精品解析：江苏省苏州市常熟市2026-2027学年高三10月阶段性抽测一数学试题

高三阶段性抽测一 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】扇形面积公式，其中为圆心角弧度数，为半径， 已知， . 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件判断即可. 【详解】由可知， 所以， 所以充分性成立， 当时，满足， 但是不成立， 所以必要性不成立， 故选：A． 4. 函数（，）的图象经过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以该函数的图象经过定点. 5. 火箭发射后的高度（单位：）为，则火箭在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，则火箭在时的瞬时速度为. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数是增函数，所以； 函数是减函数，所以； 函数是增函数，所以. 所以. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知， 将等式两边同时平方得， 则，即， 解得． 已知，则， 所以， 因此． 则． 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用所给函数递推关系式推导函数周期，再由奇函数的性质得到函数的中心对称关系，进而求出函数在指定点处的函数值，找出求和数列的周期规律，最后结合项数拆分计算求和式子的值. 【详解】由①，将替换为得， ②， ②①，得，故是周期为的周期函数， 在①中令，得。所以， 设，为奇函数，则， 即， 令，则，即， 函数关于点中心对称， 令，得，结合，得， 在①中令，得，故，代入①得， 由，得， 已知，由，令，得， 结合，得，故， 由，依次可得， ， 记， ， ， ， ， ，数列每连续项之和为， ，即有完整周期，余下两项， ， ， ， ， . 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为正实数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为4 【答案】AD 【解析】 【详解】，当且仅当时取等，所以的最大值为，A正确B错误； ，当且仅当即时取等， 所以的最小值为4，C错误D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为2 B. 的定义域是 C. 的图象的对称中心为， D. 在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：由正切函数的性质，的最小正周期，正确； B：由，则， 故函数的定义域为，正确； C：令，则，故函数图象的对称中心为，错误； D：令， 则，故时函数在区间上单调递增，正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为， B. 满足方程的解有且仅有4个 C. 若方程有4个不等实根，则的取值范围是 D. 若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分析当时，的单调性，由函数解析式，直接判断当时，的单调性，从而求得的单调递增区间，判断A；作出函数与函数的图象，判断方程的解，判断B；结合函数的图象，根据导数的几何意义求得的取值范围，判断C；分析可得函数恰有6个零点时，实数的取值范围，判断D. 【详解】当时，， ， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以函数的单调递增区间为，， 所以A正确. 由图象可知，满足方程的解有个， 所以B错误. 若方程有4个不等实根，则当时，与的图象有两个交点， 此时，，， 所以在处的切线方程为， 当切线过点时，，所以， 所以，即的取值范围是. 所以C正确. 若函数恰有6个零点， 则方程恰有6个实数解， 令，则与最多有个交点，最少有个交点. 所以有两个不相等的实数根，不妨令， 若，则方程，不成立，所以； 所以， 所以，所以， 即实数的取值范围是. 所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则实数的值为__________． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】已知幂函数的图象经过点， 将点代入幂函数中， 可得，即， 解得． 13. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 【答案】和 【解析】 【分析】设过点P的切线与曲线相切于点Q，然后根据曲线在点Q处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】由题干得,设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 故答案为：和 14. 已知函数的图象为，将关于直线对称得到函数的图象，已知，，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象关于直线对称求出；将题设化为指数、对数不等式，构造辅助函数并利用导数证明关键不等式，再由正切函数的单调性求出上界并验证能否取等． 【详解】设点在的图象上，则点在的图象上，故，解得，即（）． 由，设，． 原不等式化为，即． 令，则. 故，即． 于是， 由指数函数的单调性，得，即. 因为且，由正切函数在上单调递增，得，即． 当，时，有，等号成立． 此时，因此最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，非空集合． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一元二次不等式解出集合，再利用集合的交补运算即可求解； （2）根据题意，得到，再结合集合的关系即可求解. 【小问1详解】 由于不等式，解得，所以， 当时，集合， 所以，或． 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以． 已知集合为非空集合，故，解得． 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 16. 已知是函数的一个极值点． （1）求的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为． 【解析】 【小问1详解】 函数，定义域为． 求导得：， 因为是的一个极值点，所以， 代入得：，解得， 将代入导函数：， 令，解得或． 当时，，单调递减；当时，，单调递增；故是极小值点，所以． 【小问2详解】 由（1）可知：当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此在处取得上最大值，即． 又，， ， 即，所以在上最小值为． 综上：函数在上最大值为，最小值为． 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求与的解析式； （2）求方程在区间内的所有实数解的和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1) 由图像的最值、周期、特殊点求三角函数解析式，平移时遵循 “左加右减、仅对x作用” 的规则;(2)三角方程区间内多解求和，先换元简化，结合正弦函数对称性判断解的分布与和，再回代计算原变量解的和. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为，由图象得，， 因为，由，解得， 将点代入，得， 又，解得，所以， 将图象向左平移个单位长度，得． 【小问2详解】 ， ． 令，即． 当时，，令． 方程在区间内共有4个解，，，， 画出在的函数图象，如图： 满足，． 由，，， 解得，， 所以． 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，此结论可以推广为：函数的图象关于点（，）成中心对称图形的充要条件是． 根据以上材料，解答下列问题． （1）求函数的对称中心； （2）已知函数． ①解关于的不等式：； ②若函数的最小值为6，求实数的值． 【答案】（1） （2）①②． 【解析】 【分析】(1)由 得定义域 ，验证 恒成立，判定 为奇函数，故其对称中心为 . (2)① 化简 ，由 将不等式化为 ，按 、 符号分段，利用区间单调性解得 ； ② 先得值域 ，换元 化为 ，按 相对值域的位置分类讨论最小值，得 . 【小问1详解】 函数，令，解得， 所以函数的定义域为． 对任意，恒成立， 所以是奇函数，故对称中心为． 【小问2详解】 化简，定义域为． 由中心对称充要条件：， 当时，，所以的对称中心为． 任取，，． 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递增． 当时，；当时，． ①不等式可以转化为， 当，即时，由单调性得，解得，得； 当 ，即无解； 当 ，即 ，不等式恒成立； 当 ，，，不等式不成立. 综上，不等式解集为． ②由上可知，值域为．令，则或． ． 当或时，在处取最小值， （舍去）； 当时，无最小值； 当时，在处取最小值，，解得． 综上可得：． 【点睛】本题考查中心对称条件的迁移应用与函数性质的综合，重点考查代数恒等变形、符号分段与分类讨论的能力. 19. 已知函数． （1）若在定义域内单调，求实数的取值范围； （2）若函数在区间和上各有一个零点，分别记为，． ①求证：； ②若函数有三个零点，，，求证：． 【答案】（1） （2）①当时，， 令，得，． 满足，，且． 在递减，递增，递减． ，零点，． 由，得，故． 要证，即证． 在单调递减，，所以， 即，不等式得证． ②，设 ． 令得；令得． 所以在单调递增，在单调递减． 又，所以在单调递增，在单调递减． 设在处的切线：，记． ，由在递增， 得时，，，即． 设与交于，则． 设在处的切线：，记． ，由在递减， 得时，，，即． 设与交于，则． 于是． 作过点，斜率为的直线：， 设交于，则，所以． 由与平行，水平，得． 故，不等式得证． 【解析】 【分析】(1) 对函数求导后，将 “定义域内单调” 转化为导数恒非正 / 恒非负的恒成立问题，通过分离参数结合基本不等式求函数最值，最终得到m的取值范围； (2)①先推导函数满足的对称关系，得到两个区间内的零点互为倒数；再将待证不等式转化为函数的单调性问题，结合导数零点之和为2m完成证明； ②通过在零点处作切线对函数进行放缩，得到零点差的上界关系；再构造平行切线，利用平行线间水平距离恒等于的性质，完成零点差的不等式证明. 【小问1详解】 函数，， 因为在定义域内单调，则恒成立或者恒成立． 若在恒成立，则恒成立，无解； 若在恒成立，则恒成立，即． 由基本不等式，当且仅当时取等号，故． 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三阶段性抽测一 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数（，）的图象经过定点（ ） A. B. C. D. 5. 火箭发射后的高度（单位：）为，则火箭在时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，为正实数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为4 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为2 B. 的定义域是 C. 的图象的对称中心为， D. 在区间上单调递增 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为， B. 满足方程的解有且仅有4个 C. 若方程有4个不等实根，则的取值范围是 D. 若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象经过点，则实数的值为__________． 13. 已知曲线，则曲线过点的切线方程为________. 14. 已知函数的图象为，将关于直线对称得到函数的图象，已知，，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，非空集合． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 16. 已知是函数的一个极值点． （1）求的值； （2）求函数在区间上的最大值与最小值． 17. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求与的解析式； （2）求方程在区间内的所有实数解的和． 18. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是，此结论可以推广为：函数的图象关于点（，）成中心对称图形的充要条件是． 根据以上材料，解答下列问题． （1）求函数的对称中心； （2）已知函数． ①解关于的不等式：； ②若函数的最小值为6，求实数的值． 19. 已知函数． （1）若在定义域内单调，求实数的取值范围； （2）若函数在区间和上各有一个零点，分别记为，． ①求证：； ②若函数有三个零点，，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $