3.1 函数的概念及其表示（讲义，知识点&7大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学函数的概念及其表示核心知识点，系统梳理从函数定义（非空数集对应关系）、三要素（定义域、对应关系、值域）到定义域求法（分式、偶次根式等限制）、值域求法（观察法、配方法等）、解析式求法（待定系数法、换元法等）及分段函数的递进式学习支架。 该资料特色在于知识点与题型深度融合，通过随学随练和解题贴士强化概念理解，如判断同一函数培养抽象能力（数学眼光），求定义域值域提升推理能力（数学思维）。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过分层练习（基础、素养、创新）查漏补缺，提升数学语言表达与应用能力。

第 三 章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 课标要点 1. 理解函数的定义（两个非空数集之间的对应关系，每个自变量有唯一确定的函数值与之对应）。 2. 掌握构成函数的三要素（定义域、对应关系、值域），并能判断两个函数是否为同一函数。 3. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），能根据实际需要选择合适的方法。 4. 会求简单函数的定义域（分母不为零、偶次根号下大于等于零、实际问题中的限制条件等）。 5. 会求简单函数的值域（直接法、观察法、图像法等初步方法）。 学习重难点 重点： 1、函数定义中“唯一确定”的理解（每个x只能对应一个y）； 2、判断两个函数是否相同（定义域和对应关系均相同）； 3、求函数定义域时各种限制条件的综合考虑； 难点： 1、对函数符号“的理解（f表示对应关系，x为自变量，f(x)表示函数值）； 2、求函数的定义域与值域及含参讨论。 3、分段函数的理解与表达。 知识点 函数的概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集． （3）函数的对应关系：. 3、同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系 完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数. 特别提醒 两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同. 随学随练 1．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 知识点 函数的定义域 1、已知解析式，求定义域 （1）分式中分母不能为零； （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零， （3）零次幂的底数不能为零，即中； （4）实际问题中函数定义域要考虑实际意义； （5）如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 注：定义域需用区间或集合的形式写出．需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“”连接。 2、抽象函数的定义域 抽象函数的定义域根据以下两点来确定 （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围 （2）函数的的作用对象（即括号里整体对象）的取值范围不变。 随学随练 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 知识点 求函数的值和值域 1、求函数的值 （1）函数值就是在对应关系下的对应值。若是根据的值来求则根据解析式求代入的值。 （2）求时，遵循由里到外逐层计算的原则。 2、求函数的值域 （1）对能熟悉的一元一次、一元二次、类反比例函数来求值域。 （2）对分式型的函数，可以通过基本不等式的方法来求最值 （3）对有根式型的，有时候可以考虑平方后求值域 注：求函数的值域没有通用的方法，有时候还可以借助与换元等方法来求。 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 知识点 求函数的解析式 1、待定系数法求函数解析式 对已知函数的类型，如一次函数、二次函数时，可以直接设函数的解析式，然后根据题目条件列出方程，求出解析式中的系数部分，即可得函数解析式。 2、换元或者配凑法求函数解析式 对函数的作用对象不是简单的时，可以通过换元的方法来进行求解，也可以直接将解析式中的部分进行配凑，凑出作用对象的样式。 3、解方程组法（消元法） 已知函数的抽象关系式，根据不同形式的变量之间的关系，重新构造一组函数方程式，通过解函数方程组来求解析式。 随学随练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 【答案】（1），；（2）或；（3），. 【分析】（1）利用换元法求函数的解析式； （2）利用待定系数法求函数的解析式； （3）用代替，构造函数方程，求函数的解析式. 【详解】（1）设，则，，且， 所以，. 用代替，得：，. （2）因为为一次函数，可设，. 所以， 又， 所以或. 所以或. （3）因为① 用代替，得② ①②得：，. 知识点 分段函数 1、已知自变量求函数值 先看自变量在哪个区间，代入对应解析式。若遇 ，从内层往外一层层算，每算一步都重新判断区间。 2、已知函数值求自变量 （1）对每一段分别假设  在该区间内，代入解析式解方程，解出的  必须落在当初假设的区间内才保留，否则舍去。 （2）画出函数值的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出所属区间，从而求得值 随学随练 1．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 【答案】或 【分析】分类讨论代入求值即可. 【详解】若，则，得或； 若，则，得（舍）， 故实数a的值为或. 故答案为：或 题型 判断是否为同一函数 ▌例1（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】结合同一函数的定义，逐一判断两个函数的定义域与对应关系是否一致即可得. 【详解】选项A：和的定义域都是全体实数，对应法则相同，是同一函数； 选项B：的定义域是；要求分母不为0，定义域是，二者定义域不同，不是同一函数； 选项C：，定义域是；的分段表达式即为，定义域也是，定义域和对应法则都相同，是同一函数； 选项D：的定义域满足，即， 化简得：， 与的对应法则不同，不是同一函数. ▌例2（25-26高一上·四川成都·期中）已知下面五个函数： (1)请分别写出 的定义域 (2)请判断下列各组是否表示同一个函数，请说明理由：（如果只有结论没有理由的将作0分处理） （i）和 （ii）和 （iii）和 （iv）和 【答案】(1)的定义域为；的定义域为；的定义域为且；的定义域为；的定义域为. (2)（i）和不是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以和不是同一个函数； （ii）和是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，且对应法则均为，所以和是同一个函数； （iii）和不是同一个函数，理由：因为的定义域为且，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以和不是同一个函数；； （iv）和是同一个函数，理由：因为的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，且对应法则均为，所以和是同一个函数. 【分析】（1）根据分式分母不为0、二次根式被开方数非负的限制条件，逐个求出每个函数自变量的范围，对多个式子成立的取范围的交集即为定义域. （2）判断两个函数是否为同一个函数，需同时对比定义域和对应法则，二者完全一致才是同一函数，任一不同则不是，逐项进行判断即可. 【详解】（1）对于函数，因为分式函数的定义域需满足分母不为0， 则，解得，故的定义域为； 对于函数，一次函数的定义域为全体实数，的定义域为； 对于函数，根号下的表达式需非负，且中分母不为0，则中， 中分母，解得， 综上得且，故的定义域为且； 对于函数，故的定义域为； 对于函数，一次函数的定义域为全体实数，故的定义域为. （2）略 解题贴士 判断两个函数是否为同一函数，只需看两要素：定义域和对应关系。只有两者完全一致才是同一函数；至于自变量用什么字母（如  或 ）不影响判断。注意对应关系化简后可能相同，但若化简前后定义域发生变化，则不是同一函数。 ▌对点练1-1（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】选项A：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故A错误； 选项B：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故B错误； 选项C：的定义域是，的定义域是， 定义域不同，不是同一函数，故C错误； 选项D：的定义域是， 去绝对值分段得， 定义域和表达式均和一致，是同一函数，故D正确． ▌对点练1-2（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 题型 求函数的定义域 角度1：具体函数的定义域 ▌例1（26-27高一上·湖北·开学考试）要使分式有意义，则的取值范围为___. 【答案】且 【分析】0的0次幂没有意义，偶次根号下被开方数为非负数，分母不能是0. 【详解】 ▌对点练1-1（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ）解题贴士 求具体函数定义域，就是找使解析式有意义的所有自变量取值。常见限制：分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数大于零、底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零。若函数由多个式子组合（如和、差、积、商），则取各部分的交集；实际问题还需结合实际背景（如长度、时间非负）。 A． B． C．R D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义及一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，， 又恒成立， 所以函数的定义域为. ▌对点练1-2（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 角度2：抽象函数的定义域 ▌例1（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． ▌例2（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】在中，，则， 所以函数中，解得. ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.解题贴士 求抽象函数定义域，牢记“定义域永远指自变量的取值范围”。 【答案】 【分析】由的定义域为，得到 的定义域为，进而得到的定义域为. 【详解】因为的定义域为，所以，所以 则的定义域为，故对于，令解得. 故的定义域为. 故答案为：. ▌对点练1-2（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为的定义域为___________． 【答案】 【分析】令，求得，再令求得答案. 【详解】因为函数的定义域为，令， ，所以的定义域为， ，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型 根据函数定义域求参 ▌例1（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. ▌例2（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】函数有意义，则应满足，即， 又函数的定义域为， 所以为方程的两根，所以. ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知.解题贴士 将定义域条件转化为含参不等式的解集问题——若定义域为 ，则分母恒不为零（判别式<0）或根号内恒非负；若定义域为给定区间，则需保证该区间内所有  满足限制条件（如分母不为零，偶次根号下非负）。常用分离参数或分类讨论（如二次项系数是否为零），最终验证端点是否满足题意。 (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； ▌对点练1-2（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 题型 求函数的值域 ▌例1（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】逐一求出各选项函数的定义域及值域即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为R，值域为，A不是； 对于B，函数的定义域为R，当时，， 当时，，因此的值域为R，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域、值域均为R，D是. 故选：BD ▌例2（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，且，设，由得到，将函数两边平方，得到，设，利用二次函数的图像求出的范围，将代入得到，根据的范围求出的范围，根据的范围和求出的范围即可得解. 【详解】，，，， 设，则， 可得， 设，则 ，，，，， ，，，， 的值域为. 故选：C. ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽合肥·期中）（多选）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　）解题贴士 求函数值域，常用方法有：观察法（直接看表达式范围）、配方法（二次函数）、换元法（含根号或复杂式）、分离常数法（分式）、单调性法（已知单调区间）、判别式法（分式型）、基本不等式法（积定或和定）、数形结合法（几何意义）。注意定义域优先，且最值需验证取等条件。对于复合函数，可先求内层范围再求外层值域。 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出各选项中函数的定义域与值域，可得符合题意的选项. 【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合； 对于B：的定义域为，值域为，故B不符合； 对于C：的定义域与值域均为，故C符合； 对于D：的定义域为， 值域：令，则，原式为， 根据二次函数的性质可知，，故D符合. 故选：ACD. ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 题型 函数的函数值 ▌例1（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则． ▌例2已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】 令，解得， 所以. 故选：A. ▌对点练1-1（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ）解题贴士 求函数值，直接将自变量取值代入解析式计算即可。若为分段函数，先判断自变量所属区间，再代入对应解析式。若含参数，先确定参数值或范围再代入。注意复合函数从内向外逐层计算，并确保每一步都在对应定义域内。 A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． ▌对点练1-2（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 题型 求函数的解析式 角度1：待定系数法求函数解析式 ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. ▌对点练1-1（25-26高一上·广西桂林·期中）（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　）解题贴士 已知函数类型（如一次、二次、反比例等），先设出含待定系数的通式，再根据题目条件（如图象过点、对称轴、最值等）列出方程组，解出所有系数即可。 A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由函数的类型设，结合已知列方程求参数值，即可得解析式. 【详解】设，则， 因为，所以，解得或， 所以或. 故选：AC ▌对点练1-2（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； 【答案】； 【分析】借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； 【详解】设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； 角度2：配凑或者换元求函数解析式 ▌例1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解函数的解析式逐一判断即可. 【详解】令，则， 由，得. 所以. ▌例2（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． ▌对点练1-1已知，求的解析式．解题贴士 已知  求 ，可用换元法——令 ，反解  代入，再将  换回 ；或配凑法——将  整体视为变量，直接配凑出  的形式。换元时需注意新变量  的取值范围（即  的值域），配凑法需保证变形等价。若  较复杂，优先选换元法。 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． ▌对点练1-2（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配方法，将化为，再结合换元法即可求得答案. 【详解】由题意知，即， 令，因为，故， 则可得， 故， 故选：A 角度3：构造函数方程组求函数解析式 ▌例1（25-26高二下·全国·期末）已知函数满足，求的解析式． 【答案】 【分析】借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. ▌例2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． ▌对点练1-1（25-26高一上·江西宜春·期末）已知（且），求.解题贴士 适用于题目给出含  与 、 或  等对称关系的方程。核心是利用变量代换（如  或 ）构造另一个方程，与原方程联立成方程组，消去已知项即可解出 。注意代换时新变量的取值范围需与原方程一致，且消元过程需确保不产生增根。若关系较复杂，可多次代换直到能直接消元。 【答案】. 【分析】由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】因为①（且），所以②， 联立①②可得. ▌对点练1-2（25-26高二下·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 【答案】8 【分析】利用解方程组法求得，，再根据求得，进而代值计算即可. 【详解】由，得， 联立上述两式解得，，即， 而， 则，即， 所以. 题型 分段函数的函数值 ▌例1（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数则_______. 【答案】 【详解】 根据分段函数定义，, 因此. ▌例2（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【分析】根据分段函数的定义域分界点，分及两类求解的取值，再计算. 【详解】当时，，解得，则； 当时，，解得， 则或； 综上：或. ▌对点练1-1（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ）解题贴士 求分段函数值，先判断自变量落在哪个区间，再代入对应解析式。若区间含端点，注意端点归属（通常“左闭右开”或“左开右闭”按题设规则）。若含参，需先确定参数范围再代入；若为复合函数，从内向外逐层计算，每层都要判断所属区间。 A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. ▌对点练1-2（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先讨论、分别求得、，再讨论、分别求解、，列出的不等式求参数m的范围. 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时； 综上，实数的取值范围是. 故实数的最小值是. 基础通关 1．（第01讲函数的概念及其表示（复习讲义）（全国通用）-2）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接通过配凑法即可得结果. 【详解】， ， 所以. 2．（第01讲函数的概念及其表示（复习讲义）（全国通用）-2）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 4．（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】A 【分析】应用赋值法计算求解函数值. 【详解】因为，所以，又，所以. 5．（25-26高二下·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 7．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得①. 设的根为， 则， 所以②， 又由已知得③， 由①②③解得， 所以. 8．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数.其中为正实数，则__________． 【答案】 【分析】结合分段函数的区间求解即可. 【详解】，. 9．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 【答案】 【分析】利用换元法、配方法，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】令， 因为函数在上单调递减， 所以，且， 所以函数的值域为. 10．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据分式、根式及指数幂的性质求定义域即可； （2）问题化为在上恒成立，分类讨论研究恒成立，即可得. 【详解】（1）由函数解析式知， 故函数的定义域为； （2）由函数的定义域为，即在上恒成立， 当时，显然，满足要求， 当时，只需恒成立，则， 综上，的取值范围为. 素养提升 1．（25-26高二下·北京朝阳·期末）设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】①由分段函数定义，将自变量转化到负半轴求值； ②利用分段函数分别表示正负半轴的函数值，代入待求式化简，解不等式确定参数范围并取一个值. 【详解】①因为，根据分段函数解析式，； 又，代入的解析式得，因此. ②已知，故，得； 因为，得. 将上述结果代入不等式 ， 由题意，结合求解， 解右侧不等式，化简得，两边同乘得，解得； 解左侧不等式，两边同乘得， 二次方程的正根为，故解得. 综上的取值范围是，可取（答案不唯一）. 2．（25-26高二下·天津静海·期末）若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 【答案】 【分析】求解函数值为时的自变量取值，结合值域要求选取端点，使区间长度最大即可. 【详解】， 令，解得或， 由该函数在区间上的值域为， 要使得取最大值，则、， 即的最大值为. 3．（2026高三下·全国·竞赛）已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 【答案】2026 【分析】根据为多项式，再结合，可知函数为一次函数，设出解析式求解. 【详解】因为多项式的正次项仅来自，对比右侧正次项仅为，可知 最高次为1，因此为一次多项式， 设，则， 对比系数得，所以，因此. 4．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到且，联立方程组，即可求解； （2）由函数，确定的定义域为，法一：化简函数为，令，转化为关于的方程有正实数根，求得函数的值域；法二：当时，化简，结合基本不等式和，进而求得函数的值域. 【详解】（1）由题意得，即， 解得． （2）由（1）知，所以的定义域为． 法一：由得， 令，当时，， 当时，，关于的方程有正实数根，，且，，，所以， 所以的值域为． 法二：由题意可得， 当时，， 因为，当且仅当时，取等号， 所以，即， 所以的值域为． 5．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数，若，求实数的取值范围． 【答案】. 【详解】由，得或或， 解得或或或， 所以实数的取值范围是. 迁移创新 1．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是. 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．函数的值域为 【答案】ACD 【分析】A代入求值；B计算即可判断；C利用化简；D求出时函数值域即可. 【详解】，故A正确； ，则，故B错误； ，故C正确； 若，则， 由C选项可知，函数在上的值域为，故D正确. 故选：ACD 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）十干是中国传统历法术语，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干符号.十二地支，又称十二支，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作为中国农历数字系统的重要组成部分，十干与十二地支组合形成干支纪元法，被广泛应用于历法推算、时间记录及传统文化领域.现有关于十干的转译函数其中甲，乙，，癸；关于十二地支的转译函数其中子，丑，，亥.若甲戌转译后为己辰（代入后以函数值所对应的十干和十二地支为新的结果），则辛丑转译前为______. 【答案】丙未 【分析】依题意得辛，丑，分别代入分段函数求解即可. 【详解】依题意得辛，丑， 当时，，解得，易得丙. 当时，，解得，易得未. 故辛丑转译前为丙未. 故答案为：丙未. 4．（25-26高一上·广西玉林·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]．若，满足，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】由基本不等式求解最值，可得，解二次不等式可得 ，即可根据取整函数的定义求解． 【详解】，当且仅当时取等号. 由,，可得， 则，然后由“高斯函数”定义可得． 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 三 章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 课标要点 1. 理解函数的定义（两个非空数集之间的对应关系，每个自变量有唯一确定的函数值与之对应）。 2. 掌握构成函数的三要素（定义域、对应关系、值域），并能判断两个函数是否为同一函数。 3. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图像法），能根据实际需要选择合适的方法。 4. 会求简单函数的定义域（分母不为零、偶次根号下大于等于零、实际问题中的限制条件等）。 5. 会求简单函数的值域（直接法、观察法、图像法等初步方法）。 学习重难点 重点： 1、函数定义中“唯一确定”的理解（每个x只能对应一个y）； 2、判断两个函数是否相同（定义域和对应关系均相同）； 3、求函数定义域时各种限制条件的综合考虑； 难点： 1、对函数符号“的理解（f表示对应关系，x为自变量，f(x)表示函数值）； 2、求函数的定义域与值域及含参讨论。 3、分段函数的理解与表达。 知识点 函数的概念 1、函数的定义：一般地，设是非空的数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作. 2、函数的三要素 （1）在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； （2）与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集． （3）函数的对应关系：. 3、同一个函数 一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系 完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数. 特别提醒 两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同. 随学随练 1．（25-26高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点 函数的定义域 1、已知解析式，求定义域 （1）分式中分母不能为零； （2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零， （3）零次幂的底数不能为零，即中； （4）实际问题中函数定义域要考虑实际意义； （5）如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合． 注：定义域需用区间或集合的形式写出．需熟记：若用区间表示，不能用“或”连接，而应用并集符号“”连接。 2、抽象函数的定义域 抽象函数的定义域根据以下两点来确定 （1）函数的定义域指的是自变量的取值范围 （2）函数的的作用对象（即括号里整体对象）的取值范围不变。 随学随练 1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 知识点 求函数的值和值域 1、求函数的值 （1）函数值就是在对应关系下的对应值。若是根据的值来求则根据解析式求代入的值。 （2）求时，遵循由里到外逐层计算的原则。 2、求函数的值域 （1）对能熟悉的一元一次、一元二次、类反比例函数来求值域。 （2）对分式型的函数，可以通过基本不等式的方法来求最值 （3）对有根式型的，有时候可以考虑平方后求值域 注：求函数的值域没有通用的方法，有时候还可以借助与换元等方法来求。 随学随练 1．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是_____. 知识点 求函数的解析式 1、待定系数法求函数解析式 对已知函数的类型，如一次函数、二次函数时，可以直接设函数的解析式，然后根据题目条件列出方程，求出解析式中的系数部分，即可得函数解析式。 2、换元或者配凑法求函数解析式 对函数的作用对象不是简单的时，可以通过换元的方法来进行求解，也可以直接将解析式中的部分进行配凑，凑出作用对象的样式。 3、解方程组法（消元法） 已知函数的抽象关系式，根据不同形式的变量之间的关系，重新构造一组函数方程式，通过解函数方程组来求解析式。 随学随练 1．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，求的解析式． （2）已知是一次函数，并且，求． （3）函数满足方程，且，求． 知识点 分段函数 1、已知自变量求函数值 先看自变量在哪个区间，代入对应解析式。若遇 ，从内层往外一层层算，每算一步都重新判断区间。 2、已知函数值求自变量 （1）对每一段分别假设  在该区间内，代入解析式解方程，解出的  必须落在当初假设的区间内才保留，否则舍去。 （2）画出函数值的图像，找出对应的每段函数的值域，直接找出所属区间，从而求得值 随学随练 1．（25-26高三下·新疆喀什·期末）已知函数，若，则实数a的值为__________． 题型 判断是否为同一函数 ▌例1（多选）下列各组函数是同一函数的为（   ） A．， B．， C．， D．， ▌例2（25-26高一上·四川成都·期中）已知下面五个函数： (1)请分别写出 的定义域 (2)请判断下列各组是否表示同一个函数，请说明理由：（如果只有结论没有理由的将作0分处理） （i）和 （ii）和 （iii）和 （iv）和 解题贴士 判断两个函数是否为同一函数，只需看两要素：定义域和对应关系。只有两者完全一致才是同一函数；至于自变量用什么字母（如  或 ）不影响判断。注意对应关系化简后可能相同，但若化简前后定义域发生变化，则不是同一函数。 ▌对点练1-1（25-26高一下·山东潍坊·期中）下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， ▌对点练1-2（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型 求函数的定义域 角度1：具体函数的定义域 ▌例1（26-27高一上·湖北·开学考试）要使分式有意义，则的取值范围为___. ▌对点练1-1（25-26高一下·广东汕尾·期末）函数的定义域为（     ）解题贴士 求具体函数定义域，就是找使解析式有意义的所有自变量取值。常见限制：分母不为零、偶次根号下非负、对数的真数大于零、底数大于零且不为1、零次幂的底数不为零。若函数由多个式子组合（如和、差、积、商），则取各部分的交集；实际问题还需结合实际背景（如长度、时间非负）。 A． B． C．R D． ▌对点练1-2（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 角度2：抽象函数的定义域 ▌例1（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·河北保定·阶段检测）若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.解题贴士 求抽象函数定义域，牢记“定义域永远指自变量的取值范围”。 ▌对点练1-2（25-26高一上·山东青岛·期中）函数的定义域为的定义域为___________． 题型 根据函数定义域求参 ▌例1（25-26高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． ▌例2（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数的定义域为，则实数a的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ▌对点练1-1（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知.解题贴士 将定义域条件转化为含参不等式的解集问题——若定义域为 ，则分母恒不为零（判别式<0）或根号内恒非负；若定义域为给定区间，则需保证该区间内所有  满足限制条件（如分母不为零，偶次根号下非负）。常用分离参数或分类讨论（如二次项系数是否为零），最终验证端点是否满足题意。 (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； ▌对点练1-2（25-26高一上·上海普陀·阶段检测）已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 题型 求函数的值域 ▌例1（25-26高一上·安徽合肥·期末）（多选）下列函数定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·江苏·阶段检测）函数的值域是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽合肥·期中）（多选）下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　）解题贴士 求函数值域，常用方法有：观察法（直接看表达式范围）、配方法（二次函数）、换元法（含根号或复杂式）、分离常数法（分式）、单调性法（已知单调区间）、判别式法（分式型）、基本不等式法（积定或和定）、数形结合法（几何意义）。注意定义域优先，且最值需验证取等条件。对于复合函数，可先求内层范围再求外层值域。 A． B． C． D． ▌对点练1-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是__. 题型 函数的函数值 ▌例1（25-26高二下·河北承德·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． ▌例2已知函数，且，则（    ） A． B． C．1 D． ▌对点练1-1（25-26高一上·广东·阶段检测）已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ）解题贴士 求函数值，直接将自变量取值代入解析式计算即可。若为分段函数，先判断自变量所属区间，再代入对应解析式。若含参数，先确定参数值或范围再代入。注意复合函数从内向外逐层计算，并确保每一步都在对应定义域内。 A． B． C． D．4 ▌对点练1-2（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 题型 求函数的解析式 角度1：待定系数法求函数解析式 ▌例1（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. ▌对点练1-1（25-26高一上·广西桂林·期中）（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　）解题贴士 已知函数类型（如一次、二次、反比例等），先设出含待定系数的通式，再根据题目条件（如图象过点、对称轴、最值等）列出方程组，解出所有系数即可。 A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； 角度2：配凑或者换元求函数解析式 ▌例1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高一上·福建泉州·期中）（多选）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． ▌对点练1-1已知，求的解析式．解题贴士 已知  求 ，可用换元法——令 ，反解  代入，再将  换回 ；或配凑法——将  整体视为变量，直接配凑出  的形式。换元时需注意新变量  的取值范围（即  的值域），配凑法需保证变形等价。若  较复杂，优先选换元法。 ▌对点练1-2（25-26高一上·福建三明·阶段检测）已知，则（    ） A． B． C． D． 角度3：构造函数方程组求函数解析式 ▌例1（25-26高二下·全国·期末）已知函数满足，求的解析式． ▌例2（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数满足，则__________． ▌对点练1-1（25-26高一上·江西宜春·期末）已知（且），求.解题贴士 适用于题目给出含  与 、 或  等对称关系的方程。核心是利用变量代换（如  或 ）构造另一个方程，与原方程联立成方程组，消去已知项即可解出 。注意代换时新变量的取值范围需与原方程一致，且消元过程需确保不产生增根。若关系较复杂，可多次代换直到能直接消元。 ▌对点练1-2（25-26高二下·山西阳泉·期末）若，满足，且，则_______． 题型 分段函数的函数值 ▌例1（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数则_______. ▌例2（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知函数，若，则______. ▌对点练1-1（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ）解题贴士 求分段函数值，先判断自变量落在哪个区间，再代入对应解析式。若区间含端点，注意端点归属（通常“左闭右开”或“左开右闭”按题设规则）。若含参，需先确定参数范围再代入；若为复合函数，从内向外逐层计算，每层都要判断所属区间。 A．—2 B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（第01讲函数的概念及其表示（复习讲义）（全国通用）-2）若函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（第01讲函数的概念及其表示（复习讲义）（全国通用）-2）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）若函数，，则（    ） A．10 B．9 C．8 D．6 5．（25-26高二下·河南开封·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）下列说法正确的是（    ） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 7．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______. 8．（25-26高二下·山东临沂·期末）已知函数.其中为正实数，则__________． 9．（25-26高二下·云南曲靖·期末）函数的值域为__________． 10．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是R，求实数a的取值范围． 素养提升 1．（25-26高二下·北京朝阳·期末）设函数则________；若正实数满足，则的一个取值为________． 2．（25-26高二下·天津静海·期末）若函数在区间上的值域为，则的最大值为________． 3．（2026高三下·全国·竞赛）已知多项式 满足对任意非零实数，则 _________. 4．（25-26高二下·河南开封·期末）已知函数的图象过点和点． (1)求实数，的值； (2)求函数的值域． 5．（第02讲函数的表示方法（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）已知函数，若，求实数的取值范围． 迁移创新 1．（2026·北京海淀·三模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，则点集所表示的平面区域的面积是（    ） A．2 B． C．4 D．6 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 2．（25-26高一上·湖北荆州·期末）高斯（1777-1855）被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如．已知函数，下列命题正确的是（　　） A． B． C． D．函数的值域为 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）十干是中国传统历法术语，包含甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个天干符号.十二地支，又称十二支，分别为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.作为中国农历数字系统的重要组成部分，十干与十二地支组合形成干支纪元法，被广泛应用于历法推算、时间记录及传统文化领域.现有关于十干的转译函数其中甲，乙，，癸；关于十二地支的转译函数其中子，丑，，亥.若甲戌转译后为己辰（代入后以函数值所对应的十干和十二地支为新的结果），则辛丑转译前为______. 4．（25-26高一上·广西玉林·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]．若，满足，则的取值范围是___________ 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $