第二章 实数（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材北师大版

第二章 实数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 实数的概念和性质 考点二 平方根与立方根 考点三 二次根式的运算 考点四 最简二次根式与同类二次根式 考点五 二次根式的运算 05 重难题型突破 题型一 无理数的识别 题型二 程序设计与实数运算 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 题型四 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 二次根式的混合运算 题型七 二次根式中的新定义型问题 题型八 二次根式中的规律探究问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 以基础题为主，难度中等偏下。考点上，无理数判断、平方根与算术平方根辨析是高频易错点，二次根式有意义的条件及非负性常考。题型分布：选择填空侧重概念辨析（如无理数识别、最简二次根式），解答题以实数的混合运算为主。难度多为基础或较易，但概念混淆（如平方根与算术平方根）是主要失分原因。 识记 准确辨别无理数与有理数，记住平方根、算术平方根及立方根的定义与符号表示。 理解 领会实数与数轴的一一对应关系，掌握实数的相反数、绝对值及倒数的意义。 应用 能进行实数的简单混合运算与估算，并用其解决简单的几何度量或实际比较问题。 考点一 实数的概念和性质 统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点 . 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内， 统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值 ； （2）有限个非负数之和仍是 ； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于 . ⚠️易混易错 　 混淆有理数与无理数，如π、0.101001…是无理数；误认为带根号就是无理数，如√4；忽视平方根与算术平方根区别；负数无平方根；立方根可为负；数轴与实数一一对应。 考点二 平方根与立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为 ；零的平方根为 ；负数 ； 一个正数有 的立方根；一个负数有 的立方根；零的立方根是 ； 重要结论 ⚠️易混易错 　 混淆平方根与算术平方根，如√16=4而非±4；负数没有平方根但有立方根；正数平方根有两个，立方根唯一；求根时漏写±或忽略被开方数非负条件。 考点三 二次根式及运算 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做 ，称为 称为 ．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1） ；（2） . 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为 ，即； ②二次根式无意义：被开方数为 ，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： ⚠️易混易错 　 化简未化到最简，如√8=2√2；合并同类二次根式时误把√2+√3当√5；乘除法则与加减混淆；分母有理化漏乘；忽略被开方数非负及结果符号。 考点四 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数 ，（2）被开方数中 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念： 叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把 相加， 不变，合并的依据式乘法分配律，如 ⚠️易混易错 　 最简二次根式需被开方数不含分母、不含能开尽方的因数；同类二次根式必须化简后被开方数相同，如√8与√18可合并；误把√2与√3当同类；分母有理化时漏乘。 考点五 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式 ，把被开方数 ，根的指数 ） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将 作为系数，被 作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数 ，根指数 ） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成 ，再将被开方数相同的二次根式进行 。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成 ； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先 ，再 ，最后 ，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） ⚠️易混易错 　 化简未化到最简，如√8=2√2；混淆√a²=|a|与(√a)²=a；加减需先化简再合并同类二次根式；乘除注意被开方数非负；分母有理化时漏乘分子。 题型一 无理数的识别 典例1 （25-26七年级下·陕西西安·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 💡破题要诀 开方开不尽的数、π及含π式子、无限不循环小数是无理数；分数、有限小数、循环小数都是有理数。 迁移应用 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）下列各数：，，，，0.6，7.3，3.14159，中，属于有理数的有（     ）个． A．5个 B．4个 C．6个 D．8个 2．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26七年级下·安徽·期中）下列实数中：3.14，，，，0.101001，无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 程序设计与实数运算 典例2 （25-26九年级下·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 💡破题要诀 看清流程分支，按序代入计算；判断有理无理，决定循环或输出。 迁移应用 1．（25-26七年级下·湖南常德·期中）如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 典例3 （25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 💡破题要诀 先化形成 x²=a 或 x³=a，再开方。平方根取正负，立方根符号不变，注意被开方数范围。 迁移应用 1．（25-26七年级下·新疆巴州·期中）计算． (1) (2) 2．（25-26七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）解下列方程： (1) (2) 题型四 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 典例4 （25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 二次根式看根号内非负；最简看无分母、无开得尽因数；同类化最简后被开方数相同。 迁移应用 1．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）下列各数中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 题型五 利用二次根式的性质化简 典例5 （25-26八年级下·云南楚雄·期中）若，则_____． 💡破题要诀 先看被开方数，能开尽开；分母有理化，根号内不留分母；化简结果要最简。 迁移应用 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 3．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1)； (2)． 题型六 二次根式的混合运算 典例6 （25-26八年级下·河北石家庄·期中）计算： (1) (2) 💡破题要诀 先化简，再合并；乘除用公式，加减找同类；分母有理化，结果要最简。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算 (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）计算： (1)； (2)． 题型七 二次根式中的新定义型问题 典例7 （25-26八年级下·江西赣州·期中）对于新运算※，*规定如下：，． (1)求的值； (2)求的值． 💡破题要诀 读懂定义规则，套用公式转化；注意根号内非负，结果化最简。 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数，且． (1)求的值． (2)求的值． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 题型八 二次根式中的规律探究问题 典例8 （25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 💡破题要诀 先算前几项，观察被开方数变化；找分子分母递推规律，用含n式子表示，再验证。 迁移应用 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级下·云南·期中）在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）化简的结果为(     ) A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，则（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·陕西西安·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 6．（25-26七年级下·江西赣州·期中）利用计算器求得，，，则___________． 7．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 8．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）解方程： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1) (2) 10．（25-26八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 5．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… (1)请你直接写出_________，_________； (2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 实数的概念和性质 考点二 平方根与立方根 考点三 二次根式的运算 考点四 最简二次根式与同类二次根式 考点五 二次根式的运算 05 重难题型突破 题型一 无理数的识别 题型二 程序设计与实数运算 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 题型四 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 题型五 利用二次根式的性质化简 题型六 二次根式的混合运算 题型七 二次根式中的新定义型问题 题型八 二次根式中的规律探究问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 以基础题为主，难度中等偏下。考点上，无理数判断、平方根与算术平方根辨析是高频易错点，二次根式有意义的条件及非负性常考。题型分布：选择填空侧重概念辨析（如无理数识别、最简二次根式），解答题以实数的混合运算为主。难度多为基础或较易，但概念混淆（如平方根与算术平方根）是主要失分原因。 识记 准确辨别无理数与有理数，记住平方根、算术平方根及立方根的定义与符号表示。 理解 领会实数与数轴的一一对应关系，掌握实数的相反数、绝对值及倒数的意义。 应用 能进行实数的简单混合运算与估算，并用其解决简单的几何度量或实际比较问题。 考点一 实数的概念和性质 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. ⚠️易混易错 　 混淆有理数与无理数，如π、0.101001…是无理数；误认为带根号就是无理数，如√4；忽视平方根与算术平方根区别；负数无平方根；立方根可为负；数轴与实数一一对应。 考点二 平方根与立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零； 重要结论 ⚠️易混易错 　 混淆平方根与算术平方根，如√16=4而非±4；负数没有平方根但有立方根；正数平方根有两个，立方根唯一；求根时漏写±或忽略被开方数非负条件。 考点三 二次根式及运算 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式. 2.二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数. 3.二次根式有无意义的条件 ①二次根式有意义：被开方数为非负数，即； ②二次根式无意义：被开方数为负数，即； 4.二次根式的性质 ①二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． ②二次根式的性质：（） ③二次根式的性质： ⚠️易混易错 　 化简未化到最简，如√8=2√2；合并同类二次根式时误把√2+√3当√5；乘除法则与加减混淆；分母有理化漏乘；忽略被开方数非负及结果符号。 考点四 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 （1）最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母，（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 （1）同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 （2）合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 ⚠️易混易错 　 最简二次根式需被开方数不含分母、不含能开尽方的因数；同类二次根式必须化简后被开方数相同，如√8与√18可合并；误把√2与√3当同类；分母有理化时漏乘。 考点五 二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则：（二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不变） （2）二次根式的乘法法则的推广: ① ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. （3）二次根式的乘法法则的逆用：（二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） （4）二次根式的乘法法则的逆用的推广： 2.二次根式的除法 （1）二次根式的除法法则：（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） （2）二次根式的除法法则的推广：. 3.二次根式的加减法 （1）二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） ⚠️易混易错 　 化简未化到最简，如√8=2√2；混淆√a²=|a|与(√a)²=a；加减需先化简再合并同类二次根式；乘除注意被开方数非负；分母有理化时漏乘分子。 题型一 无理数的识别 典例1 （25-26七年级下·陕西西安·期中）下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】选项A，为整数，是有理数，不符合题意； 选项B，为分数，是有理数，不符合题意； 选项C，为整数，是有理数，不符合题意； 选项D，是无限不循环小数，是无理数，符合题意. 💡破题要诀 开方开不尽的数、π及含π式子、无限不循环小数是无理数；分数、有限小数、循环小数都是有理数。 迁移应用 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）下列各数：，，，，0.6，7.3，3.14159，中，属于有理数的有（     ）个． A．5个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】本题根据有理数的定义，逐一判断给出的数，统计有理数的个数即可得到答案，用到的知识点为：有理数是整数和分数的统称，有限小数、百分数都可化为分数，属于有理数，无限不循环小数是无理数． 【详解】∵ 有理数是可表示为两个整数之比的数，包含整数、分数、有限小数、无限循环小数，无限不循环小数是无理数， ∴ 逐个判断各数： ：是无理数，因此是无理数，不属于有理数； 是有限小数，可化为分数，是有理数； ，是分数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 统计可得，有理数共有个， 因此选C． 2．（25-26七年级下·西藏日喀则·期中）在下列各数0.101001000100001、0、、、3.14、、中，无理数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先明确无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见无理数有含的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类．逐个判断所给数的类型，统计无理数个数即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是整数，是有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，因此是无理数； 综上所述，无理数共有个． 3．（25-26七年级下·安徽·期中）下列实数中：3.14，，，，0.101001，无理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可，初中常见无理数类型为开方开不尽的数，含的数，无限不循环小数． 【详解】解：无理数是无限不循环小数，逐个判断得： ∵ 是有限小数， 是有限小数，二者都是有理数； 是开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数； 是无理数，因此仍是无理数； 开平方开不尽，因此是无理数； ∴无理数共有个． 题型二 程序设计与实数运算 典例2 （25-26九年级下·山东烟台·期中）根据以下程序，当输入时，输出结果为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先计算的结果，若结果小于2，则输出结果，若结果大于或等于2，则把结果作为x的值重新输入到进行计算，据此逐步求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴输出的结果为． 💡破题要诀 看清流程分支，按序代入计算；判断有理无理，决定循环或输出。 迁移应用 1．（25-26七年级下·湖南常德·期中）如图是一个数值转换机示意图，当输入的值为，则输出的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数值转换机示意图进行算术平方根的运算即可． 【详解】解：输入，取算术平方根， 输入，取算术平方根， 输出． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 3．（25-26八年级下·浙江台州·期中）按如图所示的数值转换器原理进行运算，当输入的数为81时，最终输出的数是_______． 【答案】 【分析】根据数值转换器原理，输入 x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，直到结果为无理数时输出． 【详解】解：由算术平方根的定义判断可得： 当输入的数x为81时，，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，不是无理数，需要继续计算； 取算术平方根，是无理数，输出． 故答案为：． 题型三 利用平方根与立方根的定义解方程 典例3 （25-26七年级下·陕西商洛·期中）求下列各式中的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 整理得， 因此； （2）解：， 开立方得， 解得． 💡破题要诀 先化形成 x²=a 或 x³=a，再开方。平方根取正负，立方根符号不变，注意被开方数范围。 迁移应用 1．（25-26七年级下·新疆巴州·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·北京·期中）求出下列等式中x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对等式两边开平方，转化为两个一元一次方程求解； （2）先移项变形，将方程整理为，再开立方求解． 【详解】（1）解：， ， 故或， 解得，． （2）解：， ， ， 解得． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， 移项得， 开立方得； （2）解：， 移项整理得， 开平方得或， 解得或． 题型四 判断是否为二次根式、最简二次根式、同类二次根式 典例4 （25-26八年级下·新疆喀什·期中）下列各式中，一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式要求形如的式子中被开方数，题目要求“一定是”，即无论字母取何值都满足被开方数非负，据此逐个判断即可. 【详解】A、，，不是二次根式； B、，，不是二次根式； C、，，一定是二次根式； D、，当时，不是二次根式. 💡破题要诀 二次根式看根号内非负；最简看无分母、无开得尽因数；同类化最简后被开方数相同。 迁移应用 1．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）下列各式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：被开方数含分母，不是最简二次根式； ，，二者被开方数均含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式； 符合最简二次根式的要求． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）下列各数中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； B选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式； C选项．是最简二次根式，被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式； D选项．是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式． 3．（25-26八年级下·北京·期中）下列二次根式，能与合并的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式的定义为化简后被开方数相同的二次根式，只需将各选项化简，判断被开方数是否为3即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； 对于选项B：与不是同类二次根式，不能合并，故B错误； 对于选项C：是整数，与不是同类二次根式，不能合并，故C错误； 对于选项D：，与是同类二次根式，能合并，故D正确． 题型五 利用二次根式的性质化简 典例5 （25-26八年级下·云南楚雄·期中）若，则_____． 【答案】3或 【分析】根据，解方程求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 💡破题要诀 先看被开方数，能开尽开；分母有理化，根号内不留分母；化简结果要最简。 迁移应用 1．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）若，，则的值是________． 【答案】 【分析】结合，化简，即可作答． 【详解】解：∵，， ， 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）观察式子符合平方差公式的形式，直接套用平方差公式计算． （2）先把每个二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）先去括号，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 二次根式的混合运算 典例6 （25-26八年级下·河北石家庄·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简各二次根式，再计算加减运算即可； （2）先化简各二次根式，再计算二次根式的乘除法，然后计算加法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 💡破题要诀 先化简，再合并；乘除用公式，加减找同类；分母有理化，结果要最简。 迁移应用 1．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除运算法则计算即可； （2）利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再运算减法，即可作答； （2）先运算乘方以及根据二次根式的性质化简，运算除法，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 二次根式中的新定义型问题 典例7 （25-26八年级下·江西赣州·期中）对于新运算※，*规定如下：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算※的定义直接代入计算； （2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可． 【详解】（1）解：由定义，，代入，， 得 ． （2）解：由定义，，代入，， 得 ． 💡破题要诀 读懂定义规则，套用公式转化；注意根号内非负，结果化最简。 迁移应用 1．（25-26八年级下·河北唐山·期中）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数，且． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义列式，利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，利用完全平方公式展开，合并同类二次根式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 2．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 【答案】(1)； (2)； (3)与是关于的完美数． 【分析】（）根据“关于的完美数”列出方程，然后解方程即可； （）根据新定义可知，然后解方程即可； （）由，求得，，进而设与是关于的完美数，然后列方程求解即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据新定义可知，， 解得； （3）解：与是关于的完美数，理由： 由，得， 因为，是有理数， 所以，， 解得，， 所以，， 设与是关于的完美数，则， 解得， ∴与是关于的完美数． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 【答案】(1)5，0，5 (2) (3)6 【分析】首先明确新运算的本质：，所有运算均转化为绝对值的相关计算． （1）直接根据绝对值的代数意义，分别计算正数、0、负数的绝对值即可． （2）先根据数轴确定、的取值范围，再判断每个绝对值内表达式的正负性，根据绝对值的性质去绝对值符号后合并同类项． （3）先将方程转化为，根据绝对值的非负性得到确定的取值范围，再去掉绝对值符号解方程求出，最后代入所求式子，按新运算规则计算． 【详解】（1）根据，可得： ，，． （2）由数轴可得：判断符号： ，，因此； ，，因此。 代入化简： ． （3）由得： 绝对值结果非负，因此，即， 此时， 去绝对值得： 解得 代入： ． 题型八 二次根式中的规律探究问题 典例8 （25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)89 【分析】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：； 理由：； （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 💡破题要诀 先算前几项，观察被开方数变化；找分子分母递推规律，用含n式子表示，再验证。 迁移应用 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）观察下列各式． (1)根据以上规律猜想，a为正整数，则______． (2)你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． (3)证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【答案】(1)24 (2)（，n为整数） (3) 证明： （，且n为整数）． 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【详解】（1）解：根据前3个式子，可得： 故a为24． （2）解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． （3）略 3．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】(1) (2)（的自然数）； 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级下·云南·期中）在实数（相邻两个1之间依次增加一个0），，0，，0.12，中，无理数的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断给定实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：（相邻两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，是无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 含无理数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ∴无理数共个． 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）化简的结果为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据被开方数的小数点向左（右）移动两位，则算术平方根的小数点向左（右）移动一位求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 4．（25-26九年级下·陕西西安·期中）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置确定，的取值范围，利用绝对值的性质即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知，，，且， 所以 ． 5．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若，则的值为________． 【答案】0 【分析】和都是非负数，两个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 6．（25-26七年级下·江西赣州·期中）利用计算器求得，，，则___________． 【答案】 【分析】根据被开方数的小数点，每向右移动3位，立方根的小数点向右移动1位，据此进行判断即可． 【详解】∵， ∴． 7．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）把下列各数填入相应的集合内：，，，，，，． 有理数集合：{                    } 无理数集合：{                    } 整数集合：{                    } 分数集合：{                    } 【答案】，，，；，，；；，， 【分析】本题主要考查了实数的分类，先计算绝对值和算术平方根，再根据有理数，无理数，整数和分数的定义求解即可． 【详解】解：，， 是无理数， 是无理数， 是有理数，是整数， 是无理数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， 是有理数，是分数， ∴有理数集合：{，，，}， 无理数集合：{，，}， 整数集合：{}， 分数集合：{，，}． 8．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 或 ∴或； （2）解： ∴． 9．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（25-26八年级上·全国·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3， (1)分别求出a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了根据立方根和算术平方根求原数，求一个数的平方根，解题的关键是熟练掌握相关的定义． （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此列式求出a、b的值即可； （2）根据（1）所求得到的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵的算术平方根是3， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 综合进阶练（限时：15分钟） 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知，且是整数，则所有值的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是实数的性质，无理数的估算，由条件可得或，结合，，是整数，从而可得答案. 【详解】解：∵， ∴或， ∵，，是整数， ∴的值为，，，，，； ∴所有值的个数有个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的估算，通过估算的值，确定的整数部分a 和小数部分b，然后代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，即 ， ∴ ， ∴整数部分，小数部分 ， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到等式，再利用非负数的性质求出和的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ∵， ，， 解得，， 将，代入得． 4．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图所示的是小明用计算机设计的计算小程序，当输入的值为时，输出的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，掌握求一个数的立方根，算术平方根是解题的关键．将代入程序进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为： 5．（25-26七年级下·湖北黄石·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“青一区间”定义，通过平方数判断被开方数的范围即可； （2）先解出，的值，计算，再用平方数判断的区间，进而求出的“青一区间”； （3）通过两次区间条件列出的范围，取交集确定的值，再代入计算． 【详解】（1）解：， 的“青一区间”为， ， 的“青一区间”为， 的“青一区间”为． （2）解：， ，即， ， ， ， ， 的“青一区间”为． （3）解：的“青一区间”为， ，即， 的“青一区间”为， ，即， 为正整数，是无理数， ， ． 6．（25-26八年级下·广西南宁·期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… (1)请你直接写出_________，_________； (2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． (3)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】(1)7， (2)n， (3)88 【分析】（1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：，． （3）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $