期中综合复习·优等生讲义（第1～4章）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中综合复习·优等生讲义（第1~4章） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理及其逆定理，能运用勾股定理求边长、解决折叠与实际测量问题 · 理解实数、无理数、平方根、立方根的概念，熟练进行二次根式的化简与混合运算 · 掌握平面直角坐标系中点的坐标特征、象限符号、点到坐标轴距离及坐标与图形变化 · 理解一次函数与正比例函数的概念、图象与性质，会求解析式并解决交点、平移与实际应用问题 · 能综合运用四章知识解决选择、填空与解答题，规范书写解题过程 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即c2=a2+b2 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25及其整数倍 折叠与实际应用：抓住折叠前后对应边相等，构造直角三角形用勾股定理列方程 概念辨析例题：直角三角形两直角边分别为6和8，求斜边上的高 答案：斜边c==10，斜边上的高h== 解析：先用勾股定理求斜边10，再用面积法：两直角边乘积=斜边×斜边上的高 ☆ 2.实数与二次根式 无理数：无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应 平方根：若x2=a（a≥0），则x=±；算术平方根为；立方根：若x3=a，则x= 二次根式：（a≥0）；性质(=a，=|a| 运算：二次根式加减先化简再合并同类二次根式；乘除=，分母有理化 概念辨析例题：计算：+ 答案：2= 解析：先把各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的项 ☆ 3.位置与坐标 平面直角坐标系：象限符号为第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 点P(a,b)到x轴距离为|b|，到y轴距离为|a|，到原点距离为 关于坐标轴对称：关于x轴对称(a,-b)，关于y轴对称(-a,b)，关于原点对称(-a,-b) 两点距离：A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB= 概念辨析例题：点P(3,-4)到x轴、y轴和原点的距离分别是多少？ 答案：到x轴距离4，到y轴距离3，到原点距离5 解析：到x轴距离=|纵坐标|=4，到y轴距离=|横坐标|=3，到原点用勾股=5 ☆ 4.一次函数 一次函数y=kx+b（k≠0）；当b=0时为正比例函数y=kx，是特殊的一次函数 图象：一条直线；k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小 b为直线与y轴交点的纵坐标；直线与x轴交点为(-,0) 平移：上下平移改变b，左右平移改变自变量；两直线交点即解析式联立方程组的解 概念辨析例题：一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ 答案：与x轴交点(2,0)，与y轴交点(0,-4) 解析：令y=0得x=2；令x=0得y=-4，即得两坐标轴交点 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 只适用于直角三角形，先找准斜边 逆定理 a2+b2=c2→直角三角形 c为最长边 平方根/立方根 x2=a→±；x3=a→ 负数没有平方根，有立方根 二次根式 （a≥0），=|a| 化简后再合并同类二次根式 点的坐标 象限符号、到轴距离 距离取绝对值，对称点坐标变号 一次函数 y=kx+b（k≠0） k定增减，b定与y轴交点 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理及其计算（第1-10题） · 已知两边用a2+b2=c2求第三边，先判断斜边 · 利用勾股定理求线段平方和差，注意整体代入 · 熟记常见勾股数，提高选择填空速度 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则CD的长为（    ） A． B． C． D．5 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 3．（24-25八年级下·江苏南通·期中）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的路“”．已知米，米，他们踩坏了草坪，只为少走_____米的路． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个直角三角形的一条直角边长为9，斜边比另一条直角边长1，该直角三角形的面积为_______． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为______． 6．（江苏省泰州市姜堰区实验初级中学2023-2024学年八年级上学期数学独立作业11.10）已知直角三角形两直角边长分别为6和10，则斜边长的平方为 _______． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）某直角三角形三条边的平方和为288，则这个直角三角形的斜边长为__________． 8．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． (1)求的值； (2)若，求的长． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长可升降伸缩的云梯，最多可伸长至20，如图，云梯斜靠在一面墙上，墙面垂直地面，即，这时云梯长，底端距墙脚的距离． (1)求这架云梯顶端距地面的距离的高度？ (2)消防员接到命令，云梯底端不动，要求将云梯伸长，使顶端上升到距点的处，云梯的长度是否足够消防员到达处？请说明理由． 【考点2】勾股定理的实际应用与折叠（第11-13题） · 实际问题（旗杆、大树、云梯）画直角三角形建模 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数列勾股方程 · 注意结果是否需要单位与实际意义检验 11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为________． 【考点3】实数的有关概念（第14-26题） · 区分无理数与有理数，实数与数轴一一对应 · 平方根、算术平方根、立方根符号不要混淆 · 新定义运算严格按给定法则代入计算 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列四个实数，，，中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②0的算术平方根是0；③不带根号的数一定是有理数；④近似数精确到万位；⑤无理数是无限小数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2026·广东惠州·二模）计算：_________． 17．（23-24七年级下·山东德州·开学考试）4的算术平方根是_______，的值是________． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）的算术平方根是____，将23570精确到千位的近似数是____． 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是______． 20．（23-24七年级上·浙江·周测）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“<”号把这些数连接起来． 21．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）定义一种新运算※，观察下列式子：；；；． (1)填一填： ． (2)请你依照上述运算方法，求的值． 22．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段检测）将下列各数在相应的集合里． ，，，4.3，，4，0，，，． 整数集合：{　 　…} 正分数集合：{　 　…} 无理数集合：{　 　…}． 23．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）把下列各数分别填在相应的大括号里：7，， 0，，，，523，． 自然数集合： {                                         } 整数集合： {                                          } 分数集合： {                                          } 正有理数集合： {                                          } 负有理数集合： {                                          } 无理数集合： {                                          } 24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）求x的值： (1)． (2)． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求的值． (1) (2) 26．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 【考点4】二次根式的性质与运算（第27-37题） · 先把各根式化为最简二次根式再合并 · 乘除用=，除法注意分母有理化 · 混合运算顺序与整式相同，可运用乘法公式 27．（23-24八年级上·山西运城·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图是用个相同的小长方形与个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，（其中）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）比较大小：______7（填“”、“”或“”）． 31．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、为有理数，并满足，则______． 32．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）若，则________． 33．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 34．（23-24八年级上·云南文山·阶段检测）计算题： (1)； (2)． 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 ； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出 的值． 36．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）计算或化简： (1) (2) (3) (4)． 37．（25-26八年级下·北京·期中）计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 【考点5】位置与坐标（第38-45题） · 由象限符号判断点所在位置，由位置反推坐标符号 · 点到坐标轴距离=坐标绝对值，不要漏绝对值 · 轴对称、原点对称按坐标变号规律处理 38．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 39．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，是“将”位于，“象”位于点，则“炮”的位于点（   ） A． B． C． D． 40．（21-22八年级上·安徽六安·期中）若点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为______． 41．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 42．（25-26八年级上·江苏南京·期末）点在第四象限，且到轴的距离为5，到原点的距离为13，则点的坐标为________． 43．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）鹿鸣社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了校园平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示：食堂___________，大门___________； (2)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置． 44．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知．    (1)在图中作出关于轴对称的； (2)直接写出的坐标：__________，__________，__________； (3)在轴上求作一点，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 45．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【考点6】一次函数的概念与图象（第46-52题） · 由k、b符号判断直线经过的象限 · 画图象取与两坐标轴交点两点连线 · 求自变量或函数值即代入解析式计算 46．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列能表示是的函数的是（　　） A． B． C． 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 D．以上都是 47．（23-24八年级上·广东佛山·期末）若点、都在函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 48．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某游泳馆有A、B两种收费，所付总费用y与游泳次数x之间的关系如图所示．去年小明共游泳25次，他预计今年也是25次左右，你认为小明预计今年最划算应付费用（   ） A．300元 B．400元 C．500元 D．600元 49．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）点在函数上，则的值是_______． 50．（2025·江苏南通·二模）已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是__________． 51．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段检测）若点在直线上，又在双曲线上，则______． 52．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【考点7】一次函数的性质（第53-56题） · k>0递增、k<0递减，据此比较函数值大小 · 上下平移改变b，左右平移对x作加减 · 两直线交点坐标由联立方程组求得 53．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 54．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）将直线向下平移6个单位长度，所得到的图象相应的函数表达式为_______． 55．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知一次函数，原点到直线的最大距离为 ____． 56．（2025八年级上·全国·专题练习）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【考点8】一次函数的实际应用与综合（第57-60题） · 从实际问题中抽象出一次函数模型并求解析式 · 结合图象读取信息，分段讨论自变量范围 · 与几何、坐标综合时先求关键点坐标再计算 57．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段检测）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？注：1尺寸），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图像，则图中交点P的横坐标为（   ） A． B． C． D．45 58．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（   ）    A．2 B． C． D．1 59．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知、两地之间是一条直路，甲骑自行车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．两人出发后相遇 B．甲骑自行车的速度为 C．乙到达目的地时两人相距 D．乙比甲提前到达目的地 60．（2024·江苏常州·一模）直线与直线(为常数，且)交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（    ） A． B． C． D． 💯 课后巩固 【作业1】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【作业2】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【作业3】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在（每相邻两个1之间0的个数依次增加1个）这些数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业4】．（23-24八年级上·浙江金华·期末）化简的结果是（    ） A．100 B．60 C．40 D．20 【作业5】．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【作业6】．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）若直角三角形两边、，那么第三边c的值是 _____． 【作业8】．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是_______． 【作业9】．（22-23七年级上·四川达州·期末）若规定：①表示大于m的最小整数，例如：，；②表示不大于m的最大整数，例如：，，则使等式成立的整数__________． 【作业10】．（22-23九年级上·吉林白城·开学考试）已知，，则_____． 【作业11】．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测），是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为________． 【作业12】．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若函数是一次函数，则的值为___________． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）关于一次函数，给出下列说法正确的是___________________(写序号) ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第二象限，则； ③该函数恒过定点； ④该函数向下平移5个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形为2，则． 【作业14】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 【作业15】．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【作业16】．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：_________； (2)计算：． 【作业17】．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)． 【作业18】．（24-25八年级上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求x的值； (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【作业19】．（23-24七年级上·山东青岛·期末）某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 2 … 其中， ； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． 【作业20】．（2025·陕西西安·一模）民宿，因“小而美”“个性化”走俏市场，在旅游消费中占据着越来越重要的位置．某地结合当地丰富的山水资源，大力发展旅游业，在政府支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客．根据合作社提供的每天游客居住房间数y（间）和房间单价x（元/天）的信息，小琴绘制出y与x之间的函数图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出50元的各种费用，没有游客居住的房间则没有费用，当合作社提供的房间单价为100元/天时，求合作社每天获得的利润． 复习建议 · 勾股过关：定理与逆定理分清，折叠、实际问题先画直角三角形 · 实数过关：平方根与立方根符号不混，二次根式先化简再运算 · 坐标过关：象限符号、到轴距离、对称点变号规律要熟练 · 函数过关：k、b对图象的影响要会判断，会画图象会求交点 · 综合过关：解答题规范书写，先求关键点坐标再列计算 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中综合复习·优等生讲义（第1~4章） （知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年北师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握勾股定理及其逆定理，能运用勾股定理求边长、解决折叠与实际测量问题 · 理解实数、无理数、平方根、立方根的概念，熟练进行二次根式的化简与混合运算 · 掌握平面直角坐标系中点的坐标特征、象限符号、点到坐标轴距离及坐标与图形变化 · 理解一次函数与正比例函数的概念、图象与性质，会求解析式并解决交点、平移与实际应用问题 · 能综合运用四章知识解决选择、填空与解答题，规范书写解题过程 📚 知识梳理 ☆ 1.勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即c2=a2+b2 逆定理：若三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25及其整数倍 折叠与实际应用：抓住折叠前后对应边相等，构造直角三角形用勾股定理列方程 概念辨析例题：直角三角形两直角边分别为6和8，求斜边上的高 答案：斜边c==10，斜边上的高h== 解析：先用勾股定理求斜边10，再用面积法：两直角边乘积=斜边×斜边上的高 ☆ 2.实数与二次根式 无理数：无限不循环小数；实数与数轴上的点一一对应 平方根：若x2=a（a≥0），则x=±；算术平方根为；立方根：若x3=a，则x= 二次根式：（a≥0）；性质(=a，=|a| 运算：二次根式加减先化简再合并同类二次根式；乘除=，分母有理化 概念辨析例题：计算：+ 答案：2= 解析：先把各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的项 ☆ 3.位置与坐标 平面直角坐标系：象限符号为第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) 点P(a,b)到x轴距离为|b|，到y轴距离为|a|，到原点距离为 关于坐标轴对称：关于x轴对称(a,-b)，关于y轴对称(-a,b)，关于原点对称(-a,-b) 两点距离：A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB= 概念辨析例题：点P(3,-4)到x轴、y轴和原点的距离分别是多少？ 答案：到x轴距离4，到y轴距离3，到原点距离5 解析：到x轴距离=|纵坐标|=4，到y轴距离=|横坐标|=3，到原点用勾股=5 ☆ 4.一次函数 一次函数y=kx+b（k≠0）；当b=0时为正比例函数y=kx，是特殊的一次函数 图象：一条直线；k>0时y随x增大而增大，k<0时y随x增大而减小 b为直线与y轴交点的纵坐标；直线与x轴交点为(-,0) 平移：上下平移改变b，左右平移改变自变量；两直线交点即解析式联立方程组的解 概念辨析例题：一次函数y=2x-4的图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ 答案：与x轴交点(2,0)，与y轴交点(0,-4) 解析：令y=0得x=2；令x=0得y=-4，即得两坐标轴交点 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 勾股定理 c2=a2+b2 只适用于直角三角形，先找准斜边 逆定理 a2+b2=c2→直角三角形 c为最长边 平方根/立方根 x2=a→±；x3=a→ 负数没有平方根，有立方根 二次根式 （a≥0），=|a| 化简后再合并同类二次根式 点的坐标 象限符号、到轴距离 距离取绝对值，对称点坐标变号 一次函数 y=kx+b（k≠0） k定增减，b定与y轴交点 ⚠️ 核心考点 【考点1】勾股定理及其计算（第1-10题） · 已知两边用a2+b2=c2求第三边，先判断斜边 · 利用勾股定理求线段平方和差，注意整体代入 · 熟记常见勾股数，提高选择填空速度 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，垂足为D．若，，则CD的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键．先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即． 故选C． 2．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（   ） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，通过面积关系构造使用完全平方公式是求解本题的关键． 设，，建立关于a、b的关系，最后求面积即可． 【详解】解：设，，则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 故选：C． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期中）现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄．右图是昌平滨河公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径”，于是在草坪内走出了一条不该有的路“”．已知米，米，他们踩坏了草坪，只为少走_____米的路． 【答案】20 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出即可解决问题．本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，属于中考基础题． 【详解】解：∵米，米， ∴在中， （米）， 则（米）， ∴他们只为少走20米的路． 故答案为20 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个直角三角形的一条直角边长为9，斜边比另一条直角边长1，该直角三角形的面积为_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元一次方程、勾股定理；设另一条直角边长为，斜边长为，根据勾股定理列方程求出的值，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】设另一条直角边长为，斜边长为 由勾股定理得 解得 这个直角三角形的面积 故答案为：． 5．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）一个直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为，则a的值为______． 【答案】4 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股数的定理 ．由此即可得出答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为1，a，斜边长为 ∴ （负值舍去） 故答案为：4． 6．（江苏省泰州市姜堰区实验初级中学2023-2024学年八年级上学期数学独立作业11.10）已知直角三角形两直角边长分别为6和10，则斜边长的平方为 _______． 【答案】136 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了了勾股定理，解题的关键是熟练掌勾股定理，“在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么”． 【详解】解：直角三角形两直角边长分别为6和10，则斜边长的平方为：． 故答案为：136． 7．（25-26八年级上·江苏常州·期中）某直角三角形三条边的平方和为288，则这个直角三角形的斜边长为__________． 【答案】12 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，因此三边平方和等于两倍斜边的平方． 【详解】解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则， ∴， ∵， ∴，则． 故答案为：12． 8．（23-24八年级下·河南郑州·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则__________． 【答案】73 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键． 在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，然后根据等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴. 故答案为：73． 9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，D是的中点，分别过点A、D作直线，直线、之间的距离为7，过点B作于点M，延长交于点N． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、运用完全平方公式进行运算、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，完全平方公式，证明是解题的关键． （1）根据题意可得，，则可利用证明，得到，再由线段的和差关系可得答案； （2）利用完全平方公式得到，则可求出，结合勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵，，直线、之间的距离为7， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）． 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长可升降伸缩的云梯，最多可伸长至20，如图，云梯斜靠在一面墙上，墙面垂直地面，即，这时云梯长，底端距墙脚的距离． (1)求这架云梯顶端距地面的距离的高度？ (2)消防员接到命令，云梯底端不动，要求将云梯伸长，使顶端上升到距点的处，云梯的长度是否足够消防员到达处？请说明理由． 【答案】(1)这架云梯顶端距地面的距离的高度为． (2) 云梯的长度是足够消防员到达处，理由如下：   由题意可知，，，   ∴，   ∵，   ∴，   ∴云梯的长度是足够消防员到达处． 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理并构建直角三角形是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可；   （2）先求出的长，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，，   ∴，   答：这架云梯顶端距地面的距离的高度为． （2）略 【考点2】勾股定理的实际应用与折叠（第11-13题） · 实际问题（旗杆、大树、云梯）画直角三角形建模 · 折叠问题抓住对应边相等，设未知数列勾股方程 · 注意结果是否需要单位与实际意义检验 11．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边、，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理，利用翻折变换的性质得出，再利用在中运用勾股定理就可以求出的长． 【详解】解：设， 将一张直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ，． 在中， ， 则， ， 整理得：， 解得：， 即的长为． 故选：A． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕分别交于点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质等知识点， 由折叠性质知，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由四边形是长方形 ， ∴， 由折叠性质知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：． 13．（24-25八年级上·广东深圳·阶段检测）如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为________． 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是解题的关键． 根据勾股定理求得，根据折叠的性质可得，在中，，根据勾股定理列出方程，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 因为将沿着翻折，使C点落在边上的点E处， ， ， 在中， 即， 解得：， 故答案为：． 【考点3】实数的有关概念（第14-26题） · 区分无理数与有理数，实数与数轴一一对应 · 平方根、算术平方根、立方根符号不要混淆 · 新定义运算严格按给定法则代入计算 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）下列四个实数，，，中，无理数的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】无理数、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数的定义，求一个数的算术平方根、立方根，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：是整数，不是无理数；是无理数；是分数，不是无理数；是分数，不是无理数， 因此是无理数的只有1个， 故选：A 15．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②0的算术平方根是0；③不带根号的数一定是有理数；④近似数精确到万位；⑤无理数是无限小数．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数、实数与数轴、求近似数的精确度、求一个数的算术平方根 【分析】根据实数、无理数、近似数算术平方根的概念和性质逐一分析判断即可． 【详解】解：①实数和数轴上的点一一对应，故该说法错误； ②0的算术平方根是0，该说法正确； ③不带根号的数不一定是有理数，如不带根号，是无理数，故该说法错误； ④近似数精确到万位，该说法正确； ⑤无理数是无限不循环小数，故该说法错误． 综上所述，正确的是②④，共计2个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了实数、无理数、算术平方根、近似数的概念等知识，能够准确把握实数的相关概念是正确解答问题的关键． 16．（2026·广东惠州·二模）计算：_________． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】根据相关运算法则逐步计算即可. 【详解】解： . 17．（23-24七年级下·山东德州·开学考试）4的算术平方根是_______，的值是________． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的定义计算即可得出答案． 【详解】解：4的算术平方根是， ∵ ∴的值是， 故答案为：，． 18．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）的算术平方根是____，将23570精确到千位的近似数是____． 【答案】 / 【知识点】求一个数的近似数、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，求解一个数的近似数，科学记数法的含义；由，再进一步求解算术平方根即可，由精确度为千位，把百位按照四舍五入的方法处理，再利用科学记数法表示即可. 【详解】解：∵，； 的算术平方根是3， 将23570精确到千位的近似数是； 故答案为：， 19．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）按下图中程序计算，若输出的值为9，则输入的数是______． 【答案】2或 【知识点】程序流程图与有理数计算、利用平方根解方程 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，平方根，设输入的数为x，则，利用平方根解方程即可． 【详解】解：设输入的数为x， 由题意得：， 或， 解得或， 故答案为：2或． 20．（23-24七年级上·浙江·周测）把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“<”号把这些数连接起来． 【答案】， 在数轴上表示为： 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，先计算绝对值和平方根，再在数轴上把各个数表示出来，再按在数轴上右边的数总比左边的数大比较即可． 【详解】解：，， ． 21．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）定义一种新运算※，观察下列式子：；；；． (1)填一填： ． (2)请你依照上述运算方法，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，定义新运算， 对于（1），根据“两个数进行新运算等于这两个数的乘积加上第二个数”解答即可； 对于（2），根据新运算要求解答即可. 【详解】（1）解：原式； 故答案为：12； （2）解：原式. 22．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段检测）将下列各数在相应的集合里． ，，，4.3，，4，0，，，． 整数集合：{　 　…} 正分数集合：{　 　…} 无理数集合：{　 　…}． 【答案】见解析 【知识点】实数的分类 【分析】根据实数的分类求解即可． 【详解】解：， ，，，4.3，，4，0，，，中， 整数有：4，0，； 正分数有：4.3； 无理数有：． 【点睛】本题考查了实数的分类，掌握实数的分类表是解决本题的关键． 23．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段检测）把下列各数分别填在相应的大括号里：7，， 0，，，，523，． 自然数集合： {                                         } 整数集合： {                                          } 分数集合： {                                          } 正有理数集合： {                                          } 负有理数集合： {                                          } 无理数集合： {                                          } 【答案】 自然数集合： {0， 7， 523}； 整数集合： {7， 0， ， 523 }； 分数集合：{， ， }； 正有理数集合：{7， 523， }； 负有理数集合：{， ， }； 无理数集合： {π}． 【知识点】实数的分类 【分析】根据实数的分类方法进行解答即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数、无理数的定义． 24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段检测）求x的值： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】（1）根据求立方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用平方根和求立方根解方程，熟知平方根和立方根的求解方法是解题的关键． 25．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）求的值． (1) (2) 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】求一个数的立方根、利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根解方程，求一个数的立方根． （1）先移项，利用平方根解方程即可； （2）通过求立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴ ∴ ∴，； （2）解：， ∴， ∴． 26．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、零指数幂、求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质，零指数幂，绝对值的意义是解题关键． （1）先化简二次根根式，零指数幂，然后再计算； （2）化简立方根，绝对值，算术平方根，然后再计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点4】二次根式的性质与运算（第27-37题） · 先把各根式化为最简二次根式再合并 · 乘除用=，除法注意分母有理化 · 混合运算顺序与整式相同，可运用乘法公式 27．（23-24八年级上·山西运城·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、带有字母的绝对值化简问题、二次根式的乘法 【分析】本题考查了二次根式的加减，二次根式的乘法，绝对值的化简的等知识，根据相关知识逐项进行计算即可求解． 【详解】解：A. 与被开方数不同，不能进行加减，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算正确，符合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算错误，不合题意． 故选：B 28．（22-23八年级上·江苏南通·期末）如图是用个相同的小长方形与个小正方形密铺而成的正方形图案，已知大正方形的面积为，小正方形的面积为，若用，（其中）分别表示小长方形的长与宽，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、求一个数的算术平方根 【分析】根据大正方形的面积是，大正方形的边长可以表示为，可得：，故A选项正确；根据小正方形的面积是，小正方形的边长可以表示为，可得：，故B选项正确；根据平方差公式可得：，故C选项错误；根据大正方形的面积等于个小长方形的面积加上小正方形的面积，可得：，故D选项正确． 【详解】解：A选项：大正方形的面积为， 大正方形的边长为， ， 故A选项正确； B选项：小正方形的面积为， 小正方形的边长为， ， 故B选项正确； C选项：，， ， ， 故C选项不正确； D选项：小长方形的长为，宽为，小正方形的面积为， 大正方形的面积为， 又大正方形的面积为， ， 故D选项正确； 故选：C． 29．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小． 【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且， ∴，（）． ∴， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 30．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）比较大小：______7（填“”、“”或“”）． 【答案】 【知识点】比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数的大小比较，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先利用二次根式的性质进行化简，再根据实数的大小比较方法即可得． 【详解】解：， ∵， ∴，即， 故答案为：． 31．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、为有理数，并满足，则______． 【答案】7 【知识点】二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．先利用完全平方公式计算，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ∵、为有理数，并满足， ∴， ∴， 故答案为：7． 32．（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）若，则________． 【答案】 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到，整理得，最后代入已知条件计算得出结果。 【详解】解：， ∴， ∴， 整理得， ∴ ， 故答案为：． 33．（22-23八年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先计算乘法，然后再进行加减法． （2）先化简二次根式，绝对值，然后再算加减法． 【详解】（1）解： （2） 34．（23-24八年级上·云南文山·阶段检测）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)0 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键． 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 ； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、运用平方差公式进行运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ， ，即， ，， ． 36．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）计算或化简： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算、零指数幂、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）分别化简二次根式，先算小括号里面的，然后再算括号外面的． （3）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，绝对值意义，二次根式性质进行计算即可；（4）根据完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 37．（25-26八年级下·北京·期中）计算下列各式的值． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （2）先将带分数化为假分数，再计算二次根式的乘除即可； （3）先计算括号里面和除法，再计算加减即可； （4）先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 【考点5】位置与坐标（第38-45题） · 由象限符号判断点所在位置，由位置反推坐标符号 · 点到坐标轴距离=坐标绝对值，不要漏绝对值 · 轴对称、原点对称按坐标变号规律处理 38．（24-25八年级上·全国·期中）在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了在坐标上点的坐标特征，理解点在坐标轴上的坐标特征是解答关键．根据平面直角坐标系中的点在x轴的特点纵坐标为0来求解． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴． 故选：A． 39．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，是“将”位于，“象”位于点，则“炮”的位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了平面坐标系的建立，先根据“将”和“象”的位置确定原点的坐标，建立平面直角坐标系，从而可以确定“炮”的位置． 【详解】解：“将”位于，“象”位于点，可建立如图所示坐标系，    “炮”位于点， 故选：B． 40．（21-22八年级上·安徽六安·期中）若点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的点的坐标的特征，点到坐标轴的距离；应先判断出点A的横纵坐标的符号，进而根据到坐标轴的距离判断具体坐标． 【详解】解：点在第四象限， 点的横坐标大于，纵坐标小于， 又点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的横坐标是，纵坐标是， 点的坐标为． 故答案为：． 41．（24-25八年级上·江苏南京·阶段检测）若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：． 42．（25-26八年级上·江苏南京·期末）点在第四象限，且到轴的距离为5，到原点的距离为13，则点的坐标为________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、用勾股定理解三角形、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，勾股定理，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，设点坐标为，根据题意可得，且，再根据第四象限内点的横坐标大于零，可得答案． 【详解】解：设点坐标为， ∵点在第四象限，且到轴的距离是5，到原点的距离为13， ∴，且， ∴， ∴， ∵点在第四象限， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 43．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）鹿鸣社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了校园平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． (1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示：食堂___________，大门___________； (2)已知体育馆的位置是，教学楼的位置是，在图中标出体育馆和教学楼的位置． 【答案】(1) 建立平面直角坐标系如图所示， ， (2) 如图所示． 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查坐标表示地理位置，平面直角坐标系的特点， （1）根据旗杆的位置是，实验楼的位置是即可确定平面直角坐标系，根据平面直角坐标系即可求解； （2）根据坐标表示地理位置的方法即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：略． 44．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知．    (1)在图中作出关于轴对称的； (2)直接写出的坐标：__________，__________，__________； (3)在轴上求作一点，使的值最小（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) 即为所求：    (2)，， (3)点P即为所求：    【知识点】画轴对称图形、最短路径问题、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作图轴对称变换，掌握几何图形都是由点构成，画一个图形的对称图时在于找特殊的点的对称点． （1）根据关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，找到，依次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点，纵坐标不边，横坐标变为原来的相反数即可得到坐标． （3）找到A关于x轴的对称点，利用两点之间线段最短即可求解． 【详解】（1）略 （2），，， 故答案为：，，； （3）取点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交点即为点P，如图，此时的值最小． 45．（23-24七年级下·吉林白城·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边、 分别在x轴、y轴上，B点在第一象限，点A的坐标是，． (1)直接写出点B、点C的坐标． (2)点P从原点O出发，在边上以每秒1个单位长度的速度匀速向C点运动，同时点Q从点B出发，在边上以每秒2个单位长度的速度匀速向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t秒，探究下列问题： ①当t为多少时，直线轴？ ②在运动过程中，当点Q到y轴的距离为2个单位长度时，求t的值． ③在整个运动过程中，能否使得四边形的面积是长方形面积的？若能，请求出P、Q两点的坐标；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；③能，点P的坐标是，点Q的坐标是 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、坐标系中的动点问题（不含函数）、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题是四边形综合题．考查了长方形的性质以及四边形的面积，解题的关键是化动为静，用含t的代数式表示线段的长． （1）根据给定点的坐标和线段长，再利用长方形的性质求出点B和点C的坐标； （2）①根据题意得，，则，可知，根据题意有，列方程求解即可； ②根据题意可知，则有，求解t即可； ③根据题意求得，有题意知，，可求得，，则，结合题意求得t，即可知点的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴， ∵点A的坐标是，， ∴， ∴， 故点； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ①∵直线轴， ∴ ∴， ∴， ∴当t值为秒时，直线轴； ②∵点Q到y轴的距离为2个单位长度， ∴， 由①知，则，解得， ③∵，， ∴， 由运动知，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积是长方形的面积的， ∴，解得， ∴， ∴，． 【考点6】一次函数的概念与图象（第46-52题） · 由k、b符号判断直线经过的象限 · 画图象取与两坐标轴交点两点连线 · 求自变量或函数值即代入解析式计算 46．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）下列能表示是的函数的是（　　） A． B． C． 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15 D．以上都是 【答案】D 【知识点】函数图象识别、函数的概念 【分析】本题考查了函数的表示方法及函数的定义，掌握函数的表示方法及函数的定义是解题的关键． 根据函数的表示方法及函数的定义，根据函数的定义，一般地，如果变量随着变量而变化，并且对于取的每一个值，都有唯一的一个值与它对应，那么称是的函数，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A、关于函数图像，对于每一个，有唯一的与之对应，故符合题意； B、表达式，能表示y是x的函数，符合题意； C、表格，对于每一个，有唯一的与之对应，故符合题意； D、以上都是，故符合题意； 故选D 47．（23-24八年级上·广东佛山·期末）若点、都在函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据，可得随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵，， 点、都在函数的图象上， ∴ 故选：C． 48．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某游泳馆有A、B两种收费，所付总费用y与游泳次数x之间的关系如图所示．去年小明共游泳25次，他预计今年也是25次左右，你认为小明预计今年最划算应付费用（   ） A．300元 B．400元 C．500元 D．600元 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】分别计算不同的方案所需的费用，再进行比较即可． 【详解】解：由题可知，①选择A种收费方式，游泳25次应付费用元； ②选择B种收费方式，游泳25次应付费用元； ③20次选择B种收费方式，5次选择A种收费方式，游泳25次应付费用元； ∵， ∴小明预计今年最划算应付费用元． 故选：B． 49．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）点在函数上，则的值是_______． 【答案】 【知识点】求一次函数自变量或函数值、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，将代入函数解析式计算即可得解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点在函数上， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（2025·江苏南通·二模）已知不等式的解集是，，，，四个点中，有一个点在直线上，则这个点是__________． 【答案】点B 【知识点】求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的图象 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质．根据不等式的解集是得到一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即，进一步即可作出判断，得到答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴一次函数必过点，且y随着的增大而增大，即， ∵，， ∴点A的纵坐标应该大于2，点C的纵坐标应该小于2，点D的纵坐标应该小于2， ∴，，一定不在直线直线上， ∵，，，四个点中，有一个点在直线上， ∴点在直线上， 故答案为：点B 51．（22-23八年级下·江苏泰州·阶段检测）若点在直线上，又在双曲线上，则______． 【答案】15 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、函数的概念 【分析】本题主要考查点与函数的关系和整体代入思想的应用，根据题意得到对应的方程组，将所求代数式和方程组变形采取整体代入即可求得答案． 【详解】解：∵点在直线上，又在双曲线上， ∴， 则， 那么，， 故答案为：15． 52．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图是湖州市某一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： (1)数学眼光：此函数图象是哪两个变量之间的关系图； (2)数学思维：根据函数图象，写出两条该函数的性质； (3)数学语言：冬天室外气温及以上时，可以适当进行户外运动，请问当天什么时间段适合进行户外运动． 【答案】(1)温度和时间 (2)①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） (3)在时，均适合户外运动． 【知识点】函数图象识别、从函数的图象获取信息、函数的概念 【分析】本题考查函数的定义与性质，从图象上获取信息，熟练掌握相关知识是关键． （1）观察坐标轴可得出结论； （2）结合函数图象进行判断即可； （3）观察时，对应的的值，结合函数的增减性确定时间范围． 【详解】（1）解：由图象可知，此函数图象是温度和时间之间的关系； （2）解：由函数的图象可知，①当时，当天温度最低为；②在时，气温在持续升高；（答案不唯一） （3）解：由函数的图象可知，在时，室外气温均在及以上，此时适合进行户外运动． 【考点7】一次函数的性质（第53-56题） · k>0递增、k<0递减，据此比较函数值大小 · 上下平移改变b，左右平移对x作加减 · 两直线交点坐标由联立方程组求得 53．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）若一次函数 (k为常数且)的图象经过点，则关于x的方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数图象平移问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的平移，根据一次函数图象的平移即可得到答案，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵是由的图象向右平移个单位得到的， ∴将一次函数的图象上的点向右平移个单位得到的点的坐标为， ∴当时，方程的解为， 故选：C． 54．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）将直线向下平移6个单位长度，所得到的图象相应的函数表达式为_______． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握图象平移的规律． 根据一次函数图象的平移规律“上加下减”，向下平移时，函数表达式中的常数项减少平移的单位数． 【详解】解：将直线向下平移6个单位长度，得到的新函数表达式为， 故答案为：． 55．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知一次函数，原点到直线的最大距离为 ____． 【答案】 【知识点】点到直线的距离、求一次函数自变量或函数值、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查一次函数图象上的点，以及两点间的距离公式．根据一次函数的解析式，确定图象的必过点，是解题的关键．当时，，一次函数的图象过定点，设原点到直线的距离为d，点，根据斜边大于直角边，得到，求出的长，即为所求． 【详解】解：根据题意，设原点到直线的距离为d， ∵直线，当时，， ∴直线恒过定点，设， 则， ∴原点到直线的距离的最大值等于， 故答案为：． 56．（2025八年级上·全国·专题练习）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①如图； ② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与对称问题、画一次函数图象、判断一次函数的增减性 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 【考点8】一次函数的实际应用与综合（第57-60题） · 从实际问题中抽象出一次函数模型并求解析式 · 结合图象读取信息，分段讨论自变量范围 · 与几何、坐标综合时先求关键点坐标再计算 57．（24-25九年级下·江苏淮安·阶段检测）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？注：1尺寸），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图像，则图中交点P的横坐标为（   ） A． B． C． D．45 【答案】C 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为寸，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则： ， 解得， 两图象交点的横坐标是， 故选：C． 58．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，若光线满足的函数关系式为：，则b的值是（   ）    A．2 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、一次函数与几何综合 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，证明得到，进而求得点D坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：延长交x轴于点D，    由入射角等于反射角得，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 代入中，得， ∴， 故选：C． 59．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）已知、两地之间是一条直路，甲骑自行车从地到地，乙骑摩托车从地到地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离与运动时间的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（   ） A．两人出发后相遇 B．甲骑自行车的速度为 C．乙到达目的地时两人相距 D．乙比甲提前到达目的地 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了从函数图象中获取相关信息，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 根据函数图象中的数据，可以分别计算甲、乙两人的速度，以及分析出甲、乙两人的运动状态，从而判断解题． 【详解】解：A. 由图知，两人出发后相遇，正确，不符合题意； B. 两人同时出发，乙先到达目的地， 甲骑自行车从地到地，用了， 甲骑自行车的速度为，正确，不符合题意； C. 两人出发后相遇， 两人速度和为 ， 乙骑摩托车的速度为 ， 乙骑摩托车从地到地所用时间为， 此时甲骑自行车的路程为， 即乙到达目的地时两人相距，正确，不符合题意； D. 由前面得出的条件可知，乙比甲提前到达目的地，错误，符合题意； 故选：D． 60．（2024·江苏常州·一模）直线与直线(为常数，且)交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，平行线的知识．根据题意，先求出交点的坐标，得出点的轨迹，再判断出直线与直线平行即可． 【详解】解：由得 为常数 点在直线上 点到直线的距离总是一个定值 直线与直线平行 ． 故选：B． 💯 课后巩固 【作业1】．（23-24八年级上·河南郑州·期中）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（    ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．方程思想 【答案】C 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题是对数学思想的考查，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可． 【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法， 如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的， 由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想， 故选：C． 【作业2】．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则为（    ）尺． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，由勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 由勾股定理得：， ， 解得：， 尺， 故选：B． 【作业3】．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）在（每相邻两个1之间0的个数依次增加1个）这些数中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义一一判断即可． 【详解】解：在，，，，，（每相邻两个1之间0的个数依次增加1个）中，无理数有， ，一共2个. 故选：B． 【作业4】．（23-24八年级上·浙江金华·期末）化简的结果是（    ） A．100 B．60 C．40 D．20 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：； 故选C． 【作业5】．（2024·江苏扬州·三模）在平面直角坐标系的第二象限内有一点A，点A到轴的距离为9，到轴的距离为6，则点A的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标的特征．设点A的坐标是，根据点M在第二象限内，可得，，再由点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6，可得，，即可求解． 【详解】解：设点A的坐标是， ∵点M在第二象限内， ∴，， ∵点A到x轴的距离为9，到y轴的距离为6， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是． 故选：B． 【作业6】．（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 【作业7】．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段检测）若直角三角形两边、，那么第三边c的值是 _____． 【答案】5或 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．本题分两种情况讨论即可． 【详解】解：当为斜边时， 则； 当为斜边时， 则， 故答案为：5或 【作业8】．（24-25八年级上·江苏·期末）【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知， 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C， 再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米； 【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算请你求旗杆的高度是_______． 【答案】12米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意可得米，米．在直角中，根据勾股定理即可求得旗杆的高度． 本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【详解】解：根据题意知：米，米． 在直角中，由勾股定理得： ， 故． 解得， 答：旗杆的高度为12米． 故答案为：12． 【作业9】．（22-23七年级上·四川达州·期末）若规定：①表示大于m的最小整数，例如：，；②表示不大于m的最大整数，例如：，，则使等式成立的整数__________． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、新定义下的实数运算 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，解决此题的关键是理解题意，这里注意x是整数． 根据题意①表示大于m的最小整数，即；②表示不大于m的最大整数，即． 【详解】解：根据题意，得使等式成立的整数x应满足： ， ∴． 故答案为：2． 【作业10】．（22-23九年级上·吉林白城·开学考试）已知，，则_____． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查二次根式和混合运算，先分解因式，再代入计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【作业11】．（23-24七年级下·江苏南通·阶段检测），是平面直角坐标系中的两点，线段长度的最小值为________． 【答案】4 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握上两点间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 当，即时，线段的长度的值最小， 此时， 故答案为：4． 【作业12】．（25-26八年级上·江苏南京·周测）若函数是一次函数，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为，可得答案． 【详解】解：由是一次函数，得，且， 解得， 故答案为：． 【作业13】．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）关于一次函数，给出下列说法正确的是___________________(写序号) ①若点，在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第二象限，则； ③该函数恒过定点； ④该函数向下平移5个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形为2，则． 【答案】①③ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、根据一次函数增减性求参数、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数的性质，对于①由点和的横坐标关系及函数值大小可得函数单调性；对于②分析函数经过的象限；对于③代入特定值验证定点；对于④计算平移后函数与坐标轴围成的面积并求解值，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：①∵点，在该函数图象上，且，， ∴函数随增大而增大， 故，①正确； ②∵函数不经过第二象限， ∴当时，，函数经过第二象限；当时，函数必经过第二象限；故②错误； ③当时，，故函数恒过定点，③正确； ④函数向下平移5个单位得， 当时，，故与轴交于点， 当时，，解得，故与轴交于点， 故围成的三角形面积为， 令，得，即或，故④错误； 综上所述，正确的有①③， 故答案为：①③． 【作业14】．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上点A，B表示的数分别为，2，过点B作，且，以点A为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为_______． 【答案】/ 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查了数轴和勾股定理，解题的关键是掌握数形结合的思想． 先求出的长度，由垂直得出直角，再根据勾股定理求出的长度，最后根据两点之间的距离求出点的坐标即可． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 【作业15】．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 【作业16】．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：_________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】负整数指数幂、新定义下的实数运算、同底数幂相乘 【分析】（1）模仿题干过程，根据同底数幂的乘法解决此题． （2）模仿题干过程，根据同底数幂的乘法解决此题． 本题主要考查乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握乘方的定义、同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ， ． （2）解：依题意， , ． , ． 【作业17】．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）根据二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减法则计算即可； （2）利用二次根式的运算法则及完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业18】．（24-25八年级上·广东梅州·期末）在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点P在y轴上，求x的值； (2)若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点到坐标轴的距离，第一象限内点的坐标特点， （1）在y轴上的点横坐标为，据此列出方程求解即可； （2）根据第一象限内的点横纵坐标都为正，且点P到两坐标轴的距离和为9建立方程求出解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在y轴上， ∴， 解得； （2）解：∵点在第一象限， 点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， 点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴， 解得， ∴， 点P的坐标为． 【作业19】．（23-24七年级上·山东青岛·期末）某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整： (1)列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 2 … 其中， ； (2)描点并连线； 在下面平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据图象直接写出函数图象的两条性质． 【答案】(1)2 (2) 画出函数图象，如图所示． (3) 观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． 【知识点】画一次函数图象、求一次函数自变量或函数值、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质． （1）将代入函数解析式求出y的值，即可得出b的值； （2）描点、连线即可； （3）根据图象即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，，   ∴， 故答案为：2． （2）略 （3）观察函数图象，可知： ①当时，随值的增大而增大，当时，随值的增大而减小； ②函数图象关于直线对称； ③当时，函数有最小值1． 【作业20】．（2025·陕西西安·一模）民宿，因“小而美”“个性化”走俏市场，在旅游消费中占据着越来越重要的位置．某地结合当地丰富的山水资源，大力发展旅游业，在政府支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客．根据合作社提供的每天游客居住房间数y（间）和房间单价x（元/天）的信息，小琴绘制出y与x之间的函数图象如图所示： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)对于游客所居住的每个房间，合作社每天需支出50元的各种费用，没有游客居住的房间则没有费用，当合作社提供的房间单价为100元/天时，求合作社每天获得的利润． 【答案】(1) (2)当合作社提供的房间单价为100元／天时，合作社每天获得的利润为4000元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用、解答本题的关键是明确题意． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得相应的函数解析式； （2）将，代入y与x之间的函数解析式，求出合作社提供游客居住房间数，再列式计算即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 则， 解得：， 与之间的函数关系式是． （2）解：由题意得，当时，， ， 当合作社提供的房间单价为100元/天时，合作社每天获得的利润为4000元． 复习建议 · 勾股过关：定理与逆定理分清，折叠、实际问题先画直角三角形 · 实数过关：平方根与立方根符号不混，二次根式先化简再运算 · 坐标过关：象限符号、到轴距离、对称点变号规律要熟练 · 函数过关：k、b对图象的影响要会判断，会画图象会求交点 · 综合过关：解答题规范书写，先求关键点坐标再列计算 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $