第4章·一次函数·期中综合复习·满分压轴讲义（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第4章·一次函数·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解函数与一次函数概念并会判断 · 掌握正比例函数定义与性质 · 会画一次函数图象并判断象限 · 会从函数图象获取信息解决实际问题 · 掌握动点图象与规律探究方法 📚 知识梳理 ☆ 1.函数与一次函数概念 函数：一个x对应唯一y 一次函数y=kx+b(k≠0)，b=0时为正比例函数 正比例函数y=kx(k≠0)，图象过原点 一次函数要求x次数为1且k≠0 概念辨析例题：y=(m-2)x|m-1|是正比例函数且y随x增大而减小，求m。 答案：m=0。 解析：|m-1|=1得m=0或2，又m-2<0且k≠0，故m=0。 ☆ 2.一次函数图象与性质 k>0时y随x增大而增大，k<0时减小 b>0交y轴正半轴，b<0交负半轴 k>0,b>0过一二三象限；k>0,b<0过一三四 向上平移m个单位：y=kx+b+m 概念辨析例题：y=-2x+3经过哪几个象限？ 答案：一二四象限。 解析：k=-2<0递减，b=3>0交y轴正半轴，故过一二四。 ☆ 3.函数图象信息与实际应用 行程图：斜率表速度，交点表相遇 注水/注水加热图：分段看斜率变化 销售/调运问题列一次函数求最值 读轴上点坐标对应实际量 概念辨析例题：甲乙两车距B地距离图，交点含义？ 答案：两车相遇。 解析：距离相等即相遇。 ☆ 4.动点图象与规律探究 动点在折线上运动，分段对应函数段 面积/长度随路程变化的斜率=速度 规律题先写前3项找递推 几何综合题联立方程求交点坐标 概念辨析例题：P沿AB→BC运动，AP长y与路程x图象最大值含义？ 答案：P到C时AP最大即AC长。 解析：BC段P离A最远。 📋 知识总结表 核心概念 公式/规律 注意事项 一次函数 y=kx+b(k≠0) x次数为1，k≠0 正比例函数 y=kx(k≠0) b=0，图象过原点 增减性 k>0增，k<0减 与b无关 与y轴交点 (0,b) b正上b负下 与x轴交点 (-,0) 即kx+b=0的解 平移 上加下减b 左右移变x ⚠️ 核心考点 【考点1】函数概念与一次函数定义（第1-8题） · 判断函数看一个x是否对应唯一y · 一次函数要求x次数1且k≠0 · 正比例b=0且k≠0 1．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数 【分析】本题根据新定义可知，“巅峰值”就是函数在自变量范围内的最大值，“顶峰函数”就是函数在自变量范围内存在最大值，结合一次函数的性质，逐个判断即可得到结果 【详解】解： ①对于， ∵随增大而减小， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，①正确； ②对于， ∵，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，即恒成立， ∴函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为，②正确； ③对于，巅峰值为，即最大值为，分情况讨论： 当时，随增大而增大，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，随增大而减小，最大值在处， ∴，解得，与矛盾，舍去； 当时，，最大值为，不符合题意， ∴不存在满足条件的，③错误； ④对于， ∵，随增大而减小， ∴函数最大值为，最小值为， ∵巅峰值是，∴， ∵最小值不超过，∴， 将代入不等式得， 化简得，解得， 又，即，解得， ∴， ④错误； 综上，①②正确，共个正确说法，故选B 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键． 先求出此直线交y轴于，交x轴于，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答， 【详解】解：当时，，则此直线交y轴于， 当时，，解得：，则此直线交x轴于， 当时，；当时，； 画出一次函数的图象如图所示： ， A．若且， ∴或， 当时，若，则，即，即A选项不符合题意； B．若且， ∴或或， 当时，若，则，即，即B选项不符合题意； C．若且， ∴， 当，则，即，即C选项不符合题意； D．若且， ∴， ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵直线中，，∴y随x增大而减小， ∵，∴， A、若，则，，对于，当时，，当时，，当时，，∴，，而的符号不能确定，∴不能判定，故A错误，不符合题意； B、若，则与同号，若同为负数时，∵，∴，，同理，，而的符号不能确定，∴不能判定， 若同为正数时，当时，可以取，此时，满足，但， 综上，B错误，不符合题意； C、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴不能判定，故C错误，不符合题意； D、若，则与异号，∵，∴，，同理，，而，∴，∴能判定，故D正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和二次根式有意义的条件，根据的正负一一判断即可； 【详解】解：根据二次根式有意义的条件确定的取值范围 ，被开方数， ∴， ∴直线的图象与轴交于负半轴或原点；故选项A错误； 选项B和D中 ∵直线的图象可以看出直线从左到右上升，y随x的增大而增大， ∴， ∴直线的图象与轴交于正半轴， 而当时，， ∴可为正也可为负； 若为正时，的绝对值大于的绝对值， 故选项D正确； 若为负时，的绝对值小于的绝对值， ∴选项B错误； 选项C中， ∵直线的图象可以看出直线从左到右下降，y随x的增大而减小， ∴， 而当时，， ∴， ∴直线经过一、三、四象限，故选项C错误； 故选项为： D. 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为__________． 【答案】0 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的单调性，分、两种情况讨论，最大值出现在区间端点，代入求值并验证条件是否满足即可． 【详解】解：一次函数 中 当 时，即 时，在时，随着的增大而增大， 最大值在处，代入得 ， 令 ， 解得 ，满足 ，符合题意； 当 时，即，在时，随着的增大而减小， 最大值在处，代入得 ， 令，解得， 但，不满足 ，故舍去； 综上所述，实数的值为． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·周测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①④ 【知识点】函数的概念 【分析】此题考查了函数的概念，解题的关键是熟记函数的概念． 由函数的概念求解即可． 【详解】解：①：由题意可知，对于注水量的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，所以是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； ②：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，注水量的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ③：由题意可知，对于水面的面积的每一个数值，水面的高度的值不一定唯一，所以不是的函数，不符合题意； ④：由题意可知，对于水面的高度的每一个数值，水面的面积都有唯一值与之对应，是自变量，是因变量，所以是的函数，符合题意； 故答案为：①④． 8．（25-26八年级上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 任务： (1)补全材料中横线上空缺的内容：① ；② ；③ ； (2)由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； (3)若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是 （用“”、“”或“”连接）． 【答案】(1)一、三；同为负数；增大 (2) 函数图象的几何特征及相应的表达式的数量特征解释如下（选择其中一个几何特征即可）： (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题主要考查正比例的图象和性质，利用类比思想和数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图象即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用类比思想和数形结合思想，得出函数的性质和特征即可获解； （3）利用类比思想，得出函数的性质即可获解． 【详解】（1）解：通过函数图象可知，函数的图象经过第一、三象限，当时，x与y的取值同为正数或同为负数，y的值随x值的增大而增大， 故答案为：①一、三；②同为负数；③增大； （2）解：略； （3）解：函数的图象从左往右图象是下降趋势，设点，是函数图象上的点（其中）． 所以，，， 因为，所以，所以． 因为，即， 所以，y的值随x值的增大而减小． 因为点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是， 故答案为：． 【考点2】一次函数图象与性质（第9-13题） · k定增减，b定与y轴交点 · 翻折/绝对值函数分段画图象 · 平移遵循上加下减 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 【答案】且 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】当时，直线解析式为，当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足，解答即可． 本题考查了一次函数的图象，交点问题，图象翻折问题，熟练掌握翻折问题是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得当时，直线解析式为， 当时，直线解析式为， 根据与直线的图象交点的横坐标x均满足， 故当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 当时，，此时交点坐标为， 把代入，解得； 综上所述，当时，， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 【答案】探究一：（1）填表如下： （2）函数图象，如图所示： （3）当时，y随x的增大而减小（答案不唯一）； 探究二：右侧；1； 探究三：的值为1或5 【知识点】用描点法画函数图象、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性 【分析】探究一：（1）把代入得出a的值，填表即可； （2）根据表格中的数据描点，再连线即可； （3）根据函数图象写出函数的一条性质即可； 探究二：根据函数图象进行求解即可； 探究三：先求出，根据当时，该函数的最大值为4，得出或，再分情况求出n的值，并进行验证，得出答案即可． 【详解】解：探究一：（1）把代入得：，填表略； （2）略 （3）当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值； 探究二：根据函数图象可得，函数的图象是由函数的图象向右侧平移1个单位长度得到的． 探究三：∵函数是由向右平移个单位长度得到， ∴， ∵当时，该函数的最大值为4， ∴当时，或当时，， ∴或， 即或， 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 当时，解得：或， 时，，当时，的最大值为4，符合题意； 时，，当时，的最大值为6，不符合题意； 综上，的值为1或5． 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）1；， 如图： （）； （）的取值范围为；（） 或； 的取值范围为或． 【知识点】画一次函数图象、一次函数图象平移问题、判断一次函数的增减性、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）由一次函数（为常数，）的图像过点，则，又关于，的方程组无解，即一次函数与图像无交点，然后分当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得，即当时，关于，的方程组无解；当图像与平行时，一次函数与图像无交点，此时，即当时，关于，的方程组无解； 先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）由一次函数（为常数，）的图像过点， ∴， ∵关于，的方程组无解， ∴一次函数与图像无交点， ∴如图，当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得：， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 如图，当图像与平行时，一次函数与图像无交点， ∴此时， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 综上可得：关于，的方程组无解，则的取值范围是或， 故答案为：或； 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数当时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 13．（24-25八年级下·北京密云·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)函数中自变量的取值范围是___________； (2)如表是与的几组对应值． 直接写出表格中的值是___________； (3)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； (4)结合函数图象，解决问题： ①方程有___________个解； ②当时，的取值范围是___________； (5)进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是___________． 【答案】(1)一切实数 (2) (3) 函数的图象如图所示： (4)2； (5) 【知识点】二次根式有意义的条件、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息、用描点法画函数图象 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）根据二次根式有意义条件得，求解即可； （2）把代入中，求出值即为值； （3）用描点法作出函数图象即可； （4）①根据函数的图象与直线有两个交点，可得方程有2个解，； ②根据函数图象可得，当时，y的取值范围是； （5）由题意，结合（2）可得，分析函数的性质，得到在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧，从而可求出的范围． 【详解】（1）解：由二次根式有意义条件，得， 解得：为一切实数， ∴函数中自变量的取值范围是一切实数． 故答案为：一切实数； （2）解：把代入中得：， ∴， 故答案为：． （3）略 （4）解：如图， ∵函数的图象与直线有两个交点， ∴方程有2个解， 故答案为：； 由图可得：当时，， 当时，， 当时，， ∴根据函数图象可得，当时，y的取值范围是． 故答案为：2；； （5）解：对于函数的图象的对称轴是直线，当时，随的增大而减小，而时，随的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线越近，函数值越小． ∵对于，都有， ∴，在左侧，在右侧，的中点一定在对称轴直线的右侧， ∴恒成立， ∴． 故答案为：． 【考点3】函数图象信息与实际应用（第14-29题） · 行程图斜率=速度，交点=相遇 · 分段函数按区间读斜率与截距 · 调运/销售列函数求最值 14．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数的实际应用，熟练掌握函数图像的实际应用是解决本题的关键． 根据图像，分析出每段函数图像所代表的实际涵义，通过路程速度时间的等量关系进行求解即可． 【详解】解：甲车坏处距C地距离：米，故B不符合题意； 乙用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此乙用原来倍的速度为：米/分，乙原来速度为：米/分； 甲用原来倍的速度行驶这段路程需要时间为：分，因此甲用原来倍的速度为：米/分，甲原来速度为：米/分； 故A不符合题意； 设乙行至C地用时x分，则甲行至车坏处分， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两地之间的距离为：米， 故D不符合题意； ∵车坏处距C地距离：米， ∴两地的距离为（米）， 故C错误，符合题意； 故选：C． 15．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，甲容器的底面积为，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度（厘米）与注水时间（分）之间的关系如图2所示．请结合图象提供的信息，判断下列说法错误的是（   ）． A．甲容器中初始水面高度为 B．乙容器中铁块的高度是 C．乙容器的底面积为 D．若丙容器的底面积为，则的值为 【答案】D 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息 【分析】先区分每一条线对应的容器，下降的是容器甲，先上升的是容器乙，后上升的是容器丙．从甲的曲线初始位置可得初始水面高度为，可判断A；乙的曲线在浸没铁块后底面积增大，斜率会变小，可判断B；先计算出容器甲的注水速度为，，再计算乙的底面积，可判断C；分析段，容器乙增加的水的体积加上容器丙增加的水的体积等于容器甲失去的水的体积，列方程求解，可判断D． 【详解】解：由题意可知，三条线对应情况如图所示： 对于A：直线甲在处，， ∴甲容器初始水面高度为，故A正确； 对于B：折线乙在经过点后，斜率变小，对应此时长方体铁块被完全浸没， ∴乙容器中铁块的高度是，故B正确； 对于C：先计算注水速度， 甲容器中有水， ∴注水速度为， 折线乙在段注入水的体积为， ∴容器乙的底面积为，故C正确； 对于D：在折线段，容器乙中的水流向容器丙，相当于容器甲同时向容器乙和容器丙注水， 根据题意，可列方程， 解得， ∴D错误． 故选：D． 【点睛】从图象上获取信息，然后分析图象中每个交点和转折点的实际背景是解题关键． 16．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑向处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙同学在8秒时相遇 B．A，B两处的距离是80米 C．其中一位同学的速度为5米秒 D． 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲、乙同学在8秒时相遇，甲、乙两人之间的距离为80米，甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值． 【详解】由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故A正确； 由图象可得，当时，甲、乙两人之间的距离为80米，即A，B两处的距离是80米，故B正确； 由图象可得，甲的速度为(米秒)， 乙的速度为(米秒)， 故C错误； 秒所对应的时间为乙同学到达A地， ∴，故D正确． 17．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（   ） A．小方的速度为米/分钟 B．小圆的速度为300米/分钟 C．线段所在直线函数解析式为 D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，利用速度路程时间，找准小方、小圆的路程和时间，可求出小方、小圆的速度；得出点G的坐标，设直线的解析式为：，将F，G的坐标代入，求解方程组即可得线段所在直线函数解析式；两人之间路程相距200米，根据题意可知存在四种情况，然后分别计算即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴小圆的速度为：（米/分钟）， 故选项B正确； ∴小圆从B地到C地用时：（分钟）， ∴， ∴， ∴小方的速度为（米/分钟）， 故选项A正确； 设线段所在直线函数解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴线段所在直线函数解析式为， 故选项C正确； 由题意可知，相距300米，相距900米， ∵，， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴直线的解析式为：， 当时，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，即小方、小圆朝相反方向走， ∴令， 解得， ∵当时，小方从处徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆从处往处骑行， ∴或， 解得或． ∵当时，小方从继续徒步前往处，小圆到达处停止， ∴， 解得． 综上，出发分钟或分钟或分钟或分钟后，两人之间的路程相距200米， 故选项D错误． 故选：D． 18．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知某品牌养生壶内装有升水，在初始温度时以恒定功率烧水直至水沸腾，然后自动启动保温模式：当水温降至时，养生壶会再次加热使水温达到，如此循环往复．如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温y随时间x的变化关系的图象： 下列说法正确的是（    ） A．烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高 B．该养生壶水温下降阶段满足关系式 C．养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为 D．养生壶从启动烧水开始两小时内，仅有一次显示温度 【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查一次函数的应用，灵活运用一次函数的相关知识以及数形结合思想是解题的关键． 根据所给函数图像中的关键点的坐标以及图像的形状逐项求解即可． 【详解】解：烧水状态下，函数图像为一条线段，所以水温y是x的一次函数，水温在16分钟内上升了，所以每分钟上升，即， ∴一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高，故A选项正确，符合题意； 该养生壶水温下降阶段的函数图像不是一条线段，故不能用一次函数来表示，即B选项错误，不符合题意； 养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为：，即C选项错误，不符合题意； 如图，当时，对应的时间有3个，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 19．（23-24八年级下·广西南宁·阶段检测）在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 【答案】D 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图像待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图知，铁块下降到5cm时，刚好接触水面， ∴A选项错误； 当时，设所在直线的关系式为：， 把，代入得， 解得， ∴F与h的关系式为：， ∴B选项错误； 当时，， 由图知， ∵， ∴， ∴C选项错误； 当时，， 解得， 此时铁块底面距离水底， ∴D选项正确； 故选：D． 20．（24-25六年级下·山东淄博·期末）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的距离（千米）与行驶时间以（小时）的关系如图所示，则快车的速度比慢车快___________千米/时． 【答案】40 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，先分别计算两车的速度，再计算即可． 【详解】解：由图象可得快车速度为每小时：（千米）， 慢车速度为每小时：（千米）， ∴快车的速度比慢车每小时快千米． 故答案为： 21．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为______万人． 【答案】4 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数图象，解题的关键是读懂函数图象，从函数图象中获取准确信息． 根据题意和图象求出两地每天接种的人数，然后即可求解． 【详解】解：乙地每天接种的人数为（万人）， ∴， ∴甲地后期每天接种的人数为（万人）， ∴甲地未接种疫苗的人数为（万人）， 故答案为：4． 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两车沿同一条平直的公路从地匀速行驶（中途不停留）至地，甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车行驶的时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出以下结论：①甲车的速度为；②，两地相距；③乙车行驶2h后追上甲车；④乙车从地到地共用．其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①③ 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了追击问题在实际生活中的运用，行程问题的数量关系路程=速度×时间的运用，解答时认真阅读函数的图象的内涵意义是解答本题的关键． 由函数图象可以得出甲车行驶小时与乙车相遇，而甲车再行驶小时就与乙车相距可以得出乙车比甲车每小时快，得出甲车走完这所用时间为小时，就可以求出甲车的速度为，就可以求出全程距离为，由函数图象可以得出乙车追上甲车的时间是小时，乙车由地去地的时间为小时，则可以得出结论． 【详解】解：由函数图象及题意可得，甲车的速度为，故①结论正确； ，两地相距，故②结论错误； ， 在甲车出发后，乙车开始出发， 乙车追上甲车的时间是，故③结论正确； 乙车从地到地共用，故④结论错误． 综上所述，正确的是①③． 故答案为：①③． 23．（25-26七年级上·山东威海·期末）某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 【答案】10 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】先求得调入水果的速度是4吨/天，销售水果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：调入水果的速度是吨/天， 当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨， 所以销售水果的速度是（吨/天）， 所以剩余的16吨完全调出需要（天）， 故该水果市场这次水果销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天）． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的距离（单位：）与两车行驶时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．两车出发___________h时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 【答案】或 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】先求出，，两两之间的距离和乙车的速度，设两车出发小时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，分甲乙相遇前、相遇后两种情况，列一元一次方程分别求解即可． 【详解】解：由图可知，甲车行驶的路程为， ∴甲车行驶的速度是， ，两地之间的距离为． 乙车行驶的速度为， ，两地之间的距离为， ，两地之间的距离为． 设两车出发时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 分两种情况： ①甲、乙相遇前，，解得； ②甲、乙相遇后，，解得． 综上所述，两车出发或时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 故答案为：或． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，一元一次方程的实际应用，求出，，两两之间的距离是解题的关键． 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离（单位：）与甲行驶的时间（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：____________；②甲、乙两人相遇：____________；③乙到达终点：____________． (2)，两地之间的路程为____________． (3)求甲、乙各自的速度． (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 【答案】(1)①②③ (2)240 (3)甲的速度是，乙的速度是． (4)甲出发0.5h或4.5h后，甲、乙两人相距180km 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）由图可知，甲到达终点时应最大，因为甲的速度小；甲乙两人相遇时为0；乙到达终点时不算最大，因为此时甲还没有到达终点，据此可得到答案； （2）由（2）可知的最大值即为两地之间的距离； （3）由（2）可得甲、乙得行驶时间，再根据公式计算即可； （4）根据路程差÷速度=时间差可以解得． 【详解】（1）解：（1）由图像可知，为甲到达了终点，为甲、乙两人相遇时，为乙到达终点． 故答案为：①  ②  ③． （2）解：根据图象和图象中的数据可知甲、乙两人之间的最大距离是，则两地间的距离为． 故答案为：． （3）解：甲的速度是， 乙的速度是． （4）解：分以下两种情况讨论： ①甲、乙相遇前，根据题意，得； ②甲、乙相遇后，根据题意，得． 故甲出发或后，甲、乙两人相距． 【点睛】本题考查了函数图像在实际问题中的应用，正确理解图象各点的意义、熟练把握行程问题各量之间的关系是解题的关键． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，以一定的速度往水槽内注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度（单位：）与注水时间（单位：s）之间的函数图象如图所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过多少秒恰好将水槽注满？ 【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为，根据12秒后水槽内高度变化趋势改变，求出时间. 【详解】解：由图可知，圆柱形水槽的高是，正方体铁块的高是，圆柱形水槽的一半注满水需要， 如果将正方体铁块取出，那么再经过恰好将水槽注满． 答：再经过4秒恰好将水槽注满． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是正确利用函数图象获取正确信息． 27．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 【答案】(1)4 (2)白鸽广场，45 (3)②③ (4) (5)72或96 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键． （1）观察图象即可； （2）根据两图象交点的纵坐标判断除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在哪个景点相遇；写出与x的函数关系式，当时，求出对应x的值即可； （3）①求出当时，与x的函数关系式，当时，求出对应x的值，从而根据平均速度总路程总时间求出然然从园中园到游乐场游览的过程中的平均速度即可； ②观察图象即可； ③当时，求出对应的值，从而求出琦琦比然然多走的路程即可； （4）根据速度路程时间求出这个过程中然然的速度，再由路程速度时间写出与x的函数解析式即可； （5）按照x的取值范围，利用和关于x的函数关系式，当琦琦和然然相距时，分别列关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为， 故答案为：4； （2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇， 琦琦的速度为，则， 当时，得， 解得， ∴此时距出发经过了， 故答案为：白鸽广场，45； （3）解：当时，然然的速度为， ∴， 当时，得， 解得， 则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 ， ∴①不合理，不符合题意； 然然比琦琦晚到达游乐场， ∴②合理，符合题意； 当时，， ， ∴时，琦琦比然然多走了， ∴③合理，符合题意． 故答案为：②③； （4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为， 则， ∴然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式及自变量x的取值范围为； （5）解：综上，与x的函数关系式为，与x的函数关系式为， 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得； 当，当琦琦和然然相距时，得 ， 解得． 综上，当琦琦和然然相距时，x的值为72或96． 故答案为：72或96． 28．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 29．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图①，在长方形中，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点和点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点和点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后三角形的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)设点离开点的路程为，点到点还需要走的路程为，请分别写出改变速度后，与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点和点相遇时值． 【答案】(1) (2)，相遇时 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，一次函数的应用。看懂函数图象是解题的关键． （）由图象②可得，当时，，求出的值，进而可求出和的值； （2）根据题意求出、与出发后的运动时间（秒）的关系式，进而可知点、点相遇时，解方程即可求解； 【详解】（1）解：由图象②可得，当时，， 解得， ∴， ∴； （2）解：由题意得，，， 即，， 当点、点相遇时，， 解得． 【考点4】动点问题的函数图象（第30-36题） · 动点折线段对应分段函数 · 面积/长度图象斜率=速度 · 由图象反求边长与速度 30．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点的函数图象问题，从函数图象中有效的获取信息，分点分别在上运动时，进行讨论，逐一判断即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故A正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故B正确； ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故C正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故D错误． 故选：D． 31．（2025·甘肃金昌·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查了根据函数图象获取有效信息，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，过点A作于，根据函数图象可知：，，所以 ，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，最后根据即可解答． 【详解】解：连接，过点作于点，如解图， 由题意得，，， ， ， ， ， 故选：D． 32．（2026八年级下·全国·专题练习）已知动点H以的速度在如图①所示的边框（边框拐角处都互相垂直）上，沿匀速运动，的面积关于时间的函数关系的图象如图②所示．已知，有下列说法：①动点H的运动速度为；②的长为；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②③④ 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题考查动点的函数图象问题，分别表示出点在上运动时，S的值随t的增大的变化情况，再结合函数图象确定点在上运动的时间段，再逐一判断即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， 由题意得，， ∴， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ∴，点H从点C向点D运动的过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ∴，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ∴，点H从点E向点F运动的过程中，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得当时，点H在上，则， ∴，， ∴动点H的速度是，故①正确， 当时，点H在上， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故②正确； 当，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故③正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， ∴当的面积是时，点H的运动时间是和，故④正确； 故答案为：①②③④． 33．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有：_________（填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 【答案】①③ 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可知当时，点P在上运动，当，点P在上运动，据此可判断①；则，，根据当点P运动到直线与交点处时，y的值为0，得到，据此可判断②；则当P点运动到F点时，y对应的值为，据此可判断③；分当时，当时， 当时，三种情况求出x的值即可判断④． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y随x增大而增大，当时，y保持不变， ∴当时，点P在上运动，当，点P在上运动， ∴，故①正确； 同理可得上，点P在上运动，则， ∴； 当点P运动到直线与交点处时，y的值为0， ∴，故②错误； ∴当P点运动到F点时，y对应的值为，故③正确； 当时，，解得， 当时，，解得； 当时，，解得， ∴当的面积为2时，对应的x的值是2或24或28，故④错误； 故答案为：①③． 34．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1）__________；（2）m的值为____________． 【答案】 6 4 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出的长，从而求出，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出时，根据勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程， ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：6，4． 35．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 【答案】(1)4 (2) (3)或 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象 【分析】本题考查的是动点图象问题、图象面积的计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． （1）由图象知，8秒时，相遇，此时扫过的面积图象中间变化1次，而的没有变化，故、在点相遇，由图2知，，即可求解； （2）分类讨论，根据三角形面积是底乘高乘，梯形面积是高乘上底加上下底的和再乘，进行列式计算，注意时间范围，即可作答． （3）与（2）过程类同，再令面积为在正方形中所夹图形面积S为5，即可列式代入数值作答． 【详解】（1）解：由图象知，8秒时，相遇， 此时扫过的面积图象中间变化1次，而扫过的面积图象没有变化，故、在点相遇， 设正方形的边长为，则 由图2知，，解得：， 故答案为4； （2）由图2知，相遇后点秒走了的长度即4个单位，则， 图3：，解得： ∵Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动 ∴ 同理， 当点在段时， 当点Q在段时， 则 ， 当点在段时， ； 综上， （3）解：由题意得：， 相遇前： 当Q在上，点P在上时，此时 当，则（舍去）； 当Q在上，点P在上时，此时 当，则 相遇后：当点在段时，如图， 设的面积为，梯形的面积为， 则正方形的面积为， ， 当点在段时， ； 当时， 令，，； 当时， 令，，（舍去）； 综上：或 36．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)10，16，23，80 (2) (3)或 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】（1）根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动；则，根据题意解答即可； （2）当时，根据三角形的面积公式解答即可； （3）分点P在上，三种情况解答即可． 本题考查了动点问题的函数图象，一元一次方程的应用，从函数图象中获取相关信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P从点B出发，以的速度向点D运动，则，根据图象，当时，的面积为， 根据题意，得，解得，根据图象，得点P在上运动了，，故，解得， 故从点D到点A的运动时间为：， 故； 故答案为：10，16，23，80． （2）解：当时，． （3）解：根据题意，得点P在上时，， 故时，， 当时，，解得； 点P在上时，是定值，不可能为20，此时无解； 点P在上时，， 当时，，解得； 综上所述，当时，x的值为或． 【考点5】一次函数规律探究与几何综合（第37-45题） · 规律题写前3项找递推 · 几何题联立直线方程求交点 · 最短路径用对称转化 37．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 38．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 39．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【详解】点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： A． 40．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）我们把a、b、c三个数的中位数记作，例如：．已知函数．则下列结论： ①和为函数图象上两点，当时，； ②当时y随x增大而增大； ③当时y有最小值0； ④若直线与函数的图象有且只有2个交点，则或． 其中正确的有______．（请填写正确结论的序号） 【答案】②③④ 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、 利用中位数求未知数据的值 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质以及中位数的概念，一元一次不等式组的应用，数形结合思想的应用是解本题的关键． 先得到，再画出函数的图象，然后根据函数图象逐项分析即可． 【详解】解：当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：， ∴ ∴函数的图象如图所示： ①如图，当时，满足，但，故①不正确； ②由图象可知，当时，y随x增大而增大，故②正确； ③由图象可知，当时，y有最小值0，故③正确； ④∵与函数的图象有且只有2个交点， 当直线经过点时，则， 解得， 当直线 经过点时，则， 解得， 故④正确． 故答案为：②③④． 41．（25-26九年级下·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 【答案】 【知识点】一次函数的规律探究问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】利用一次函数的解析式求出直线与轴的交点坐标，进而可得第个等腰直角三角形直角边的长为，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：当时，， ∴直线与轴交于点， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， 当时，， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形直角边的长为， ∴第个等腰直角三角形的斜边长是． 42．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，在中，，是边上的中线，是边上的一点，且，与交于点，则_________． 【答案】/ 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系、一次函数的应用、两点间的距离公式等知识点，根据题意建立直角坐标系成为解题的关键． 以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，易得，，运用待定系数法可得直线的解析式为、直线的解析式为，设，易得；再求得直线的解析式为，易得，最后根据两点间距离公式求解即可． 【详解】解：以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． ∵， ∴， ∵是边上的中线，即D是的中点， ∴， 设直线的解析式为则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为则： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：（已舍弃负值）， ∴， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 43．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点从点沿线段运动到点，速度为1个单位长度/秒，点从点沿线段运动到点，速度为2个单位长度/秒，两个点同时出发，一个点停止，另一个点也停止，设运动的时间为秒． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)当为等腰三角形时，求值． (3)点为线段上一点，有一动点沿线段从点运动到点，速度为1个单位长度/秒，再沿线段由点运动到点，速度为单位长度/秒，请直接写出动点运动的最短时间． 【答案】(1)， (2)或或 (3) 【知识点】一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）令和，分别求得和的值，进而求得结果； （2）分为，及三种情形．当时，直接列出方程求得结果；当时，作于，由列出方程求得结果；当时，同理可得求得结果； （3）作，交轴于，作，交于，作于，作于，交于，此时，根据可求得，进而求得直线的解析式，进一步求得结果． 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，， ， ， 故答案为：，； （2），，， ， 由题意得：， 当时， ， ， 如图1， 当时，作于， ，， ， ， ， ， ， 如图2， 当时， 同理可得：，， ， 综上所述：或或； （3）如图3，作，交轴于，作，交于，作于，作于，交于， ， 是等腰直角三角形， ， 点T运动时间， 此时点运动时间最小， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为：， 由得， ， ，，， ， 由面积法可得：， 点运动时间最小为． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质及勾股定理等知识，解决问题的关键是作恰当的辅助线． 44．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是，上的动点，求周长的最小值． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合． 作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，由对称得：，，，轴，周长为，当点共线时，周长取得最小值为，再由两点间距离公式即可求解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接， ∵直线的解析式为， ∴当时，， 当时，， 解得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由对称得：，， ∴，轴， ∴周长为， ∴当点共线时，周长取得最小值为， 而． 45．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 【答案】(1)①，②，③ (2)； (3)甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：180吨；乙地运往厂：240）吨，乙地运往厂：160吨， 【知识点】列代数式、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，列代数式，难度较大，解题的关键是正确理解题意． （1）设从甲地运吨木材到厂，根据“甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨”列代数式即可； （2）根据运费等于单价乘以数量建立起函数关系式即可； （3）根据总运费得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：由题意得，①，②，③， 故答案为：①，②，③； （2）解：由题意得，； ； （3）解：因为，即， 可得， 得， 又， 得． ∵， 一次函数中，， 故随增大而减小， ∴内，取最大值120时，总最小． 故调运方案为：甲地运往厂：120吨，甲地运往厂：吨；乙地运往厂：吨，乙地运往厂：吨， 所以（元）． 💯 课后巩固 复习建议 · 先看k定增减 · 再看b定交点 · 图象斜率表速度 · 分段按区间读 · 规律列前几项 【作业1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数的概念 【分析】本题考查了函数的定义，解题关键是抓住“对于的每一个确定值，有唯一确定的值对应”这一核心条件，判断每个选项是否满足该条件． 根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，据此逐一分析选项． 【详解】解：A、对于，当时，每一个值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，不符合题意； B、对于​，当时，每一个值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，不符合题意； C、对于，当时，每一个值，都有唯一的值与之对应，符合函数定义，不符合题意； D、对于，当时，一个值会对应两个值，不符合函数定义，符合题意． 故选：D． 【作业2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 【作业3】．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 【作业4】．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）若正比例函数随的增大而减小，则的值是______． 【答案】3 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的定义及性质，正比例函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．根据正比例函数的定义和性质，即可求解． 【详解】解：由题意得， 且， 解得， 故答案为：3． 【作业5】．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号） 【答案】①②③ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、判断一次函数的增减性、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】根据一次函数图象的性质可判断①②的正误； 根据图象，由一次函数与一元一次方程的关系，可判断③的正误． 本题考查了一次函数图象的性质，一次函数与一元一次方程的关系，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：①∵一次函数的图象经过二、四象限， ∴, ∴随的增大而减小，故本小题正确； ②∵函数图象与轴的交点在轴的正半轴， ∴，故本小题正确； ③∵函数经过点，则当时，， ∴关于的方程的解为． 故答案为：①②③． 【作业6】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】根据一次函数的定义，函数中的最高次数必须为，且一次项系数不为．因此，需使含的项的系数为或指数为或，并确保整体函数为一次函数． 本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解决本题的关键． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴需考虑的情况： 情况1：当系数时，即，函数化为，是一次函数； 情况2：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 情况3：当指数时，即，函数化为，是一次函数； 其他情况均不满足一次函数定义； 故选：D． 【作业7】．（25-26六年级上·山东青岛·期末）如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为___________．    【答案】 【知识点】图形类规律探索、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查图形类规律探究，函数关系式．根据题意写出相应的函数关系式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； ， ∴， 当时，， 故答案为：． 【作业8】．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的正比例函数，若随的增大而减小，则的值为____________． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】先根据正比例函数的定义确定的取值范围，再结合函数的增减性确定的具体值． 【详解】解：正比例函数的定义对于： 指数需满足，解得，即或； 系数需满足，即． ∵随的增大而减小， ∴正比例函数的系数． 当时，，不符合； 当时，，符合条件． 因此，的值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及性质，解题关键是结合正比例函数的定义（指数、系数的要求）和增减性（系数的符号）来确定参数的值． 【作业9】．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”，平移后的k值不变，是解题的关键． （1）一次函数的图象向上平移k个单位后，解析式为，将点代入可求k的值； （2）依题意设所求直线解析式为，则图象与坐标轴两交点坐标为，由面积公式求b即可． 【详解】（1）解：根据平移规律可知，平移后解析式为， 将点代入， 得， 解得； （2）解：设所求直线解析式为， 则图象与坐标轴两交点坐标为． 由三角形面积公式得， 解得， ∴或（不合题意，舍去）， 故所求直线的函数关系式为． 【作业10】．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【答案】(1)所挂物体的质量；弹簧的长度 (2) (3) 【知识点】函数的概念、求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了函数的概念，求函数关系式和自变量的值： （1）根据弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长即可得到答案； （2）观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长，据此列出对应的关系式即可； （3）根据（2）所求求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，弹簧的长度随着所挂物体的质量增加而增长， ∴自变量是所挂物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：所挂物体的质量；弹簧的长度； （2）解：观察表格可知，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就增长， ∴； （3）解：当，， ∴该弹簧最多能挂质量为的物体． 【作业11】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象平移问题、根据一次函数增减性求参数 【分析】（1）两直线平行，比例系数相等，即，求出方程的解即可； （2）先将点代入直线求出，然后再将该点代入，即可求出的值； （3）①当时，直线不经过第三象限，那么直线经过第二、四象限或第一、二、四象限，即满足，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可；②当时，直线不经过第三象限，即满足，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可； （4）根据函数值随的增大而减小且与轴的交点在轴下方，可得，，由此可得到关于的不等式组，求出不等式组的解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：将点代入直线，得， 解得，即交点坐标为． 将点代入，得， 解得． （3）解：直线不经过第三象限，则其斜率且在轴上的截距 因此有 解得 （4）解：依题意，得 解得． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解题的关键是掌握一次函数的性质． 【作业12】．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往地，甲到达地后立即以原速沿原路返回，乙到达地后停止运动，已知运动过程中两人到地的距离与出发时间的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后________第一次相遇． 【答案】2 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握从函数图象中提取速度等关键信息，结合路程关系列方程求解相遇时间是解题的关键； 通过分析甲、乙两人到B地的距离与出发时间的函数关系，求出两人第一次相遇的时间． 【详解】解:设甲、乙两人在出发后t小时第一次相遇 由题意得，甲的速度为，乙的速度为． 可列方程： 解得 所以甲、乙两人在出发后2小时第一次相遇． 故答案为：． 【作业13】．（24-25八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三： 表三 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有人，购买这两款盲盒的总费用为元，求的最小值． 【答案】(1)选A款和B款盲盒的分别有18、12人 (2)700 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是： （1）设选A款和B款盲盒的分别有x、y人，根据“按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元”列方程组求解即可； （2）根据题意，得出选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人，然后分两种情况讨论：①当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值；②当时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最小值，最后比较①、②两种情况即可求解． 【详解】（1）解∶设选A款和B款盲盒的分别有x、y人， 根据题意，得， 解得， 答：选A款和B款盲盒的分别有18、12人； （2）解：∵剩余17人中选择A款盲盒有人， ∴选择A款盲盒有人，选择B款盲盒有人， ①当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为700； ②当时，，， 若选方案一、二， 则， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； 若选方案三，则， 解得， 此时， ∵， ∴y随m的增大而增大， 又， ∴当时，y取最小值，最小值为； ∵， ∴当时，y的最小值为755； ∵， ∴当时，y的最小值为700． 【作业14】．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简： (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)，，； (2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； (3) 解：由题意得， 当时，（2）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元； 当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小， 其调运方案如下： 调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨． 【知识点】列代数式、判断一次函数的增减性、分配方案问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度． （1）根据题意，用240减可得需要从处运往处的数量；用200减去可得从处运往处的数量；300减去即为从处运往处的数量； （2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （3）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时；当时；当时． 【详解】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨， 故答案为：，，； （2）解：与之间的函数关系式为， 由题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，总运费最小， 此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； （3）略 【作业15】．（25-26八年级上·江西九江·期中）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7月份用电量为280千瓦时，缴纳电费164元． (1)求的值． (2)设某户每月用电量为千瓦时，应缴纳电费元，求与的函数关系式． (3)某户8月份的电费为194元，求该户8月份的用电量． 【答案】(1)0.1 (2)与的函数关系式为 (3)该户8月份的用电量为320千瓦时 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、梯度计价问题 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和一次函数的应用，解决此题的关键是读懂题意列出相关的式子； （1）先判断所在的电费档位，根据题意列出关于a的一元一次方程，求解即可； （2）根据题意列出函数关系式即可得到答案； （3）先判断电费所在的档位，再代入相对应的函数关系式即可求解； 【详解】（1）解：由题可列方程为：， 解得： ， 故的值为0.1； （2）解：当时，， 当时，， 当时，故与的函数关系式为 ； （3）解：当 时，代入得：（元） ∵， ∴该用户的用电量超过了300千瓦时， 把代入得：， ∴， 答：该户8月份的用电量为320千瓦时． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章·一次函数·期中综合复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解函数与一次函数概念并会判断 · 掌握正比例函数定义与性质 · 会画一次函数图象并判断象限 · 会从函数图象获取信息解决实际问题 · 掌握动点图象与规律探究方法 📚 知识梳理 ☆ 1.函数与一次函数概念 函数：一个x对应唯一y 一次函数y=kx+b(k≠0)，b=0时为正比例函数 正比例函数y=kx(k≠0)，图象过原点 一次函数要求x次数为1且k≠0 概念辨析例题：y=(m-2)x|m-1|是正比例函数且y随x增大而减小，求m。 答案：m=0。 解析：|m-1|=1得m=0或2，又m-2<0且k≠0，故m=0。 ☆ 2.一次函数图象与性质 k>0时y随x增大而增大，k<0时减小 b>0交y轴正半轴，b<0交负半轴 k>0,b>0过一二三象限；k>0,b<0过一三四 向上平移m个单位：y=kx+b+m 概念辨析例题：y=-2x+3经过哪几个象限？ 答案：一二四象限。 解析：k=-2<0递减，b=3>0交y轴正半轴，故过一二四。 ☆ 3.函数图象信息与实际应用 行程图：斜率表速度，交点表相遇 注水/注水加热图：分段看斜率变化 销售/调运问题列一次函数求最值 读轴上点坐标对应实际量 概念辨析例题：甲乙两车距B地距离图，交点含义？ 答案：两车相遇。 解析：距离相等即相遇。 ☆ 4.动点图象与规律探究 动点在折线上运动，分段对应函数段 面积/长度随路程变化的斜率=速度 规律题先写前3项找递推 几何综合题联立方程求交点坐标 概念辨析例题：P沿AB→BC运动，AP长y与路程x图象最大值含义？ 答案：P到C时AP最大即AC长。 解析：BC段P离A最远。 📋 知识总结表 核心概念 公式/规律 注意事项 一次函数 y=kx+b(k≠0) x次数为1，k≠0 正比例函数 y=kx(k≠0) b=0，图象过原点 增减性 k>0增，k<0减 与b无关 与y轴交点 (0,b) b正上b负下 与x轴交点 (-,0) 即kx+b=0的解 平移 上加下减b 左右移变x ⚠️ 核心考点 【考点1】函数概念与一次函数定义（第1-8题） · 判断函数看一个x是否对应唯一y · 一次函数要求x次数1且k≠0 · 正比例b=0且k≠0 1．（25-26九年级下·江苏无锡·阶段检测）定义：（1）是的函数：（2）对于在自变量取值范围之内的任意对应的函数值，始终有（为实数），则是的“顶峰”函数．其中所有满足条件的最小值称为这个函数的“巅峰”值．下列说法正确的有（    ） ①函数是“顶峰”函数； ②函数是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③函数的“巅峰”值为3，则的值为－2或： ④若函数的最小值不超过，“巅峰”值是，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25八年级下·重庆渝北·期末）直线满足式子有意义，则与在同一平面直角坐标系中的图像是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数有最大值6，则实数的值为__________． 7．（25-26八年级下·全国·周测）如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．给出下列四种说法：①是的函数；②是的函数；③是的函数；④是的函数．其中正确的是____________（填序号）． 8．（25-26八年级上·山西太原·期中）下面是小涵学习《一次函数》之后的数学思考，请认真阅读并完成相应的任务 任务： (1)补全材料中横线上空缺的内容：① ；② ；③ ； (2)由以上探究，写出函数图象的一个几何特征，并用相应的表达式的数量特征解释； (3)若点，，都在函数的图象上，且，则，，的大小关系是 （用“”、“”或“”连接）． 【考点2】一次函数图象与性质（第9-13题） · k定增减，b定与y轴交点 · 翻折/绝对值函数分段画图象 · 平移遵循上加下减 9．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是______． 10．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）如图，将函数的图象位于x轴下方的部分，沿x轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标x均满足，则b的取值范围为_____． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期末）小颖同学学习完一次函数的图象和性质后，继续对含绝对值的函数和进行探究，她画出函数的图象如图1所示． 【探究一】（1）为画出的图象，列表如表： （2）请在图2的平面直角坐标系中画出函数图象； （3）请你根据画出的函数图象写出一条它的性质：___________． 【探究二】小颖通过比较和的函数图象，发现函数的图象是由函数的图象向___________（填“左侧”或“右侧”）平移___________个单位长度得到的． 【探究三】已知函数是由向右平移个单位长度得到的，若自变量的取值范围是时，该函数的最大值为4，则的值为多少？请直接写出结果． 12．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 13．（24-25八年级下·北京密云·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． (1)函数中自变量的取值范围是___________； (2)如表是与的几组对应值． 直接写出表格中的值是___________； (3)在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； (4)结合函数图象，解决问题： ①方程有___________个解； ②当时，的取值范围是___________； (5)进一步研究：若点是函数图象上的任意两点，若对于，都有，则的取值范围是___________． 【考点3】函数图象信息与实际应用（第14-29题） · 行程图斜率=速度，交点=相遇 · 分段函数按区间读斜率与截距 · 调运/销售列函数求最值 14．（24-25八年级上·全国·期末）甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y（米）与甲所用时间x（分钟）之间的函数关系如图所示（乙接电话和找工具箱的时间忽略不计）．则以下说法错误的是（　　） A．甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B．甲坏车处距离C地2625米 C．A，C两地之间的距离为4125米 D．A，B两地之间的距离为6875米 15．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图1是甲、乙、丙三个圆柱形无盖容器的截面示意图．其中，甲容器的底面积为，乙容器底部放置了一块长方体铁块，乙容器和丙容器之间有一根管子连通（管子体积可忽略不计）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器中，则三个容器中水的深度（厘米）与注水时间（分）之间的关系如图2所示．请结合图象提供的信息，判断下列说法错误的是（   ）． A．甲容器中初始水面高度为 B．乙容器中铁块的高度是 C．乙容器的底面积为 D．若丙容器的底面积为，则的值为 16．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑向处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙同学在8秒时相遇 B．A，B两处的距离是80米 C．其中一位同学的速度为5米秒 D． 17．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在一条沿山而建的游览路线上依次有三处观景台，小方从处徒步前往处，同时小圆从处骑车前往处，到达处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略不计）按原路原速前往处，结果小圆比小方早2分钟到达处，两人均匀速运动，如图是两人距处路程（米）与时间（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（   ） A．小方的速度为米/分钟 B．小圆的速度为300米/分钟 C．线段所在直线函数解析式为 D．出发分钟或分钟后，两人之间路程相距200米 18．（25-26八年级上·河南郑州·期末）已知某品牌养生壶内装有升水，在初始温度时以恒定功率烧水直至水沸腾，然后自动启动保温模式：当水温降至时，养生壶会再次加热使水温达到，如此循环往复．如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温y随时间x的变化关系的图象： 下列说法正确的是（    ） A．烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高 B．该养生壶水温下降阶段满足关系式 C．养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为 D．养生壶从启动烧水开始两小时内，仅有一次显示温度 19．（23-24八年级下·广西南宁·阶段检测）在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（    ） A．当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B．当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C．当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D．当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 20．（24-25六年级下·山东淄博·期末）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的距离（千米）与行驶时间以（小时）的关系如图所示，则快车的速度比慢车快___________千米/时． 21．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种．甲地经过a天后接种人数达到30万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示，当乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为______万人． 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两车沿同一条平直的公路从地匀速行驶（中途不停留）至地，甲、乙两车之间的距离（单位：）与甲车行驶的时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出以下结论：①甲车的速度为；②，两地相距；③乙车行驶2h后追上甲车；④乙车从地到地共用．其中正确的是____________（填序号）． 23．（25-26七年级上·山东威海·期末）某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）一条公路上依次有，，三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的距离（单位：）与两车行驶时间（单位：h）之间的函数关系如图所示．两车出发___________h时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 25．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离（单位：）与甲行驶的时间（单位：h）之间的关系如下图所示． (1)以下是点，，所代表的实际意义，请将，，填入对应的横线上． ①甲到达终点：____________；②甲、乙两人相遇：____________；③乙到达终点：____________． (2)，两地之间的路程为____________． (3)求甲、乙各自的速度． (4)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距？ 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，以一定的速度往水槽内注水，28s时注满水槽，水槽内水面的高度（单位：）与注水时间（单位：s）之间的函数图象如图所示．如果将正方体铁块取出，那么再经过多少秒恰好将水槽注满？ 27．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程和（单位：）与游览时间（单位：）的对应关系如下图： b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是； ②然然比琦琦晚到达游乐场； ③时，琦琦比然然多走了． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时对应的函数解析式，标出自变量的取值范围； (5)当琦琦和然然相距时，直接写出游览时间的值：___________． 28．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 29．（25-26八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图①，在长方形中，，点从点出发，沿的路线运动，到点停止；点从点出发，沿的路线运动，到点停止．若点和点同时出发，点的速度为每秒，点的速度为每秒，秒时，点和点同时改变速度，点的速度变为每秒，点的速度变为每秒．图②是点出发秒后的面积与时间（秒）的函数关系图象；图③是点出发秒后三角形的面积与时间（秒）的函数关系图象． (1)参照图②，求及图②中的值； (2)设点离开点的路程为，点到点还需要走的路程为，请分别写出改变速度后，与出发后的运动时间（秒）的关系式，并求出点和点相遇时值． 【考点4】动点问题的函数图象（第30-36题） · 动点折线段对应分段函数 · 面积/长度图象斜率=速度 · 由图象反求边长与速度 30．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 31．（2025·甘肃金昌·一模）如图1，在平行四边形ABCD中，动点P从点A出发，沿折线方向匀速运动，运动到点C时停止，设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，y与x的函数图象如图2所示．若AP的最大值为4，则BC的长为（   ） A．4 B．4.4 C．4.8 D．5 32．（2026八年级下·全国·专题练习）已知动点H以的速度在如图①所示的边框（边框拐角处都互相垂直）上，沿匀速运动，的面积关于时间的函数关系的图象如图②所示．已知，有下列说法：①动点H的运动速度为；②的长为；③b的值为13；④在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．其中正确的是______．（填序号） 33．（23-24七年级下·陕西西安·阶段检测）已知动点P从点A出发沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径移动，相应的的面积关于移动路程的关系图象如图2，若，根据图象信息回答，下列说法正确的有：_________（填写正确的序号）    ①图1中长为； ②图2中m的值为9，n的值为25； ③当P点运动到F点时，y对应的值为4； ④当的面积为2时，对应的x的值是2或24． 34．（2026·湖北·模拟预测）如图①，在中，D为的中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图②所示，则（1）__________；（2）m的值为____________． 35．（22-23七年级下·四川成都·期中）如图1，在正方形中，O是的中点，P点从A点出发沿的路线移动到D点时停止，出发时以a单位/秒的速度匀速运动；同时Q点从D点出发沿的路线移动到A点时停止，出发时以b单位/秒的速度匀速运动；P、Q点相遇后P点的速度变为c单位/秒，Q点的速度变为d单位/秒运动．图2是线段扫过的面积与时间t的图象，图3是线段扫过的面积与时间t的图象． (1)正方形的边长是__________； (2)求线段扫过的面积与时间t的代数关系式； (3)若在正方形中所夹图形面积S为5，求点P移动的时间t． 36．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在长方形中，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动至点D，再以的速度从点D运动到点A处停止，设P点运动的时间为，的面积为，y关于x的图象如图2所示． (1)观察图象可知：______；______；______；______． (2)当时，直接写出y关于x的关系式； (3)当时，求x的值． 【考点5】一次函数规律探究与几何综合（第37-45题） · 规律题写前3项找递推 · 几何题联立直线方程求交点 · 最短路径用对称转化 37．（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 40．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）我们把a、b、c三个数的中位数记作，例如：．已知函数．则下列结论： ①和为函数图象上两点，当时，； ②当时y随x增大而增大； ③当时y有最小值0； ④若直线与函数的图象有且只有2个交点，则或． 其中正确的有______．（请填写正确结论的序号） 41．（25-26九年级下·江西南昌·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，在直线和轴之间由小到大依次画出若干个等腰直角三角形（如图所示的阴影部分），其中一条直角边在轴上，另一条直角边与轴垂直，则第个等腰直角三角形的斜边长是______． 42．（2024九年级下·山西·专题练习）如图，在中，，是边上的中线，是边上的一点，且，与交于点，则_________． 43．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点从点沿线段运动到点，速度为1个单位长度/秒，点从点沿线段运动到点，速度为2个单位长度/秒，两个点同时出发，一个点停止，另一个点也停止，设运动的时间为秒． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ． (2)当为等腰三角形时，求值． (3)点为线段上一点，有一动点沿线段从点运动到点，速度为1个单位长度/秒，再沿线段由点运动到点，速度为单位长度/秒，请直接写出动点运动的最短时间． 44．（23-24七年级上·全国·期末）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于，两点，，分别是，上的动点，求周长的最小值． 45．（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）甲地有木材300吨，乙地有木材400吨．现将两地木材全部运往A、B两木艺加工厂，其中厂需木材360吨，厂需木材340吨．设从甲地运吨木材到厂（），从甲地运往两木艺厂的总运费为元，从乙地运往两木艺厂的总运费为元． 运费表 (1)木材运输配送表如下，请你填空（用含的式子表示）： ①______；②______；③______； (2)请分别求出与之间的函数关系式； (3)若要求从乙地运往两木艺厂的总运费不得超过4800元，怎样调运可使全部运输费用（即两地运往两木艺厂的总费用之和）最少，并求出全部运输费用的最小值． 💯 课后巩固 复习建议 · 先看k定增减 · 再看b定交点 · 图象斜率表速度 · 分段按区间读 · 规律列前几项 【作业1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【作业4】．（20-21八年级上·广东揭阳·期中）若正比例函数随的增大而减小，则的值是______． 【作业5】．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）如图，直线与x轴交于，则下列说法中：①随的增大而减小，②，③关于x的方程的解为，其中正确的有_______ ．（填序号） 【作业6】．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．1或 B．1或 C．或 D．1或或 【作业7】．（25-26六年级上·山东青岛·期末）如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把x个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则当时，y的值为___________．    【作业8】．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的正比例函数，若随的增大而减小，则的值为____________． 【作业9】．（25-26八年级上·全国·课后作业）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 【作业10】．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表： (1)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是______，因变量是______ (2)在弹性限度内如果所挂物体的质量为，弹簧的长度为，根据上表写出y与x的关系式． (3)如果弹簧的最大长度为，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ 【作业11】．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线，当m为何值时： (1)此直线与直线平行． (2)此直线与直线交于点． (3)此直线不经过第三象限． (4)函数值y随x的增大而减小且与y轴的交点在x轴下方． 【作业12】．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往地，甲到达地后立即以原速沿原路返回，乙到达地后停止运动，已知运动过程中两人到地的距离与出发时间的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后________第一次相遇． 【作业13】．（24-25八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期末时，青少年宫计划购买A，B两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47名学生．这两款盲盒的销售信息如表三： 表三 目前47名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B两款中选一款，其中30人已作明确选择，剩余17人可以接受任意一款．若按这30人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540元． (1)在已作明确选择的30名学生里，选A款和B款盲盒的分别有多少人？ (2)若剩余17人中选择A款盲盒有人，购买这两款盲盒的总费用为元，求的最小值． 【作业14】．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简： (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【作业15】．（25-26八年级上·江西九江·期中）为了倡导绿色低碳的生活方式，鼓励居民节约用电，某地电费采取如下表所示的计费方式．已知嘉淇家7月份用电量为280千瓦时，缴纳电费164元． (1)求的值． (2)设某户每月用电量为千瓦时，应缴纳电费元，求与的函数关系式． (3)某户8月份的电费为194元，求该户8月份的用电量． 1 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $