精品解析：广东佛山市禅城区佛山第十中学2026-2027学年度九年级上学期第一次学情自测数学试卷

2026~2027学年第一学期九年级数学学科第一次学情调研问卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A. ax2＋bx＋c＝0 B. x2－2x－3 C. x2－4x＋3＝0 D. 2. 下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形；④矩形；⑤正方形，其中对称轴只有两条的个数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2的正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（ ） A. 9 B. 1 C. 0 D. 6. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 7. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（ ） A. 若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B. 若四边形是菱形，则四边形是菱形 C. 若四边形是矩形，则四边形是矩形 D. 若四边形是正方形，则四边形是菱形 9. 如图，在四边形中，，，于点．若四边形的面积是18，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是关于的方程的一个根，则的值为______． 12. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 13. 关于x的一元二次方程可变形为，则的值是______． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 15. 如图，等边中，D在射线上，以为一边，向右上方作等边．若、的长为方程的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有______个． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 按要求完成下列各题： （1）将图1的沿折叠后，边落在边上，请用尺规作图在图4中作出折痕； （2）继续将得到的图2折叠，使A点落在D点上，折痕为，E为边上的点，F为边上的点，请在图4上作出折痕； （3）在图4中，连接、，则四边形是______形． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 19. 如图，把矩形纸片ABCD进行折叠，已知该纸片的长BC为10cm，宽AB为6cm． （1）若折叠后C点和点A重合，折痕交边BC，AD分别于点E，F，如图1，求证：四边形AECF为菱形； （2）若折叠后C点落在边AD上的N点处，折痕为BM（M为折痕与CD边的交点），如图2，求CM的长． 20. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 21. 如图，在矩形中，．动点P，Q分别从A，C同时出发，点以秒的速度向点移动，点以秒的速度向点移动，当点到达点时，两动点同时停止运动． （1）两动点经过几秒时，四边形的面积是矩形面积的？ （2）连接，两动点经过几秒，是以为腰的等腰三角形？ 22. 按要求完成下列各题： （1）方程的两根为______；______； （2）代数式可以写成3（______）（______）的形式，括号内只能填多项式． （3）一元三次方程的根是______． （4）把代入代数式得代数式的值为：______． （5）多项式因式分解的结果是：______． 23. 如图1，在正方形中，对角线相交于点，点为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点. （1）若，求的面积； （2）如图2，线段的延长线交于点，过点作于点，求证：； （3）如图3，点为射线上一点，线段的延长线交直线于点，交直线于点，过点作垂直直线于点，请直接写出线段的数量关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期九年级数学学科第一次学情调研问卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列为一元二次方程的是（ ） A. ax2＋bx＋c＝0 B. x2－2x－3 C. x2－4x＋3＝0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A. ax2＋bx＋c＝0，当时是一元二次方程，不符合题意； B. x2－2x－3不是方程，不符合题意； C. x2－4x＋3＝0是一元二次方程，符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2. 下列图形：①等腰三角形；②平行四边形；③菱形；④矩形；⑤正方形，其中对称轴只有两条的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形对称轴的概念，逐个确定各图形的对称轴数量，统计对称轴只有两条的图形个数即可. 【详解】解： ①等腰三角形的对称轴可能为条或条，不符合要求； ②平行四边形不是轴对称图形，对称轴数量为，不符合要求； ③菱形有条对称轴，符合要求； ④矩形有条对称轴，符合要求； ⑤正方形有条对称轴，不符合要求； ∴对称轴只有两条的图形共个. 3. 已知关于x的二次三项式的部分对应值如表： 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：依题意， 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：B． 4. 如图，小青用四根长度相同的木条制作能够活动的菱形学具，他先把活动学具做成图1所示的菱形，并测得，对角线，接着把活动学具做成图2的正方形，则图2中对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及正方形的性质是解题的关键；由题意易得菱形的边长为，然后可得正方形的边长也为，然后问题可求解． 【详解】解：连接图1中的对角线，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 连接图2中的对角线，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∴； 故选C． 5. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（ ） A. 9 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 将方程化为标准形式，利用判别式小于零求解． 【详解】解：∵方程可化为， ∴判别式， ∵方程没有实数根， ∴，即， ∴， 选项中只有满足． 故选：D． 6. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分是解题关键．由矩形的性质可得，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 故选：A． 7. 如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和得到四边形．若，，则四边形的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中点四边形，涉及了三角形的中位线定理，由题意得四边形是矩形，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：分别是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积 故选：C 8. 如图，在四边形中，、是对角线上的两点（不与点、重合），且，连接、、、，则下列结论错误的是（ ） A. 若四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形 B. 若四边形是菱形，则四边形是菱形 C. 若四边形是矩形，则四边形是矩形 D. 若四边形是正方形，则四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分及得出，判定四边形为平行四边形，再结合特殊平行四边形的性质逐项判断． 【详解】解：连接交于点．    ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， 即． ∵，， ∴四边形是平行四边形，故A不符合题意． 若四边形是菱形， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故B不符合题意． 若四边形是矩形， ∴． ∵、是对角线上的两点（不与点、重合）， ∴， 即． ∴四边形不是矩形，故C符合题意． 若四边形是正方形， ∴， 即． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故D不符合题意． 9. 如图，在四边形中，，，于点．若四边形的面积是18，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．过点作交的延长线于，先判断出四边形是矩形，再证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，四边形的面积四边形的面积， 矩形是正方形， ． 故选：C． 10. 如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，由正方形的性质可得，，，，，作于，延长交于，作于，证明四边形为矩形得出，证明四边形为正方形，得出，从而得出，证明，得出，再证明为等腰直角三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，，， 如图，作于，延长交于，作于， ， 则， ∴四边形、为矩形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若是关于的方程的一个根，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】将代入原方程，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是关于的方程的一个根 ∴ 将代入方程得，， ∴， 或 解得或 12. 已知菱形中对角线、相交于点，添加条件________可使菱形成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、正方形的判定等知识点，熟练掌握菱形的性质及正方形的判定是解题的关键．根据菱形的性质及正方形的判定来添加合适的条件即可解答． 【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：； 根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加：； 故添加的条件为：或． 故答案为：（不唯一）． 13. 关于x的一元二次方程可变形为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由方程可变形为，可得是原一元二次方程的根，将代入原方程即可求出的值． 【详解】解：∵一元二次方程可变形为， ∴，， ∴或， 将代入，得， 整理得． 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_______． 【答案】（5，4） 【解析】 【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【详解】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴DO=4， ∴点C的坐标是：（5，4）． 故答案为：（5，4）． 15. 如图，等边中，D在射线上，以为一边，向右上方作等边．若、的长为方程的两根，当m取符合题意的最大整数时，则不同位置的D点共有______个． 【答案】3 【解析】 【分析】先由根的判别式求出m的取值范围，再求出m的值，再解这个方程，就可以求出x的值从而得出、的值，进而可以得出结论． 【详解】解：∵、的长为方程的两根， ∴方程有实数根， ∴， 解得：． ∵m为符合题意的最大整数， ∴． ∴， ∴． 当时，， ∴点D在的延长线上，如图1． 当时，， ∴点D在线段上，有两种情况，如图2，在D和的位置． ∴综上所述，不同D点的位置有3个． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程． （2）利用因式分解方法解方程． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，． 17. 按要求完成下列各题： （1）将图1的沿折叠后，边落在边上，请用尺规作图在图4中作出折痕； （2）继续将得到的图2折叠，使A点落在D点上，折痕为，E为边上的点，F为边上的点，请在图4上作出折痕； （3）在图4中，连接、，则四边形是______形． 【答案】（1）如图，折痕即为所求； （2）如图，折痕即为所求； （3）菱 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，然后分别以点M和点N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D即可； （2）根据题意作出的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接即可； （3）由，得到四边形是平行四边形，然后结合证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、，设与交于点O， 由折叠得，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 18. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1）k； （2）k=3 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0， 解得k 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得k=3． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 19. 如图，把矩形纸片ABCD进行折叠，已知该纸片的长BC为10cm，宽AB为6cm． （1）若折叠后C点和点A重合，折痕交边BC，AD分别于点E，F，如图1，求证：四边形AECF为菱形； （2）若折叠后C点落在边AD上的N点处，折痕为BM（M为折痕与CD边的交点），如图2，求CM的长． 【答案】（1）见解析 （2）CM的长是cm 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，再利用得到∠FAC＝∠ECA，则可根据“ASA”判断△AOF≌△COE，得到OF＝OE，加上OA＝OC，AC⊥EF，于是可根据菱形的判定方法得到四边形AECF为菱形； （2）在Rt△BAN中，根据勾股定理可求AN，进一步得到DN，再在Rt△MDN中，根据勾股定理可求CM的长． 【小问1详解】 证明：∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF， ∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC， ∵， ∴∠FAC＝∠ECA， 在△AOF和△COE中， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OF＝OE， ∵OA＝OC，AC⊥EF， ∴四边形AECF为菱形． 【小问2详解】 解：根据折叠可知，，CM=MN， 在Rt△BAN中，， DN＝10−8＝2（cm）， 在Rt△MDN中，， ∵CM=MN，DM=CD-CM=6-CM， ∴CM2＝22＋（6−CM）2， 解得CM＝， 故CM的长是cm． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 20. 学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙和一段长为26m的篱笆围建一个矩形的苗圃园，设平行于墙一边长为xm． （1）如图1，如果矩形花园的一边靠墙，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值； （2）如图2，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当苗圃园的面积为60时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解； （2）可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， ， 解得：， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 不合题意舍去， ． 答：当苗圃园的面积为60时，x的值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键． 21. 如图，在矩形中，．动点P，Q分别从A，C同时出发，点以秒的速度向点移动，点以秒的速度向点移动，当点到达点时，两动点同时停止运动． （1）两动点经过几秒时，四边形的面积是矩形面积的？ （2）连接，两动点经过几秒，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】（1）两动点经过秒时，使得四边形的面积是矩形面积的 （2）当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．解关于动点问题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解． （1）四边形为直角梯形，则有直角梯形的面积公式求得动点P、Q的运动时间； （3）需要分类讨论：和两种情况，再分别根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设两动点经过x秒时，使得四边形面积是矩形面积的， 由题意，得， ， 解得：， 两动点经过秒时，使得四边形面积是矩形面积的； 【小问2详解】 解：设两动点经过秒时，使得是以为腰的等腰三角形， ①当时，， 则， 整理得， 解得； ②当时，如图，过点作于点， ， 则， 整理得，解得（与点重合，舍去）． 综上所述，当两动点经过或或4秒时，使得是以为腰的等腰三角形． 22. 按要求完成下列各题： （1）方程的两根为______；______； （2）代数式可以写成3（______）（______）的形式，括号内只能填多项式． （3）一元三次方程的根是______． （4）把代入代数式得代数式的值为：______． （5）多项式因式分解的结果是：______． 【答案】（1）， （2）， （3），， （4）0 （5） 【解析】 【分析】（1）运用公式法解一元二次方程即可； （2）将式子提取因式3，再进行配方，再用平方差公式进行分解即可； （3）根据几个多项式的积为0，则每个多项式为0，求解即可； （4）直接将代入式子求解即可； （5）由（4）可知当时，式子的值为0，则该多项式含有因式，将多项式分组后提取公因式，再进一步分解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， 则或或， 解得，，； 【小问4详解】 解：当时， ． 【小问5详解】 解： ． 23. 如图1，在正方形中，对角线相交于点，点为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点. （1）若，求的面积； （2）如图2，线段的延长线交于点，过点作于点，求证：； （3）如图3，点为射线上一点，线段的延长线交直线于点，交直线于点，过点作垂直直线于点，请直接写出线段的数量关系. 【答案】（1）5；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）如图1中，利用勾股定理计算CE的长，由旋转可知△CEF是等腰直角三角形，可得结论； （2）如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，证明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分线的性质得EP＝EN＝FM，证明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由线段的和可得结论； （3）如图3，构建辅助线，构建全等三角形，证明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，证明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得结论． 【详解】（1）在正方形中， （2）过点作于，于 又 是等腰直角三角形 （3）BH﹣MG＝BE，理由是： 如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P， ∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD， ∴EP⊥CD， ∴∠EPC＝∠FMC＝90°， ∵∠M＝∠ECF＝90°， ∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°， ∴∠ECP＝∠CFM， ∵CE＝CF， ∴△CPE≌△FMC（AAS）， ∴PC＝FM， ∵△DPE是等腰直角三角形， ∴PE＝PD， ∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM， ∵AB∥CD， ∴∠H＝∠FGM， ∵∠ENH＝∠M＝90°， ∴△HNE≌△GMF（AAS）， ∴NH＝MG， ∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN， ∵△BEN是等腰直角三角形， ∴BN＝BE， ∴BH﹣MG＝BE． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $