第1章 第3节 勾股定理的应用&专题特训一 运用勾股定理解决折叠问题-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（北师大版·新教材）

10.(1)是.理由：因为AM+BN2=92+122=225, MN2=15=225,所以AMP+BN2=MN.所以以AM, MN,NB为边的三角形是一个直角三角形.所以M,N是 线段AB的勾股分割点.(2)设BN=x,则MN=AB一 AM一BN=18一x,①当MN为最长线段时，依题意，得 MN2=AM2+BN2,即(18-x)2=36+x2,解得x=8; ②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AMP+MN2, 即x2=36+(18-x),解得x=10.综上所述，BN的长为 8或10. 11.(1)能.理由：当m=2,n=1时，a=5,b=4,c=3.因为 32+4=52,即c2+b2=a2,所以对应的a,b,c的值能为直 角三角形的三边长.(2)m2+n2;2mn;m2一n2.(3)以 a,b,c为边长的三角形一定为直角三角形.理由：因为 a2=(m2+n2)2=m1+2m2n2+n,b2+c2=(2mn)2+ (m2-n2)2=4m2n2+n1-2m2n2+n=m1+2m2n2+ n,所以b2十c2=a2.所以以a,b,c为边长的三角形一定 为直角三角形 3勾股定理的应用 1.A根据题意，可得AB=12cm,BC=9cm.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=AB2+BC2=122+ 9=225(cm2),所以AC=15cm.因为18-12=6(cm), 18一15=3(cm),所以这支铅笔在笔简外面部分的长度在 3cm~6cm.故选A 2.C设AB为xcm,则AC=(x+2)cm.由题意可知， ∠ABC=90°，BC=8cm,在Rt△ABC中，由勾股定理，得 x2+82=(x+2)2,解得x=15,即AB段的长度为15cm 3.3由折叠，得AE=BE.设CE=x,则AE=BE=8 x.在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC十CE=BE.所以 42+x2=(8-x)2,解得x=3.所以CE=3. 4.7.5因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.设OA=OC xcm.因为BC=12cm,所以BO=BC-OC=(12-x)cm. 在Rt△ABO中，AB=6cm,由勾股定理，得AB2+OB2= OA2,即36+(12一x)2=x2,解得x=7.5.所以OA= OC=7.5cm.所以量角器的半径为7.5cm. 5.该车架符合设计要求.理由：因为∠BDC=90°，后下叉 CD=55cm,后上叉CB=73cm,所以BD2=BC2一CD2= 732-55=2304(cm2).所以BD=48cm.因为上管AB= 64cm,下管AD=80cm,所以AB2+BD2=AD.所以 △ABD是直角三角形，且∠ABD=90°.所以∠ABD= ∠BDC.所以ABCD.所以该车架符合设计要求。 6.A连接AD.由勾股定理，得AC=(a2+b)cm, AD2=AC2+CD2=(a2+b2+c2)cm2.选项A,a2+b2+ c2=62+22+2=44<49,符合题意；选项B,a2+b2十c2= 52+42+32=50>49,不符合题意；选项C,a2+b2+c2= 62+52+12=62>49,不符合题意；选项D,a2+b2十c2= 52+52+22=54>49,不符合题意. 7.3.4由题意可知，CF=2.6m,BE=0.8m,所以BD= 1.8m.设AC的长为xm,则AB=AC=xm,所以AD= AB-BD=(.x-1.8)m.在Rt△ADC中，由勾股定理，得 AD2+CD2=AC2,即(x-1.8)2+32=x2,解得x=3.4, 即绳索AC的长是3.4m. &产在R△CBM中，因为M=-3am,C'=4m,所以 C'M=5cm.由折叠，可得C'M=CM=5cm,∠D'C'M= ∠D'=∠D=∠C=90°.因为∠A=∠B=90°，所以 ∠BC'M+∠AC'E=∠AEC'+∠AC'E=90°.所以 ∠BC'M=∠AEC'.又因为BM=AC'=3cm,所以 △BC'M≌△AEC'.所以BC'=AE=4cm,MC'=C'E= 5cm所以AB=CD=C'D'=7cm,BC=AD=BM+CM=3+ 5=8(cm).所以DE=AD-AE=8-4=4(cm),DE=C'D'- C'E=7-5=2(cm.设DN=DN=xcm,则EN=(4-x)cm 在Rt△DEN中，由勾股定理，得NE=DE+DN,即(4一 r=十r,架得x=所以DN=cm 9.如图，过点D作DE⊥AB,交AB于点E.由题意，易得 点D'在DE上，BE=DM=2m.所以AE=AB-BE= 17-2=15(m).所以CE=AE+AC=20m.在Rt△AED 中，由勾股定理，得DE2=AD2-AE.因为AD=25m,所 以DE=0m.在Rt△CED'中，由勾股定理，得ED'2= CD2-CE2.因为CD'=AD=25m,所以ED'=15m.所 以DD'=ED一ED'=5m.所以工程车向教学楼方向行驶 的距离为5m. D水D B M (第9题) 10.思路导引 (1)0 AC=600m BC=800m 作CD⊥AB, AB=1000m 垂足为D △ABC是直角三角形 由面积公式 计算CD的长，将最短距离与500m比较 得出结论 (2) CE=CF=500m 由勾股定理得 DE=DF=140m 在EF范围内可灭火 求灭火过程中的时间与13s比较 得出结论 (1)如图，过点C作CD⊥AB于点D.由题意，知AC= 600m,BC=800m,AB=1000m.所以AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°.所以SAAx 号AC·BC=2CD·AB.所以CD=480m因为480< 500,所以着火点C受到洒水影响.(2)如图，在直线AB 上取点E,F,当EC=FC=500m时，着火点C正好受到 洒水影响.在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED=EC2 CD2.因为EC=500m,CD=480m,所以ED=140m.所 以易得EF=280m.因为灭火飞机的速度为20m/s,所以 280÷20=14(s).因为14>13，所以着火点C能被扑灭. B 北 (第10题) 专题特训一运用勾股定理解决折叠问题 1.D因为∠C=90°，AC=8,BC=6,所以AB2=AC2+ BC2=82+62=100.所以AB=10.因为把Rt△ABC沿 BD折叠，使点C落在AB边的点E处，所以BC=BE=6, CD=ED,∠DEB=∠C=90°.所以AE=AB一BE=10一 6=4,DE⊥AB.设AD=x,则CD=ED=8-x.在 Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2+DE2=AD,即4+ (8-x)2=x2,解得x=5.所以AD的长为5. 2.7.5由折叠的性质，可知∠B'=∠B,B'C=BC.因为 四边形ABCD是长方形，所以AD=BC=3,CD=AB=9, ∠D=∠B=90°.所以AD=CB',∠D=∠B'.又因为 ∠AFD=∠CFB',所以△AFD≌△CFB.所以AF=CF 设DF=x,则AF=CF=CD一DF=9-x.在Rt△AFD 中，由勾股定理，得AF2=DF2十AD,即(9一x)2=x2+ 1 3,解得x=4.所以CF=9-4=5.所以Saac=2CF· AD=号X5X3=1.5 3.(1)由折叠的性质，可知DE=BE.设DE=xcm,则 AE=(9一x)cm,BE=xcm.因为四边形ABCD是长方 形，所以∠A=90°.在Rt△ABE中，根据勾股定理，得 AE2+AB2=BE2,即(9-x)2+32=x2,解得x=5.所以 DE的长为5cm.(2)过点E作EG⊥BC于点G,则易得 四边形ABGE是长方形，∠EGF=90°.所以EG=AB= 3cm,BG=AE=AD一DE=4cm.设GF=ycm,则BF= (4+y)cm.由题意，易得BC=AD=9cm,C'B=CD= 3cm,C'F=CF,∠C'=∠C=90°.所以C'F=CF=BC- BF=(5-y)cm.在Rt△BC'F中，由勾股定理，得C'B2+ C'F2=BF2,即32+(5-y)2=(4+y)2,解得y=1.所以 GF=1cm.在Rt△EGF中，由勾股定理，得EF2=EG2+ GF2=3+1=10(cm).所以以折痕EF为边的正方形的 面积为10cm2. ☆问题解决策略：反思 1.C如图，将三棱柱的侧面展开，连接AA'.由勾股定理， 得AA'2=502+(3×40)2=16900(cm).所以AA'= 130cm.所以这圈彩带的长度至少为130cm. A (第1题) 2.50如图所示为书架的侧面展开图，连接AB,则AB的 长即为爬行的最短距离，连接AC,交BD于点O,因为 OA=40cm,OB=30cm,所以AB=50cm.所以蜘蛛爬行 的最短距离为50cm. B ∠30cml A公----- 10cm 10cm 0.- D 30cm 10cm 30cm 10cm (第2题) 3.B如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为(3十2)× 3=15(dm),宽为8dm,则妈蚁沿台阶面爬行到B点最短第一章勾股定理 3勾股定理的应用 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面圆的直径是9cm,内壁高12cm.若这支铅笔 长为l8c,则侧这支铅笔在笔筒外面部分的长度不可能是 () A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm 警方提醒： 您已进入24小时 监控区域，请注意 您的言行举止。 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.[2025驻马店泌阳期末]如图，洛阳地铁公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架是由水平、竖 直方向的AB,BC两段构成，若BC段的长度为8cm,点A,C之间的距离比AB段长2cm,则 AB段的长度为 () A.10 cm B.12 cm C.15 cm D.17cm 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A,B重合，折痕DE与AB 交于点D,与AC交于点E,则CE= 4.新境学科融合小丽在物理实验课上利用图示“光的反射”演示器直观地呈现了光的反射原理， 她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后， 反射光线落在右边光屏CE上的点D处（点C也在量角器的边缘上，C,O,B三点共线，AB」 BC,CE⊥BC).已知AB=6cm,BC=I2cm,则量角器的半径为 cm. 5.新境生活实际某工厂计划生产一批自行车，图①所示为自行车的实物图，图②为其车架部分示 意图，经测量，上管AB=64cm,下管AD=80cm,∠BDC=90°，后下叉CD=55cm,后上叉 CB=73cm.根据设计要求需保证ABCD,请判断该车架是否符合设计要求，并说明理由， 上管 后上叉 下管后下叉 ⊙ (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.如图所示为一个长、宽、高分别是acm,bcm,ccm的长方体无盖盒子.已知一根木棒长为7cm, 且DC⊥AC.通过计算发现，若不能放入此木棒，则a,b,c的值可能分别是 A6,2,2 D c cm B.5,4,3 L-c C.6,5,1 bcm acm B D.5,5,2 (第6题) 拔尖特训·数学（北师版）八年级上 7.[2025临汾侯马期末]勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最 重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE 0.8m,将它往前推3m至C处时（即水平距离CD=3m),踏板离地的垂直高度CF=2.6m,它 的绳索始终拉直，则绳索AC的长是 m. (第7题) (第8题) 8.[2024威海中考]将长方形纸片ABCD按如图所示的方式对折，使点C落在边AB上的点C'处， 折痕为MN,点D落在点D'处，C'D'交AD于点E.若BM=3cm,BC'=4cm,AC=3cm,则 DN= cm. 9.如图，高为17m的教学楼AB上有一块高为5m的校训牌AC(点A,B,C在同一条直线上)，为 美化环境，现要对校训牌AC进行维护.一辆高为2m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m 的云梯（云梯最长25m)刚好接触到AC的底部点A处.当长为25m的云梯刚好接触到AC的 顶部，点C处时，求工程车向教学楼方向行驶的距离。 DD M (第9题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.如图，一架灭火飞机沿东西方向由点A飞向点B,直线AB的正下方有一个着火点C.已知点C 与A,B两点的距离分别为600m和800m,A,B两，点之间的距离为1000m,当着火点C与灭 火飞机之间的距离在500m以内时，可以受到洒水影响. (1)着火点C是否受到洒水影响？ (2)若灭火飞机的速度为20m/s,扑灭着火点C预计需要13s,则在灭火飞机从点A飞到点B 的过程中，着火点C能否被扑灭？ 北 (第10题) 8 >“答案与解析”见P4 第一章勾股定理 专题特训一运用勾股定理解决折叠问题 类型一折痕过图形的一个顶点 模型示例：△ADE≌△ADB,DE=DB.在Rt△CDE中，DE2+CE2=CD2. D 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=6,把Rt△ABC沿BD折叠，使点C 落在AB边的，点E处，则AD的长为 ( A.1.5 B.2.5 C.3 D.5 (第1题》 类型二折痕过图形的两个顶点 模型示例：△AB'F≌△CDF,AF=CF.在Rt△CDF中，CD十DF2=CF2. B 2.如图，在长方形ABCD中，AB=9,BC=3,将长方形沿AC折叠，点B落在点B 0 处，则重叠部分△AFC的面积为 类型三折痕不过图形的顶点 (第2题) 模型示例：AE=CE,D'F=DF.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2;在Rt△AD'F中，AD'2+D'F2=AF2. D 3.如图，长方形纸片ABCD的长AD=9cm,宽AB=3cm,将其沿EF折叠，使，点D与点B重合， 点C与点C重合.求： (1)DE的长 (2)以折痕EF为边的正方形的面积. (第3题) 》“答案与解析”见P5 9