精品解析：新疆维吾尔自治区奇台县第四中学、第五中学、第二中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情检测

奇台四中2026秋季学期九年级数学第一次学情检测试题卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，4 C. 3， D. ， 3. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 关于二次函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 图象在x轴的上方 B. y随x的增大而减小 C. 图象关于x轴对称 D. 图象必经过点 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 7. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 9. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一元二次方程的两根是_________ 11. 已知是y关于x的二次函数，那么m的值为____________． 12. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则 m 的取值是 _________ ． 13. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______ ． 14. 抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为_____． 15. 对于任意实数a、b，定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程（用适当的方法解方程）： （1） （2） （3） （4） 17. 在平面直角坐标系中，完成下列问题． （1）如图，在同一平面直角坐标系中画出二次函数，的图象． （2）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （3）抛物线可由抛物线向_________平移_________个单位长度得到． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 19. 已知二次函数的图象的顶点坐标为． （1）写出m，k的值． （2）判断点是否在这个函数的图象上． （3）将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．求这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A的水平距离x（单位：m）的函数解析式． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_________，前15行的点数之和为_________，前n行的点数之和为_________； （2）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奇台四中2026秋季学期九年级数学第一次学情检测试题卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 下列方程中一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程含有x，y两个未知数，故不是一元二次方程； B、方程未知数最高次数为3，故不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程； D、方程中分母含未知数，故不是一元二次方程． 2. 关于x的方程中，二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3， B. 3，4 C. 3， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再确定二次项与一次项的系数． 【详解】解：将方程整理为一般形式，得， 二次项系数为，一次项系数为． 3. 在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 所以方程有两个不相等的实数根． 5. 关于二次函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 图象在x轴的上方 B. y随x的增大而减小 C. 图象关于x轴对称 D. 图象必经过点 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴对任意实数，，图象在轴下方（含原点），A错误； ∵该函数图象开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，B错误； ∵该函数图象的对称轴为轴， ∴图象关于轴对称，C错误； 将代入，得， ∴图象经过点，D正确. 6. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 7. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步？意思是：矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元二次方程． 设长为步，则宽为步，根据题意，列方程． 【详解】解：设长为步，则宽为步， 由题意可得：， 故选：A． 8. 在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：设参加比赛的球队数量为支． ∵ 单循环赛中每两支球队之间进行一场比赛． ∴ 总比赛场数为． 由题意得． 整理得． 得，（不符合实际意义，舍去）． ∴参加比赛的球队数量是． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 一元二次方程的两根是_________ 【答案】 ， 【解析】 【详解】解：， ， ， 因此一元二次方程的两根为，． 11. 已知是y关于x的二次函数，那么m的值为____________． 【答案】-2； 【解析】 【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可. 【详解】∵原式是y关于x的二次函数， ∴ ∴ ∴ 故答案为-2. 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键. 12. 已知关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则 m 的取值是 _________ ． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的判别式．由一元二次方程的定义可得，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式求解即可． 【详解】关于 x 的一元二次方程有两个不相等实数根， 且， 解得且， 故答案为：且． 13. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的性质，整体代入求法代数式的值． 把代入一元二次方程，求得的值，然后整体代入即得结果． 【详解】把代入， 得，， 即． ∴ ． 故答案为：． 14. 抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为_____． 【答案】（3，0） 【解析】 【分析】根据对称性可直接求出坐标． 【详解】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2， 根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2， 即x2﹣1＝2，得x2＝3， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 故答案是：（3，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答． 15. 对于任意实数a、b，定义新运算：．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算定义整理得到关于的一元二次方程，利用两个相等实数根的条件，令判别式等于0求解即可． 【详解】解：∵ 定义新运算， ∴，将其代入方程， 整理得一元二次方程， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解下列方程（用适当的方法解方程）： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3），  （4）， 【解析】 【分析】（1）先移项使含的项单独在一边，再两边开平方求解． （2）左边便于十字相乘因式分解，用因式分解法，令两个因式分别为0． （3）二次项系数与常数项搭配可十字相乘，用因式分解法求解． （4）两边含有公因式，先移项、再提取公因式；注意不能直接约去，否则会丢根． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ，； 【小问3详解】 解：， ， 或， ，； 【小问4详解】 解：， ， ，  或 ， ，． 17. 在平面直角坐标系中，完成下列问题． （1）如图，在同一平面直角坐标系中画出二次函数，的图象． （2）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （3）抛物线可由抛物线向_________平移_________个单位长度得到． 【答案】（1）如图： （2），开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； ，开口向下、对称轴为：轴，顶点坐标为：； （3）上，3 【解析】 【分析】（1）根据列表、描点、连线画图即可； （2）直接利用二次函数的性质以及与的关系分析得出答案； （3）直接利用二次函数的性质以及与的图象特点分析即可． 【小问1详解】 解：函数，函数列表如下： ... 0 1 ... ... 0 ... ... 3 1 ... 描点画图略 【小问2详解】 解：略 【小问3详解】 解：函数与函数的图象形状完全相同，开口方向相同，相当于向上平移 3 个单位得到． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2），方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 19. 已知二次函数的图象的顶点坐标为． （1）写出m，k的值． （2）判断点是否在这个函数的图象上． （3）将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 【答案】（1） ， （2） 点在这个函数的图象上 （3） ，， 【解析】 【分析】（1）直接根据顶点式的性质，作答即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，进行判断即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为， 又∵图象顶点坐标为， ∴，；  【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为， 当时，， 故点在该函数图象上； 【小问3详解】 解：由（1）得原函数解析式为， 向左平移1个单位，得， 向下平移2个单位，得， ∵， ∴，，. 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线．当球飞行到最高点时，恰好击中高的球门横梁上的点B．设位于点B正下方的地面上的点为C，且．求这一飞行过程中，球的竖直高度y（单位：m）关于它距离点A的水平距离x（单位：m）的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，再设函数解析式为，然后将点代入解析式可得答案． 【详解】解：如图所示，以点A为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，由题意可知点，其过点， 设球的竖直高度y关于水平距离x的函数关系式为， ∴， 解得， ∴函数解析式为． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为200个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到2625元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）该品牌头盔的实际售价应定为45元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为元， 由题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为45元． 23. 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第n行有n个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_________，前15行的点数之和为_________，前n行的点数之和为_________； （2）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）先找出三角点阵前行点数之和的规律进行求解即可． （2）先找出前排盆景总数的表达式，再根据总数为盆来求解的值． 【小问1详解】 解：通过观察可知，三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 前n行的点数之和为． 【小问2详解】 解：由题可知，第一排盆，第二排盆，第三排盆，，第排盆， 那么前排盆景的总数为， 由(1)可知， 所以前排盆景的总数为， 令，即， ，， 因为表示排数，为正整数，所以舍去，取． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $