精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州奇台县奇台县第二次学情检测2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025学年秋季学期九年级数学第三次学情调研试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）是解此题的关键． 根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．该方程是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 若将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的平移，抛物线 的顶点为，根据平移的方向和距离可知平移后的抛物线的顶点坐标为，写出平移后的抛物线的顶点坐标式解析式即可． 【详解】解：抛物线 的顶点为， 抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位，顶点变为 ， 平移后的抛物线的表达式为 ． 4. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由同弧所对圆周角等于圆心角一半得到代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 5. 一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（　　） A. 4π B. 6π C. 8π D. 12π 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用扇形的面积公式S=进行计算即可． 【详解】根据题意得，S扇形面积=×4×4π=8π． 故答案选：C． 【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算, 弧长的计算，解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算, 弧长的计算. 6. 如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】A 【解析】 【分析】B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长，然后根据圆的周长公式即可得到B点的运动路径长度为π． 【详解】解：∵B点的运动路径是以A点为圆心，AB长为半径的圆的的周长， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长的计算，熟悉相关性质是解题的关键． 7. 若，，为二次函数图像上的三点，则，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，直接计算各点对应的函数值，并比较大小即可． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对于点，有； 对于点，有； 对于点，有， ∴ ，，， 故， 故选：B. 8. 如图利用一面墙（墙长22米），三面用长的篱笆围成面积为的花圃，平行于墙的一边有一扇2米宽的门，若设垂直于墙的一边为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确表示出长和宽．设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为， 则由题意得，， 故选：C． 9. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可直接判断a、c的符号，再结合对称轴的位置可判断b的符号，进而可判断①； 抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②； 根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③； 根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④. 【详解】解：①由图象可知：，，由于对称轴，∴，∴，故①正确； ②∵抛物线过，∴时，，故②正确； ③顶点坐标为：.由图象可知：，∵，∴，即，故③错误； ④由图象可知：，，∴， ∵，∴， ∴，故④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上；②过．这个二次函数的解析式可以是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，掌握好系数对图象的影响是解题关键． 根据二次函数的性质，开口向上需满足二次项系数大于零，过点需满足常数项为4，据此构造解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为 ， ∵ 图象开口向上， ∴ ， ∵ 图象过点， ∴ 当 时，， 取 ，，则二次函数的解析式为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若与关于x轴对称，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可确定m和n的值，再计算n的m次幂． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：1． 12. 方程的两根是则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得到，代入即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键． 13. 若二次函数，经过点、，则该函数的对称轴为______． 【答案】直线 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将给定点代入函数解析式，求出参数和，再利用二次函数对称轴公式求解． 【详解】解：二次函数经过点、， 代入点得：， 解得 ． 代入点得：， 即， 将代入：， 解得: ， ∴对称轴为：直线， 故答案为∶直线． 14. 某校九年级学生开展了以“凝聚力量、赋能成长”为主题心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛有_____个班级． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的班级数为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第一阶段参加比赛有个班级， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴第一阶段参加比赛有个班级， 故答案为：． 15. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到．点A，B的对应点分别为D，E，连接，当点A、D、E在同一条直线上时，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定，根据旋转的性质，得到，，进而推出，即可解答． 【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∵A，D，E在同一条直线上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，的半径是2，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由切线的性质可得，且，则，从而得到当最小时，最小，由垂线段最短可得当与直线垂直时，最小，再利用等腰直角三角形的性质可得的值，从而即可得到答案． 【详解】解：为的切线， ，且， ， ， 当最小时，最小， 如图，当与直线垂直时，最小，设直线交轴于，交轴于， ， 当时，，故， 当时，， 解得：， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ，即的最小值为， 的最小值为：， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、一次函数与坐标轴的交点、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，是解此题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用直接开平方法求解； （4）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解： 或 ∴； 【小问2详解】 解： 或， ∴； 【小问3详解】 解： 或 ∴ 【小问4详解】 解： 或 ∴． 18. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程一个根是，求的值以及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：方程化为一般式为， ∵ ， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根与系数的关系 （1）先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）设方程的另一个根为，则利用根与系数的关系得，，然后解方程组即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，，， 解得， ∴， 解得， 即的值为，方程的另一个根为． 19. 如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． （1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出（1）中所作圆的半径． 【答案】（1） 作图如下， （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握． （1）在圆形残片上作弦的垂直平分线，交于点P，连接，以P为圆心，为半径的圆为所求残片的圆． （2）先设圆P的半径为r，根据和已知条件求出，，在中，根据，得出，求出r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设圆P的半径为r， ∵，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴的半径为． 20. 如图，的顶点都在格点上，且． （1）画出关于点O的中心对称图形； （2）画出绕点O逆时针旋转后的； （3）若上有任一点，则其关于原点成中心对称的点的坐标是多少？ 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 如图所示，即为所求： （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图——中心对称图形及旋转变换、关于原点对称点的坐标： （1）根据中心对称图形的性质画出中心对称图形即可； （2）根据旋转的性质画出旋转图形即可； （3）根据关于原点成中心对称点的坐标的规律即可求解； 熟练掌握相关基础知识是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点关于原点成中心对称的点的坐标． 21. 如图，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理的推论可得，再根据同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解即可； （2）利用勾股定理列式求出，根据垂径定理的推论可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的一条弦，， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∵是的一条弦，， ∴， 则． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理的推论，解题的关键是明确在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克80元，若每千克盈利10元，则每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克． （1）在原价的基础上，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利4480元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价4元 （3）若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价5元，此时每天的最大盈利是4500元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程应用，二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系， （1）由题可得：，解之即可得到答案； （2）由，即可求解； （3）由可得，函数是开口向下的，在对称轴处取最大值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：(1)设每次下降的百分率为，根据题意，得：， 解得：或 (舍去) 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，根据题意，得：， 整理，得， 解得：，， ∵要尽快减少库存， ∴． 答：该商场要保证每天盈利4480元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价4元； 【小问3详解】 解：设商场每天的盈利为元，由(2)可知： ， ∵， ∴当时，W取最大值， ∴当时， (元)， 答：使商场每天的盈利达到最大，则应涨价5元，此时每天的最大盈利是4500元． 23. 如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求半径的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，，由可证 ，进而可证是的切线； （2）设半径为x，则，在直角三角形中，，利用勾股定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设半径为x，则， 在直角三角形中， ，即， ∴． ∴半径的长为3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，切线的判定，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 24. （问题提出）如图1，四边形中，，，，，，求四边形的面积． （尝试解决）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． （1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______． （2）在（1）的基础上，求四边形的面积． （3）（类比应用）如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）等边 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，所以是等边三角形； （2）知等边三角形的边长为3，求出即可； （3）类比（1），连接，由于，所以可将绕点D逆时针方向旋转，得到，连接，延长，作，得出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，利用勾股定理计算，求和的面积差即可． 【小问1详解】 ，如图2， 绕点顺时针方向旋转，得到， ，， 为等边三角形． 【小问2详解】 由（1）可知，绕点顺时针方向旋转，得到， ， 四边形的面积等边三角形的面积， ，，且， ，， 在四边形中，， 绕点顺时针方向旋转，得到， ， ， 点共线， ， 则等边的高， ． 【小问3详解】 如图3，连接，由于， 可将绕点D逆时针方向旋转，得到， 连接，延长，作， ， 绕点D逆时针方向旋转，得到， 四边形的面积等边三角形的面积三角形的面积， ， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 等边的高 ， ， 四边形的面积． 【点睛】本题主要考查图形的旋转变换的性质，三角形全等的性质，勾股定理等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年秋季学期九年级数学第三次学情调研试卷 （卷面分值：150分 考试时间：120分） 一、选择题（本大题共9题，每小题4分，共36分．） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（　　） A. 4π B. 6π C. 8π D. 12π 6. 如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B运动路径的长度为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 7. 若，，为二次函数图像上的三点，则，的大小关系是（   ） A. B. C. D. 8. 如图利用一面墙（墙长22米），三面用长的篱笆围成面积为的花圃，平行于墙的一边有一扇2米宽的门，若设垂直于墙的一边为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 10. 写出一个二次函数，其图像满足：①开口向上；②过．这个二次函数的解析式可以是____________． 11. 若与关于x轴对称，则_____． 12. 方程的两根是则的值为_______． 13. 若二次函数，经过点、，则该函数的对称轴为______． 14. 某校九年级学生开展了以“凝聚力量、赋能成长”为主题心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛有_____个班级． 15. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到．点A，B的对应点分别为D，E，连接，当点A、D、E在同一条直线上时，那么_____． 16. 如图，的半径是2，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于的方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程一个根是，求的值以及方程的另一个根． 19. 如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，已知，． （1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求出（1）中所作圆的半径． 20. 如图，的顶点都在格点上，且． （1）画出关于点O的中心对称图形； （2）画出绕点O逆时针旋转后的； （3）若上有任一点，则其关于原点成中心对称的点的坐标是多少？ 21. 如图，是的一条弦，，垂足为点，交于点，点在上． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克80元，若每千克盈利10元，则每天可售出400千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克． （1）在原价的基础上，连续两次降价后每千克元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ （3）若使商场每天的盈利达到最大，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？ 23. 如图，在中，，O是BC边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求半径的长． 24. （问题提出）如图1，四边形中，，，，，，求四边形的面积． （尝试解决）旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题． （1）如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是______． （2）在（1）的基础上，求四边形的面积． （3）（类比应用）如图3，四边形中，，，，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $