指数与指数函数知识点与题型总结讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数与指数函数知识点与题型总结讲义 指数与指数函数知识点与题型总结讲义 考点目录 根式的化简 根式与分数指数幂的互化 指数函数的定义与解析式 指数函数的图像与性质 以指数函数为背景的定义域问题 以指数函数为背景的值域问题 以指数函数为背景的单调性问题 以指数函数为背景的定点问题 指数函数的实际应用 指数函数的综合应用 考点一 根式的化简 【知识点解析】 1.二次根式的化简依据： 2.化简步骤 将式子化简成含绝对值的式子，再对绝对值内的数进行正负讨论，去绝对值. （1） （2）形如，所以，，联立可以求解. 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以. 故选：C. 例2．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意当时，不为定值， 当时，为定值， 综上所述：实数的取值范围为，故B正确. 故选：B. 例3．（25-26高一上·云南昭通·阶段练习） . 【答案】1 【详解】. 故答案为：1 例4．（25-26高一上·广东广州·阶段练习），求 ． 【答案】 【详解】法一：因为，，所以. 法二：. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】， 故选：A 变式2．（25-26高一上·山东青岛·阶段练习）化简（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：， 故选：D． 变式3．（25-26高一上·上海·阶段练习）化简： ． 【答案】 【详解】， 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·湖南株洲·阶段练习）计算的值为 . 【答案】 【详解】. 故答案为： 考点二 根式与分数指数幂的互化 【知识点解析】 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． (2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： （1）. （2）. （3）． （4）． 【例题分析】 例1．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于，A正确，B，C错误； ，由于无意义，D错误， 故选：A 例2．（2025·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D 例3．（24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2）6 【详解】（1） ； （2）由两边取平方，，即得， 再两边取平方，可得，即得. 故. 例4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算 (1)； (2)已知，求的值： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）因为，所以，即， 因为， 所以， 所以原式. 变式1．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 【答案】 【详解】原式 故答案为：． 变式2．（24-25高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 变式3．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）原式. （2）因为， 所以， ， 所以. 变式4．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）. （2）∵，∴，即， ∴，∴，故， ∴. 考点三 指数函数的定义与解析式 【知识点解析】 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 2．指数函数的结构特征 （1）底数：大于零且不等于的常数； （2）指数：仅有自变量； （3）系数：的系数是． 【例题分析】 例1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是． 故选：C 例2．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 例3．（24-25高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【详解】由已知得，即得. 故选：C 变式1．（24-25高一上·海南三亚·阶段练习）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 故答案为：. 变式2．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 变式3．（24-25高一上·上海·阶段练习）指数函数的图像经过，则底数的值为 ． 【答案】/ 【详解】由指数函数的图像经过，可得，解得. 故答案为： 考点四 指数函数的图像与性质 【知识点解析】 1.指数函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 非奇非偶 对称性 无 周期性 无 定点 2.利用图像比较底数的大小 判断底数大小的方法：过点作与轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数． 3.函数图像的对称与对称变换 (1) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (2) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. (4) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (5) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 【例题分析】 例1．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 例2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 根据指数函数的图象，B选项符合题意. 故选：B. 例3．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 例4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由于关于直线对称，由图可知对称轴在之间，即， 且在处函数值在之间，即． 故选：A． 变式1．（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于D，因为，所以直线在轴上的截距大于1，故D错误； 故选：B 变式2．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的图象大致是 （        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数，排除BD选项， 又因为，排除A选项. 故选：C. 变式3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图得，，所以. 因为函数（，且）的图象与函数（，且）的图象关于轴对称，如图所示， 由图可知：，则. 故选：A. 变式4．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 考点五 以指数函数为背景的定义域问题 【知识点解析】 1.已知解析式求定义域 当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： (1)分式的分母不为； (2)偶次根式的被开方数为非负数； (3)要求； (4)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合； (5)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 2.抽象函数的定义域 (1)对于、这两个函数中，的和的的取值范围相同； (2)已知的定义域为，求的定义域，其实质是由，求出的取值范围； (3)已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围； (4) 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围，再由的取值范围为，得到，求出的取值范围. 3.解指数不等式 （1）将不等式的两边化成同底的指数式. （2）利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 【例题分析】 例1．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 例2．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 例3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题知，，解得， 所以函数的定义域是， 故答案为： 例4．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【详解】要使原式有意义需满足，即，解得， 故函数的定义域为. 故答案为： 变式1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 变式2．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 变式3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 故答案为：. 变式4．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】对于函数，由可得，解得. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 考点六 以指数函数为背景的值域问题 【知识点解析】 1.求值域的常见方法 （1）单调性法 （2）配方法 （3）换元法 （4）分离常数法 （5）基本不等式法 （6）判别式法 2.常见以指数函数为背景的值域问题 （1）型 ①根据的大小确定函数的单调性. ②根据自变量的范围确定函数的最值. （2）型 ①令，由定义域求出的范围. ②根据的大小确定函数的单调性，进而确定函数值域. （3）型 ①令，由定义域求出的范围. ②讨论二次函数在定义域的值域. 3.对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是． 【例题分析】 考向一 求指数函数在指定区间内的最值 例1．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 当时，， 所以如果存在最小值， 则，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：C. 例2．（24-25高二下·云南·期末）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是增函数，所以当时，，即， 所以的取值范围为. 故选：D. 例3．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为. 故选：A. 变式1．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数为增函数，所以当时，， 即函数在上的值域为， 又因为函数的值域为， 设函数在上的值域为A，则， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 变式2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由在上值域为， 由在上单调递减，则值域为， 又原函数的值域为，所以，可得. 故答案为： 变式3．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【详解】易知指数函数在上单调递减， 所以，即该函数在上的值域为. 故答案为： 考向二 求指数型复合函数的最值 例1．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，当时取等号， 又为R上的单调递增函数，故，即， 故函数的值域为， 故选：D 例2．（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 例3．（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，当时，， 故由题意可得关于的不等式在区间上恒成立， 设，由二次函数的性质可知在区间上单调递减， 故，得， 故选：D 例4．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即， 于是有，当时，，此时，， 当时，，此时，， 所以函数的值域为. 故选：B 例5．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 令，则由，可知的取值范围为， 故原函数可化为， 由对勾函数性质，可知在上单调递增， 因此在时取到最小值，此时， 所以当时，在上取到最小值. （2）依题意， 故当时，. 因为，总存在，使得， 设在上取值的集合为集合，则有. 当时，显然有在区间上单调递增， 此时， 由可知，解得 当时，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 因此有，即， 因为时，，故时，在上单调递增， 此时， 由此可得无解， 综上，实数的取值范围为. 例6．（24-25高一上·山东枣庄·期末）设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 【答案】(1)或． (2)． 【详解】（1）是奇函数时，． 即对定义域内任意实数都成立， 即． 对定义域内任意实数都成立，所以，所以或； （2）当时，，定义域为，不符合题意； 当时，． 当时，因为，故，则．所以； 当时，． 综上所述：函数的值域为． 变式1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的值域为 . 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 可知函数的值域为， 又因为在定义域内单调递减，则， 且，所以函数的值域为. 故答案为：. 变式2．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 【答案】 【详解】由，则， 所以函数的值域为. 故答案为： 变式3．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 变式4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 【答案】 【详解】由题意可得：， 因为时，则， 根据二次函数的单调性知， 时，y取得最小值为；时，y取得最大值为； 所以函数y的值域是 故答案为： 变式5．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 【答案】 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数在上的值域是. 故答案为： 变式6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 变式7．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当时，， 由，得，则，因此， 所以函数的值域是. （2），， 由（1）知，， ，当且仅当，即时取等号，则， 所以实数的范围是. 考点七 以指数函数为背景的单调性问题 【知识点解析】 1.函数的单调性的应用： （1）利用指数函数的单调性比较大小 ①若底数相同、指数不同，可直接利用单调性比较； ②若底数不同、指数相同，可利用指数函数的单调性解决； ③若底数不同、指数也不同，可以采用中间值法，中间量常取1． （2）利用指数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的指数式. ②利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：同增异减. 【例题分析】 考向一 判断指数函数型复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递减，则的单调递增区间为. 故选：D 例2．（24-25高一上·海南·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，令，则或， 即函数的定义域为， 结合题意知的定义域为； 易知函数在定义域上的单调递增， 故要求函数的单调递增区间， 即求在上的单调递增区间， 而在区间上单调递增，在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故函数的单调递增区间是. 故选：B 变式1．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数中，令，则函数在上单调递减，上单调递增， 而函数为减函数，因此函数在上单调递增，上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 变式2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 考向二 利用指数函数的单调性比较大小 例1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由得 . . 故选：D. 例2．（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和幂函数单调性进行判断即可. 【详解】，，，，； 在上单调递增，，； 综上所述：. 故选：D. 例3．（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选： 例4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且， 所以，即. 故选：C. 变式1．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，，， 所以. 故选：A. 变式2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 变式3．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是减函数，所以， 因为在单调递增，所以，故，所以， 又是增函数，所以，所以. 故选：B. 考向三 利用指数函数的单调性解不等式 例1．（25-26高三上·福建漳州·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由的单调性可得： ， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例2．（21-22高一上·海南儋州·期末）已知不等式的解集是 . 【答案】 【详解】，， ，或， 解得或， 所以不等式不等式的解集是. 故答案为： 变式1．（25-26高三上·四川遂宁·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】不等式可化为，因为函数为增函数， 所以，移项整理为， 解得或． 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 变式2．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 【答案】 【详解】当时，，，； 当时，，，；当时，， 因此函数为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递减，则， 于是，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 考点八 以指数函数为背景的定点问题 【知识点解析】 1.常见的两个定值：(1); (2) . 2.处理定值问题的两个常见思路： (1)若底数不变，令指数为0； (2)若指数不变，令底数为1. 【例题分析】 例1．（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 例2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，所以函数图象恒过定点. 故选：D. 例3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为，令可得，， 所以该函数过定点； 又该定点在直线上，所以， 因此， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：B. 变式1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是 ． 【答案】 【详解】因为函数（且）恒过点， 所以函数（且）恒过点，即. 故答案为： 变式2．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 . 【答案】 【详解】因为（且）的图象恒过点， 令得，则， 则的图象恒过点. 故答案为： 变式3．（24-25高一上·浙江·期中）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为 . 【答案】16 【详解】根据指数函数的性质，有，即曲线恒过定点，则， 又，，则， 当且仅当时等号成立，故目标式的最小值为16. 故答案为：16 考点九 指数函数的实际应用 【知识点解析】 1.函数实际应用问题的解题步骤 （1）审题：明确变量，判断函数类型 （2）建模：设函数解析式，代入数据求参数 （3）求解：利用确定的函数模型，解决具体问题 （4）验证：结合实际意义，判断结果合理性 2.实际应用的常见模型 （1）周长、面积、体积问题：核心表示出边长. （2）工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. （3）行程问题：核心表示出路程、速度、时间. （4）销售问题：核心表示出单价、数量、总价. （5）利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） （6）增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. 【例题分析】 例1．（25-26高一上·云南·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题意，令且，则， 由在上单调递减，且， 所以该种果树从栽种开始至少需要5年才能进入“稳定期”. 故选：B 例2．（25-26高三上·江西·阶段练习）某食品的保鲜时长（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系．当时，，当时，．要保证该食品的保鲜时长不低于，则储藏温度不高于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，则，故， 设储藏温度不高于，该食品的保鲜时长不低于， 则，则，则. 故选：B. 例3．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段练习）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间y（h）与储藏温度x（）关系为为常量）．若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10的冰箱中保鲜时间约是（    ） A．49h B．56h C．64h D．76h 【答案】C 【详解】由题意可知，，得，， 则， 则当时，，即在10中的保鲜时间约是64h. 故选：C 变式1．（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 【答案】B 【详解】由题意得，即，其中，所以， 当时，. 故选：B 变式2．（24-25高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由题意得，当时，①， 当时，②， ②-①得，，解得，负值舍去， 所以，解得. 故选：A. 变式3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）据历史资料记载：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.39%”，如果“十·五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（    ） A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元 【答案】C 【详解】由题意. 故选：C. 考点十 指数函数的综合应用 【例题分析】 例1．（25-26高一上·云南·期中）已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）当时，在上单调递减，，则； 当时，在上单调递增，，则， 所以的值为或. （2）不等式，令函数， 依题意，对，恒成立，而当时，函数在上单调递增， 当时，，因此，解得， 所以的取值范围是. 例2．（25-26高三上·河南周口·阶段练习）已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，． (1)求的值； (2)若函数． （ⅰ）当时，求函数的最小值； （ⅱ）是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）存在， 【详解】（1）因为为偶函数，则恒成立，即， 即， 因为，所以，即， 所以，因为对所有都成立，所以； 因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为，所以符合题意； （2）因为， 则 ， 令，则， （ⅰ）因为，且是关于的增函数，所以， ，对称轴为， 当时，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当时，在上单调递减， 所以， 综上，当时，的最小值为； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为； （ⅱ）因为，则， 所以若的解集为， 则关于的不等式的解集为， 则是方程的两根，且， 所以有，且， 解得， 所以当时，不等式的解集为． 例3．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知函数（）是上的奇函数. (1)求a的值； (2)判断的单调性并用单调性定义证明； (3)若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)1 (2)为上的增函数；证明见解析 (3). 【详解】（1）因为函数（）是上的奇函数， 所以， 即对任意恒成立，解得， （2）因为 又在上单调递增且， 且在单调递增，所以为上的增函数； 证明如下：任取且， 则， 因为，所以，所以，即， 所以函数在上单调递增； （3）由已知在内有解， 即在有解， 令（），则， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以实数b的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）因为函数为奇函数，且定义域为， 所以，即，所以， 即，因为为奇函数，所以符合题意； （2）当时，，则存在，使得成立， 即，所以在上有解， 令，因为，所以，则有解， 故实数t的取值范围为函数的值域， 又，因为，所以， 所以，故实数t的取值范围为； （3）由题， 令，显然在上单调递增，则， 则， 当，即时，在上单调递减，； 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，. 综上：当时，； 当时，； 当时，. 变式2．（25-26高一上·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设（，且）， 由，得， 所以. （2）由题意得，所以是偶函数. 由（1）得, 任取则， ， ，所以在上单调递增， 由，得， 易得，， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为， 所以， 得， 即t的取值范围为. 变式3．（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数是上的奇函数，函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，即，整理得， 因为，所以，解得， 则，经检验，符合题意，所以. （2）由题知， 若对，总，使得，可得， 由复合函数单调性可得： 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，有最小值. 设，函数在单增，所以， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 函数在上单调递减，所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 课后提升训练 1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】指数函数的一般形式为（且），其具有以下性质： 定义域为，值域为 当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减. 图象恒过点. 观察图像可知，D有可能是指数函数图象. 故选：D 3．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则， 所以. 故选：D 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 5．（24-25高二下·甘肃金昌·期末）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 【答案】A 【详解】由偶函数的性质可知，，得， 即时，，则，故A正确. 故选：A． 6．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由, 所以. 当时，，此时，指数随着x的增大而增大，因此在上单调递增； 当时，，此时，指数随着x的增大而减小，因此在上单调递减. 所以函数在上单调递增，在上单调递减（包含，左侧递减，右侧递增）. 故选：A. 7．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D． 8．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为单调递减，故对应的指数函数部分、二次函数部分都要单调递减， 对指数函数在单调递减，需， 对二次函数，开口向下、对称轴为，故二次函数在单调递减，满足要求， 此外还需满足分段点处的函数值满足，整理得，解得或， 结合，可得， 故选：B． 9．（24-25高一下·河北石家庄·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 【答案】ABD 【详解】对A：由恒成立，故函数的定义域为，故A正确； 对B：，由，则， 故，则，故B正确； 对C：，故关于对称，故C错误； 对D：，由且为增函数， 则为减函数，则在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·安徽安庆·期末·多选）已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 【答案】ABC 【详解】对于A中，因为， 则的单调递减区间为，所以A正确； 对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确； 对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数， 所以函数图象关于原点对称，所以C正确； 对于D中，由，可得，即， 可得，解得，所以D错误. 故选：ABC. 11．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 【答案】8 【详解】 . 故答案为：8 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则 ． 【答案】 【详解】由题设，函数定义域为R，则，可得， 所以，则，满足题设. 故答案为： 13．（24-25高一上·安徽宣城·期末）函数，在上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，，所以. 所以. 故a的取值范围是. 14．（24-25高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:． （2）若，求下列式子的值： ① ② 【答案】（1）-1； （2）①，②. 【详解】（1）原式=； （2）①：，所以； ②：，由题意知，所以. 15．（24-25高一上·云南·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得. （2），定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. （3）由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 16．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数为上的奇函数 (1)求实数的值. (2)判断的单调性（不需要证明）. (3)若正实数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)是上的增函数 (3) 【详解】（1）为上的奇函数， 当时，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以当时函数为奇函数， ∴ 时，符合题意，故； （2）因为， 又函数为增函数，且函数的值域为， 所以函数为上的增函数， 又为上的增函数， 为上的增函数 （3）因为为上的奇函数且为增函数 所以 所以， 因为为正实数， 所以， 当且仅当时，即时取最小值6. 故当时，取最小值，最小值为. 17．（24-25高二下·河北·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，. 令，， 则，. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时；当时， 故函数，的值域为. 所以当时，在上的值域为. （2）当时，，满足在上单调递增，满足题意； 当时，设，则，. 因为单调递增， 所以要使在上单调递增， 须使在上单调递增，     所以解得. 综上可得：实数的取值范围为，即. 18．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【详解】（1）当时，， 令，则即，， 解得或，即或， 解得或. （2）设在上的值域为A，在上的值域为B，则， 因为，所以，当且仅当即时等号成立， 所以， 因为，所以对恒成立， 即对恒成立， 令，则，， 当时，， 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $指数与指数函数知识点与题型总结讲义 指数与指数函数知识点与题型总结讲义 考点目录 根式的化简 根式与分数指数幂的互化 指数函数的定义与解析式 指数函数的图像与性质 以指数函数为背景的定义域问题 以指数函数为背景的值域问题 以指数函数为背景的单调性问题 以指数函数为背景的定点问题 指数函数的实际应用 指数函数的综合应用 考点一 根式的化简 【知识点解析】 1.二次根式的化简依据： 2.化简步骤 将式子化简成含绝对值的式子，再对绝对值内的数进行正负讨论，去绝对值. （1） （2）形如，所以，，联立可以求解. 【例题分析】 例1．（25-26高一上·江苏盐城·阶段练习）若，则的化简结果是（    ） A．1 B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）设，若为定值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·云南昭通·阶段练习） . 例4．（25-26高一上·广东广州·阶段练习），求 ． 变式1．（25-26高一上·福建厦门·阶段练习）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 变式2．（25-26高一上·山东青岛·阶段练习）化简（    ） A． B． C．2 D． 变式3．（25-26高一上·上海·阶段练习）化简： ． 变式4．（25-26高一上·湖南株洲·阶段练习）计算的值为 . 考点二 根式与分数指数幂的互化 【知识点解析】 1．分数指数幂 (1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是． 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式． (2)正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且． (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂 规定了分数指数幂的意义之后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数，均有下面的运算性质： （1）. （2）. （3）． （4）． 【例题分析】 例1．（24-25高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·广东珠海·模拟预测）已知且，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·江西宜春·期中）（1）求值：； （2）已知，求值：. 例4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）计算 (1)； (2)已知，求的值： 变式1．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）用有理数指数幂的形式表示： ． 变式2．（24-25高三上·上海奉贤·阶段练习）已知，将化为分数指数幂形式，则 . 变式3．（24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值. (1)； (2)已知，求的值. 变式4．（24-25高一上·广东广州·期中）（1）化简：． （2）已知，求． 考点三 指数函数的定义与解析式 【知识点解析】 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 2．指数函数的结构特征 （1）底数：大于零且不等于的常数； （2）指数：仅有自变量； （3）系数：的系数是． 【例题分析】 例1．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）函数是指数函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 例3．（24-25高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 变式1．（24-25高一上·海南三亚·阶段练习）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 变式2．（24-25高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 变式3．（24-25高一上·上海·阶段练习）指数函数的图像经过，则底数的值为 ． 考点四 指数函数的图像与性质 【知识点解析】 1.指数函数的图像与性质 解析式 图像 定义域 值域 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 非奇非偶 对称性 无 周期性 无 定点 2.利用图像比较底数的大小 判断底数大小的方法：过点作与轴平行的直线，则该直线与指数函数图象交点的纵坐标即该指数函数的底数． 3.函数图像的对称与对称变换 (1) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (2) 函数图像关于轴对称得函数的图像. (3) 函数图像关于原点对称得函数的图像. (4) 函数的图像代表将函数在轴下方的图像翻折到轴上方，轴上方的图像不变. (5) 函数的图像代表将函数在轴右方的图像翻折到轴左方，轴右方的图像不变. 【例题分析】 例1．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A．B．C． D． 例2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 例3．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 例4．（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 变式1．（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（   ） A．B．C． D． 变式2．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数 的图象大致是 （        ） A．B．C． D． 变式3．（24-25高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数（，且）与函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 考点五 以指数函数为背景的定义域问题 【知识点解析】 1.已知解析式求定义域 当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有： (1)分式的分母不为； (2)偶次根式的被开方数为非负数； (3)要求； (4)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合； (5)由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求． 2.抽象函数的定义域 (1)对于、这两个函数中，的和的的取值范围相同； (2)已知的定义域为，求的定义域，其实质是由，求出的取值范围； (3)已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围； (4) 已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围，再由的取值范围为，得到，求出的取值范围. 3.解指数不等式 （1）将不等式的两边化成同底的指数式. （2）利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 【例题分析】 例1．（24-25高一上·河南南阳·阶段练习）函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的定义域是 . 例4．（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的定义域为 . 变式1．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·陕西榆林·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是 ． 变式4．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）函数的定义域是 . 考点六 以指数函数为背景的值域问题 【知识点解析】 1.求值域的常见方法 （1）单调性法 （2）配方法 （3）换元法 （4）分离常数法 （5）基本不等式法 （6）判别式法 2.常见以指数函数为背景的值域问题 （1）型 ①根据的大小确定函数的单调性. ②根据自变量的范围确定函数的最值. （2）型 ①令，由定义域求出的范围. ②根据的大小确定函数的单调性，进而确定函数值域. （3）型 ①令，由定义域求出的范围. ②讨论二次函数在定义域的值域. 3.对于值域问题，一方面要考虑函数的定义域和单调性，另一方面还必须兼顾指数函数的值域是． 【例题分析】 考向一 求指数函数在指定区间内的最值 例1．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·云南·期末）已知函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例3．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 ． 变式2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是 . 变式3．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）函数的值域是 . 考向二 求指数型复合函数的最值 例1．（25-26高三上·重庆·开学考试）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·四川广安·开学考试）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·上海长宁·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知函数，，则函数的值域为（    ）． A． B． C． D． 例5．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知函数. (1)当时，求在区间上的最小值； (2)若，总存在，使得，求实数的取值范围. 例6．（24-25高一上·山东枣庄·期末）设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 变式1．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）函数的值域为 . 变式2．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数，则它的值域是 ． 变式3．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 变式4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）函数的值域是 . 变式5．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）函数在上的值域是 ． 变式6．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 变式7．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若在恒成立，求实数的范围 考点七 以指数函数为背景的单调性问题 【知识点解析】 1.函数的单调性的应用： （1）利用指数函数的单调性比较大小 ①若底数相同、指数不同，可直接利用单调性比较； ②若底数不同、指数相同，可利用指数函数的单调性解决； ③若底数不同、指数也不同，可以采用中间值法，中间量常取1． （2）利用指数函数的单调性解不等式 ①将不等式的两边化成同底的指数式. ②利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解. 2.复合函数的单调性：同增异减. 【例题分析】 考向一 判断指数函数型复合函数的单调性 例1．（25-26高一上·云南·期中）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·海南·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025·山东济宁·二模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考向二 利用指数函数的单调性比较大小 例1．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．（25-26高一上·河南·阶段练习）设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·广东·阶段练习）设，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例4．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则三个数的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·湖北恩施·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·安徽·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 考向三 利用指数函数的单调性解不等式 例1．（25-26高三上·福建漳州·阶段练习）不等式的解集为 . 例2．（21-22高一上·海南儋州·期末）已知不等式的解集是 . 变式1．（25-26高三上·四川遂宁·阶段练习）不等式的解集为 ． 变式2．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数则的解集是 ． 考点八 以指数函数为背景的定点问题 【知识点解析】 1.常见的两个定值：(1); (2) . 2.处理定值问题的两个常见思路： (1)若底数不变，令指数为0； (2)若指数不变，令底数为1. 【例题分析】 例1．（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x的函数（，且）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数过定点，点在直线上，则的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 变式1．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知常数且，如果无论取何值，函数的图像恒过定点，则的坐标是 ． 变式2．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数（且），则该函数的图象恒过定点 . 变式3．（24-25高一上·浙江·期中）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为 . 考点九 指数函数的实际应用 【知识点解析】 1.函数实际应用问题的解题步骤 （1）审题：明确变量，判断函数类型 （2）建模：设函数解析式，代入数据求参数 （3）求解：利用确定的函数模型，解决具体问题 （4）验证：结合实际意义，判断结果合理性 2.实际应用的常见模型 （1）周长、面积、体积问题：核心表示出边长. （2）工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. （3）行程问题：核心表示出路程、速度、时间. （4）销售问题：核心表示出单价、数量、总价. （5）利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） （6）增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. 【例题分析】 例1．（25-26高一上·云南·期中）近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（25-26高三上·江西·阶段练习）某食品的保鲜时长（单位：）与储藏温度（单位：）满足函数关系．当时，，当时，．要保证该食品的保鲜时长不低于，则储藏温度不高于（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段练习）牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间y（h）与储藏温度x（）关系为为常量）．若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10的冰箱中保鲜时间约是（    ） A．49h B．56h C．64h D．76h 变式1．（25-26高三上·重庆·开学考试）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系，其中k为常数.若该食品在20℃的保鲜时间为48小时，则在30℃的保鲜时间是（   ） A．20小时 B．24小时 C．28小时 D．32小时 变式2．（24-25高一上·四川泸州·期末）在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度v（单位：）和所携带的燃料的质量M（单位：kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系式近似满足（a为常数）．当携带的燃料的质量和飞行器（除燃料外）的质量相等时，v约等于2.9，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量的13倍时，v约等于5.8，则常数b的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）据历史资料记载：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.39%”，如果“十·五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（    ） A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元 考点十 指数函数的综合应用 【例题分析】 例1．（25-26高一上·云南·期中）已知指数函数． (1)若在上的最大值为16，求的值； (2)当时，若对恒成立，求的取值范围． 例2．（25-26高三上·河南周口·阶段练习）已知定义在上的偶函数和奇函数，若，，． (1)求的值； (2)若函数． （ⅰ）当时，求函数的最小值； （ⅱ）是否存在，使得关于的不等式的解集为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25高一上·四川广安·阶段练习）已知函数（）是上的奇函数. (1)求a的值； (2)判断的单调性并用单调性定义证明； (3)若存在，使不等式成立，求实数b的取值范围. 变式1．（25-26高一上·吉林·阶段练习）已知函数，. (1)若函数是奇函数，求实数m的值； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； (3)当时，，求函数的最小值. 变式2．（25-26高一上·安徽·期中）已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 变式3．（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）已知函数是上的奇函数，函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数m的取值范围. 课后提升训练 1．（24-25高二下·福建福州·期末）已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京西城·期末）已知，，则（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·甘肃金昌·期末）已知偶函数的定义域为，且当时，，若，则（   ） A． B． C．25 D．15 6．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）若函数满足，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·河南商丘·期末）若，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数，在R上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·河北石家庄·期中·多选）已知函数，则下列结论正确的是（　　） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的图象关于轴对称 D．函数在上单调递增 10．（24-25高一下·安徽安庆·期末·多选）已知函数，，，则（   ） A．的单调递减区间为 B．的图象为轴对称图形 C．的图象关于原点对称 D．满足的x的取值范围为 11．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 12．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则 ． 13．（24-25高一上·安徽宣城·期末）函数，在上单调递减，则a的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·江苏无锡·期中）（1）计算:． （2）若，求下列式子的值： ① ② 15．（24-25高一上·云南·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 16．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数为上的奇函数 (1)求实数的值. (2)判断的单调性（不需要证明）. (3)若正实数满足，求的最小值. 17．（24-25高二下·河北·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 18．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数，. (1)当时，解关于的方程； (2)若对，，使得，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $