-a-b-(-a)=-2a-b。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 实数分类 有理数+无理数 无理数是无限不循环小数 平方根 ±（a≥0） 负数没有平方根 算术平方根 ≥0 非负性是常考点 二次根式性质 (²=a，=|a| 被开方数必须非负 乘除法则 = a≥0，b≥0 非负性应用 |a|+²=0→均为0 三个非负数之和为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】实数的概念与大小比较（第1-3题） · 判断无理数：看是否为无限不循环小数 · 实数大小比较：数轴上右边的数总比左边的大 · 含字母的大小比较：根据条件判断正负 · 估算无理数大小：找相邻的完全平方数 1．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 3．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【考点2】平方根、算术平方根与非负性（第4-10题） · 非负性：|a|≥0，≥0，a²≥0 · 几个非负数之和为0，则每个都为0 · 已知等式求字母值：利用非负性列方程 · 算术平方根与平方根的区别：算术平方根是非负的 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 5．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 6．（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 7．（25-26七年级下·重庆·期末）先化简，再求值： ，其中、满足． 8．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)则______，______； (2)在x轴上是否存在点P，使得和的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由； (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，图3，求的度数． 9．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，是直线上两点，，，且． (1)求的面积； (2)若点满足的面积为6，求的值； (3)将直线平移后交轴正半轴于点，交轴于点，点为直线上一点，直线交轴于点，满足，，请直接写出点的坐标． 10．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）平面直角坐标系中，点，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标 ． ∵， ∴， 【考点3】二次根式的性质与运算（第11-21题） · 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 · 乘除运算：利用=化简 · 分母有理化：乘以分母的有理化因式 · 混合运算：先乘方开方，再乘除，最后加减 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为__________． 15．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 16．（25-26八年级下·北京·期中）先观察下列不等式，再回答问题： ①    ② ③    ④ (1)请按照上面各不等式反映的规律，直接写出用含（为自然数且）的式子表示的不等式：________； (2)已知，直接写出的整数部分________． (3)对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，直接写出的值为________． 17．（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 18．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算: 19．（25-26八年级上·四川·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 20．（25-26八年级上·山西晋中·期中）在勾股定理的探索过程中，我们常常借助正方形网格来完成学习．认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为一些无理数的线段，也能画出一些边长为无理数的三角形． “在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． 请你用构图法完成以下问题： (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若中，的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的，并求出点D到的距离． (3)拓展应用：若中，的长分别为，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的中的长可以是________（写出两个即可） 21．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【考点4】实数与数轴、估算与网格（第22-29题） · 利用数轴判断绝对值内式子的正负 · 网格中用勾股定理求无理数长度 · 估算无理数：找相邻完全平方数 · 数形结合：将代数问题转化为几何问题 22．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 24．（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 25．（23-24九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，M为中点，交于点N，则的长为______． 26．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，．是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________ ． 27．（2025·甘肃张掖·一模）记实数中的最小数为，例如．已知，a，b是两个连续的正整数，记的算术平方根为，记y的最大值为N，则_____ ． 28．（25-26九年级上·福建·期末）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 29．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【问题情境】 在数学实践活动课中，高老师发给学生一张等腰三角形的纸片，，老师要求同学们将该纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【问题发现】 拼搏小组在边上取一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，如图1所示． 如图2，小芳发现，当点落在边上时，． 如图3，小刚发现，当点是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． 【问题的提出与解决】 问题：在中，，点是线段上任意一点，将沿翻折得到． (1)如图2，当点落在边上时，求证：． (2)如图3，当点是的中点时，连接，若，求的长． 【考点5】新定义运算与规律探索（第30-45题） · 新定义运算：先读懂定义，再转化为已学运算 · 数阵规律：找循环节，用代数式表示第n项 · 取整函数[x]：不大于x的最大整数 · 四位数新定义：根据数位关系列方程 30．（23-24八年级下·重庆江津·阶段检测）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①； ②设有理数，满足：，则； ③； ④已知，则； ⑤． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 31．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 32．（25-26八年级下·全国·单元复习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 33．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）当时，代数式的值是（     ） A． B． C． D． 34．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 35．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 36．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有__________． 37．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是__________；将“六合数”的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若（为整数），则满足条件的的值之和是__________． 38．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）各数位都不为的四位正整数，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为_______．已知为“间和数”，其中，均为整数，，，，若 能被整除且（为正整数），则的值为_______． 39．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以；那么_____；如果m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数），规定：，则的最小正整数值为_____． 40．（25-26八年级上·重庆·期末）我们规定：一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是_______；一个“星空数”，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为，M的百位数字与个位数字组成的两位数记为．若被5除余2，且（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是________． 41．（25-26九年级上·重庆大渡口·期中）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“精善数”．设“精善数”，记，．若是15的整数倍，且是4的整数倍，则__________；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为__________． 42．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）若一个四位数满足的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和差数”，则最大的“和差数”为______；将和差数的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，当、均为整数时，则满足条件的所有的最小值为______． 43．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 44．（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 45．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（，n为大于等于2的整数）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数m，； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______；______； （4）想一想：______（a≠0，n为正整数；结果写成幂的形式）． （5）算一算：． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记实数分类，无理数是无限不循环小数 · 非负性是常考点：|a|+²=0则每个都为0 · 二次根式运算先化简，再合并同类二次根式 · 数轴化简先判断正负，再去绝对值 · 新定义问题先读懂定义，再转化为已学运算 【作业1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业3】．（2026·河南周口·一模）已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是(   ) A．， B．， C． D． 【作业4】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 【作业6】．（2024八年级·全国·竞赛）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【作业7】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 【作业8】．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 【作业9】．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么_________． 【作业10】．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【作业11】．（25-26八年级下·全国·周测）已知，则的值为__________． 【作业12】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）对于四个代数式，角任意两个代数式之差的绝对值，与剩余两个代数式之差的绝对值作差，并化简，这样的运算称为对四个代数式进行“双差绝对值运算”．例如：代数式，，，的“双差绝对值运算”；，，，给出下列说法：代数式，，，的“双差绝对值运算”的结果只有种；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”的某种结果为，则；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”结果不可能为．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【作业13】．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）对任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等，若它的千位与百位组成的两位数除以的余数，等于其十位与个位组成的两位数除以的余数，则称四位数为“同余数”．例如四位数，，，是“同余数”；四位数，，，不是“同余数”．则最大的“同余数”为________；一个“同余数”，记，若能被整除，且，则满足条件的为________． 【作业14】．（20-21八年级下·重庆大足·期末）对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且均不为0，那么称这个三位正整数为“相异数”，若将一个“相异数”的三个数位上的数字依次轮换，可得到2个不同的新“相异数”，把这3个“相异数”的和与111的商记为．例如：一个“相异数”把三个数位上的数字依次轮换，可得到2个不同的新“相异数”，所以，再例如：，可以得到231，312这2个新“相异数”，这3个三位数的和为，，所以． (1)计算___________． (2)如果一个正整数是另一个正整数的平方，则称正整数是完全平方数．例如：16是4的平方，则16是完全平方数．若是“相异数”，且都是正整数），当（N）是完全平方数时，求“相异数”． 【作业15】．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章·实数·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解实数的概念与分类，能判断无理数、比较实数大小 · 掌握平方根、算术平方根的概念与性质，能利用非负性求值 · 掌握二次根式的性质与化简，能进行二次根式的混合运算 · 能在数轴上表示实数，利用数形结合化简绝对值与根式 · 能解决新定义运算、规律探索等综合压轴题 📚 知识梳理 ☆ 1.实数的概念与分类 有理数和无理数统称实数；无理数是无限不循环小数 无理数常见类型：开方开不尽的数（、等）、含π的数、无限不循环小数 实数与数轴上的点一一对应 实数大小比较：正数>0>负数；两个负数绝对值大的反而小 概念辨析例题：下列各数中，哪些是无理数？3.14，，，π，，0.1010010001… 答案：，π，0.1010010001… 解析：=3是有理数；3.14和是有限小数或分数，均为有理数。 ☆ 2.平方根与算术平方根 平方根：若x²=a，则x叫a的平方根，记作±；正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 算术平方根：正数a的正的平方根叫算术平方根，记作；≥0（非负性） 立方根：若x³=a，则x叫a的立方根，记作³；任何实数都有立方根 非负性应用：|a|≥0，≥0，a²≥0，若几个非负数之和为0，则每个都为0 概念辨析例题：已知+|b+3|=0，求(a+b)²⁰²⁶的值 答案：1 解析：由非负性得a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3，a+b=-1，(-1)²⁰²⁶=1。 ☆ 3.二次根式的性质与运算 二次根式：形如（a≥0）的式子；被开方数必须非负 性质：(²=a（a≥0）；=|a| 乘除：=（a≥0,b≥0）；=（a≥0,b>0） 加减：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；分母有理化 概念辨析例题：计算 - + 答案： 解析：=2，=，=3，原式=2=。 ☆ 4.实数与数轴、新定义问题 实数与数轴一一对应：数轴上的点表示实数，实数都可以用数轴上的点表示 利用数轴化简：根据点的位置判断绝对值内式子的正负，再去绝对值 新定义运算：读懂定义，将新运算转化为已学的实数运算 规律探索：观察数列或数阵的规律，用代数式表示第n项 概念辨析例题：实数a、b在数轴上的位置如图（a<0<b，|a|>|b|），化简|a+b|- 答案：-2a-b 解析：由a<0<b且|a|>|b|知a+b<0，故|a+b|=-(a+b)=-a-b；=|a|=-a；原式=-a-b-(-a)=-2a-b。 📋 知识总结表 知识点 公式/法则 注意事项 实数分类 有理数+无理数 无理数是无限不循环小数 平方根 ±（a≥0） 负数没有平方根 算术平方根 ≥0 非负性是常考点 二次根式性质 (²=a，=|a| 被开方数必须非负 乘除法则 = a≥0，b≥0 非负性应用 |a|+²=0→均为0 三个非负数之和为0 ⚠️ 核心考点 【考点1】实数的概念与大小比较（第1-3题） · 判断无理数：看是否为无限不循环小数 · 实数大小比较：数轴上右边的数总比左边的大 · 含字母的大小比较：根据条件判断正负 · 估算无理数大小：找相邻的完全平方数 1．（25-26七年级上·江西南昌·阶段检测）数轴上原点左边有一点，点对应的数为，有如下说法：①表示的数可能是负数；②若，则；③在，，，中，最大的数是；④若，则．其中正确说法的序号是（   ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的几何意义、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了数轴上的点、相反数、绝对值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由点M在原点左边，故m为负数，再根据相反数、绝对值、有理数乘方、平方根逐项判断即可． 【详解】解：∵点M在原点左边， ∴． ①由，则，故表示的数不可能是负数，故①错误； ②有且，则，故②正确； ③由，则，，故最大，故③正确； ④由且，∴，故④错误． 综上，正确的有②③． 故选B． 2．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）数学课上老师出了以下题目： 如图，数轴上点A表示的数是a，请化简代数式： 下面是小明和小颖的解答过程： (1)填空： 的解法是正确的． (2)先化简，再求值：，其中m是5的算术平方根． 【答案】(1)小明 (2) 【知识点】实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，关键是算术平方根的计算． （1）根据数轴上的点的位置可得，则，进而化简二次根式，即可求解． （2）先求得，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：∵，则， ∴ ， ∴小明的解法是正确的． 故答案为：小明； （2）解：， ， ∵m是5的算术平方根， ∴， ∴， ∴， ∴原式， ∵m是5的算术平方根， ∴， ． 3．（25-26七年级下·江西南昌·期中）解答以下问题 (1)图中的两个小正方形卡纸边长均为，用这两个小正方形剪拼成图所示的一个大正方形，图中拼成的大正方形的边长为______；若图中大正方形的边长为，则图中的两个小正方形边长均为_____________． (2)我们知道A4卡纸可以按图3所示的方式折叠，若一张面积为 的卡纸也可以按图3方式折叠，则卡纸长为_______，宽为_____． (3)（2）中面积为 的卡纸能否按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出？请通过计算说明理由． 【答案】(1) ，  a (2) ， 3 (3) 不能剪出，理由如下： 面积为的大正方形，边长为， 而（2）中卡纸的长为， 计算得：， 若卡纸需沿大正方形卡纸的边的方向剪出， 则卡纸的长和宽都必须小于大正方形的边长才能剪出， ∵卡纸的长为，大于， ∴卡纸不能按图4所示沿面积为大正方形卡纸的边的方向剪出． 【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较 【分析】本题考查了图形的折叠，实数的计算． （1）根据折叠的特点可知小正方形的对角线是大正方形的边长，作答即可； （2）设卡纸宽为，根据折叠的特点可知第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合，即可作答即可； （3）确定出卡纸的长与大正方形的边长的大小，即可判定． 【详解】（1）解：∵小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴当小正方形卡纸边长均为时，大正方形的边长为； ∵大正方形的边长为，小正方形的对角线是大正方形的边长， ∴小正方形卡纸边长均为：； （2）设卡纸宽为，如下图， 根据折叠可知：第一次折叠的折痕刚好在第二次折叠中与卡纸的长边重合， 根据正方形的特点，可得第一次的折痕长度为：，即卡纸的长边长为：， ∵卡纸的面积为 ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴卡纸的长边为：， 故答案为： ， 3； （3）略． 【考点2】平方根、算术平方根与非负性（第4-10题） · 非负性：|a|≥0，≥0，a²≥0 · 几个非负数之和为0，则每个都为0 · 已知等式求字母值：利用非负性列方程 · 算术平方根与平方根的区别：算术平方根是非负的 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果a满足，那么的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值的化简，掌握二次根式的被开方数是非负数，根据取值范围化简绝对值是解题的关键． 本题由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）已知m，n是有理数，且，的值为_______． 【答案】 【知识点】实数概念理解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是实数的运算、无理数和有理数的定义，解题的关键是理解无理数与有理数的区别在中，等式的左边是含有这个无理数部分的，等式的右边为0是有理数，可知在等式的左边的系数部分应为0． 【详解】解：原式可化为， ∵m，n是有理数， ∴，解得， ∴． 故答案为． 6．（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知式子的值，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 7．（25-26七年级下·重庆·期末）先化简，再求值： ，其中、满足． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式有意义的条件 【分析】先根据整式的混合运算法则化简原式，再根据二次根式的非负性、偶次方的非负性求出、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， 即， ， ∵，， 故，， ∴，； 将，代入原式，得． 8．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图1，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)则______，______； (2)在x轴上是否存在点P，使得和的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由； (3)若过B作交y轴于D，且，分别平分，，如图2，图3，求的度数． 【答案】(1)，4 (2)或 (3) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可； （2）利用三角形的面积计算即可； （3）解：过E作，则，利用平行线的性质得出，，则可得出，结合角平分线的定义可得出，利用平行线的性质得出，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，4； （2）解：设， 由（1）知：， ， ∵和的面积相等，， ∴， 解得， ∴P的坐标为或； （3）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 9．（23-24七年级下·江苏南通·期中）已知，是直线上两点，，，且． (1)求的面积； (2)若点满足的面积为6，求的值； (3)将直线平移后交轴正半轴于点，交轴于点，点为直线上一点，直线交轴于点，满足，，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)6 (2)1.5或7.5 (3)或，． 【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，对于七年级的学生来说，题目比较难． （1）利用非负数的性质求出，的值即可； （2）分两种情形，当点在的下方，轴上方时，当点在的上方时，分别构建方程求解即可； （3）分两种情形：当点在轴的负半轴上时，连接，，．首先利用面积法证明，设，，，用表示出，，再利用面积法，构建方程求出即可．当点在线段上时，同法可求． 【详解】（1） ， 又，， ，， ，， ，， ； （2）当点在的下方，轴上方时， 由题意，， 解得， 当点在的上方时，由题意，， 解得， 综上所述，c的值为1.5或7.5； （3）当点在轴的负半轴上时，连接，，． ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，，， ， ， ， ， 同法可得， ，， ， ， ， ． 当点在线段上时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或，． 10．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）平面直角坐标系中，点，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标 ． 【答案】(1)，； (2) 证明：作，交x轴于点N，则， ∵， ∴， ∵点A、C关于y轴对称， ∴点，y轴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； (3)或或． 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）由变形为，再由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可； （2）作，交x轴于点N，先证明，再证明，即可证明； （3）根据D、F、G分别为顶角时进行讨论，利用全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ∵，， ∴，， 解得，， ∴，； （2）略 （3）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， 当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形， ∴， 过点D作轴于点L，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，； 若，， 过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q， 则， ∴， ∴， ∴， 可得，，解得， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，，作轴，作轴于点P，交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点F的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形、轴对称的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，并运用分类讨论的思想分析问题． 【考点3】二次根式的性质与运算（第11-21题） · 先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 · 乘除运算：利用=化简 · 分母有理化：乘以分母的有理化因式 · 混合运算：先乘方开方，再乘除，最后加减 11．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数的大小比较、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．由矩形的长为，面积为，得矩形的另一边长为，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积． 【详解】矩形的长为 ，面积为 ， 矩形的宽为 ， ，，， ， 正方形的最大边长为矩形的宽 ， 正方形的最大面积为 ， 故选：C． 12．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 13．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】依据题意，设，，且，，从而，故，可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意∵， ∴， ∴， 设，，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 若，即，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：A． 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果为__________． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键． 先将化为，然后根据积的乘方与幂的乘方运算法则，结合平方差公式，进行计算即可解答． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·全国·周测）阅读下列解题过程： ； ； ； … (1)__________，__________． (2)利用这一规律计算：． (3)观察上面的解题过程，计算：（为正整数）． 【答案】(1)   (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）通过观察已知例子，总结被开方数的规律，再利用二次根式的性质化简； （2）先根据规律将每个根式转化为分数形式，再通过约分计算乘积； （3）先对被开方数通分，再结合完全平方公式和二次根式性质化简． 【详解】（1）解：对于： ∵， ∴． 对于： ∵， ∴． （2）解： ． （3）解：对被开方数通分并化简： ∵为正整数 ∴，即． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与规律探究，解题关键是通过观察例子总结出根式的化简规律，再利用分式约分、完全平方公式等知识进行计算． 16．（25-26八年级下·北京·期中）先观察下列不等式，再回答问题： ①    ② ③    ④ (1)请按照上面各不等式反映的规律，直接写出用含（为自然数且）的式子表示的不等式：________； (2)已知，直接写出的整数部分________． (3)对任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，直接写出的值为________． 【答案】(1) (2)2 (3)88 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、二次根式的加减运算 【分析】（1）根据所给出的式子变形后可得出式子的规律，解答即可； （2）将第①②③个式子相加，得出，故可得结论； （3）根据所得规律可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； 所以，第个式子为：； （2）解：∵； ； ， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分2； （3）解：对于（1）中的规律： 左边：， 右边：， 所以， ； 当时， ∴当时， ∴， ∴． 17．（25-26九年级上·四川内江·阶段检测）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3) 解：设，， 则， ， ， ， 即， 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）略 18．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算: 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先对各个二次根式化简，再利用二次根式的加减运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 19．（25-26八年级上·四川·期中）恒等变形是代数求值的一个重要方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式． 【阅读材料】当时，求． 方法：将条件变形，两边同时平方得：， 所以移项得：，两边同时乘x得：， 原式 【类比应用】（1）已知，求的值． 【深入思考】（2）已知，求的值． 【拓展延伸】（3）已知，求的值． 【答案】（1）8；（2）；（3） 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，正确理解题意是解题的关键． （1）先分母有理化得到，则，再利用完全平方公式即可得到答案； （2）先得到，则可求出，，进而把所求式子变形得，进一步变形得到，据此可得答案； （3）先分母有理化求出，从而得，两边平方得， 即，得出， 再把所求式子的分母变形为，从而求出分母值；进一步把分子可变形为 ，从而求出分子值，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ； （3）∵， ∴ ， ∴， 两边平方得， 即， ∴， ∴， ， ∴ ． 20．（25-26八年级上·山西晋中·期中）在勾股定理的探索过程中，我们常常借助正方形网格来完成学习．认识了无理数之后，我们也能在网格中运用勾股定理画出长度为一些无理数的线段，也能画出一些边长为无理数的三角形． “在中，三边的长分别为，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立了一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． 请你用构图法完成以下问题： (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若中，的边长分别为，试运用构图法在图2中画出相应的，并求出点D到的距离． (3)拓展应用：若中，的长分别为，第三边的长也是无理数，则用构图法画出的中的长可以是________（写出两个即可） 【答案】(1) (2) 如图所示，即为所求； (3)或或或 【知识点】化为最简二次根式、分母有理化、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题主要考查了网格中求三角形面积，勾股定理，分母有理化，化简二次根式，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）先仿照（1）画出对应的图形，然后求出的面积，再利用等面积法求解即可； （3）根据题意画出对应的示意图，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：， 设点D到的距离为h， 则， ∴， ∴点D到的距离为； （3）解：如图3-1所示，； 如图3-2所示，； 如图3-3所示，； 如图3-4所示，； 综上所述，的长为或或或 21．（23-24八年级下·北京·期中）读取表格信息，解决问题． (1)计算：_________；__________； (2)满足的可以取得的最小整数是_____． 【答案】(1)； (2)6 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查数字的变化规律和实数的运算及解不等式的能力，二次根式的加法、乘法运算，根据表格数据发现的规律是关键． （1）根据表格中的数据确定出，的值即可； （2）根据表格中数据得出，代入不等式计算可得的取值范围． 【详解】（1）解：根据表格中的数据得：； ， ∴, 故答案为：；． （2）解：， ， ， 又 ， ∴ 解得：， 可以取得最小正整数是6, 故答案为：6． 【考点4】实数与数轴、估算与网格（第22-29题） · 利用数轴判断绝对值内式子的正负 · 网格中用勾股定理求无理数长度 · 估算无理数：找相邻完全平方数 · 数形结合：将代数问题转化为几何问题 22．（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆的半径性质.由题意可得，然后在中通过勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为，则，，，， ∵以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 即， ∴， ∴． 23．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段检测）将1、、三个数按如图所示方式排列，若规定表示第a排第b列的数，则与表示的两个数的积是（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】考查知识点：找规律（循环规律、数列求和）、二次根式的乘法运算．解题思想与方法：归纳推理思想，通过分析排列的循环规律和数列求和确定数的位置，再利用二次根式乘法法则计算乘积．解题关键：准确计算某一位置对应的总数字个数，结合循环节长度确定具体数字；明确列数的计数方向（从右往左）．易错点：列数的计数方向容易混淆（误将从左往右计数）；计算总数字个数时数列求和公式应用错误；确定循环节对应数字时余数分析失误． 要解决此题，可按以下步骤进行： 24．（26-27八年级上·河南开封·阶段检测）如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2026行从左向右数第2025个数为（     ） A．2026 B．2025 C． D． 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、用代数式表示数、图形的规律 【分析】经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此推断第n行共有2n个数，且第n行的第n个数为，从而得出答案． 【详解】解：经观察发现，第1行有2个数且第1个数为1，第2行有4个数且第2个数为2，第3行有6个数且第3个数为3，由此推断第n行共有个数，且第n行的第n个数为， ∴第2026行从左向右数第2026个数是2026， ∴第2026行从左向右数第2025个数是． 25．（23-24九年级上·广东深圳·阶段检测）如图，等腰直角与等腰直角，，，，连接、．若，M为中点，交于点N，则的长为______． 【答案】/ 【知识点】化为最简二次根式、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】延长至点G，使，连接，过E作于H，根据证明，可求，进而可求，根据证明，可得，，然后在根据勾股定理求出，最后根据等积法求解即可． 【详解】解∶延长至点G，使，连接，过E作于H， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，即， 在中，，，，， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 26．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，．是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________ ． 【答案】/ 【知识点】二次根式的混合运算、垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】利用角平分线的对称性，在上构造点的对称点，将转化为，从而将转化为；根据垂线段最短，当三点共线且垂直于时，和最小，即为到的距离；利用勾股定理和面积法求解即可． 【详解】解：在上截取，连接， 平分， ， 在 和中， ， ， ， ， 当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到的距离， 在中，，，， ， 设边上的高为， ， ， ， 的最小值为． 27．（2025·甘肃张掖·一模）记实数中的最小数为，例如．已知，a，b是两个连续的正整数，记的算术平方根为，记y的最大值为N，则_____ ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查无理数的估算，算术平方根，以及一次函数与反比例函数的交点问题，夹逼法求出的范围，进而求出的值，根据算术平方根的定义，求出的值，画出函数图象，确定y的最大值，进而确定的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且a，b是两个连续的正整数， ∴， ∴， 画出函数的图象如图： 由图象可知，的最大值为点的纵坐标， 联立，解得：或， ∴， ∴； 故答案为：． 28．（25-26九年级上·福建·期末）我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． (1)依照上述步骤，估计方程的一个正数根； (2)请解释步骤②中估计为的合理性． 【答案】(1)方程的一个正根为 (2) 因为N的算术平方根整数部分和小数部分分别为，， 所以．所以． 省略后，被开方数N的误差为． 因为，所以，即． N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小， 所以． 所以． 所以估计为是合理的． 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数的大小估算 【分析】此题考查了算术平方根和无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的应用是解题的关键． （1）根据题目中的方法进行解答即可； （2）求出，得到． 省略后，被开方数N的误差为．因为，所以，即．N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小，所以．即可得到结论． 【详解】（1）解：因为方程可化为， 所以方程的正根可表示为． ①估计1530的整数部分 估计1530为． 因为，所以估计为3． 将代入，估计即为630． 因为， 所以估计为9． ②估计1530的小数部分 将，，代入中， 所以估计为． 所以估计为． 所以方程的一个正根为． （2）略 29．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）【问题情境】 在数学实践活动课中，高老师发给学生一张等腰三角形的纸片，，老师要求同学们将该纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【问题发现】 拼搏小组在边上取一点，将纸片沿折叠，点的对应点为点，如图1所示． 如图2，小芳发现，当点落在边上时，． 如图3，小刚发现，当点是的中点时，连接，若已知和的长，则可求的长． 【问题的提出与解决】 问题：在中，，点是线段上任意一点，将沿翻折得到． (1)如图2，当点落在边上时，求证：． (2)如图3，当点是的中点时，连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ； (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）由，得出结论； （2）作于，作于，根据等腰三角形的性质得出，进而得出的值，可证得，从而，，进而在中求得，进一步得出结果； 【详解】（1）略 （2）解：如图， 作于，作于， ， 由折叠得，，， 点是的中点， ， ， ， ∵， ∴，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， ． 【考点5】新定义运算与规律探索（第30-45题） · 新定义运算：先读懂定义，再转化为已学运算 · 数阵规律：找循环节，用代数式表示第n项 · 取整函数[x]：不大于x的最大整数 · 四位数新定义：根据数位关系列方程 30.确定循环规律：观察到数的排列以1, ,为循环节，每3个数重复一次． 【答案】详见解析过程 31.计算总数字个数：对于第a排第b列的数，需先计算前排的总数字个数（利用等差数列求和公式，再加上b得到该数的总序号． 【答案】详见解析过程 32.确定循环节中的数字：用总序号除以循环节长度3，根据余数判断数字（余数为0对应循环节第3个，余数为1对应第1个，余数为2对应第2个）． 【答案】详见解析过程 33.计算两数的积：根据二次根式乘法法则（此处时，）得出结果． 以为例，前7排总个数为，总序号为，无余数，对应；以为例，总序号为，除以3无余数，对应，最终积为3．． 【详解】数的循环节：1, ,． 排与数的关系：第a排有a个数，列数从右往左计数． 计算前7排的总数字个数：． 第8排第2列的数是第个数．     （无余数），对应循环节第3个数：． 第2025排第2025列的数，是前2024排的总个数加2025，即： 计算其与循环节长度3的关系： 结果为整数，说明对应循环节第3个数：． ． 故选：C． 【答案】详见解析过程 34．（23-24八年级上·广东深圳·期中）观察下列二次根式的化简 ， ， ，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由此可知：， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 35．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，取，则有，按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．16 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算、新定义下的实数运算、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4是解题的关键．根据题意，依次求出第1，2，3，4，…，次“F”运算的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵， ∴第1次“F”运算的结果为3，第2次“F”运算的结果为10，第3次“F”运算的结果为5，第4次“F”运算的结果为16，第5次“F”运算的结果为1，第6次“F”运算的结果为4，第7次“F”运算的结果为1，……， 由此可知，从第5次“F”运算的结果开始，后面的第奇数次“F”运算输出的结果都是1，第偶数次“F”运算输出的结果都是4， ∵2025是奇数， ∴2025次“F”运算的结果为1． 故选：A． 36．（25-26七年级上·上海浦东新·阶段检测）如果，那么称为的“拉格数”，记为由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤，其中正确的结论有__________． 【答案】②③④ 【知识点】新定义下的实数运算、积的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∵，， ∴， 故③正确； 设，，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤错误； 那么正确的有②③④． 故答案为：②③④． 37．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）一个四位自然数，各数位上的数字均不为0，若满足，则称数为“六合数”．按照这个规定，最小的“六合数”是__________；将“六合数”的千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置得到一个新的四位数，记．若（为整数），则满足条件的的值之和是__________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、数字类规律探索、整式加减的应用 【分析】求最小“六合数”时，根据四位数大小比较规则，高位数字越小则数越小，结合各数位非零得到最小数；用，表示，根据整数立方的性质得到的取值，列举所有符合条件的，计算求和即可． 【详解】解：∵求最小的“六合数”，各数位不为，且， ∴高位数字， ∴， ∵最小为， ∴． ∴最小的“六合数”是； 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵（为整数）， ∴， ∴， ∵，，为正整数， ∴， ∴， ∴， ∵该范围内的整数立方只有和，其中只有是的倍数， ∴， ∴， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， 综上所述，满足条件的的值之和为：． 38．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）各数位都不为的四位正整数，若它的千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个四位数是“间和数”．将的首位数字放在末尾得到一个新数记为，再将的首位数字放在末尾得到，以此类推得到，记，则的值为_______．已知为“间和数”，其中，均为整数，，，，若 能被整除且（为正整数），则的值为_______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，利用“间和数”的定义求出，代入公式求即可；由，均为整数，，，，可得，由为“间和数”，得，即得，进而得，根据能被整除可得的值，表示出，根据所给等式判断出的值，即可求得的值，理解新定义的意义并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴； ∵， ∴的千位上的数字是，百位上的数字是，十位上的数字是，个位上的数字是， ∵为“间和数”， ∴， ∴， ∴， ∵能被整除， ∴， ∴为整数， ∵，，均为整数， ∴为， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴， 整理得，， ∵，为整数，为正整数， ∴， ∴， 故答案为：，． 39．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”，将一个“递进数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为，，所以；那么_____；如果m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数），规定：，则的最小正整数值为_____． 【答案】 9 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】根据题干中的计算过程计算即可；由求出，，则，再根据递进数的定义得到，，根据或时分情况讨论，确定的值即可． 【详解】解：，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到， ∴这三个新三位数的和为，， ∴； ∵，a，b都是正整数）， ∴， 同理可得， ∴， ∵满足各个数位上的数字互不相同，且，那么称这个数为“递进数”， m，n都是“递进数”，其中，a，b都是正整数）， ∴，， ∴或， ∴当时，，在中找不到正整数使为整数； 当时，，在中，只有当时，为正整数； ∴的最小正整数值为． 40．（25-26八年级上·重庆·期末）我们规定：一个四位数，各数位上的数字互不相等且均不为零，若满足，则称这个四位数为“星空数”．例如：四位数3751，因为，所以3751是“星空数”．按照这个规定，最大的“星空数”是_______；一个“星空数”，将M的千位数字与十位数字组成的两位数记为，M的百位数字与个位数字组成的两位数记为．若被5除余2，且（k为整数），则满足条件的M的最大值和最小值的和是________． 【答案】 9867 11968 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】首先，根据“星空数”的定义，数字互异且不为零，且千位与十位数字之和等于百位与个位数字之和．为求最大“星空数”，千位取9，百位取8，根据条件得个位比十位大1，且数字互异，因此十位取6，个位取7，得9867．  对于第二部分，由得或4．由除以5余2，可得7或12或17．通过分析可得当时，或9，或8；当时，，，列出所有满足条件的M，其中最大为9834，最小为2134，求和得11968． 本题考查了新定义，整式的加减运算，整除等知识点，解题的关键是熟练掌握知识点并运用． 【详解】解：答题空1： 要使最大，则千位a取最大值9，百位b取最大值8， 由得， 即． ∵数字互异且不为零， ∴c取6，d取7，得，且，满足条件． ∴最大的“星空数”是9867． 故答案为：9867． 答题空2： ∵， ∴由题意得， ，， 由， 得， ∵9是完全平方数， ∴是完全平方数， ∴或4． ∵被5除余2， ∴7或12或17， 当时， ∵， ∴， ∴7或12或17， ∵d为正整数， ∴或9，或8， 若，则，M为2134、6534、7634、8734、9834． 若，则，M为2189、3289、4389、5489、6589、7689． 当时，， 则7或12或17， ∵d为正整数， ∴，， ∴，，M为5148、6248、7348、9548． 所有M中，最大值为9834，最小值为2134，和为． 故答案为：11968． 41．（25-26九年级上·重庆大渡口·期中）若一个四位自然数M的千位数字与个位数字之和恰好是百位数字与十位数字之和的2倍，则称这个四位数M为“精善数”．设“精善数”，记，．若是15的整数倍，且是4的整数倍，则__________；所有满足条件的M的最大值和最小值的差为__________． 【答案】 5 8442 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】本题考查了整式的加减运算，新定义，解题的关键是正确理解新定义． 根据“精善数”的定义得到，则，且是15的整数倍，结合的取值范围为1到9，可得，进而，则，由是4的整数倍，结合，可得是4的倍数，从而确定a和d的取值，b和c满足，有6种可能，即可得到所有满足条件的M的最大值为9501，最小值为1059，则差值为8442． 【详解】解：， ， 为正整数， ∵，， ∴， 只能等于，则， ∴， ∵和20 均为4的倍数，是4的整数倍， ∴是4的倍数， ∵， ∴；或；或；或；或； ∵，b和c为数字（b从0到9，c从0到9）， ∴或或或或或 ∵ ∴，则为最大值； 取，则为最小值， ∴差值为 故答案为：5，8442． 42．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）若一个四位数满足的千位数字与百位数字的和与它们的差的积恰好是的后两位数字组成的两位数，则称这个四位数为“和差数”，则最大的“和差数”为______；将和差数的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到的新数记为，记，当、均为整数时，则满足条件的所有的最小值为______． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了实数的新定义运算，代数式求值，根据“和差数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：当千位数字取，百位数字取时，得，此时所得“和差数”最大， ∴最大的“和差数”为； ∵，为整数， ∴是的倍数，且， 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； 当，时，，，则，符合题意； 当，时，，，则，不是整数，不合题意； ∴符合题意的有，，， ∴最小值为， 故答案为：，． 43．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与 是关于3的平衡数；与 是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ． 【答案】(1)； (2) 解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； (3) 【知识点】新定义下的实数运算、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）略 （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 44．（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1， ∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； (4)15， 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）略 （4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 45．（24-25七年级上·河南濮阳·期中）【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（，n为大于等于2的整数）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究： （1）直接写出计算结果：______，______； （2）关于除方，下列说法错误的是______． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数m，； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式： ______；______；______； （4）想一想：______（a≠0，n为正整数；结果写成幂的形式）． （5）算一算：． 【答案】（1），（2）C （3）；；（4） （5） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、新定义下的实数运算 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据发现的规律解答即可； （3）按公式计算即可； （4）根据发现的规律解答即可． （5）根据发现规律计算即可 本题考查了有理数的乘除混合运算，含有乘方的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】解：（1），， 故答案为：，； （2）解：A．任何非零数的圈2次方都等于1，，正确，不符合题意； B．对于任何正整数m，；正确，不符合题意； C．；不相等，错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；正确，不符合题意； 故选：C． （3）解：； ； ； 故答案为：；；． （4）解：根据定义，得 ， 故答案为：． （5）解： ． 💯 课后巩固 复习建议 · 熟记实数分类，无理数是无限不循环小数 · 非负性是常考点：|a|+²=0则每个都为0 · 二次根式运算先化简，再合并同类二次根式 · 数轴化简先判断正负，再去绝对值 · 新定义问题先读懂定义，再转化为已学运算 【作业1】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】无理数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 【作业2】．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）下列说法中，正确的个数是（   ） ①实数与数轴上的点一一对应；②若y是x的函数，则当y取一个值时，一定有唯一的x与它对应；③平方根是它本身的数是0和1；④平行于x轴的直线上的点的横坐标相同；⑤在直角三角形中三边关系一定满足；⑥若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】平方根概念理解、实数与数轴、函数的概念、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，函数的定义，平方根，平行于x轴的点的特征，直角三角形性质以及二次根式的基本性质，直接利用基础知识点逐一判断即可． 【详解】解：①实数与数轴上的点一一对应；故原说法正确，符合题意； ②根据函数的定义，若y是x的函数，则当x取一个值时，一定有唯一的y与它对应；故原说法错误，不符合题意； ③平方根是它本身的数是0；故原说法错误，不符合题意； ④平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；故原说法错误，不符合题意； ⑤在直角三角形中，当a，b为直角边，c为斜边时，则三边关系一定满足；故原说法错误，不符合题意； ⑥若，则，故；故原说法错误，不符合题意； 故正确的个数有1个； 故选：A． 【作业3】．（2026·河南周口·一模）已知三个实数，，满足，，， 则下列结论一定正确的是(   ) A．， B．， C． D． 【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【详解】解：∵， ∴异号，同号，则A不正确 ∴异号， ∵， ∴，则，则B，C不正确 故选：D． 【作业4】．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 【作业5】．（25-26七年级上·河南鹤壁·期中）已知四个数满足，则之间的大小关系是____________．（用“”连接） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键．设，得的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设，则 ，，，。 比较差值： ，故 ； ，故 ； ，故 。 因此，大小关系为 ； 故答案为： ． 【作业6】．（2024八年级·全国·竞赛）已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】利用算术平方根的估算可知，，即，，由此即可求得结果． 本题主要考查了实数的估算，熟练掌握其整数及小数部分的求法是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【作业7】．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知表示不大于的最大整数，例如，，，，那么______． 【答案】606 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查取整函数，明确取整函数的性质：等价于即每个整数对应一段连续的值，计算每一段的和即可得出结论． 【详解】解：当且仅当（为整数）， 当时，，，共3个，和为； 当时，，，共5个，和为； 当时，，，共7个，和为； 当时，，，共9个，和为； 当时，，，共11个，和为； 当时，，，共13个，和为； 当时，，，共15个，和为； 当时，，，共17个，和为； 当时，，，共18个，和为； ∴， 故答案为：606． 【作业8】．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是_______ ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【作业9】．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）若表示不超过的最大整数，例如：，，，设，那么_________． 【答案】11 【知识点】求一个数的算术平方根、新定义下的实数运算 【分析】本题考查平方根以及阅读信息取整符号等知识，难度较大，解答的关键是根据一般规律推导特殊性质的能力，利用规律进行求解．先计算出前几个数的值，然后可得出3个数、5个数、7个数依次相等，从而可得出答案． 【详解】解： ， ， ， … ， ∴原式， ∴， 故答案为：11． 【作业10】．（2026·四川广安·中考真题）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、通过对完全平方公式变形求值、二次根式有意义的条件 【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可． 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 【作业11】．（25-26八年级下·全国·周测）已知，则的值为__________． 【答案】2 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于时，各项都等于是解题的关键． 将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出和的值，然后代入，进行求值即可． 【详解】解：由 ， 移项得 ， 即 ． ， ， ， ， 解得 ，． 则 ． 故答案为：． 【作业12】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）对于四个代数式，角任意两个代数式之差的绝对值，与剩余两个代数式之差的绝对值作差，并化简，这样的运算称为对四个代数式进行“双差绝对值运算”．例如：代数式，，，的“双差绝对值运算”；，，，给出下列说法：代数式，，，的“双差绝对值运算”的结果只有种；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”的某种结果为，则；当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”结果不可能为．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】新定义下的实数运算、整式的加减运算 【分析】本题考查了实数的新定义运算，根据新定义运算逐一进行判断即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：代数式，，，的“双差绝对值运算”的结果有： ； ； ； ； ∴运算结果只有种：，，，故正确； ∵当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”的某种结果为， ∴， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴，故错误； 当时，代数式，，，的“双差绝对值运算”结果不可能为，比如： ， 故正确； ∴正确的个数有个， 故选：． 【作业13】．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）对任意一个四位数，它的各个数位上的数字互不相等，若它的千位与百位组成的两位数除以的余数，等于其十位与个位组成的两位数除以的余数，则称四位数为“同余数”．例如四位数，，，是“同余数”；四位数，，，不是“同余数”．则最大的“同余数”为________；一个“同余数”，记，若能被整除，且，则满足条件的为________． 【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】对于第一空：要使“同余数”最大，则要保证千位数字和百位数字都最大，可确定千位数字为9，百位数字为8，根据，得到十位数字与个位数字组成的两位数能被7整除，据此确定十位数字和个位数字即可；对于第二空：根据题意可得，则可推出，进而得到能被7整除；则可推出或；据此讨论a、b的值，从而确定c、d的值，再根据“同余数”的定义验证即可． 【详解】解：对于第一空： ∵要使“同余数”最大， ∴要保证千位数字和百位数字都最大， ∴千位数字为9， 又∵“同余数”的各个数位上的数字互不相等， ∴百位数字为8， ∵， ∴十位数字与个位数字组成的两位数能被7整除， ∵要保证“同余数”最大， ∴要保证十位数字最大， ∴十位数字为7， ∴个位数字为0， ∴最大的“同余数”为； 对于第二空： ∵， ∴， ∴ ， ∵能被整除，且63能被7整除， ∴能被7整除，即能被7整除； ∵，且， ∴， ∴或； 当时， 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N是“同余数”，符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 当时， 若，则，此时， ∵此时十位数字与个位数字不能组成两位数， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 若，则，此时， ∵， ∴此时N不是“同余数”，不符合题意； 综上所述，满足条件的N为． 【作业14】．（20-21八年级下·重庆大足·期末）对于一个三位正整数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且均不为0，那么称这个三位正整数为“相异数”，若将一个“相异数”的三个数位上的数字依次轮换，可得到2个不同的新“相异数”，把这3个“相异数”的和与111的商记为．例如：一个“相异数”把三个数位上的数字依次轮换，可得到2个不同的新“相异数”，所以，再例如：，可以得到231，312这2个新“相异数”，这3个三位数的和为，，所以． (1)计算___________． (2)如果一个正整数是另一个正整数的平方，则称正整数是完全平方数．例如：16是4的平方，则16是完全平方数．若是“相异数”，且都是正整数），当（N）是完全平方数时，求“相异数”． 【答案】(1)9 (2)126，135，153，162 【知识点】新定义下的实数运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查新定义运算以及完全平方数的应用，需要根据 “相异数” 的定义和计算方法进行求解． （1）根据题目列式求解即可； （2）根据题目分情况讨论，即可得出结果． 【详解】（1）∵， ∴另外两个相异数为，， ∴，， ∴． （2）已知，所以N的百位数字是1，十位数字是x，个位数字是y， 根据 “相异数” 的定义， ，，，且，x，y都是正整数， 由的定义可知， ∵是完全平方数，且，所以， 在（n为整数）的完全平方数只有9，所以，即， 接下来分情况讨论： 当时， ，不满足 ，舍去； 当时，，此时，满足 “相异数” 的定义； 当时，，此时，满足 “相异数” 的定义； 当 时， ，不满足 ，舍去； 当时，，此时，满足 “相异数” 的定义； 当时，，此时，满足 “相异数” 的定义； 当时，，不满足，舍去． 【作业15】．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)； 证明如下： ． 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $