4.1 指数（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章 指数函数与对数函数 4.1指数 课时目标 1、理解n次方根、根式的概念，掌握根式的基本性质。 2、 理解分数指数幂的意义，掌握实数指数幂的运算性质。 课标要点 3、 能进行根式与分数指数幂的互化，能进行指数幂的化简与求值。 4、了解指数幂由有理数指数幂扩充到实数指数幂的过程。 重点： 1、次方根与根式的性质； 2、分数指数幂与根式的互化： 3、实数指数幂的运算性质； 4、根式和指数幂的化简求值。 学习重难点 难点： 1、偶次方根开方时的符号讨论： 2、分数指数幂意义的理解： 3、 条件求值中的整体代换： 4、 指数幂与基本不等式综合求最值。 清主线 课时内容导图 1/11 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 n次方根：若x=a,则x叫做a的n次方根 性质：偶次方根、奇次方根、0的方根、算术根 知识点1n次方根 根式：a,n为根指数，a为被开方数 根式性质：(y@”=a 整数指数幂：正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂 分数指数幂：a”=am,负分数指数幂取倒数 4.1指数 知识点2指数幂 无理数指数幂：是一个确定的实数 实数指数幂运算性质：同底相乘、幂的乘方、积的乘方、同底相除、商的乘方 化简方向：根式化幂，小数化分数，负指数化正指数 运算原则：先括号，再指数，先乘除后加减 知识点3根式化简 常用方法：分数指数幂运算、整体代换、公式化简 关键对应：根指数对应分数指数分母，被开方数指数对应分子 理新知 教材全盘梳理 知识点 1 n次方根 1、n次方根的定义与性质 (1)一般地，如果x=a,那么叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N (2)性质： ①当n是偶数，a>0时，x的有两个值，且互为相反数，记为±Va;a<0时，x不存在。 ②正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为 an,∈，N,n>ln为奇数a∈R。 ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④0的任何次方根都是0，记作0=0n∈N,n1). 2/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ⑤正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根(n,∈N,n>1。 2、根式的定义与性质 (1)式子Va叫做根式（这里n叫做根指数，a叫做被开方数） (2)性质： ①(ar=a(n>1,且neN):②(a°=(a,n为奇数，（n>1,且neN) a,n为偶数.(n>1,且n∈N) 特别提醒 1、要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简， 2、√a与a”的区别 根式运算中，常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，特别要注意两者运算顺序是否可换、何时可 换 随学随练(26-27高一上江苏宿迁阶段检测)设a>0,则a.云的分数指数幂形式为() A.匠 B.as C. D.a 知识点 指数幂 1、整数指数幂 (1)正整数指数幂： a”=a'a…a(a∈R,n∈N)】 n (2)零指数：a°=1(a≠0，a∈R) ③)负座数指数张：Q广a20,0∈R,neN 2分式指数幂 (1)正分数指数幂：规定： a°=ama0,m,n∈N,n>1) 2》负分数指数暴：规完：a”=片三nQ>0,m,n∈N,n） (3)性质：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3、无理数指数幂 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一般地，无理数指数幂α“（α>0，为无理数）是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂 【注意】(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数：②它是有理数指数幂无限逼近的结果 (2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 4、实数指数幂的运算性质 ①a'·a=a+s(a>0,r,s∈R】 ②a=a(a>0,r,s∈R. ③ab=ab(a>0,b>0,r∈R) 实数指数幂除上述运算性质之外，还可推出如下性质： ①a÷a=a-a,>,0rs∈R;(除相减) ② =ala,>,0b>OrER 注：当幂指数扩充到实数后，底数a>0. 特别提醒 1、0的0次幂没有意义；非零实数的0次幂都等于1. 2、分数指数幂是根式的一种表示形式，即a”=√am分数指数不能随意约分 3、 在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂 纸随学随练(26为-上云南袋安度中)计学2(2-（受+ 9 的结果为 知识点 3 根式的化简（重点) 1、指数幂与根式的化简 (1)在进行分数指数幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，化小数指数幂为分数指数幂，化 负指数为正指数，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值，达到化繁 为简的目的 2、指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号：底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 (⑤)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 3、化简指数幂的几个常用技巧如下： a使式子有意义： 4、在进行整体代换时常用的一些公式 ①完全平方公式：a-b2=a2-2ab+b2,a+b2=a+2ab+b2: ②平方差公式：a2-b=a+ba-b: ③立方和公式：a3+b3=a+ba2-ab+b2: ④立方差公式：a3-b3=a-ba2+ab+b2: ⑤完全立方公式：a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3, a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3。 特别提醒 (1)根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应：①根指数艹分数指数的分 母；②被开方数（式）的指数一分数指数的分子. (2)当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出， 太7随学随练(2627高一上江苏泰州阶段检测)计算 (1)V3-22+ 27) 8 +[(-2)]2-84x42: 3 3 (2)已知11 ,求 a2+a2 以及1口的值. a2+a2=3 a+a a2+a2 通题型 解题能力构建 题型 根式的化简 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■例1(26-27高一上·江苏徐州阶段检测)下列命题中正确的个数为() ①a=d②aeR,则(a-a-°=1®x+y=xy④5--} A.0 B.1 C.2 D.3 1例2(26-27高一上·全国·课后作业)现有下列说法：其中正确的有 (填序号) ①-27=3：②16的4次方根是±2：③3-m)”=3-π(n>1,且n∈N);④Vx-y)2=k-儿. 解题贴士 先判断根指数是奇数还是偶数，偶次根式开方结果要注意绝对值。被开方数的符号要结合条件讨论， 不能直接约去。多重根式一般由内向外化为分数指数幂处理。化简完成后要检查符号和结果形式是否 规范。 对点练1-1(26-27高一上·全国课堂例题)有下列说法：①-27=3；②16的4次方根是±2；③ 81=3:④V(x+y=x+:⑤若x<2,则x-2列+(x-V2)3=2-V2其中正确的是一（填 正确说法的序号) ■对点练1-2(26-27高一上·全国课堂例题)化简与求值： (1)-5列： (2)(-9)2： (6)4-4a*las, (④)Vx2-2xy+y2+0-. 题型 分数指数幂 1例1(25-26高一上云南曲靖期末)己知a>0,则aa的分数指数幂形式为() A B.a C.a D.a Ⅱ例2(25-26高一上·山东菏泽·阶段检测)下列各式中，正确的是() A.(-2)=4 B.01=0 c.-3)4=-3 D.a°=1（a≠0） 6/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题贴士 根式化分数指数幂时，根指数作分母，被开方数的指数作分子。负分数指数幂先转化为正指数幂的倒 数。注意底数条件和0的负指数幂无意义。结果通常统一写成幂的形式，并检查是否需要保留根式。 ■对点练2-1(25-26高一上·天津期末)已知a>0,若√a√a=a",则实数m=」 ■对点练2-2(25-26高一上·甘肃期末)已知a>0,则a2√a3的分数指数幂的形式为() 7 A.a6 B.a C.a6 D.a? 题型 二次根式化简 1例1(25-26高一上福建福州自主招生)化简：V3+V5+V3-V5= ■例2(25-26高一上浙江杭州阶段检测)化简：V4+V15+V4-√15= 解题贴士 形如√a±2√b的式子，优先尝试配成完全平方形式。开方前要判断括号内表达式的正负，避免漏掉 绝对值。也可设整体为X,通过平方后求值。含分母的式子可先提取公因式，再进行分母有理化。 W10+√26-V15-√39 ■对点练3-1(25-26高一上·浙江杭州阶段检测) V10+√26+V15+V39 =() A.2W6-5 B.2W6+5 C.25-4 D.2W5+4 ■对点练3-2(26-27高一上广东深圳开学考试)化简V3-2W2+V6-4V2的结果是() A.V3-42 B.V3-2W2 C.1 D.3-2W2 题型 利用平方整体化简 33 Ⅱ例1(26-27高一上江苏扬州阶段检测)已知实数x满足x+x1=7,则x2+x2= 1刷2(26,27路-上江苏扬州阶段检测)若实数0满足a+。6,则。+口的伯为 a 解题贴士 遇到X+X与X+x的关系，优先用完全平方公式整体转化。求X+x时，可先构造X 3 了 注意由已知条件判断X的正负，避免增根。整体代换能减少展开，最后再代回求值。 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a*+ax Ⅱ对点练41(26-27高一上全国课堂例题)已知4=√2+1？求"+a3:的值 12 21 ■对点练4-2(26-27高一上全国·课后作业)正实数a,b满足a3+b3=4,若m=a+3a3b3,n=b+3a3b3,求 22 (m+n)3+(m-n)3的值 题型 指数幂整体代换 ■例1(25-26高一上浙江杭州期中)若10=3,10=2，则10+3”=() A.18 B.27 C.36 D.24 ■例2(25-26高一上·湖南邵阳期末)已知5=2,5=9，则52的值为 解题贴士 先把已知条件化为同底数幂，便于使用指数运算性质。指数相加对应同底数幂相乘，指数相减对应同 底数幂相除。指数倍关系可转化为幂的乘方。求值时整体代入已知幂值，不必单独求出指数。 ■对点练5-1(25-26高一上·福建厦门期末)已知2=15,8=3，则2-3动=（) A.12 C 25 D.3 B.5 9 ■对点练52(25-26高一上安徽阶段检测)（多选）己知m,n是关于x的方程16-2b.4+b2-9=0的 两个不相等的根若m+n=2,则() A.b=5或b=-5 B.4mn=3 c-咔 D.2m+2”=32 题型 指数幂的混合运算 ■例1(2027高三·全国专题练习)化简下列各式： 2 '-3z+3 a3 ■例2(2027高三·全国专题练习)求值与化简. 8/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Cvoo-2-- 0.1)2(ab32 解题贴士 先化带分数为假分数，化小数为分数，化负指数为正指数。根式一般化为分数指数幂后再运算。按先 括号、再指数、先乘除后加减的顺序计算。结果不能同时含根号和分数指数，也不能既有分母又含负 指数。 4 a3-8ab ■对点练6-1(26-27高一上·全国课堂例题)化简： 2 2 4b3+2ab+a3 1-2a ■对点练6-2(26-27高一上全国课堂例题)化简求值： (1)0.0001+27 oc4-(g+oo 题型 指数幂结合基本不等式求最值 1例1(26-27高三上陕西渭南阶段检测)已知正实数x,y满足2*8”=22”，则3x+y的最小值是() A.6 B.8 C.12 D.16 ■例2(25-26高二下·天津期末)己知a,b∈R，且3a+2b=1,则8+4最小值为 解题贴士 先由指数等式化为一次约束关系，如X+3y=1。求分式和的最值时，常用“1”的代换构造基本不等式。 使用基本不等式后必须验证等号成立条件。注意题目中正数条件，确保最值可取到。 4,1,x ■对点练71(25-26高二下天津期中)已知x>0:y>0:且2，=16则y+)的最小值为 9/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11 1对点练7-2(25-26高二下上海松江期中)已知x>0:y>0,且2*.8"=2，则xy的最小值为一 刷好题 课时巩固精炼 。基础通关 1.(26-27高一上江苏泰州阶段检测)化简（结果表示为分数指数幂的形式）：。 avaa (a>0)= 2.(26-27高一上安徽期中)求值：(0.064)3 2024) 2025 +[-2]-8125= 3.(26-27高一上全国·课后作业)己知正实数a满足a°=(9a),则a的值为. 4.(25-26高二下河南南阳期末)设a,b是正数，且a°=b°，b=3a,则a=() A.2 B.2 C.3 D.3 5.(25-26高二全国暑假作业)已知x°=6，则x等于() A.6 B.6 c.-6 D.±6 素养提升 1.(25-26高一上·上海单元测试)已知x=a3+b2,化简x2-2a3x+a6= 23+y (26-27高三上山东临沂阶段检测)已知正数v满足x>8v,且r-r=8一4v.记S-1 则S的取值范围是」 3.(26-27高一上全国课后作业)己知10=2,10=5,10=3，求1026的值 4(2026高一全国专题练习)已知定义在取上有8()（2+2)，f(四)-(2-2)求证 g(2x)=[g(x)]+[f(x] 5.(26-27高一上江苏盐城阶段检测)(1)用分数指数幂表示云V匠： -6 2 10/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )E,o-g家：@+a2do:eG可+合) 6.(26-27高一上辽宁·期中)下列指数幂运算中，不正确的是() A.=y(y<0) c.[=(e>o D.a√a=a8(a>0) 7.(26-27高一上全国课后作业)化简(a-+1-a+1-a'+(/a-+V2-b+b-2的结果 是() A.1-a B.2(1-a) C.a-1 D.2(a-1) 33 8.(2026高一·全国专题练习)已知11 x2+x2= 3求-x以及的值 x2+x2+3 9.(25-26高一上·全国阶段检测)（多选）已知a5+a5=3,下列各式正确的是() A.a5-a5=t5 B.a25+a25=7 55 C.a2+a2=5 D.a5+a35=24 3m-2n 10.(25-26高一上江苏南京阶段检测)(1)已知10=2,10°=3，求102的值：新增小题 (3)已知g+12=16求4 的值新增小题 11/11 第 四 章 指数函数与对数函数 4.1 指数 课标要点 1、理解 次方根、根式的概念，掌握根式的基本性质。 2、理解分数指数幂的意义，掌握实数指数幂的运算性质。 3、能进行根式与分数指数幂的互化，能进行指数幂的化简与求值。 4、了解指数幂由有理数指数幂扩充到实数指数幂的过程。 学习重难点 重点： 1、次方根与根式的性质； 2、分数指数幂与根式的互化； 3、实数指数幂的运算性质； 4、根式和指数幂的化简求值。 难点： 1、偶次方根开方时的符号讨论； 2、分数指数幂意义的理解； 3、条件求值中的整体代换； 4、指数幂与基本不等式综合求最值。 知识点 次方根 1、n次方根的定义与性质 （1）一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ，且 . （2）性质： ①当 是偶数， 时， 的有两个值，且互为相反数，记为 ； 时， 不存在。 ②正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为 。 ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④ 的任何次方根都是 ，记作 . ⑤正数 的正的 次方根叫做 的 次算术根 。 2、根式的定义与性质 （1）式子 叫做根式（这里 叫做根指数， 叫做被开方数）. （2）性质： ① （ ，且 ）；② 特别提醒 1、要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简. 2、与 的区别 根式运算中，常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，特别要注意两者运算顺序是否可换、何时可换 随学随练（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）设，则的分数指数幂形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 知识点 指数幂 1、整数指数幂 （1）正整数指数幂： （2）零指数： （3）负整数指数幂： 2、分式指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质： 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义. 3、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 是一个确定的实数. 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂. 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果. （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围. 4、实数指数幂的运算性质 ① . ② . ③ . 实数指数幂除上述运算性质之外，还可推出如下性质： ① ；（除相减） ② . 注：当幂指数扩充到实数后，底数 . 特别提醒 1、0的 次幂没有意义；非零实数的 次幂都等于 .. 2、分数指数幂是根式的一种表示形式，即 . 分数指数不能随意约分 3、在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂 随学随练（25-26高一上·云南德宏·期中）计算的结果为______________. 【答案】 /0.5 【详解】 知识点 根式的化简（重点） 1、指数幂与根式的化简 （1）在进行分数指数幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值，达到化繁为简的目的. 2、指数幂运算的一般原则 (1) 有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2) 先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数. (4) 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (5) 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 3、化简指数幂的几个常用技巧如下： (1) ； (2) ； 4、在进行整体代换时常用的一些公式 ①完全平方公式：，； ②平方差公式：； ③立方和公式：； ④立方差公式：； ⑤完全立方公式：， 。 特别提醒  (1) 根式与分数指数幂互化的关键是准确把握两种形式中相关数值的对应：① 根指数分数指数的分母；② 被开方数（式）的指数分数指数的分子. (2) 当根式为多重根式时，要清楚哪个是被开方数，一般由里向外用分数指数幂依次写出. 随学随练（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 题型 根式的化简 ▌例1（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . ▌例2 （26-27高一上·全国·课后作业）现有下列说法：其中正确的有________．（填序号） ①；②16的4次方根是；③（，且）；④． 【答案】②④ 【详解】负数的3次方根是一个负数，，故①错误； 16的4次方根有两个，为，故②正确； 当为奇数时，；当为偶数时，，故③错误； 当时，；当时，，故，故④正确． 解题贴士 先判断根指数是奇数还是偶数，偶次根式开方结果要注意绝对值。被开方数的符号要结合条件讨论，不能直接约去。多重根式一般由内向外化为分数指数幂处理。化简完成后要检查符号和结果形式是否规范。 ▌对点练1-1 （26-27高一上·全国·课堂例题）有下列说法：①；②16的4次方根是；③；④；⑤若，则.其中正确的是______.（填正确说法的序号） 【答案】②④⑤ 【详解】当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故，①错误； 16的4次方根有两个，为，②正确；，③错误； ，所以，④正确． 由题意知， 故,⑤正确． ▌对点练1-2 （26-27高一上·全国·课堂例题）化简与求值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【详解】（1）. （2） （3）， . （4）原式. 当时，原式； 当时，原式． 题型 分数指数幂 ▌例1（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分数指数幂的运算法则化简. 【详解】． 故选：A ▌例2（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D．（） 【答案】D 【分析】利用分数指数幂与根式的关系可判断A；零的负分数指数幂没有意义，可判断B；根据根式的性质可判断C；D显然成立. 【详解】，故A错误； 零的负分数指数幂没有意义，故B错误； ，故C错误； ，故D 正确. 解题贴士 根式化分数指数幂时，根指数作分母，被开方数的指数作分子。负分数指数幂先转化为正指数幂的倒数。注意底数条件和0的负指数幂无意义。结果通常统一写成幂的形式，并检查是否需要保留根式。 ▌对点练2-1（25-26高一上·天津·期末）已知，若，则实数___________． 【答案】/ 【分析】利用指数幂的运算法则，化简即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：. ▌对点练2-2（25-26高一上·甘肃·期末）已知，则的分数指数幂的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的关系逐层转化即可. 【详解】. 故选：A 题型 二次根式化简 ▌例1（25-26高一上·福建福州·自主招生）化简：______． 【答案】 【分析】利用二次根式的运算性质化简即得. 【详解】 故答案为：. ▌例2（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）化简：______． 【答案】 【详解】设，则， ， ， ． 解题贴士 形如 的式子，优先尝试配成完全平方形式。开方前要判断括号内表达式的正负，避免漏掉绝对值。也可设整体为 ，通过平方后求值。含分母的式子可先提取公因式，再进行分母有理化。 ▌对点练3-1（25-26高一上·浙江杭州·阶段检测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分子、分母通过提取公因式化简，再结合分母有理化即可求解. 【详解】因为 ； ； 所以 . ▌对点练3-2（26-27高一上·广东深圳·开学考试）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知 ， 因为，因此 ； 而 ， 因为，因此 ， 所以 原式. 题型 利用平方整体化简 ▌例1（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知实数满足，则______ 【答案】 【详解】因为且，易得， 由，因，则得， 故． ▌例2（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若实数满足，则的值为__________． 【答案】 【分析】由已知式先判断，再构造，利用平方关系求出其值，最后应用立方和恒等式求． 【详解】因为且，若，则，矛盾，所以． 令则所以． 又因此 解题贴士 遇到 与 的关系，优先用完全平方公式整体转化。求 时，可先构造 。注意由已知条件判断 的正负，避免增根。整体代换能减少展开，最后再代回求值。 ▌对点练4-1（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，求的值. 【答案】 【详解】 ， ， ， 所以. ▌对点练4-2（26-27高一上·全国·课后作业）正实数满足,若,,求的值. 【答案】8 【分析】利用最小幂换元，设,将转化为关于的表达式， 再借助于立方和和立方差公式提取公因式化简，代入已知条件即可求值. 【详解】最小幂换元，设,则条件化为, ,, 所以原式 . 题型 指数幂整体代换 ▌例1（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，，则（   ） A．18 B．27 C．36 D．24 【答案】D 【详解】 ▌例2（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知，，则的值为______. 【答案】/ 【分析】利用指数的运算法则进行计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案是：. 解题贴士 先把已知条件化为同底数幂，便于使用指数运算性质。指数相加对应同底数幂相乘，指数相减对应同底数幂相除。指数倍关系可转化为幂的乘方。求值时整体代入已知幂值，不必单独求出指数。 ▌对点练5-1（25-26高一上·福建厦门·期末）已知，则（    ） A．12 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】由题知，再根据指数幂运算求解即可. 【详解】由得， 因为，所以. 故选：B ▌对点练5-2（25-26高一上·安徽·阶段检测）（多选）已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 题型 指数幂的混合运算 ▌例1（2027高三·全国·专题练习）化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)当时，原式；当时，原式. 【分析】（1）将带分数化为假分数，利用分数指数幂与负整数指数幂的运算法则逐项化简，最后合并同类项即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则计算，最终将结果写回根式形式． 【详解】（1）原式 ． （2）原式， 当时，原式； 当时，原式. ▌例2（2027高三·全国·专题练习）求值与化简． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）将小数化为分数，利用分数指数幂和负整数指数幂的运算法则逐项化简，再合并计算即可； （2）先将根式化为分数指数幂，再根据同底数幂的乘除运算法则化简，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 解题贴士 先化带分数为假分数，化小数为分数，化负指数为正指数。根式一般化为分数指数幂后再运算。按先括号、再指数、先乘除后加减的顺序计算。结果不能同时含根号和分数指数，也不能既有分母又含负指数。 ▌对点练6-1（26-27高一上·全国·课堂例题）化简： 【答案】 【详解】 ▌对点练6-2（26-27高一上·全国·课堂例题）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3.1 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 题型 指数幂结合基本不等式求最值 ▌例1（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由指数运算性质得出，然后利用“1”的代换构造基本不等式，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. ▌例2（25-26高二下·天津·期末）已知，且，则最小值为____． 【答案】 【详解】因为，则， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为. 解题贴士 先由指数等式化为一次约束关系，如 。求分式和的最值时，常用“1”的代换构造基本不等式。使用基本不等式后必须验证等号成立条件。注意题目中正数条件，确保最值可取到。 ▌对点练7-1（25-26高二下·天津·期中）已知，，且则的最小值为____________． 【答案】 【分析】先化简已知指数等式得到，再通过换元将目标式转化为可利用基本不等式求最值的形式计算最小值. 【详解】已知，，且， 则，故， 令，则，代入得，解得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为. ▌对点练7-2（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】由指数运算性质得，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，，得， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时取等号， 此时满足条件，因此的最小值为. 基础通关 1．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）化简（结果表示为分数指数幂的形式）：________． 【答案】 【详解】. 2．（26-27高一上·安徽·期中）求值：_____． 【答案】 【详解】原式． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）已知正实数满足，则的值为________． 【答案】 【详解】由题意得，若，则等式不成立，所以， ，即，故方程变为， 所以，即． 4．（25-26高二下·河南南阳·期末）设，是正数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算求解即可. 【详解】由，，可得，因为为正数，所以，则 5．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】6是偶数，故当时，． 素养提升 1．（25-26高一上·上海·单元测试）已知，化简______． 【答案】 【分析】根据已知条件化简求得解. 【详解】. 故答案为： 2．（26-27高三上·山东临沂·阶段检测）已知正数满足，且．记，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】通过换元法将无理方程转化为整式方程，利用因式分解和已知不等式约去公因式，得到与的等量关系，再通过构造一元二次方程，利用判别式和韦达定理求出的范围，进而得到目标函数的取值范围. 【详解】令，，因为为正数，所以，， 由，得，即， 已知方程，代入得 ， 整理得， 因为，令，，则，且， 即， 因为，两边同除以，得， 目标函数， 设，则， 由，得，即， 因为，所以，即， 因为，所以解得， 又因为，所以关于的一元二次方程有两个不相等的正实根， 其判别式，解得， 综上所述，的取值范围为，所以的取值范围为. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）已知,求的值. 【答案】 【详解】， ， . 4．（2026高一·全国·专题练习）已知定义在上有，.求证. 【答案】证明：由已知，， 得 ， 又由函数定义得. 综上，. 【分析】把等式左右两边分别化简，得到相同表达式即可得证. 【详解】略. 5．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 6．（26-27高一上·辽宁·期中）下列指数幂运算中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂与根式的关系即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 7．（26-27高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，， 所以，，，，, 所以原式. 8．（2026高一·全国·专题练习）已知，求以及的值． 【答案】， 【分析】利用完全平方公式和立方和公式，逐步求出、、的值即可求解 【详解】对两边平方可得，则， 对平方可得，所以， 即， 根据立方和公式可得， 所以， 对两边平方，可得，则， 所以． 9．（25-26高一上·全国·阶段检测）（多选）已知，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】设，则，由题意可得，则，由此逐一判断即可. 【详解】设，则，由题意可得，则， 对于A，因为， 又因为， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为， 由，可得，故C正确； 对于D，因为 ，故D错误. 故选：ABC. 10．（25-26高一上·江苏南京·阶段检测）(1)已知，，求的值；新增小题 (2)已知，为正实数，求的值；新增小题 (3)已知，求的值.新增小题 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可； （2）根据指数幂的运算法则及完全平方公式、立方差公式求解即可； （3）由题可得，利用换元法及求根公式求解即可. 【详解】（1）原式. （2）因为， ， 所以. （3）由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $