2026--2027学年人教版九年级数学上册期中练习卷

2026—2027学年度九年级上学期数学期中练习卷 （人教版·第25章至第28章） 本卷共5页，三大题，22小题，满分120分，建议用时120分钟 适用范围：人教版九年级上册第25章至第28章（一元二次方程·二次函数·反比例函数·旋转） 一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A．m>4　　B．m<4　　C．　　D． 3．抛物线的顶点坐标是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．下列各点中，在反比例函数的图象上的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形　　B．等腰梯形　　C．平行四边形　　D．正方形 6．如图，二次函数（）的图象开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是（　　） A．①②③　　B．①②④　　C．①③④　　D．②③④ 第6题图 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 7．一元二次方程的根是　　　　． 8．某商品原价为100元，经过两次涨价后售价为121元，则平均每次涨价的百分率是　　　　． 9．如图，点在反比例函数的图象位于第二象限的一支上，轴于点，若的面积为3，则的值为　　　　． 第9题图 10．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式是　　　　． 11．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则的长为　　　　，点的坐标为　　　　． 三、解答题（共11小题，共87分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 12．（6分）用配方法解方程：． 13．（6分）解方程：． 14．（6分）已知、是一元二次方程的两个根，求下列各式的值： （1）；　（2）；　（3）． 15．（7分）已知反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 16．（7分）已知抛物线． （1）用配方法把它化为的形式； （2）写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及它与轴的交点坐标； （3）当时，求的取值范围． 17．（7分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有一个根为1； （2）若该方程的另一个根为3，求的值． 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为 、、． （1）画出关于原点成中心对称的； （2）写出点的对应点的坐标，并求的面积． 第18题图 19．（8分）某小组的同学在元旦假期互赠贺年卡，每人都要给组内其他同学各赠1张．已知全组共赠出30张贺年卡，求这个小组共有多少名同学． 20．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求与的值； （2）求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点的坐标； （3）求的面积． 第20题图 21．（10分）某商店试销一种成本为20元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件（）时，每天可销售件． （1）求每天的销售利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式； （2）售价定为多少元/件时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）若物价部门规定每件售价不得超过40元，且商店要求每天的利润不低于800元，求售价应满足的条件． 22．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求点、、的坐标； （2）求的面积； （3）点是抛物线上一动点（不与点重合），若的面积等于的面积，求点的坐标； （4）抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第22题图 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共18分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B D A C A 第6题【分析】由开口方向定的符号；由对称轴在轴右侧定、异号；由图象与轴交点在正半轴定的符号，可判①；对称轴变形可判②；图象与轴交点个数可判③；把代入并结合，用表示出，可判④． 【详解】①开口向下，得；对称轴在轴右侧，、异号，得；图象与轴交于正半轴，得．所以，①正确． ②由对称轴，得，即，②正确． ③抛物线与轴有两个不同的交点，所以，③正确． ④把代入，得，又，所以，即．所以，④错误． 【答案】A 【易错提醒】判断的符号用"对称轴在轴左侧，、同号；在右侧，、异号"；判断④时必须先用和对称轴把用表示出来，再整体代入，不能凭感觉估符号． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7． 或 8．10% 9． 10． 11．； 第11题【分析】第一空用勾股定理；第二空利用旋转后"点到两坐标轴的距离互换"求出点到两轴的距离，再由旋转后的象限定符号． 【详解】．将点绕原点逆时针旋转后，点到轴的距离等于到轴的距离1，点到轴的距离等于到轴的距离2；点在第一象限，逆时针旋转后点落在第二象限，所以． 【答案】； 【易错提醒】旋转后到两轴的距离互换，但所在象限要看旋转方向：点在第一象限，逆时针转后到第二象限，横坐标取负、纵坐标取正，别把点写成或． 三、解答题（共87分） 12．【分析】先移项，再把等号两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，最后直接开平方． 【详解】移项，得．配方，得，即．直接开平方，得，所以． 【答案】 【易错提醒】配方时要在等号两边同时加上4，只加一边等式就不成立了；开平方时不要漏掉负的那个根． 13．【分析】先移项使右边为0，再把看作一个整体提公因式，用因式分解法求解． 【详解】移项，得．提公因式，得．于是或，所以或． 【答案】或 【易错提醒】不能在方程两边同时除以，否则会丢掉根；解一元二次方程必须先移项再因式分解，保证两个根都不丢． 14．【分析】直接用根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项；再把用完全平方公式转化． 【详解】因为、是的两个根，由根与系数的关系得，．所以． 【答案】（1）；（2）；（3） 【易错提醒】用根与系数的关系时，两根之和、两根之积都要除以二次项系数（本题系数为1）；求必须借助完全平方公式转化，不能直接开平方求． 15．【分析】（1）把点的坐标代入解析式求；（2）把点的横坐标代入解析式，看算出的值是否等于2． 【详解】（1）把代入，得，所以． （2）当时，，所以点不在该函数的图象上． 【答案】；点不在该函数的图象上 【易错提醒】判断点是否在图象上，必须把横坐标代入解析式算出值再比较，不能只看两个坐标相乘是否等于就下结论． 16．【分析】（1）配方；（2）由顶点式直接读出开口方向、对称轴和顶点，令解方程得与轴交点；（3）对称轴在范围内，最小值在顶点处取得，最大值要比较两个端点的函数值． 【详解】（1）． （2）因为，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为．令，得，解得或，所以抛物线与轴的交点坐标为和． （3）当时，取最小值；时，时．所以的取值范围是． 【答案】（1）；（2）开口向上，对称轴为直线，顶点，与轴交于、；（3） 【易错提醒】求取值范围时最值不一定在端点处取得，本题最小值在顶点处取得；要把顶点函数值与两个端点函数值都算出来再比较，不能只看端点． 17．【分析】（1）把代入方程左边，说明结果恒为0；（2）把代入方程求． 【详解】（1）把代入方程左边，得，与右边相等，所以无论取何值，都是该方程的根． （2）把代入方程，得，即，解得． 【答案】（1）见详解；（2） 【易错提醒】（1）要把含的项合并后说明结果为0，即"与取值无关"；（2）也可用根与系数的关系检验：两根之积等于，两根为1和3，故，两种方法结果一致． 18．【分析】（1）关于原点成中心对称的两个点，其横、纵坐标都互为相反数，即点关于原点的对称点为，逐个描点连线即可；（2）是水平线段可直接读出长度，高是点到直线的竖直距离，套面积公式． 【详解】（1）点、、关于原点的对称点分别为、、．在图中依次描出、、，并顺次连接，即得（画图见答案图）． （2）点的坐标为．，点到直线的距离为，所以． 【答案】（1）图略，、、，顺次连接得；（2）， 【易错提醒】关于原点对称的坐标规律是"横、纵坐标同时变号"，只变一个符号就变成了关于坐标轴对称；求面积时底水平放置可直接用端点坐标相减，高是竖直距离，不必另作高线． 19．【分析】每人给组内其他同学各赠1张，每人赠出张，人共赠张，列一元二次方程求解，并检验根是否符合实际意义． 【详解】设这个小组共有名同学．由题意得，即．因式分解，得，解得或．因为人数不能为负数，所以舍去，． 【答案】这个小组共有6名同学 【易错提醒】列方程时每人赠出的是张而不是张（自己不给自己赠）；解出的根必须检验是否符合实际意义，负根要舍去． 20．【分析】（1）把代入求，再把的坐标代入求；（2）联立两个解析式，解一元二次方程；（3）直线与轴的交点在线段上，以为公共底，把分成与． 【详解】（1）把代入，得，所以．把代入，得． （2）由，两边同乘并整理，得，即，解得或．是点的横坐标，所以． （3）直线与轴交于，在线段上．，．因为、两点在轴两侧，所以． 【答案】，；； 【易错提醒】（2）解出的两个值中有一个是点的横坐标，要舍去；（3）、在轴两侧时，的面积等于与面积之和，不能相减． 21．【分析】（1）用"总利润＝每件的利润×销售件数"列出函数关系式；（2）配方化为顶点式求最大值；（3）令，转化为一元二次不等式，借助对应方程的两根和二次函数图象的开口方向确定取值范围． 【详解】（1），即（）． （2）．因为，所以当时，取得最大值． （3）由，得，整理得．令，解得或．因为二次项系数，对应的抛物线开口向上，所以；又，故售价应满足． 【答案】（1）（）；（2）售价定为35元/件，最大利润为900元；（3） 【易错提醒】（1）每件商品的利润是而不是，别漏掉成本；（2）求最值必须用配方法或顶点公式，把端点值当最大值是典型错误；（3）解一元二次不等式要先把二次项系数化为正数，再结合"开口向上时，函数值小于等于0的部分在两根之间"确定范围，最后还要与实际售价上限取交集． 22．【分析】（1）令解一元二次方程得、，令得；（2）以为底、为高；（3）过作平行于轴的直线交于点，用"铅垂高×水平宽"表示的面积，转化为解一元二次方程． 【详解】（1）令，得，即，解得或．所以，；令，得，所以． （2），，所以． （3）直线的解析式为．设，过作平行于轴的直线交于点，则，所以．由，得． 由，即，解得或；由，即，因为判别式，此方程无实数解．当时，，得；当时，，与点重合，舍去．所以点的坐标为． （4）存在．因为关于对称轴的对称点是，所以．要使的周长最小，只需最小，即最小．由两点之间线段最短，当点落在线段上时，最小，此时点是直线与对称轴的交点．直线的解析式为，当时，，所以． 【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）存在， 【易错提醒】（3）解出时点恰好与点重合，题目要求不与重合，必须舍去；设点的坐标时，横坐标与纵坐标要用同一个字母表达．（4）周长最小问题要把"定边"与"动边"分开：是定长不用管，只求最小；必须用对称性把转化成，再用"两点之间线段最短"确定点的位置，直接在对称轴上取点检验会漏解． 学科网（北京）股份有限公司 $