精品解析：福建莆田第一中学2026-2027学年上学期高一年段10月月考数学试卷

莆田一中2026-2027学年上学期高一年段10月月考数学试卷 （考试时间：120分钟） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】命题“”的否定是“”. 2. 不等式4＋3x－x2<0的解集为（ ） A. {x|－1<x<4} B. {x|x>4或x<－1} C. {x|x>1或x<－4} D. {x|－4<x<1} 【答案】B 【解析】 【分析】先将二次项系数化为正数，然后根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集. 【详解】不等式4＋3x－x2<0可化为x2－3x－4>0，即(x＋1)(x－4)>0，解得x>4或x<－1.故不等式的解集为{x|x>4或x<－1}. 故选：B 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 3. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据子集的定义：若，则对任意，都有，集合，, 若，则存在，此时但，不满足； 若，则对任意，均有，即，满足 综上，实数的取值范围为. 4. 如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分，求解即可. 【详解】根据题意可知阴影部分为集合的外部与集合交集内部的公共部分， 即， 故选：C 5. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解分式不等式和一元二次不等式，结合充分条件、必要条件的概念根据两范围的大小即可得出结论. 【详解】将不等式可化为，解得； 等价，解得； 所以可得“”可以推出“”，即充分性成立； 而“”时也可能“”，推不出“”，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或-1 【答案】C 【解析】 【分析】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算即可. 【详解】因为，，所以，故， 此时集合为，根据集合相等，必有，解得或． 当时，不满足集合元素的互异性， 当时，集合为，符合条件. 所以． 故选：C. 7. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得b，c与a的关系，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】一元二次不等式（）的解集为， 即，2为（）的两实数根，故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 故选：D 8. 设，满足（），若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】等价于， 因为，二次函数的对称轴为， 所以若是的充分不必要条件， 只需满足：二次函数图象与轴有两个交点，且较大零点大于3， 即，解得. 即实数的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例可得A错误；由不等式的性质可得B正确；作差后由题意可得C、D正确； 【详解】对于A，设，则，故A错误； 对于B，由不等式的性质可得，若，则，故B正确； 对于C，， 因为且，所以，所以，且， 所以，所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 又，所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有8人 C. 仅参加跑步比赛的有7人 D. 同时参加两项比赛的有10人 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件作出韦恩图即可求解 【详解】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图， 则，解得，故A正确； 仅参加跳远比赛的人数为，故B错误； 仅参加跑步比赛的人数为，故C正确； 同时参加两项比赛的人数为，故D正确； 故选：ACD 11. 已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】已知正实数满足且先确定，A用基本不等式求得最大值为不等于4，B代入消元化为关于的二次函数求出最大值为不等于4，C利用完全平方公式结合最大值推出最小值为，D中表达式的值恒为负数，其最小值不可能为4，因此不正确的是ABD. 【详解】选项A：由，根据均值不等式，得，平方得，即.当且仅当时取等号，故最大值为，A错误. 选项B：由，且，得. ，这是开口向下的二次函数，对称轴. 代入得最大值为，B错误. 选项C：由，得.结合A知， 故，当且仅当取等号，C正确. 选项D：由，得， 则， 因此最小值不可能为，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则的取值范围_____________． 【答案】5＜＜10. 【解析】 【分析】用已知形式表示未知，设，解出的值，再分别求出范围，利用同向不等式可加性求解. 【详解】由题设，， 则，解得，所以， ， 所以. 故答案为：5＜＜10. 【点睛】此题考查不等式的相关性质，通过已知代数式的范围求未知代数式的范围，一定用已知代数式表示出未知代数式，切不可通过加减关系分别求出两个字母的范围再求解. 13. 已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】命题：“，”是假命题等价于命题：“，”是真命题，再解决含参的不等式恒成立问题即可. 【详解】命题：“，”是假命题， 即命题：“，”是真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，，, 则，解得； 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有个元素；②．若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值为___________． 【答案】123 【解析】 【分析】判断集合中元素的最大值的可能情况，然后按照幸运数的定义求解即可. 【详解】因集合满足：①每个集合恰有个元素；②. 故集合中一定分别含有个不同数值. 由题意， 中最大的三个数为， 所以， 当且仅当三个集合最大数恰好为，取等号； 此时，三个集合除去各自最大值外，每组还需要个元素， 全集中最小元素必须作为其中一个集合的最小值， 要保证余下两个集合的最小值尽可能大可将剩余数分为连续三段，每段个数： ， 搭配三个最大值， 可得， 此时， 则取得最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）代入参数，因式分解二次不等式，利用开口方向直接写出解集； （2）先因式分解找到两根，再比较两个根与的大小，分三类讨论求解集. 【小问1详解】 当时，不等式为， 即，所以 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 方程的两个实数根是，， 当①即时，不等式的解为或； ②即时，不等式恒成立； ③即时，不等式的解为或. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 16. 某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）求与的关系式； （2）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （3）设备占地面积为多少时，的值最小? 【答案】（1） （2） （3）15平方米 【解析】 【分析】（1）利用条件建立函数模型即可； （2）由条件建立不等关系解不等式即可； （3）利用基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由题意可知， 即； 【小问2详解】 由题意可知，整理得， 解不等式得； 【小问3详解】 由基本不等式知， 当且仅当，即时取得等号， 所以设备占地面积为15平方米时，的值最小. 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得； （2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解. 【小问1详解】 解：若命题为真命题，即命，，所以，所以， 若命题为真命题，即，，所以，解得， 因为命题和命题有且只有一个为假命题， 当命题为假，命题为真时，解得； 当命题为真，命题为假时，所以； 所以； 【小问2详解】 解：若命题和命题都为假命题，则，即； 因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即； 18. 已知a，b为正实数． （1）证明：； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用作差法证明即可； （2）由题可得，然后通过变形，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 ， 因为，所以，当且仅当时取等号，又， 所以， 即； 【小问2详解】 法一：因为，，， 即， 所以， 所以 ． 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为； 法二因为，，， 即，所以， 令，则， ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 19. 设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质. （1）试判断集合，是否具有性质？并说明理由； （2）若集合，证明A不可能具有性质； （3）若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值. 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由：，不具有性质. ，，，具有性质； （2）证明：将集合中的元素分为如下10个集合， ，，，，，，，，，. 所以从集合中取11个元素，那么这10个集合至少有一个集合要选2个数，存在两个元素其差为5，不可能具有性质； （3）455个. 【解析】 【分析】（1）根据定义判断是否具有性质即可； （2）将集合中的元素分为10个集合，进行求解即可； （3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，然后求出集合A中共有455个元素，即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1，2，3…，11为例.将这11个数分为，，，，，，7个集合， ①，6，7同时选，因为具有性质和，所以选5则不选1，；选6则不选2，；选7则不选3，；则只剩4，.故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. ②，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. 若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. 若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，…11中属于集合A的元素个数不超过5个. ③，6，7中只选1个，又四个集合，，，每个集合至多选1个元素，故1，2，…，11中属于集合A的元素个数不超过5个. 由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9.因为， 则把每11个连续自然数分组，前90组每组至多选取5项；从991开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有个. 给出如下选取方法：从1，2，…，11中选取1，4，6，7，；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造90次. 此时集合A的元素为：1，4，6，7，；，15，17，18，；，26，28，29，；；，2017，2019，2020，2022，991，994，996，997，999共455个元素. 经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有455个. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点在于根据集合新定义对集合的中元素进行分类，可先取其中连续11项进行讨论较为简单. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2026-2027学年上学期高一年段10月月考数学试卷 （考试时间：120分钟） 一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式4＋3x－x2<0的解集为（ ） A. {x|－1<x<4} B. {x|x>4或x<－1} C. {x|x>1或x<－4} D. {x|－4<x<1} 3. 设集合，．若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，，若集合，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 1或-1 7. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 设，满足（），若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有8人 C. 仅参加跑步比赛的有7人 D. 同时参加两项比赛的有10人 11. 已知正实数满足，则下列结论不正确的是（） A. 的最大值为 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若，则的取值范围_____________． 13. 已知命题：“，”是假命题，则实数a的取值范围是______. 14. 已知集合，集合满足：①每个集合恰有个元素；②．若集合中元素最大值与最小值之和称为的幸运数，记作，则的最大值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数（）. （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 16. 某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）求与的关系式； （2）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （3）设备占地面积为多少时，的值最小? 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 已知a，b为正实数． （1）证明：； （2）若，求的最小值． 19. 设k是正整数，A是的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质. （1）试判断集合，是否具有性质？并说明理由； （2）若集合，证明A不可能具有性质； （3）若集合且具有性质和，求A中元素个数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $