精品解析：江苏省锡山高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性评价数学试题

高三阶段性评价（数学） 2026.10 （满分150分，时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则，故充分； 若，则或，故不必要； 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）． A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知复数满足， 则， 故的虚部为3． 4. 已知向量，满足，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先对两边平方求出，然后对平方即可求解. 【详解】，代入已知条件，， 计算得，解得. ， 代入、 得 ，因此 . 5. 已知正项等比数列满足，，则（ ）． A. 24 B. 48 C. 64 D. 96 【答案】D 【解析】 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 由，得，解得， . 6. 已知锐角，满足，，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以，所以， 又，所以， 所以 或， 所以的最小值为. 7. 若存在实数，使不等式对一切都成立，则的最大值为（ ）． A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题转化为存在，使得对成立，令，利用导数求出的最小值，进一步转化为存在，使得，令，利用导数求出的最大值，得解. 【详解】存在，使得不等式对成立，即， 令，则，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以， 所以存在，使得， 令，，则， 令得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故即可，即的最大值为. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，且，．若两个形状不同的三角形均满足上述条件，且边的长相同，则它们的面积之差的绝对值的最大值为（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由，，，可得或，正好对应边长相同、形状不同的两个三角形；分类讨论，分别求出两种情形下三角形的面积，写出面积之差绝对值的表达式，换元构造函数，利用基本不等式求解最大值，最后验证等号可取． 【详解】 因为，，， 所以或， 当时，，得，对应，是等腰三角形， ，则， 此时的面积， 当时， 结合正弦定理，由得，代入得，则， 即，则， ，所以， 此时的面积， 所以， 令，，则， 令，，令，则，，， 则，当且仅当，即，等号成立， 此时，满足条件，存在这样的使得， 所以面积之差的绝对值的最大值为． 【点睛】本题的陷阱在于三角方程的多解性，很多同学容易只考虑，漏掉，这一情形，导致只能求出一个三角形；解题融合三角恒等变换、正余弦定理，将几何问题转化为代数函数最值；使用基本不等式求最值，一定要验证等号对应的参数是否符合三角形内角、边长范围． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质逐一判断. 【详解】选项A：由基本不等式，代入得，当且仅当时取等号，A正确； 选项B：由重要不等式，代入得，当且仅当时取等号，B正确； 选项C：，由A知，因此，即，当且仅当时取等号，C错误； 选项D：对平方得：，由得， 因，开方得，当且仅当时取等号，D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）． A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在定义域上单调递增 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域，即可判断A选项；利用偶函数的定义，即可判断B选项；根据复合函数“同增异减”的原则，即可判断C选项；利用对数与分式不等式运算，即可判断D选项； 【详解】根据对数函数的定义域可得：，，，A选项正确； ，，为奇函数，B选项错误； 设，在定义域上单调增，根据复合函数的“同增异减”原则，在定义域上单调递增，C选项正确； ，，，，，，D选项正确； 11. 数列满足，．下列结论正确的有（ ）． A. 对任意，有 B. 对任意，有 C. 对任意，有 D. 对任意整数，，有 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：对递推式平方后累加，由平方差大于定值推出下界，验证首项取等情况；选项B：当， ，再构造函数证明；选项C：写出的展开式，用特例数值验证其与命题不等式的大小关系；选项D：展开并抵消常数项，利用单调性放缩求和，转化为两项倒数之和的上界判断. 【详解】选项A，时，， 对递推式两边平方，得，即， 时，，所以， 故对任意，成立，A正确； 选项B，当，，得，所以， 当， ， 先证明， ， 设，， 故在单调递增，故，即， 令（），得， 即，即， ， 所以当， ， 即对任意，有，B正确； 选项C，由，累加从到，得， 取，，，，所以，C错误； 选项D， 由，累加从到，得， 同理， 所以， 因为，，可得，所以，所以递增，递减，且，因此， 所以，即， 由时，，得，所以， 故对任意整数，，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆锥的底面半径为，高为，则它的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意知圆锥的底面半径，高． 圆锥的高、底面半径和母线构成一个直角三角形，其中母线为斜边， 设圆锥的母线长为，则由勾股定理，可得． 该圆锥的表面积． 13. 已知，向量，，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先对平方展开化简，结合的范围用基本不等式求出平方的最小值，再开方得到模长最小值. 【详解】已知，向量，， 因此： 因此利用同角三角函数关系，化简得： 由，可知，且， 由基本不等式，，当且仅当时取等号. 因此，即，最小值为. 14. 已知函数．若方程恰有个不同的实数解，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则方程可化为，利用导数分析函数的单调性，确定的取值与方程的解的个数的关系，结合条件推出有三个解，设方程的三个根为，由此可得，必须有个解，结合函数单调性可得结论. 【详解】设，则方程可化为， 函数的导函数， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，，，， 当时，方程只有个解； 当时，方程只有个解； 当时，方程只有个解； 当时，方程只有个解； 当时，方程只有个解； 要让原方程总共有个不同实数解，需满足有三个解， 此时，设方程的三个根为，， 则， 因为有个解，有个解，故必须有个解， 所以，又，函数在上单调递减， 结合图象可知：， 所以的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，，，分别为，的中点． （1）证明：∥平面． （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）取的中点，连接， 因为为的中点，所以∥，， 因为四边形为矩形，为的中点，所以∥，， 所以∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，可证得四边形为平行四边形，从而得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，取其中点为，连接，可得平面，然后利用等体积法可求得结果. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 连接，取其中点为，连接， 因为为的中点，所以∥，， 因为平面，所以平面， 所以三棱锥的高， 因为， 所以三棱锥的体积为. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间． （2）设，．若的图象关于直线对称，且，求及在上的值域． 【答案】（1）的最小正周期为，单调递增区间为； （2），在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）先利用倍角公式化简函数，结合正弦函数的最小正周期及单调增区间即可求解； （2）先写出，由的图象关于直线对称解出，再结合正弦函数的值域即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 所以的最小正周期为， 令， 解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 ， 因为的图象关于直线对称，且， 所以， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以在上的值域为． 17. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列． （2）记，为的前项和．求，并求使成立的最小正整数． 【答案】（1）由， 得． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． （2），使成立的最小正整数为. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证； （2）根据（1）求得，再根据错位相减法求得，令，得.构造函数，利用导数分析函数的单调性，即可求得使成立的最小正整数值，即使成立的最小正整数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 所以. 所以， 当时，， 所以 所以. 令，得， 化简得，，即. 令， 则， 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. . ，， 所以当时，，即. 所以使成立的最小正整数为. 18. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调区间和最大值． （2）若方程有两个不同的实数根，求的取值范围． （3）在第（2）问的条件下，设两个根为，，证明：． 【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，函数的最大值为0. （2） （3）对于正数，且，都有， 证明：不妨设，则等价于， 即证，令，即证对一切恒成立． 记，则， 所以在上单调递增，从而有证毕． 由（2）可知，不妨设， 所以，所以， 由上面公式可知，所以， 不妨设，则， 所以在上单调递增，从而有． 即，所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的最大值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）先证，再通过构造函数证明，对作差得，从而，即可证明. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，因此， 所以函数的最大值为0. 【小问2详解】 方程有两个不同的实数根， 所以有两个不等实根，即（）， 函数与有两个交点. 设，则， 所以在单调递增，单调递减，， 当时，，，如图 由图可知. 【小问3详解】 略 19. 考虑全部64个数对，其中，都是0到7的整数．规定两个数对相加时，对应位置分别相加，和达到8就减去8，记为．例如．把数对连加次记为，并规定．可直接使用：，且这种运算满足交换律、结合律及重复相加的分配律．若若干个数对反复相加能得到全部64个数对，就称它们能“产生全部数对”． （1）是这些数对组成的非空集合．若中每个数对都是中某个数对的2倍，证明 （2）固定数对，…，，若任意数对都能写成，其中是一个数对，，…，只取0或1．证明，…，能产生全部数对． （3）有序选取两个数对，．当整数，各自取遍0，1，…，7时，64个结果恰好把全部数对各得到一次．求满足此条件的有序对的个数，并说明理由． 【答案】（1）由是非空集合，对任意，对应用题设条件，存在，使得； 对再次应用题设条件，存在，使得，即， 依此类推，对任意正整数，存在，满足，取，则. 由题设对任意数对都有，因此. 由的任意性，中所有元素均为；又非空，故. （2）设，为全部64个数对构成的集合，题设条件可表示为（其中表示群的闵可夫斯基和，即两集合元素分别相加）， 对等式两边同时取2倍映射，由分配律得，代入原式得， 再对取2倍映射，得（因），代入得， 中的元素可写为，其中，由于每个整数都有唯一的二进制表示， ，故每个的系数恰好取遍的所有整数，且无重复，这说明的整系数线性组合（模8）覆盖中全部64个元素，即它们能产生全部数对. （3）条件“取遍时，恰好遍历全部数对”等价于：映射是的双射，即是的一组基， 设，，则对应矩阵， 是双射当且仅当在模8下可逆，即为奇数， 为奇数等价于：模2后的矩阵行列式为1，也就是模2后在中线性无关，即在上的向量线性无关. 计数： 模2层面：中线性无关的有序向量对共种（第一个向量非零共3种，第二个不在第一个张成的子空间内共2种）； 模8提升：每个分量的模2奇偶性确定后，中共有4个整数满足该奇偶性；4个分量各有4种选择，共种； 因此满足条件的有序对总数为：. 【解析】 【分析】（1）利用2倍迭代结合8倍为零元的性质，通过递降推出中所有元素必为零元；（2）将生成条件逐层迭代展开，把、代入消去，最终得到系数取遍0到7的完整线性组合；（3）将双射条件转化为模8矩阵可逆，先算模2线性无关的组合数，再乘以模8的提升数得到总数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三阶段性评价（数学） 2026.10 （满分150分，时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）． A. B. C. 3 D. 4. 已知向量，满足，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 5. 已知正项等比数列满足，，则（ ）． A. 24 B. 48 C. 64 D. 96 6. 已知锐角，满足，，则的最小值为（ ）． A. B. C. D. 7. 若存在实数，使不等式对一切都成立，则的最大值为（ ）． A. B. 3 C. D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，且，．若两个形状不同的三角形均满足上述条件，且边的长相同，则它们的面积之差的绝对值的最大值为（ ）． A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）． A. 的定义域为 B. 是偶函数 C. 在定义域上单调递增 D. 不等式的解集为 11. 数列满足，．下列结论正确的有（ ）． A. 对任意，有 B. 对任意，有 C. 对任意，有 D. 对任意整数，，有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆锥的底面半径为，高为，则它的表面积为__________． 13. 已知，向量，，则的最小值为__________． 14. 已知函数．若方程恰有个不同的实数解，则的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，，，分别为，的中点． （1）证明：∥平面． （2）求三棱锥的体积． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和单调递增区间． （2）设，．若的图象关于直线对称，且，求及在上的值域． 17. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列． （2）记，为的前项和．求，并求使成立的最小正整数． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求的单调区间和最大值． （2）若方程有两个不同的实数根，求的取值范围． （3）在第（2）问的条件下，设两个根为，，证明：． 19. 考虑全部64个数对，其中，都是0到7的整数．规定两个数对相加时，对应位置分别相加，和达到8就减去8，记为．例如．把数对连加次记为，并规定．可直接使用：，且这种运算满足交换律、结合律及重复相加的分配律．若若干个数对反复相加能得到全部64个数对，就称它们能“产生全部数对”． （1）是这些数对组成的非空集合．若中每个数对都是中某个数对的2倍，证明 （2）固定数对，…，，若任意数对都能写成，其中是一个数对，，…，只取0或1．证明，…，能产生全部数对． （3）有序选取两个数对，．当整数，各自取遍0，1，…，7时，64个结果恰好把全部数对各得到一次．求满足此条件的有序对的个数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $